Controle H∞ - PPGEE - EPUSP

Prévia do material em texto

Controle H∞ - PPGEE - EPUSP
Lista 3 - entrega: 11/10/2023
Prof. Diego
Segundo Peŕıodo 2023
Problema 1
Suponha que G(s) é uma matriz de funções de transferência estritamente própria. Mostre que
‖G‖1 < ∞.
Problema 2
Considere o modelo matemático do sistema de controle de vazão e temperatura de ar apresentado 
em aula, que é um sistema TITO (two-input-two-output). Este modelo foi levantado a patir de 
três funções de transferência identificadas, que são:
G1,4(s) =
k1
(τ1s+ 1)(τ2s+ 1)
e−θ1s
G2,4(s) =
k2
(τ3s+ 1)(τ4s+ 1)
e−θ2s
G3(s) =
k3
(τ5s+ 1)(τ6s+ 1)
e−θ3s
+
+
QG3(s) +
+
T
z
vm
G1,4(s)
G2,4(s)
 0
vr
Figura 1: Planta de controle de vazão e temparatura
Os parâmetros são apresentados na tabela 1 sendo que são invariantes no tempo. Alguns
deles possuem incertezas, e outros são bem conhecidos.
As funções de transferência incertas, já com os atrasos aproximados por Padè são:
Ḡ1,4(s) =
k1(1 + 0.5δ1)
(τ1s+ 1)(τ2s+ 1)
1− θ1
2 s
1 + θ1
2 s
= G0(s)(1 + 0.5δ1)
Tabela 1: Parâmetros conhecidos
parâmetro valor incerteza
k1 0.1358 50%
τ1 3.7589 0
τ2 0.0379 0
θ1 0.096 0
k2 0.1132 0
τ3 4.4903 50%
τ4 0.5896 0
θ2 0.5000 0
k3 12.647 0
τ5 0.3621 0
τ6 0.0680 100%
θ3 0.0240 70%
Ḡ2,4(s) =
k2
[τ3(1 + 0.5δ3)s+ 1](τ4s+ 1)
1− θ2
2 s
1 + θ2
2 s
= G1(s)
1
τ3(1 + 0.5δ3)s+ 1
Ḡ3(s) =
k3
(τ5s+ 1)[τ6(1 + δ6)s+ 1]
1− θ3(1+0.7δθ)
2 s
1 + θ3(1+0.7δθ)
2 s
Trabalhando-se um pouco mais nestas funções, tem-se:
Ḡ1,4(s) = G0(s)(1 + 0.5δ1)
Ḡ2,4(s) = Ḡ1(s)
1
τ3(1 + 0.5δ3)s+ 1
= Ḡ1(s)
1
τ3s+ 1︸ ︷︷ ︸
G1(s)
1[
1 + 0.5s
τ3s+1δ3
]
Ḡ3(s) =
1− 0.5θ3s
τ5s+ 1
k3
1 + 0.5θ3s
1
τ6s+ 1︸ ︷︷ ︸
G2(s)
(1− w̄θδθ)
1
1 + w6δ6
1
1 + wθδθ
onde w6(s) = s
τ6s+1 , wθ(s) = 0.35θ3s
1+0.5θ3s
e w̄θ(s) = 0.35θ3s
1−0.5θ3s , de modo que a planta estendida, de
forma ainda parcial, fica como apresentada na Fig. 2
Para encontrar a matriz P (s) da planta estendida, precisamos incluir os demais pesos, que
são os pesos dos erros wp1(s) e wp2(s) (já que temos dois sinais de erro de referência) e dois pesos
de controle wu1(s) e wu2(s). Deste modo, precisamos retirar da planta estendida apresentada
na Fig. 2 os parâmetros incertos e acrescentar os demais pesos, além de acrescentar os sinais de
erro. O resultado é apresenado na Fig. 3.
A partir da Fig. 3, tem-se as seguintes equações relacionando entradas e sáıdas:
2
+
y1=T
G0(s)u1=vr
w1(s)
δ1
+ +
+
u2=vm G2(s)
G1(s)
w3(s)
δ3
+
−
wθ(s)
δθ
+
−
+
δ6
w6(s)
−
+
δθ
wθ(s)
y2=Q
−
Figura 2: Planta Estendida Parcial
+
y1
G0(s)
u1
w1(s)
+ +
+
u2 G2(s)
G1(s)
w3(s)
+
−
wθ(s)
+
−
+
w6(s)
−
+
wθ(s) y2
p2
q1
+
−r1 v1=e1
wp1(s)
wu1(s)
z3
q2
p1
z1
q3
p3 p4
q4
p5
q5
r2
+− 
wp2(s)
z2
wu2(s) z4
−
d1
d2
d3 d4 d5
v2=e2
Figura 3: Planta Estendida Completa
q1 = w1G0(s)u1
q2 = w3(G1(s)u2 − p2)
q3 = w̄θG2(s)u2
q4 = w6(−p4 − p3 +G2(s)u2)
q5 = wθ(−p5 − p4 − p3 +G2(s)u2)
z1 = wp1(r1 − p1 −G0(s)u1 + p2 −G1(s)u2)
z2 = wp2(r2 + p5 + p4 + p3 −G2(s)u2)
z3 = wu1u1
z4 = wu2u2
v1 = r1 − p1 −G0(s)u1 + p2 −G1(s)u2
v2 = r2 + p5 + p4 + p3 −G2(s)u2
(1)
3

q1
q2
q3
q4
q5
z1
z2
z3
z4
v1
v2

=

0 0 0 0 0 0 0 w1G0 0
0 −w3 0 0 0 0 0 0 w3G1
0 0 0 0 0 0 0 0 w̄θG2
0 0 −w6 −w6 0 0 0 0 w6G2
0 0 −wθ −wθ −wθ 0 0 0 wθG2
−wp1 +wp1 0 0 0 wp1 0 −wp1G0 −wp1G1
0 0 wp2 wp2 wp2 0 wp2 0 −wp2G2
0 0 0 0 0 0 0 wu1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 wu2
−1 1 0 0 0 1 0 −G0 −G1
0 0 1 1 1 0 1 0 −G2


p1
p2
p3
p4
p5
r1
r2
u1
u2

(2)
Ainda é posśıvel separar os pesos em diferentes matrizes, da seguinte forma:
d1
d2
d3
d4
d5
e1
e2
u1
u2
v1
v2

=

0 0 0 0 0 0 0 G0 0
0 −1 0 0 0 0 0 0 G1
0 0 0 0 0 0 0 0 G2
0 0 −1 −1 0 0 0 0 G2
0 0 −1 −1 −1 0 0 0 G2
−1 1 0 0 0 1 0 −G0 −G1
0 0 1 1 1 0 1 0 −G2
0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1
−1 1 0 0 0 1 0 −G0 −G1
0 0 1 1 1 0 1 0 −G2


p1
p2
p3
p4
p5
r1
r2
u1
u2

(3)
Se definirmos então as matrizes peso por:
W =

w1 0 0 0 0
0 w3 0 0 0
0 0 w̄θ 0 0
0 0 0 w6 0
0 0 0 0 wθ
 , Wp =
[
wp1 0
0 wp2
]
, Wu =
[
wu1 0
0 wu2
]
de modo que por ser escrito por
d
e
u
v
 =

E5×5 05×2 G5×2
F2×5 I2×2 −H2×2
02×5 02×2 I2×2
F2×5 I2×2 −H2×2

 p
r
u

Finalmente, tem-se que:
 q
z
v
 =

Wd
Wpe
Wuu
v
 =

WE5×5 05×2 WG5×2
WpF2×5 Wp −WpH2×2
02×5 02×2 Wu
F2×5 I2×2 −H2×2

pr
u
 (4)
4
De modo a fazer o projeto sensibilidade mista, despreza-se as 5 primeiras linhas e 5 primeiras
colunas, de modo que se tem:
[
z
v
]
=
 Wp −WpH2×2
02×2 Wu
I2×2 −H2×2
[
r
u
]
Deste modo, pede-se:
1. Encontre a matriz de funções de transferência desta planta já com as incertezas em função
dos δ’s.
2. Plote os valores singulares desta famı́lia de plantas para diferentes valores de δ (considere
utilizar os tipos de variáveis ureal para representar variáveis incertas).
3. A matriz P (s) pode ser retirada da equação (4), que já inclui os pesos Wp(s) de desem-
penho, de controle Wu(s) e de incertezas W (s) (as duas primeiras são indeterminadas por
enquanto, vide cap. 8 da apostila). Encontre a matriz de funções de transferência ∆(s)
para este sistema.
4. Considere as seguintes especificações: supondo resposta ao degrau unitário, 1) o maior
tempo de subida do sistema em malha fechada deve ser menor que 50% do maior tempo
de subida da planta, e 2) o maior erro estacionário ao degrau deve ser menor que 15%.
Monte a matriz Wp(s) com base nestas especificações;
5. Projete um controlador TITO K(s) pelo método S/T/KS que atenda a estas especificações
e que seja estável. Apresente a matriz K(s) e a correspondente representação em espaço
de estados obtida.
6. Comprove a robustez de estabilidade plotando o diagrama de Nyquist multivariável para
toda a famı́lia de plantas e a robustez de desempenho plotando as respostas ao degrau
unitário para toda a famı́lia, juntamente com os correspondentes sinais de controle. Co-
mente.
7. Plote os valores singulares nominais de: 1) S junto com o inverso de Wp, T , KS, K e L.
Comente
Problema 3
Sejam as matrizes M e ∆ dadas por:
M =
 12 −3 2
−1 7 8
5 3 −1
 ∆ =
 δ11 δ12 δ13
δ21 δ22 δ23
δ31 δ32 δ33

onde ‖∆‖∞ < 1.
Calcule os limites superior e inferior do valor singular estruturado para os seguintes casos
usando a função textbfmussv do MATLAB, considerando:
1. δii = δ reais iguais e os restantes dos termos nulos;
2. δii reais todos distintos e os restantes dos termos nulos;
3. δ11 real e δ22, δ23, δ32 e δ33 complexos;
4. Todos os termos não-nulos e complexos.
5
Problema 4
Para o projeto feito no problema 2, isto é, considerando o controlador K(s) projetado (vide
caṕıtulo 9 da apostila):
1. Encontre a matriz N(s) bem como as submatrizes N11(s), N12(s), N21(s) e N22(s), e plote
os valores singulares de N11(s)
2. Aplicando a função mussv, plote os limites superior e inferior para o valor singular es-
truturado em função de ω. O sistema tem robustez de estabilidade ? Compare com os
diagramas de Nyquist da famı́lia L(s) (ou seja, planta em série com controlador).
3. Caso não tenha, relaxe as especificações o mı́nimo posśıvel até conseguir robustez de esta-
bilidade.
4. Vamos agora avaliar a robustez de desempenho. Encontre a matriz de funções de trans-
ferência ∆̂, utilizada na avaliação de robustez de desepenho;
5. Aplicando a função mussv, plote os limites superior e inferior para o valor singular estru-
turado consideranto robustez de desempenho. Utilize ∆̂ determinada no item anterior. O
sistema tem robustez de desempenho ?
6. Verifique se é posśıvel, através de relaxamento das especificaçoes, obter robustez de de-
sempenho (caso não tenha conseguido ainda).Comente.
7. Para o sistema final (com pelo menos robustez de estabilidade), plote os valores singulares
de S, T , KS e L para toda a familia, caso tenha havido alteração do projeto em relação
ao problema 3. Plote tambem, neste caso, a resposta ao degrau unitário de T e de S para
toda a famı́lia, com os correspondentes sinais de controle. Comente.
Problema 5
Considerando a mesma planta do problema 2, projete um controlador K(s) pelo método H∞
Loop-Shaping de modo a: 1) anular o erro estacionário e 1) o maior tempo de subida do sistema
em malha fechada deve ser menor que 50% do maior tempo de subida da planta. Para tanto:
1. Encontre as barreiras de desempenho e as funções peso, sendo que uma delas deve ser do
tipo W1(s) = 1
sn I2×2 (onde n pode ser 1 ou 2);
2. Projete um controlador que tenha máxima robustez, ou seja, que tenha o menor γ que
você conseguir. Plote os valores singulares de K, S, T , KS e L, bem como a resposta ao
degrau unitário de T e S, os correspondentes sinais de controle e o diagrama de Nyquist
multivariável. As especificações nominais foram atendidas ? Comente.
3. Se as especificações não foram atendidas, mude as funções peso W1 e W2 até que sejam
atendidas para o sistema nominal. Comente.
4. Vamos agora verificar se há robustez de estabilidade. Encontre a matriz N(s) bem como
as submatrizes N11(s), N12(s), N21(s) e N22(s), e plote os valores singulares de N11(s).
Temos robustez de estabilidade considerando matriz cheia ∆ ?
5. Plote os limites superior e inferior para o valor singular estruturado considerando a matriz
∆ do problema 2, ou seja, consideranto as incertezas paramétricas lá apresentadas. Temos
robustez de estabilidade ? Use a função mussv.
6
6. Caso não haja robustez de estabilidade para a matriz ∆ do item anterior, modifique as
matrizes peso (e caso necessário, as especificações o mı́nimo posśıvel) para se ter robustez
de estabilidade.
7. Para o sistema final (com robustez de estabilidade), plote os diagramas de Nyquist e os
valores singulares de S, T , KS, L para toda a familia. Plote tambem a resposta ao degrau
unitário de T e de S para toda a famı́lia, com os correspondentes sinais de controle.
Comente.
7