lista05

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Ciências e Tecnologia
Lista 05 - Prazo de entrega: 09/09/2020
1. Em cada item, esboce o desenho da região de integração e expresse a integral dupla de f(x, y)
sobre a região S em coordenadas polares. Suponha f integrável em S.
(a) S = {(x, y) ∈ IR2|x2 + y2 ≤ a2}, onde a > 0.
(b) S = {(x, y) ∈ IR2|x2 + y2 ≤ 2x}.
(c) S = {(x, y) ∈ IR2|a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2}, onde 0 < a < b.
(d) S = {(x, y) ∈ IR2|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1− x}.
(e) S = {(x, y) ∈ IR2| − 1 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 1}.
2. Em cada item, calcule a integral utilizando coordenadas polares. Considere a > 0.
(a) ∫ 2a
0
[∫ √2ax−x2
0
(
x2 + y2
)
dy
]
dx .
(b) ∫ a
0
[∫ x
0
√
x2 + y2dy
]
dx .
(c) ∫ 1
0
[∫ x
x2
(
x2 + y2
)− 1
2 dy
]
dx .
(d) ∫ a
0
[∫ √a2−y2
0
(
x2 + y2
)
dx
]
dy .
3. Em cada item, expresse a integral dada em coordenadas polares.
(a) ∫ a
−a
[∫ a
−a
f(x, y)dy
]
dx .
(b)
∫ 2
0
[∫ x
√
3
x
f(
√
x2 + y2)dy
]
dx .
(c) ∫ 1
0
[∫ √1−x2
1−x
f(x, y)dy
]
dx .
(d) ∫ 1
0
[∫ x2
0
f(x, y)dy
]
dx .
1
4. Utilize uma transformação linear conveniente para calcular a integral dupla∫∫
S
(x− y)2sen 2(x+ y)dxdy ,
sendo S o paralelogramo de vértices (π, 0), (2π, π), (π, 2π) e (0, π).
5. Seja S um paralelogramo de vértices (0, 0), (2, 10), (3, 17) e (1, 7). Determine a transformação
linear u = ax + by, v = cx + dy, que transforma S em um retângulo com vértices opostos (0, 0) e
(4, 2) e que mapeia o vértice (2, 10) em algum ponto do eixo u. Em seguida calcule a integral dupla
de f(x, y) = xy sobre S.
6. Para qualquer r > 0 e α > 0, definimos
I(r, α) =
∫ r
−r
e−αu
2
du .
(a) Mostre que
I2(r, α) =
∫∫
R
e−α(x
2+y2)dxdy ,
sendo R o quadrado R = [−r, r]× [−r, r].
(b) Seja C1 um disco circular que inscreve R e C2 um disco circular que circunscreve R. Mostre
que ∫∫
C1
e−α(x
2+y2)dxdy < I2(r, α) <
∫∫
C2
e−α(x
2+y2)dxdy .
(c) Calcule as integrais duplas sobre C1 e C2 utilizando coordenadas polares.
(d) Mostre que∫ +∞
−∞
e−αx
2
dx =
√
π
α
.
2