Resistencia dos Materiais Hibbeler - 7.6 Centro de cisalhamento para seções transversais abertas

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N 
N 
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 289 
*7 . 6 Centro d e dsa l hamento 
para seções transversais 
N abertas 
L 1. .
. . 
· llll 
I 
(b) 
(d) 
V = 
(a) 
A' 
I A 
llmf--5 cm--! 
T 1··1 .
. 
·
. . ·
·
. 
· .
.
.
. 
I 
.
.
. 
·
.·.IY 
cm 
N . 
A 
. 4 cm _L . . _i 
1T f--4 cm--j cm 
(c) 
(e) 
Figma 7.22 
p 
(a) 
Faba 
(c) (d) 
Na seção anterior, consideramos que o cisalhamen­
to interno V era aplicado ao longo de um eixo princi­
pal de inércia do centroide que também representa um 
eixo de simetria para a seção transversal. Nesta seção, 
consideraremos o efeito da aplicação do cisalhamento 
ao longo de um eixo principal do centroide que não é 
um eixo de simetria para uma seção transversal aber­
ta. Como antes, só analisaremos elementos com pare­
des finas, portanto, usaremos as dimensões até a linha 
central das paredes dos elementos. Um exemplo típico 
desse caso é a seção do perfil em U (canal) mostrada 
na Figura 7.23a, que tem uma extremidade engastada 
e a outra em balanço e é submetida a uma força P . Se 
essa força for aplicada ao longo do eixo anteriormen­
te vertical e assimétrico que passa pelo centroide C da 
área da seção transversal, o perfil não somente se cur­
vará para baixo, mas também será torcido em sentido 
horário, como mostra a figura. 
Para entender por que o elemento sofre torção, é 
preciso estudar a distribuição do fluxo de cisalhamen­
to ao longo das abas e da alma do perfil em questão 
(Figura 7.23b ). Quando essa distribuição é integrada 
ao longo das áreas da aba e da alma, dará forças re­
sultantes Faba em cada aba e uma força V = P na alma 
Figura 7.23 
Distribuição do fluxo de cisalhamento 
(b) 
(e) 
p 
290 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
(Figura 7 .23c). Se os momentos dessas forças forem so­
mados ao redor do ponto A, podemos ver que o conju­
gado ou torque criado pelas forças na aba é responsá­
vel pela torção do elemento. A torção verdadeira é no 
sentido horário quando vista da frente da viga, como 
mostra a Figura 7 .23a, já que as forças de reação de 
"equilíbrio" interno Faba provocam a torção. Portanto, 
para impedir essa torção, é necessário aplicar P a um 
ponto O localizado à distância e da alma do perfil (Fi­
gura 7.23d) . Exige-se !.MA = Fabad = Pe ou 
F,.bad 
e = --p 
Pelo método discutido na Seção 7.5, F.,ba pode ser 
avaliada em termos de P ( = V) e das dimensões das 
abas e da alma. Isso feito, então, P será cancelada após 
a substituição na equação acima, o que possibilitará 
expressar e simplesmente em função da geometria da 
seção transversal e não em função de P ou de sua loca­
lização ao longo do comprimento da viga (ver Exemplo 
7.9). O ponto O assim localizado é denominado centro 
de cisalhamento ou centro de flexão. Quando P é aplica­
da no centro de cisalhamento, a viga sofrerá flexão sem 
torção, como mostra a Figura 7.23e. Os manuais de pro­
jeto costumam apresentar listas com a localização desse 
ponto para vários tipos de vigas com seções transversais 
de paredes finas comumente utilizadas na prática. 
Ao fazermos essa análise, devemos observar que o 
centi·o de cisalhamento sempre estará localizado sobre 
um eixo de simetria da área da seção transversal de um 
elemento. Por exemplo, se girarmos de 90° o perfil na 
Figura 7.23a e P for aplicada em A (Figura 7.24a), não 
ocorrerá nenhuma torção, visto que o fluxo de cisalha-
menta na alma e nas abas para esse caso é simétrico e 
portanto, as forças resultantes nesses elementos cria� 
rão momentos nulos em torno de A (Figura 7.24b). É 
óbvio que, se um elemento tiver uma seção com dois 
eixos de simetria, como no caso de uma viga de abas 
largas, o centro de cisalhamento coincidirá com a in­
terseção desses eixos (o centroide ) . 
n v =f v =f = 
(b) 
Figura 7.24 
• O centro de cisalhamento é o ponto no qual se pode aplicar uma força que causará a deflexão de uma viga sem pro­
vocar torção. 
• O centro de cisalhamento sempre estará localizado em um eixo de simetria da seção transversal. 
• A localização do centro de cisalhamento é função apenas da geometria da seção transversal e não depende do 
regamento aplicado. 
A localização do centro de cisalhamento para um elemento de paredes finas no qual o cisalhamento interno está 
na mesma direção de um eixo principal do centroide para a seção transversal pode ser determinado pelo procedimen­
to descrito a seguir. 
Resultantes do fluxo de cisalhamento 
" Determine a direção do fluxo de cisalhamento em vários segmentos da seção transversal, faça um rascunho das 
forças resultantes em cada segmento da seção transversal. (Por exemplo, veja a Figura 7.23c.) Visto que o centro de 
cisalhamento é determinado pelo cálculo dos momentos dessas forças resultantes em tomo de um ponto (A), esco­
lha esse ponto em uma localização que elimine os momentos do maior número possível de forças resultantes. 
p, 
I'< 
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 291 
Os valores das forças resultantes que criam um momento em torno de A devem ser calculados. Para qualquer seg­
mento, esse cálculo corresponde à determinação do fluxo de cisalhamento q em um ponto arbitrário no segmento 
e à integração de q ao longo do comprimento do segmento. Observe que V criará uma variação linear do fluxo de 
cisalhamento em segmentos perpendiculares a V e uma variação parabólica do fluxo de cisalhamento em segmentos 
paralelos ou inclinados em relação a V. 
Centro de cisalhamento 
., Some os momentos das resultantes do fluxo de cisalhamento em torno do ponto A e iguale esse momento ao mo­
mento de V em torno de A. A resolução dessa equação permite-nos determinar a distância do braço do momento e, 
que localiza a linha de ação de V em relação a A. 
., Se existir um eixo de simetria para a seção transversal, o centro de cisalhamento encontra-se no ponto onde esse eixo 
intercepta a linha de ação de V. Contudo, se não exixtir nenhum eixo de simetria, gire a seção transversal de 90° e 
repita o processo para obter outra linha de ação para V. Então, o centro de cisalhamento encontra-se no ponto de 
interseção das duas linhas a 90°. 
- ""07!= )0�12>0;&"' "'cd e�BI'll�����i��:�: 0;:i,S ="" JP,;ii;;c ,'iií8) 
Determine a localização do centro de cisalhamento 
para o perfil em U de paredes finas cujas dimensões são 
mostradas na Figura 7.25a. 
SOLUÇÃO 
Resultantes do fluxo de cisalhamento. Um cisalhamen­
to vertical para baixo V aplicado à seção provoca o fluxo de 
cisalhamento pelas abas e alma mostrado na Figura 7.25b, o 
que provoca as forças resultantes Faba e V nas abas e alma, 
como mostra a Figura 7.25c. Os momentos serão calculados 
em torno do ponto A porque, assim, teremos de determinar 
apenas a força Faba na aba inferior. 
A área da seção transversal pode ser dividida em três 
componentes retângulares - uma alma e duas abas. Visto 
que consideramos que cada componente é fino, o momento 
de inércia da área em torno do eixo neutro é 
1 [ (h)2] th2 (h ) I = 12 th3 + 2 bt z = 2 6 + b 
Pela Figura 7 .25d, q na posição arbitrária x é 
VQ V(h/2) [b - x]t q = - = I (th2j2) [ (h/6) + b] 
Por consequência, a força Faba é 
V(b - x) 
h[(h/6) + b] 
lb V {b Vbz 
F;b, == o q dx = h[(h/6) + b] Jo (b - x) dx = 2h[(h/6) + b] 
Esse mesmo resultado também pode ser encontrado deter­
U:inando-se, em primeiro lugar, (qmáx)aba (Figura 7.25b) e, en­
tao, determinando-se a área triangular 112 b(qmáJaba = Faba' 
Centro de cisalhamento. Somando-se os momentos em 
torno do ponto A (Figura 7.25c), exige-se que 
Assim, 
Vb2h V e = F.bah = 2h[(h/6) + b] 
b2 e = -----[(h/3) + 2b] 
Resposta 
Como afirmamos antes, e depende somente da geometria 
da seção transversal. 
(a) 
(c) 
Distribuição do fluxo de cisalhamento 
(b) 
Figma 7.25 
292 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Determine a localização do centro de cisalhamento para 
a cantoneira de abas iguais (Figura 7.26a). Calcule também 
a força de cisalhamento interna resultante em cada aba. 
SOLUÇÃO 
Quando uma força de cisalhamento vertical para baixo V é 
aplicada à seção, as direções do fluxode cisalhamento e das 
resultantes do fluxo de cisalhamento são as mostradas nas 
figuras 7.26b e 7.26c, respectivamente. Observe que a força 
F em cada aba deve ser igual, visto que, para equilíbrio, a 
soma de suas componentes horizontais deve ser igual a zero. 
Além disso, as linhas de ação de ambas as forças interceptam 
(a) 
v 
o . J 
(c) 
Distribuição do fluxo de cisalhamento 
(e) 
Figma 7.26 
(b) 
(d) 
o ponto O; portanto, esse ponto deve ser o centro de cisalha­
mento visto que a soma dos momentos dessas forças e V em 
torno de O é zero (Figura 7.26c). 
O valor de F pode ser encontrado determinando, em pri­
meiro lugar, o fluxo de cisalhamento na localização arbitrá­
ria s ao longo da aba superior (Figura 7.26d). Aqui, 
O momento de inércia da cantoneira, calculado em torno 
do eixo neutro, deve ser determinado pelos "princípios fun­
damentais" , visto que as abas estão inclinadas em relação 
ao eixo neutro. Para o elemento de área dA = t ds (Figura 
7.26e), temos 
Assim, o fluxo de cisalhamento é 
A variação de q é parabólica e atinge um valor má­
ximo quando s = b, como mostra a Figura 7 .26b. A for­
ça F é, portanto, 
OBSERVAÇÃO: Esse resultado pode ser facilmente verifi­
cado, pois a soma das componentes verticais da força F em 
cada aba deve ser igual a V e, como afirmamos antes, a sorna 
das componentes horizontais é nula. 
. . kN , aplicada "7.56. Uma força de c1salhamento V = 18 e 
t , · · - · , · D t · fi d c1'salhamen ° a v1ga-cmxao s1metnca. e ermme o uxo e 
emA e B. 
7,( 
57 A força de cisalhamento V = 18 kN é aplicada à viga-
7' · ·a�o Determine o fluxo de cisalhamento em C. -can< · 
lO mmj 30mm� lO mm� lOOmm 
k 
Problemas 7.56/57 
7.58. O perfil em U é submetido a um cisalhamento V = 75 kN. 
Determine o fluxo de cisalhamento desenvolvido no ponto A. 
7.59. O perfil em U é submetido a um cisalhamento V= 75 kN. 
Determine o fluxo de cisalhamento máximo no perfil. 
A- 30 mm 
200 mm 
/ � r 30mm 
Problemas 7.58/59 
'7.60. A viga suporta um cisalhamento vertical V = 35 kN. 
Determine a força resultante desenvolvida no segmento AB 
da viga. 
��12 mm 
� lj m4 k----+--->�:T'='"""' 
T 
125 mm �L v 
Pt·oblema 7.60 
7.61. A escora de alumínio tem 10 mm de espessura e a 
seção transversal mostrada na figura. Se for submetida a um 
CiSALHAMENTO TRANSVERSAL 293 
cisalhamento V = 150 N, determine o fluxo de cisalhamento 
nos pontos A e B. 
7.62. A escora de alumínio tem 10 mm de espessura e a 
seção transversal mostrada na figura. Se for submetida a um 
cisalhamento V = 150 N, determine o fluxo de cisalhamento 
máximo na escora. 
Problemas 7.61162 
7.63. A cantoneira está sujeita a um cisalhamento V = 10 kN. 
Faça um rascunho da distribuição do fluxo de cisalhamento 
ao longo da aba AB. Indique valores numéricos em todos 
os picos. 
Problema 7.63 
*7.64. A viga está sujeita a uma força de cisalhamento V= 25 kN. 
Determine o fluxo de cisalhamento nos pontos A e B. 
7.65. A viga é composta por quatro chapas e está sujeita a 
uma força de cisalhamento V = 25 kN. Determine o fluxo de 
cisalhamento máximo na seção transversal. 
Problemas 7.64/65 
294 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
7.66. A força de cisalhamento V = 18 kN é aplicada à viga­
-mestra-caixão. Determine a posição d das chapas de reforço 
BE e FG de modo que o fluxo de cisalhamento em A seja 
duas vezes maior do que o fluxo de cisalhamento em B. Use 
as dimensões da linha central para o cálculo. Todas as chapas 
têm 10 mm de espessura. 
Problema 7.66 
7.67. O tubo está sujeito a uma força de cisalhamento 
V = 40 kN. Determine o fluxo de cisalhamento no tubo nos 
pontos A e B. 
Problema 7.67 
*7.68. Determine a localização e do centro de cisalhamen­
to (ponto O) para o elemento de paredes finas com a seção 
transversal mostrada na figura, onde b2 > b1• Os segmentos 
do elemento têm a mesma espessura t. 
Problema 7.68 
7.69. Determine a localização e do centro de cisalhamento 
(ponto O) para o elemento de paredes finas que tem a seção 
transversal mostrada na figura. Os segmentos do elemento 
têm a mesma espessura t. 
Problema 7.69 
7.70. Determine a localização e do centro de cisalhamento 
(ponto O) para o elemento de paredes finas que tem a seção 
transversal mostrada na figura. Os segmentos do elemento 
têm a mesma espessura t. 
Problema 7.70 
7.71. Determine a localização e do centro de cisalhamento 
(ponto O) para o elemento de paredes finas que tem a seção 
transversal mostrada na figura. Os segmentos do elemento 
têm a mesma espessura t. 
Problema 7. 71 
7.72. Determine a localização e do centro de cisalhamento 
(ponto O) para o elemento de paredes finas que tem a seção 
transversal mostrada na figura. Os segmentos do elemento 
têm a mesma espessura t. 
Problema 7. 72 
3 Determine a localização e do centro de cisalhamento 1·�n�o O) para o elemento de paredes finas que tem a seção 
(Jl ersal mostrada na figura. Os segmentos do elemento transv 
a mesma espessura t. 
Problema 7.73 
7.74. Determine a localização e do centro de cisalhamento 
(ponto O) para o elemento de paredes finas que tem a seção 
transversal mostrada na figura. Os segmentos do elemento 
têm a mesma espessura t. 
Problema 7.74 
'1.15. Determine a localização e do centro de cisalhamento 
(ponto O) para o elemento de paredes finas que tem uma 
fenda ao longo de sua lateral. 
f-lüü mm� 
I 
lüü mm 
f-e-
0.,....___ -+ 
lüü mm 
L::==:::::::.J _j_ 
Problema 7.75 
'7.76. Determine a localização e do centro de cisalhamento 
(ponto O) para o elemento de paredes finas que tem uma 
fenda ao longo de sua lateral. Cada elemento tem espessura 
constante t. 
CISALHAMENTO TRANSVERSAL 295 
Problema 7.76 
7.77. Determine a localização e do centro de cisalhamento 
(ponto O) para o elemento de paredes finas que tem a seção 
transversal mostrada na figura. 
a 
O • a , .... �.� ....•. · d) / 
� . 
e 
Problema 7.77 
7.78. Se a cantoneira tiver espessura de 3 mm, altura 
h = 100 mm e for submetida a um cisalhamento V = 50 N, 
determine o fluxo de cisalhamento no ponto A e o fluxo de 
cisalhamento máximo na cantoneira. 
7.79. A cantoneira está sujeita a um cisalhamento V = 10 
kN. Faça um rascunho da distribuição do fluxo de cisalha­
mento ao longo da aba AB. Indique os valores numéricos 
em todos os picos. A espessura é 6 mm, e as abas (AB) têm 
125 mm. 
Problemas 7.78/79 
*7.80. Determine a posição e para a aplicação da força P 
de modo que a viga sofra deflexão para baixo sem torção. 
Considere h = 200 mm. 
7.81. A força P é aplicada à alma da viga como mostra a 
figura. Se e = 250 mm, determine a altura h da aba direita 
de modo que a viga sofra deflexão para baixo sem torção. Os 
segmentos do elemento têm a mesma espessura t. 
296 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
p 
Problemas 7.80/81 
7.82. Determine a localização e do centro de cisalhamento 
(ponto O) para o elemento de paredes finas que tem a seção 
transversal mostrada na figura. 
A tensão de cisalhamento transversal 
em vigas é determinada indiretamente 
pela fórmula da flexão e pela relação 
entre momento e cisalhamento (V = 
dM/dx). O resultado é a fórmula do 
cisalhamento 
VQ 
r = --
It 
Em particular, o valor para Q é o mo­
mento da área A' em torno do eixo 
neutro. Essa área é a porção da área 
da seção transversal "que é mantida" 
em uma viga acima da espessura t 
onde r deve ser determinada. 
Problema 7.82 
7.83. Determine a localização e do centro de cisalhamento 
(ponto O) para o tubo que tem uma fenda ao longo de seu 
comprimento. 
Problema 7.83 
Área = A' 
T 
A 
a viga tiver seção transversal retan­
ular, a distribuição da tensão de ci­=a!hamento será parabólica e atingirá 
valor máximo no eixo neutro. 
Elementos de fixação, colas ou soldas 
são usados para ligar as partes da se­
ção de uma estrutura composta por 
vários elementos. A resistência desses 
elementos de fixação é determinada 
pelo fluxo de cisalhamento, q, ou for­
ça por unidade de comprimento, que 
deve ser sustentado pela viga. 
VQ 
q
= -
I 
Se uma viga tiverseção transversal de 
paredes finas, então o fluxo de cisalha­
mento que passa pela seção transver­
sal poderá ser determinado por 
VQ 
q
= ­
I 
O fluxo de cisalhamento varia linear­
mente ao longo de segmentos hori­
zontais e parabolicamente ao longo de 
segmentos inclinados ou verticais. 
Contanto que a distribuição da tensão 
de cisalhamento em cada elemento de 
uma seção de paredes finas seja co­
nhecida, a localização O do centro de 
cisalhamento para a seção transversal 
poderá ser determinada pelo equilí­
brio de momentos. Quando uma carga 
aplicada ao elemento passar por esse 
ponto, o elemento sofrerá flexão, mas 
não torção. 
CisALHAMENTO TRANSVERSAL 297 
Tmáx v 
Distribuição da tensão de cisalhamento 
A 
Distribuição do fluxo de cisalhamento 
298 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
'7.84. A viga é composta por quatro tábuas pregadas como 
mostra a figura. Determine a força de cisalhamento à qual 
cada prego ao longo dos lados C e da parte superior D deve 
resistir se estiverem uniformemente espaçados de s = 75 mm. 
A viga está sujeita a um cisalhamento V = 22,5 kN. 
Problema 7.84 
25 mrn 
75 mrn 
7.85. A viga é composta por quatro tábuas coladas ao longo 
das linhas de junção. Se a cola puder resistir a 15 kN/m, qual é 
o cisalhamento vertical máximo V que a viga pode suportar? 
7.86. Resolva o Problema 7.85 se a viga sofrer uma rotação 
de 90° em relação à posição mostrada na figura. 
Problemas 7.85/86 
7.87. O elemento está sujeito a uma força de cisalhamento 
V = 2 kN. Determine o fluxo de cisalhamento nos pontos A, B 
e C. A espessura de cada segmento de paredes finas é 15 mm. 
Problema 7.87 
*7.88. O elemento está sujeito a uma força de cisalhamen­
to V = 2 kN. Determine o fluxo de cisalhamento máximo 
no elemento. Todos os segmentos da seção transversal têm 
15 mm de espessura. 
-r­lOO mm 
__L___ 
Problema 7.88 
7.89. A viga é composta por três chapas finas soldadas, 
como mostra a figura. Se for submetida a um cisalhamento 
V = 48 kN, determine o fluxo de cisalhamento nos pontos 
A e B. Calcule também a tensão de cisalhamento máxima 
na viga. 
Problema 7.89 
7.90. Uma chapa de aço com espessura 6 mm é dobrada 
para formar a seção de paredes finas mostrada na figura. Se 
for submetida a uma força de cisalhamento V = 1,25 kN, de­
termine a tensão de cisalhamento nos pontos A e C. Indique 
os resultados nos elementos de volume localizados nesses 
pontos. 
v IL'I1 iJ7l/ 
50;:-m ! · � 
l___ � íc 
l so mm I 50 mm I 
Problema 7.90 
.. � 
91 uma chapa de aço de espessura 6 mm é dobrada para 
"/. ' r a seção de paredes finas mostrada na figura. Se for forma . 
b etida a uma força de c1salhamento V = 1 ,25 kN, deter-su. m
a tensão de cisalhamento no ponto B. m1ne 
l so mm 
Problema 7.91 
'7,92. Determine a localização e do centro de cisalhamento 
(ponto O) para o elemento de paredes finas que tem a seção 
transversal mostrada na figura. 
o 
f--e 
Problema 7.92 
CtSALHAMENTO TRANSVERSAL 299 
7.93. Faça um rascunho da intensidade da distribuição da 
tensão de cisalhamento que age na área da seção transversal 
da viga e determine a força de cisalhamento resultante que 
age no segmento AB. O cisalhamento que age na seção é 
V = 175 kN. Mostre que !NA = 340,82(106) mm4• 
Problema 7.93