Cálculos de Massa e Centro de Massa

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Ciências e Tecnologia
Lista 09 - Prazo de entrega: 18/09/2020
 
 
1. Calcule a massa e o centro de massa do Pac-Man com densidade constante
ρ(x, y) = ρ0. Considere o raio do Pac-Man igual a R e o ângulo de abertura
da boca π
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como indicado na figura.
 
 
2. Uma rosa polar de quatro folhas é o nome dado à curva r(θ) = a| cos(2θ)|.
Calcule a massa e o centro de massa de uma destas pétalas considerando den-
sidade constante ρ(x, y) = ρ0.
 
 
3. Uma rosa polar de três folhas é o nome dado à curva r(θ) = a cos(3θ). Cal-
cule a massa e o centro de massa de uma destas pétalas considerando densidade
constante ρ(x, y) = ρ0.
4. Calcule o centro de massa dos seguintes objetos considerando uma densidade constante
ρ(x, y, z) = ρ0.
(a) Região dentro da esfera de raio a centrada em (x0, y0, z0).
(b) Região limitada inferiormente pelo cone z = h
R
√
x2 + y2 e superiormente pelo plano z = h.
(c) Região limitada inferiormente pelo paraboloide z = h
R2 (x2 + y2) e superiormente pelo plano
z = h.
(d) Região limitada lateralmente pelo hiperboloide de uma folha descrito por x2 + y2 − z2 = a2 e
pelos planos z = 0 e z = h.
(e) Região limitada inferiormente pela folha superior de um hiperboloide de duas folhas x2 + y2 −
z2 = −a2 e superiormente pelo plano z = a+ h.
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5. Calcule o momento de inércia em torno do eixo z dos seguintes objetos considerando uma
densidade constante ρ(x, y, z) = ρ0 e escreva o resultado em termos da massa M destes objetos.
(a) Esfera de raio a descrita por x2 + y2 + z2 ≤ a2.
(b) Cilindro descrito por x2 + y2 ≤ a2 e 0 ≤ z ≤ h.
(c) Esfera oca de raio interno b e raio externo a, ou seja, b2 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ a2.
(d) Cilindro oco de raio interno b e raio externo a, ou seja, b2 ≤ x2 + y2 ≤ a2 e 0 ≤ z ≤ h.
(e) Elipsoide de semieixos a, b e c descrito por x2
a2
+ y2
b2
+ z2
c2
≤ 1.
(f) Octoedro (ou d8) descrito por |x|+ |y|+ |z| ≤ a.
(g) Região limitada inferiormente pelo cone z = h
R
√
x2 + y2 e superiormente pelo plano z = h.
(h) Região limitada inferiormente pelo paraboloide z = h
R2 (x2 + y2) e superiormente pelo plano
z = h.
(i) Região limitada lateralmente pelo hiperboloide de uma folha descrito por x2 + y2 − z2 = a2 e
pelos planos z = −h e z = h.
(j) Região limitada inferiormente pela folha superior de um hiperboloide de duas folhas x2 + y2 −
z2 = −a2 e superiormente pelo plano z = a+ h.
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