Questão resolvida - Determine o centro de massa da região do plano limitada pela parábola yx e pela reta y3x - cálculo I

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• Determine o centro de massa da região do plano limitada pela parábola e pela y = x2
reta .y = 3x
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos encontrar a intercessão entre as curvas, igualando suas expressões e 
resolvendo para ;x
 
3x = x 3x - x = 0 x 3 - x = 0 x = 0 ou 3 - x = 02 → 2 → ( ) →
 -x = -3 ⋅ -1( ) ( )
 x = 3
 
Conhecidos as coordenadas dos pontos onde as curvas se interceptam, sabendo que as x
curvas de tratam de uma reta crescente que passa na origem e um parábola que também 
passa na origem e tem concavidade voltada para cima, podemos montar o gráfico, como 
feito na sequência;
 
 
 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Área
x2
3x
y
 
As coodenadas do centro de massa de áreas entre curvas são dadas por;
 
= x f x - g x dx; = f x - g x dxX⏨
1
A
b
a
∫ [ ( ) ( )] Y⏨ 1
2A
b
a
∫ ( ( ))2 ( ( ))2
 
em que é a curva de cima e a curva de baixo.f x( ) g x( )
 
Assim, temos que;
 
f x = 3x( )
e;
 
g x = x( ) 2
 
Agora, calculamos, usando integral, a área entre as curvas. A área entre as curvas segue o 
mesmo raciocínio do centro de massa, ou seja, é a integral da diferença da curva de cima 
pela curva de baixo, os limites de integração são os valores de da intercessão entre as x
curvas;
 
A = 3x - x dx
3
0
∫ 2
Resolvendo;
 
A = - 3 A = - 9 A = A = u. a.
3 ⋅ 9
2
( )2 →
27
2
→
27 - 18
2
→
9
2
 
Conhecida a área, agora, vamos achar as coordenadas do centro de massa, os limites de 
integração também são as coordenadas dos pontos de intercessão;x
 
 
A = 3x - x dx = - = - - -
3
0
∫ 2 3x
2
2 x
3
3 3
0
3 3
2
( )2 3
3
( )3 3 0
2
( )2 0
3
( )3
0
2
Coordenada ;X⏨
 
Coordenada ;Y⏨
=Y⏨
18
5
 
Finalmente, as coordenadas do centro de massa da área entre as curvas são;
 
,
3
2
18
5
 
 
= x 3x - x dx = 3x - x dx = -X⏨
1
9
2
3
0
∫ 2 → X⏨ 2
9
3
0
∫ 2 3 2
9
3x
3
3 x
4
4 3
0
= x - = 3 - - 0 - = 27 -X⏨
2
9
3 x
4
4 3
0
2
9
( )3
3
4
( )4 2
9
( )3
0
4
( )4 2
9
81
4
 
= = ⋅ =X⏨
2
9
108 - 81
4
2
9
27
4
→ X⏨
3
2
0
3
2
= 3x - x dx = ⋅ 9x - x dx = -Y⏨
1
2 ⋅ 9
2
3
0
∫ [ ( )2 2 2 1
2
2
9
3
0
∫ 2 4 1
9
9x
3
3 x
5
5 3
0
= 3x - = 3 3 - - 3 0 - = 3 ⋅ 27 -Y⏨
1
9
3 x
5
5 3
0
1
9
( )3
3
5
( )5 1
9
( )3
0
5
( )5 1
9
243
5
 = 81 - = = ⋅Y⏨
1
9
243
4
1
9
405 - 243
5
1
9
162
5
3
0
18
(Resposta)