Gestão Financeira

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Gestão Financeira
Valor Presente e Valor Futuro
Produção: Gerência de Desenho Educacional - NEAD
Desenvolvimento do material: Danielle Stelzer
1ª Edição
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Carlos de Oliveira Varella
Núcleo de Educação a Distância (NEAD)
Márcia Loch
Sumário
Valor Presente e Valor Futuro
Para Início de Conversa... ............................................................................... 4
Objetivos ......................................................................................................... 4
1. Anuidades ....................................................................................................... 5
1.1 Valor Presente de Anuidade ............................................................... 5
1.2 Valor Futuro de uma Anuidade ......................................................... 7
2. Séries Mistas .................................................................................................. 8
2.1 Valor Presente de uma Série Mista ................................................. 8
2.2 Valor Futuro de uma Série Mista ..................................................... 10
3. Valor Presente de uma Perpetuidade .................................................... 12
Referências ........................................................................................................ 14
Gestão Financeira 3
Para Início de Conversa...
Os administradores financeiros e os investidores sempre encontram 
oportunidades de obtenção de taxas de retorno positivas em suas 
aplicações de fundos, seja em projetos de investimento atraentes, seja 
em títulos ou depósitos com renda fixa. 
Portanto, a distribuição de entradas e saídas de caixa no tempo apresenta 
consequências econômicas importantes, que os administradores 
reconhecem explicitamente no valor do dinheiro no tempo. Esse valor 
baseia-se na crença de que um real hoje vale mais do que um real a ser 
recebido.
Os valores e as decisões financeiras podem ser aferidos por meio de 
técnicas tanto de Valor Futuro como de Valor Presente. Embora resultem 
exatamente na mesma decisão, essas técnicas são encaradas de maneiras 
diferentes. As técnicas de Valor Futuro medem os fluxos de caixa no final 
de vida de um projeto e as de Valor Presente, no início (data zero). 
Veremos que o Valor Futuro é a quantia que receberemos em certa 
data futura, já o Valor Presente é o mesmo que dinheiro na mão agora. 
Portanto, as melhores propostas são aquelas que oferecem o menor 
Valor Presente (quantia a ser paga) e o maior Valor Futuro (quantia a ser 
recebida).
Objetivos
Avaliar as melhores opções de financiamento e investimento através da 
análise dos fluxos de caixa.
Gestão Financeira 4
1. Anuidades
O processo de determinação de Valores Presentes é geralmente chamado 
de desconto de fluxos de caixa.
O fluxo de caixa é um dos mais importantes instrumentos de gestão 
financeira. Ele permite controlar e projetar entradas e saídas de dinheiro 
em um determinado período de tempo. De acordo com sua configuração 
geral, pode ser uma quantia individual, uma anuidade ou uma série 
mista.
Figura 1: Anuidades. Fonte: Dreamstime.
Uma anuidade é uma série de fluxos de caixa periódicos e iguais, por 
um prazo determinado. Esses fluxos podem ser entradas, saídas ou 
resultados líquidos, geralmente anuais, mas podem também ser mensais. 
Por exemplo: pagamento ou recebimento de R$ 800 ao final de cada um 
dos próximos sete anos. 
1.1 Valor Presente de Anuidade
Considere um fluxo de caixa com uma série de cinco pagamentos iguais 
de R$ 100,00 cada um, com pagamentos no fim de cada mês, a uma taxa 
de desconto de 3% ao mês. Qual seria o valor atual desse fluxo?
Você pode resolver por meio da fórmula:
onde:
A = valor atual da anuidade
R = valor de cada um dos pagamentos periódicos
i = taxa de juros
n = números de períodos da anuidade
nR * (1 (1 i) )A
i
−− +
=
Gestão Financeira 5
Substituindo os valores na fórmula, 
temos:
A = 100 (1 – (1+0,03)-5) / 0,03
A = 100 (1- (1,03)-5) / 0,03
A = 100 (1- 0,863) / 0,03
A = 100 (0,137) / 0,03
A = 13,7 / 0,03
A = 456,67
Você pode utilizar apenas um fator 
para trazer todos os Valores Futuros 
ao Valor Presente, o que representa menos 
cálculos e economia de tempo. Para tanto, deve 
recorrer à tabela T2 (Fator de Juros do Valor Presente de uma Anuidade – 
FVPA). É importante dizer que essa tabela somente será utilizada quando 
se tratar de série de valores iguais, ou seja, de uma anuidade.
Veja na tabela (ao final do capítulo) a coluna referente a 3% e a linha 
referente a 5 períodos. No cruzamento delas, você encontra o fator 4,580.
Taxa de desconto
Período 1% 2% 3% 4%
1 0,990 0,980 0,971 0,962
2 1,970 1,942 1,913 1,886
3 2,941 2,884 2,829 2,775
4 3,902 3,808 3,717 3,630
5 4,853 4,713 4,580 4,452
Tabela 1: T2 – Fator de Juros do Valor Presente de uma Anuidade – FVPA (descapitalização de 
série de valores uniformes). Fonte: Elaborada pela autora.
Esse fator deve ser multiplicado pelo valor de uma das parcelas, que são 
iguais. R$ 100,00 x 4,580 = R$ 458,00.
Outra opção será tratar cada pagamento anual como se fosse uma 
quantia individual, somando todos no final. Utilizando a tabela T1 
(Fator de Juros do Valor Presente – FVP) e encontrando os fatores do 
cruzamento da taxa e cada período encontraremos: R$ 100,00 X (0,971) 
+ R$ 100,00 X (0,943) + R$ 100,00 X (0,915) + R$ 100,00 X (0,888) + R$ 
100,00 X (0,863). Resultado = R$ 458,00.
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Taxa de desconto
Período 1% 2% 3%
1 0,990 0,980 0,971
2 0,980 0,961 0,943
3 0,971 0,942 0,915
4 0,961 0,924 0,888
5 0,951 0,906 0,863
Tabela 2: T1 – Fator de Juros do Valor Presente – FVP (descapitalização de valores únicos)
Fonte: Elaborada pela autora.
Utilizando a calculadora HP, o cálculo seria o seguinte:
Figura 2: Calculadora HP. Fonte: Elaborada pela autora.
1.2 Valor Futuro de uma Anuidade
Para encontrar o Valor Futuro de uma anuidade usaremos apenas a 
tabela financeira. Vamos supor que se capitalize a seguinte anuidade: 
pagamentos de R$ 100,00 todo final de mês, capitalizados mensalmente, 
com taxa de 5% ao mês, durante 5 meses. Qual quantia será acumulada, 
considerando a capitalização, durante o período de pagamento?
Utilizaremos a tabela T4 (Fator de Juros do Valor Futuro de uma 
Anuidade – FVFA). Basta localizar o fator no cruzamento da coluna 5% 
com a linha referente a 5 períodos. Em seguida, é só multiplicar pelo 
valor da parcela.
Taxas de desconto
Períodos 1% 2% 3% 4% 5%
1 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
2 2,010 2,020 2,030 2,040 2,050
3 3,030 3,060 3,091 3,122 3,153
4 4,060 4,122 4,184 4,246 4,310
5 5,101 5,204 5,309 5,416 5,526
Tabela 3: T4 – Fator de Juros do Valor Futuro de uma Anuidade – FVFA (capitalização)
Fonte: Elaborada pela autora.
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FVFA5,5% = 5,526
VPA = 100 X 5,526 = 552,60
Para encontrar o montante, multiplicamos o fator pelo valor da parcela. 
Quando é preciso encontrar a parcela, basta dividir o valor da parcela 
pelo fator encontrado na tabela.
Por meio da calculadora HP:
Figura 3: Calculadora HP. Fonte: Elaborada pela autora.
2. Séries Mistas
A série mista é uma série de fluxos de caixa periódicos e desiguais, sem 
nenhum padrão. Os administradores financeiros frequentemente são 
forçados a avaliar oportunidades que geram séries mistas de fluxos de 
caixa. Por exemplo:
Final do ano A B
1 100 -50
2 800 100
3 1200 80
4 1400 -60
2.1 Valor Presente de uma Série MistaDeterminamos o Valor Presente individual de cada quantia futura e 
depois somamos os vários Valores Presentes para chegar ao Valor 
Presente total. Ou seja, tratamos cada valor da série mista como uma 
quantia individual.
Por exemplo: a Fred Company recebeu uma oferta de negócio em que 
receberia a seguinte série mista de fluxos de caixa nos próximos cinco 
anos:
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Final do Ano Fluxo de caixa
1 400,000
2 800.000
3 500,000
4 400,000
5 300,000
Sabendo que a empresa será capaz de obter pelo menos 9% em suas 
aplicações financeiras, qual o valor máximo que a empresa está disposta 
a pagar por essa oportunidade?
Utilizando a tabela T1, calcula-se o Valor Presente de cada período como 
uma quantia individual, por meio do cruzamento da taxa e de cada um 
dos períodos. Em seguida, soma-se os valores encontrados:
Taxas de desconto
Período 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
1 0990 0,980 0,971 0,962 0,952 0,943 0,935 0,926 0,917 0,909
2 0,980 0,961 0,943 0,925 0,907 0,890 0,873 0,857 0,842 0,826
3 0,971 0,942 0,915 0,889 0,864 0,840 0,816 0,794 0,772 0,751
4 0,961 0,924 0,888 0,855 0,823 0,792 0,763 0,735 0,708 0,683
5 0,951 0,906 0,863 0,822 0,784 0,747 0,713 0,681 0,650 0,621
Tabela 6: T1 – Fator de Juros do Valor Presente – FVP (descapitalização de valores únicos). 
Fonte: Elaborada pela autora.
ANO FLUXO DE CAIXA FATOR DE DESCONTO 
(FVP9%,n) VALOR PRESENTE
1 400.000,00 0,917 366.800,00
2 800.000,00 0,842 673.600,00
3 500.000,00 0,772 386.000,00
4 400.000,00 0,708 283.200,00
5 300.000,00 0,650 195.000,00
Valor Presente da série mista = (400.000 X 0,917) + (800.000 X 0,842) + 
(500.000 X 0,772) + (400.000 X 0,708) + (300.000 X 0,650) 
= (366.800 + 673.600 + 386.000 + 283.200 + 
195.000) = R$ 1.904.600,00. Então, esse 
será o valor máximo que a empresa está 
disposta a pagar por esta oportunidade.
É possível encontrar o Valor Presente 
da série mista utilizando a calculadora 
HP:
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Figura 4: Calculadora HP. Fonte: Elaborada pela autora.
Na grande maioria dos cálculos realizados pelas tabelas financeiras e 
pela HP haverá uma pequena diferença no resultado final. Isso se dá em 
virtude da quantidade de casas decimais considerada no cálculo. Nas 
tabelas usamos apenas 3 casas decimais, enquanto a HP considera todas 
as casas decimais.
2.2 Valor Futuro de uma Série Mista
Assim como no cálculo do Valor Presente da série mista, calculamos 
o Valor Futuro individualmente para cada fluxo de caixa e depois 
somamos todos os Valores Futuros, porém também devemos levar em 
conta o período de capitalização.
Por exemplo: se temos cinco entradas de caixa, observa-se que a primeira 
entrada de caixa só ocorrerá ao final do 1º ano. Logo, só acumulará 
capitalização por 4 anos. Os outros recebimentos também seguirão essa 
lógica. O último não sofrerá qualquer capitalização.
Figura 5: Capitalização dos recebimentos. Fonte: Elaborada pela autora.
0 100 110 120 130 140
3 capitalizações
4 capitalizações
2 capitalizações
2 capitalizações
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Sendo assim, para encontrar o Valor Futuro da série mista é preciso 
considerar os períodos de capitalização/rendimento, não os períodos 
informados. Ou seja, se temos 5 períodos, o período 1 sofrerá 4 
capitalizações; o período 2 sofrerá 3 capitalizações; o período 3 sofrerá 
2 capitalizações; o período 4 sofrerá 1 capitalização e o período 5 não 
sofrerá capitalização. 
No cálculo do Valor Futuro da série mista, a quantidade de períodos 
de capitalização/rendimento para cada período será sempre igual à 
quantidade total de períodos subtraindo-se o período no qual está 
sendo feito o cálculo. Por exemplo:
Ano Anos de capitalização/rendimento
1 4 (total de períodos) - 1 (período do cálculo) = 3
2 4 (total de períodos) - 2 (período do cálculo) = 2
3 4 (total de períodos) - 3 (período do cálculo) = 1
4 4 (total de períodos) - 4 (período do cálculo) = 0
Considere o seguinte caso: uma indústria fabricante de móveis espera 
receber a seguinte série mista de fluxos de caixa nos próximos cinco 
anos, em consequência de pagamentos a serem feitos por um de seus 
clientes de menor porte.
Final do ano Fluxo de caixa
1 11.500
2 14.000
3 12.900
4 16.000
5 18.000
Considerando um rendimento de 8% em suas aplicações, quanto 
acumulará até o final do ano 5 se aplicar os fluxos de caixa assim que 
sejam recebidos?
Utilizando a tabela T3 (Fator de Juros do Valor Futuro – FVF):
Ano Fluxo de caixa Anos de 
rendimento
Fator de 
capitalização 
FVF 8%,n
Valor Futuro
1 11.500 5 -1 = 4 1,360 15.640,00
2 14.000 5 - 2 = 3 1,260 17.640,00
3 12.900 5 - 3 = 2 1,166 15.041,40
4 16.000 5 - 4 = 1 1,080 17.280,00
5 18.000 5 - 5 = 0 1,000 18.000,00
Valor Futuro da série mista 83.601,40
A empresa acumulará R$ 83.601,40 até o final do ano 5.
Gestão Financeira 11
No cálculo do Valor Futuro de uma série mista não há como efetuar o 
cálculo na HP informando os valores de fluxo de caixa. Nesse caso, é 
necessário calcular um a um e depois somá-los.
3. Valor Presente de uma Perpetuidade
Perpetuidade é uma anuidade com duração infinita. Em outras palavras, 
trata-se de uma anuidade que nunca para de gerar fluxo de caixa para 
seu titular ao final de cada ano. Para encontrar o fator para o cálculo do 
Valor Presente de uma perpetuidade, usamos a fórmula:
onde:
K = taxa.
1
k
Caso tenhamos o valor total (M) do fluxo de caixa (FC) e seja preciso 
calcular o valor dos pagamentos mensais, dividimos o valor do FC pelo 
fator do Valor Presente, como na fórmula:
onde:
VP = Valor Presente.
M = Montante ou Valor Total.
FPV = Fator de Valor Presente.
Exemplo: Carlos deseja doar dinheiro para custear um curso na 
universidade em que se formou. A universidade informou que são 
necessários R$ 200.000,00 por ano para sustentar o curso e que a 
doação renderia 10% a.a. Para determinar o montante que Carlos deve 
dar à universidade para financiar o curso, precisamos calcular o Valor 
Presente de uma perpetuidade de R$ 200.000,00 descontados a 10%.
Fator do Valor Presente: 1 / 0,10 = 10 
logo, 
PVP M / FVP=
Gestão Financeira 12
Valor Presente = montante anual X fator do Valor Presente
Valor Presente = R$ 200.000 X 10 = R$ 2.000.000,00.
Então, se Carlos doar R$ 2.000.000,00 e a universidade conseguir 10% 
ao ano, poderá retirar R$ 200.000,00 indefinidamente sem tocar no 
capital inicial. 
Tabelas de apoio para os cálculos:
Tabela T1 - Fator de Juros do Valor Presente - FVP (descapitalização de valores únicos)
Tabela T2 - Fator de Juros do Valor Presente de uma Anuidade -FVPA (descapitalização de série de valores uniformes)
Tabela T3 - Fator de Juros do Valor Futuro - FVF (capitalização)
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Fonte: Elaborado pela autora.
Neste estudo, descobrimos que existem tipos diferentes de séries de 
fluxos de caixa e que os administradores financeiros medem esses 
fluxos de caixa ao longo do tempo para avaliar as oportunidades de 
investimento.
Uma anuidade é uma série de fluxos de caixa periódicos e iguais; já 
uma série mista apresenta fluxos de caixa periódicos e desiguais. Para 
a tomada de decisão sobre esses fluxos é necessário que se tenha uma 
“data-base” para o parecer. Se a data for a inicial, o fluxo deverá ser 
descapitalizado até a data presente; se a data for a final, o fluxo deverá 
ser capitalizado até a data final (futuro).
Tabela T4 - Fator de Juros do Valor Futuro de uma Anuidade - FVFA (capitalização) Aprendemos também a trabalhar com as tabelas financeiras para 
capitalizar e/ou descapitalizar os fluxos de caixa de forma mais rápida 
e efetiva, cruzando informações de “período” e “taxa”, encontrando assim 
o fator para cálculo, seja do Valor Presente ou Valor Futuro, por meio do 
emprego da tabela correta (T1, T2, T3 ou T4).
Por fim, entendemos que uma perpetuidade, como o próprio nome já diz, 
é uma anuidade que não para de gerar fluxo. Para calcular o seu Valor 
Presente, é preciso encontrar o fator correspondente por meio de uma 
fórmula.
Todas essas teorias são fundamentais para que o administradoranalise 
a viabilidade de novos investimentos e possa alcançar resultados ótimos 
para as organizações.
Referências
GITMAN, L. J. Princípios da Administração Financeira. 12 ed. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 2010.
NETO, A. A; LIMA, F. G. Fundamentos de Administração Financeira. 3 ed. 
São Paulo: Atlas, 2017.
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	Objetivos
	1. Anuidades
	1.1 Valor Presente de Anuidade
	1.2 Valor Futuro de uma Anuidade
	2. Séries Mistas
	2.1 Valor Presente de uma Série Mista
	2.2 Valor Futuro de uma Série Mista
	3. Valor Presente de uma Perpetuidade
	Referências