Percolação e Fluxo em Solos

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Figura 2.14
de percolação–poropressões induzidas e de fluxo volumétrico em problemas
simples, é necessária muita prática para que se produzam resultados
confiáveis. Como alternativa, podem ser usadas as planilhas (que estão
disponíveis quase universalmente para os engenheiros em atividade) para
determinar as pressões de percolação de modo mais rápido e confiável. Uma
ferramenta baseada em planilha para resolver uma grande variedade de
problemas está disponível no site da LTC Editora complementar a este livro,
acompanhando o material deste capítulo. As planilhas analisam os problemas
de percolação resolvendo a equação de Laplace por meio do Método das
Diferenças Finitas (MDF). Em primeiro lugar, o problema é discretizado em
uma malha de nós espaçados regularmente representando o solo do problema.
Se estiver acontecendo uma percolação em regime permanente através de
uma determinada região do solo com permeabilidade isotrópica k, a carga
total em um nó genérico no solo será a média dos valores de carga nos quatro
nós que se conectam, de acordo com o ilustrado na Figura 2.14:
Determinação da carga em um nó do MDF.
É possível obter formas modificadas da Equação 2.31 para limites
impenetráveis e para determinar valores de carga em cada um dos lados de
cortinas finas impermeáveis, como estacas-prancha. A técnica de análise
pode ser usada adicionalmente para estudar solos anisotrópicos na escala
transformada de solos de permeabilidade k′, conforme a definição ao final da
Seção 2.5. Também é possível modificar a Equação 2.31 para modelar os nós
no limite entre duas camadas de solo de permeabilidade isotrópicas diferentes
(k1, k2), conforme analisado na Seção 2.6.
O site da LTC Editora complementar a esta obra contém uma ferramenta
de análise de planilha (Percolação_CSM8. xls) que pode ser usada para
solucionar uma grande variedade de problemas de percolação. Cada célula é
usada para representar um nó, com o valor daquela igual à carga total, h0 para
o nó. Uma biblioteca de equações para h0 para uma grande variedade de
condições de contorno diferentes está incluída nessa planilha, que pode ser
copiada quando necessário para constituir um modelo completo e detalhado
de diversos problemas. Uma descrição mais detalhada das condições de
contorno que podem ser usadas e sua formulação são dadas no Manual do
Usuário, que também pode ser encontrado no site da LTC Editora
complementar a este texto. Depois de as fórmulas terem sido copiadas para os
nós adequados, são fornecidos os valores da carga nos contornos de recarga e
descarga, e, a seguir, são realizados iterativamente os cálculos até que as
iterações posteriores forneçam uma variação insignificante da distribuição de
carga. Esse processo iterativo é completamente automatizado dentro da
planilha. Em um computador moderno, a resolução dos problemas
mencionados neste capítulo deve demorar alguns segundos. O uso dessa
planilha será demonstrado no exemplo a seguir, que utiliza todas as
condições de contorno incluídas na planilha.
Exemplo 2.3
Deve ser feita uma escavação profunda nas proximidades de um túnel de alvenaria para linhas
de metrô, conforme ilustra a Figura 2.15. O solo circunvizinho apresenta-se em camadas, com
permeabilidades isotrópicas de acordo com a figura. Calcule a distribuição da pressão de água
nos poros em torno do túnel e encontre a taxa de fluxo da água para o interior da escavação.
Solução
Dada a geometria mostrada na Figura 2.15, escolheu-se um espaçamento de grade de 1 m nas
direções horizontal e vertical, fornecendo o layout nodal mostrado na figura. As fórmulas
apropriadas são, então, inseridas nas células que representam cada nó, de acordo com o
demonstrado no Manual do Usuário no site da LTC Editora complementar a este livro. Adota-se
o nível da escavação como referência. A distribuição da carga total é mostrada na Figura 2.15, e,
aplicando-se a Equação 2.1, pode ser desenhada a distribuição de água nos poros em torno do
túnel.
A taxa de fluxo de água para o interior da escavação pode ser encontrada considerando-se
o fluxo entre os oito nós adjacentes no contorno de descarga. Tendo em vista os nós nas
proximidades da cortina de estacas-prancha, a variação de carga entre os dois últimos nós é Δh
= 0,47. Isso é repetido ao longo do contorno de descarga, e o valor médio Δh entre cada
conjunto de nós é calculado. Adaptando a Equação 2.19 e observando que o solo no contorno
de descarga tem permeabilidade k1, a taxa de fluxo é, consequentemente, dada por:
Figura 2.15 Exemplo 2.3.
Figura 2.16 Condição de transferência.
2.8 Condição de transferência
Agora, serão feitas considerações sobre a condição que deve ser satisfeita
quando a percolação ocorre diagonalmente através da interface entre dois
solos isotrópicos, 1 e 2, com coeficientes de permeabilidade k1 e k2,
respectivamente. A direção de percolação nas proximidades de um ponto B
no limite ABC faz um ângulo α1 com a normal em B, conforme mostra a
Figura 2.16; a velocidade de descarga nas proximidades de B é v1. Os
componentes de v1 na direção da interface e na direção normal a ela são v1s e
v1n, respectivamente. A direção da percolação ao se afastar do ponto B faz um
ângulo α2 com a normal, conforme mostra a figura; a velocidade de descarga
no afastamento de B é v2. Os componentes de v2 são v2s e v2n.
Para os solos 1 e 2, respectivamente
φ1=−k1h1 e φ2=−k2h2
No ponto comum B, h1 = h2; portanto,
Diferenciando no que diz respeito a s, a direção ao longo da interface:
Para a continuidade do fluxo ao longo da interface, os componentes normais
da velocidade de descarga devem ser iguais, isto é,
v1n = v2n
Dessa forma,
Daí, segue-se que
A Equação 2.32 especifica a mudança na direção da linha de fluxo que passa
pelo ponto B. Essa equação deve ser satisfeita na interface por toda linha de
fluxo que a atravessar.
A Equação 2.18 pode ser escrita como
Se Δq e Δh devem ter, cada um, os mesmos valores em ambos os lados da
interface, então
e fica claro que os quadrados curvilíneos são possíveis apenas em um solo.
Se
então
Se o índice de permeabilidade for menor do que 1/10, é improvável que a
parte da rede de fluxo no solo de maior permeabilidade precise ser
considerada.
2.9 Percolação através do maciço de barragens de terra
Esse problema é um exemplo de percolação não confinada, com um limite da
região de fluxo sendo a superfície freática na qual a pressão é atmosférica. No
interior da seção, a superfície freática constitui a linha de fluxo superior, e
sua posição deve ser estimada antes que a rede de fluxo possa ser desenhada.
Considere o caso de uma barragem de terra isotrópica sobre uma
fundação impermeável, conforme mostra a Figura 2.17. O limite
impermeável BA é uma linha de fluxo, e CD é a linha de fluxo superior
exigida. Em cada ponto do talude de montante BC, a carga total é constante
(u/γw e z variam de um ponto para outro, mas sua soma permanece constante);
portanto, BC é uma linha equipotencial. Se o nível de água de jusante for
tomado como nível de referência, a carga total na linha equipotencial BC será
igual a h, a diferença entre os níveis de água de montante e de jusante. A
superfície de descarga AD, apenas para o caso mostrado na Figura 2.17, é a
linha equipotencial para a carga total zero. Em todos os pontos da linha de
fluxo superior, a pressão é nula (atmosférica), portanto a carga total é igual à
altimétrica, e deve haver intervalos verticais iguais Δz entre os pontos de
interseção entre linhas equipotenciais sucessivas e a linha de fluxo superior.
Em uma barragem de terra, sempre deve ser construído um filtro
adequado na superfície de descarga. A função do filtro é manter a percolação
completamente dentro da barragem; a saída de água de percolação no talude
de jusante resultaria na erosão gradual deste. As consequências disso podem
ser graves. Em 1976, foi observado um vazamento próximo a um dos
encontros da barragem Teton (Teton Dam), em Idaho, EUA. A seguir, foi
observada percolação através do talude de jusante. No intervalo de duashoras
após o ocorrido, a barragem apresentou uma falha estrutural catastrófica,
causando uma enorme inundação, conforme mostra a Figura 2.18. Os custos
Figura 2.17
Figura 2.18
diretos e indiretos dessa falha estrutural foram estimados em algo próximo a
1 bilhão de dólares. A Figura 2.17 mostra um filtro subterrâneo horizontal.
Outras formas possíveis de filtro são ilustradas nas Figuras 2.22a e 2.22b;
nesses dois casos, a superfície de descarga AD não é uma linha de fluxo nem
uma equipotencial, uma vez que há componentes da velocidade de descarga
tanto no sentido normal quanto no tangencial à AD.
Seção transversal de uma barragem de terra homogênea.
Falha estrutural da barragem Teton (Teton Dam), 1976 (foto cedida pelo
Bureau of Reclamation).
As condições de contorno da região de fluxo ABCD na Figura 2.17
podem ser escritas da seguinte forma:
Linha equipotencial BC: φ = –kh
Linha equipotencial AD: φ = 0
Linha de fluxo CD: ψ = q (além disso, φ = –kz)
Linha de fluxo BA: ψ = 0
A transformação conforme r = w2
Pode-se usar a teoria de variáveis complexas a fim de se obter uma solução
para o problema da barragem de terra. Vamos admitir que o número
complexo w = φ + iψ seja uma função analítica de r = x + iz. Considere a
função
r = w2
Dessa forma
Igualando as partes reais e imaginárias:
As Equações 2.34 e 2.35 regem a transformação de pontos entre os planos r e
w.
Considere a transformação de linhas retas ψ = n, na qual n = 0, 1, 2, 3
(Figura 2.19a). A partir da Equação 2.35,
e a Equação 2.34 se torna
A Equação 2.36 representa uma família de parábolas com mesmo foco. Para
valores positivos de z, as parábolas com os valores especificados de n estão
desenhadas no gráfico da Figura 2.19b.
Considere também a transformação de linhas retas φ = m, na qual m = 0,
1, 2, …, 6 (Figura 2.19a). A partir da Equação 2.35,
e a Equação 2.34 se torna
Figura 2.19 Transformação conforme r = w2: (a) plano w; e (b) plano r.
A Equação 2.37 representa uma família de parábolas com mesmo foco e
conjugadas àquelas representadas pela Equação 2.36. Para valores positivos
de z, as parábolas com os valores especificados de m estão desenhadas no
gráfico da Figura 2.19b. As duas famílias de parábolas satisfazem às
exigências de uma rede de fluxo.
Aplicação a seções transversais de barragens de terra
A região de fluxo no plano w que satisfaz às condições de contorno para a
seção transversal (Figura 2.17) é mostrada na Figura 2.20a. Nesse caso, será
usada a função de transformação
r = Cw2
em que C é uma constante. Assim sendo, as Equações 2.34 e 2.35 se tornam
A equação da linha de fluxo superior pode ser obtida por meio da substituição
das condições
Assim,
	Parte 1 - Desenvolvimento de um modelo mecânico para o solo
	2 Percolação
	2.8 Condição de transferência
	2.9 Percolação através do maciço de barragens de terra