Exemplo de Calculo - Muro de Arrimo

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Em janeiro, época de chuva, registrou-se deslizamentos de taludes em 
diversos bairros da periferia de São Paulo. A prefeitua age 
rapidamente e convoca empresas de engenharia geotécnica para 
solucionar os problemas nas áreas que apresentam riscos iminentes 
de deslizamentos. 
 
Foi solicitado à sua empresa solucionar o problema próximo a uma 
favela, cujas casas encontram-se muito próximas aos deslizamentos. 
 
Sabe-se que a área era um bota-fora antes de ser ocupada por favelas 
e que o aterro foi executado sem controle tecnológico. Para agravar a 
situação, o talude em que houve deslizamento foi executado sem 
nenhum tipo de drenagem e tem aproximadamente 10,0 metros de 
altura. 
 
Foi programda e executada uma campanha de sondagens à 
percussão a fim de investigar o subsolo, executar perfis geológico 
geotécnicos (PGG) e coletar amostras. 
 
Com as amostras obtidas nas sondagens, foram realizados ensaios e 
obteve-se os parâmetros geotécnicos necessários para realização do 
projeto. 
 
Em uma reunião com a equipe foi decidido que a melhor solução para 
a situação seria escavar o solo superficial proveniente do 
deslizamento, executar a contenção com muro de gravidade e refazer 
o aterro com drenagem adequada para evitar novos escorregamentos. 
 
A sua participação no projeto envolve determinar os empuxos 
solicitantes no muro e as verificações de estabilidade. Para 
desenvolver seus conheciementos, você decidiu fazer o cálculo dos 
empuxos pelos métodos de Rankine, Coulomb e Culman. 
 
O PGG e a geometria do problema são apresentados a seguir: 
 
 
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88,00
SP-02
3
1
Superfície
Atual
Talude antes
da ruptura
2
da ruptura
Aterro antes
Situação Atual
4
9
5
5
6
3
4
3
12
15
17
18
6,5
4
82,00
9
3,3
5
4
6
5
3
88,00
SP-02
1,0
3
3
1
2
Situação Projetada
Reaterro
12
15
17
18
 
 
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Parâmetros geotécnicos 
Solo  (kN/m³) sat (kN/m³) c (kN/m²)  (º) 
1 Argila siltosa 17,0 18,0 0,5 35 
2 Argila siltosa 18,0 19,0 0,5 35 
3 Areia argilosa 19,0 19,0 3,0 25 
Cálculos e Resultados 
Neste exercício vamos primeiro fazer os cálculos do empuxo pelo 
método de Rankine e as devidas verificações. Depois faremos os 
cálculos do empuxo pelos métodos de Coulomb e Culman. 
 
1. Método de Rankine 
Empuxo Ativo 
Tensões horizontais totais (Ha): 
 
Ha = ’Ha + u 
Onde: 
’Ha - tensão horizontal efetiva devido ao empuxo ativo (EaH) 
u - pressão neutra 
 
u = a . ha 
Onde: 
a - massa específica da água (adotado 10 kN/m³) 
ha - altura de água até o ponto estudado 
 
’Ha = ’V . Ka – 2.c.Ka
1/2 
Onde: 
’V - tensão vertical efetiva 
Ka - coeficiente de empuxo ativo 
c - coesão efetiva 
 
’V = V - u 
Onde: 
V - tensão vertical total 
 
 
 
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V =  . h + q 
Onde: 
 - massa específica do solo 
h - altura de solo até o ponto estudado 
q - tensão devido à sobrecarga 
 
Ka = tg² [45º - ( 2) ] = tg2 (45 - 352)  Ka= 0,27 
Onde: 
 - ângulo de atrito do solo ( º ) 
Como não há sobrecarga, q = 0,0 
 
Ponto 
Va=.h+q 
(kN/m²) 
u=a.ha 
(kN/m²) 
’Va=Va - u 
(kN/m²) 
’H = ’Va x Ka - 2xcxKa
1/2
 
(kN/m²) 
Ha=’H+u 
(kN/m²) 
A 
17x0 + 0,0 
= 0,0 
0,0 0,0 
0,0x0,27 - 2x0,5x0,271/2 
= - 0,52 
0,0 
B 
17x6,5 + 0,0 
= 110,5 
0,0 110,5 
110,5x0,27 - 2x0,5x0,271/2 
= 29,3 
29,3 
 
Diagrama de tensões horizontais totais 
 
As tensões horizontais totais são iguais às efetivas pois como não há 
lençol d’água (furo de sondagem está seco) não tem pressão neutra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,0
3,3
6,5
A
B
Ha
EaH
2,2
29,3 kN/m²
MEaH
G
 
 
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Empuxo ativo por metro linear de muro (EaH) 
 
Sendo: 
EaH = área do diagrama de tensões horizontais totais 
 
Então 
EaH = 29,3 x 6,5  2 = 95,2 kN/m 
 
 
 
Verificação da Estabilidade 
Quanto ao Tombamento 
 
FS = MR  MEaH  3,0 
 
Momento atuante devido ao empuxo ativo (MEaH) 
MEaH = (Ri.di) = R1.d1 + R2.d2 + …….+Rn.dn 
Onde: 
Ri - força resultante em cada trecho  R = EaH 
EaH - empuxo ativo  EaH = 95,2 kN/m (ver página 4) 
di - braço entre a força Ri e o centro de rotação G 
MEaH = 95,2 . 2,2  MEaH = 209,4 kN.m 
 
Momento resistente devido ao peso do muro (MP) 
MP = PM1 . dM1 + PM2 . dM2 
Onde: 
PMi - peso das partes muro 
di - braço entre a força e o centro de rotação G 
concr = 22,0 kN/m
3 - peso específico do concreto (adotado) 
Peso PM1 = Aseção . concr = [(2,3.6,5)2] . 22,0 = 164,5 kN 
Peso PM2 = Aseção . concr = (1,0.6,5) . 22,0 = 143 kN 
MR = MP = 164,5.1,5 + 143.2,8  MR = 647,2 kN.m 
 
 
 
 
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FS= 647,2  209,4 = 3,1 > 3,0  ok, o muro resiste ao tombamento. 
 
Quanto ao Escorregamento 
 
Fator de Segurança (Sem ação do empuxo passivo) 
 
FS = [(PM + PT + EaV) . tg SB]  EaH  1,5 
Onde: 
PM - peso total de muro: PM = PM1 + PM2 (ver página 5) 
PT - Peso de terra sobre a base: neste caso PT = 0,0 
EaV - Componente vertical do empuxo ativo - como o tardoz (parede 
que está em contato com o solo) é vertical e o terrapleno é 
horizontal, EaV = 0,0 
EaH - empuxo ativo  EaH = 95,2 kN/m (ver página 4) 
SB - ângulo de atrito entre a base e o solo: SB=2.3 (adotado) 
 - ângulo de atrito do solo = 35º (obtido pelo ensaio de laboratório) 
 
 (º) SB (º) PT (kN/m) 
PM1 
(kN/m) 
PM2 
(kN/m) 
EaV 
(kN/m) 
EaH 
(kN/m) 
35 23,3 0,0 164,5 143,0 0,0 95,2 
2,8
1,5
PM1
MEaH
G
29,3kN/m²
B
2,2
EaH
PM2
HaA
MP
1,0
 
 
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FS = [(307,5 + 0,0 + 0,0) . tg 23,3]  95,2  FS = 1,4 < 1,5 
 
O FS é menor do que o admissível. Portanto, deve-se encunhar a 
base de forma a aumentar o peso do muro e eventualmente 
considerar a componente horizontal do empuxo passivo (EpH). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os cálculos dos empuxos e as verificações quanto a estabilidade 
deveriam ser refeitos para uma nova geometria de muro. No entanto 
para este exercício adotaremos aceitável o valor de FS. 
Quanto à Ruptura da Fundação 
 
Os valores de max deve atender à seguinte relação: 
 
max  adm 
 
Tensão Admissível (adm) - Com base no NSPT 
 
adm = NSPT (médio)  0,05 
NSPT (médio) = 10 (na cota de assentamento do muro - ver aula de teoria 
de muros de arrimo, página 12/22) 
 
Cota de 
Assentamento 
NSPT(médio) 
adm = NSPT(médio)  0,05 
(kN/m²) 
PM3
PM1
G
EpH
B
EaH
PM2
A
A
B
PM1
PM2
EaH
EpH
G
PM3
 
 
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82,00 10 200,0 
 
Tensão Solicitante na base do muro (max e min) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = Nb  ( 6 . M  b²) 
 
Onde: 
 - tensão máxima ou mínima 
N- peso total 
b - largura da base do muro 
M - momento resultante no CG da base do muro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PM2
MP
CG
PM1
B
A
1,150,12
CG
N
Mr

max
min
b
 
 
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Momento de rotação (Mr) 
Mr = Ma - MP 
Onde: 
Mr - Momento resultante no centro geométrico (CG) da base do muro 
 
Ma - momento devido as componentes do empuxo ativo em relação ao 
centro geométrico (CG) da base do muroMa = MEaH = 209,4 kN.m 
(ver página 5/18) 
 
MP - momento devido ao peso do muro em relação ao centro 
geométrico (CG) da base. 
 
Sendo: 
 
MP=PM1.dM1 + PM2.dM2 = -164,5.0,12 + 143.1,15  MP = 144,7 kN.m 
 
Então: 
 
Mr = Ma - MP = 209,4 - 144,7  Mr = 64,7 kN.m 
 
Peso total no CG da base do muro (N) 
 
N= PM1 + PM2 
 
N= PM1 + PM2 = 164,5 + 143  N = 307,5 kN 
 
 
Sendo: 
 = Nb  ( 6 . M  b²) 
 
Então: 
máx = (307,5  3,3) + (6 . 64,7  3,3)  máx = 210,8 kN/m
2 
 
min = (307,5  3,3) - (6 . 64,7  3,3)  min = -24,5 kN/m
2 
 
 
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Como máx < adm  ok! 
 
Conclusão: A geometria adotada para o muro de gravidade é 
suficiente para a contenção do maciço de solo. 
 
Para efeito deste exercício não efetuaremos a verificação da 
estabilidade global que será estudada na aula de estabilidade de 
taludes. 
 
 
 
2. Método de Coulomb (para solos não coesivos) 
 
Empuxo Ativo (Ea) 
Ea = Pa = ( . H2 . Ka) 2 
Onde: 
Pa - empuxo ativo resistido pelo muro 
 - peso específico do solo na seção de ruptura 
Ka - coeficiente de empuxo ativo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
H 


90-

B

F

A
C
90 
PA
W
Terrapleno
Tardoz
PA = EA
W=P
F=R
Polígono de Forças
Ha =  . H . ka
 
 
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Onde: 
w - peso da cunha 
F - reação do maciço, formando um ângulo  com a normal à linha do 
plano de ruptura BC 
PA - empuxo ativo resistido pelo muro. 
 - ângulo entre a normal do tardoz e o empuxo ativo 
segundo terzaghi /3    2/3 
 - inclinação do tardoz 
H - altura do muro 
AB - parede do muro 
 
 
 
 
 
Para o muro de arrimo do exercício acima (pág. 2/18) temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ka = 
cos² (
cos² cos ( 
sen(+).sen(-
cos(+).cos(-
1 + 
2
6,5
82,00
3,3
1,0
1
Pa


F ou força resistente
Situação Projetada 
Ka = 
cos² (
cos² cos ( 
sen(+).sen(-
cos(+).cos(-
1 + 
2
 
 
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Adotando-se =/3   = 35/3 = 11,7º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ka = 0,25 
Empuxo ativo resistido pelo muro (Pa): 
 
Pa = ( . H2 . Ka) 2 = (17,0 . 6,52 . 0,25)2  Pa = 89,8 kN/m 
 
Como: Ea = Pa 
 
Então: Ea = 89,8 kN/m 
 
Componentes horizontais e verticais do empuxo ativo: 
Se  = 11,7º então: 
 
 
 
 
 
 
Ka = 
1 + 
cos² (35
2
cos² 0cos( 11,7
sen(+5).sen(35-0)
cos(11,7+0).cos(0-0
Ka = 
0,67
2
1 + 0,98
0,42
0,98
 
 
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EaH = Ea . cos  = 89,8.cos 11,7  EaH = 87,9 kN/m 
 
EaV = Ea . sen  = 89,8. sen 11,7  EaV = 18,2 kN/m 
 
Comparando o empuxo EaH, calculado pelo método de Rankine e pelo 
método de Coulomb, nota-se uma diferença de 7,3 kN/m (ou seja, 
aproximadamente 8%). 
 
Sempre haverá uma dispersão de valores entre os diferentes métodos. 
Não podemos esquecer também que esta diferença provém dos 
arredondamentos feitos nos cálculos e da relação adotada para  (/3 
   2/3). 
 
Oberve também que o solo do terrapleno apresenta coesão pequena. 
Lembre-se que o método de Coulomb vale para solos não coesivos. 
 
 
 
 
 

EaV
Pa
Ea
EaH
 
 
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3. Método de Culman 
 
Empuxo Ativo (Ea) 
 
Método gráfico (polígono de forças) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 - ângulo entre a normal da parede do muro e o empuxo ativo 
 = /3 (adotado)   = 35º/3   = 11,7º 
 - ângulo de atrito do solo   = 35º (ver página 2) 
 - inclinação da cunha de ruptura 
Pa - empuxo ativo resistido pelo muro 
Ea - empuxo ativo 
P = W - peso de solo na cunha de ruptura 
T - força de aderência  T = 0,0 (adotado) 
S - força de coesão 
R - força de atrito 
 


6,5
Pa
Ea
T
S
R

P=W
 
 
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Neste método, são feitas várias tentativas dos valores de  escolhidos 
arbitrariamente, até que se obtenha o maior valor de Ea. 
 
 
 
Adotar um valor de : 
- 1 = 50º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Peso das cunhas de ruptura (W) 
 
P= W =  . área da seção da cunha de ruptura 
Onde: 
 - peso específico do solo   = 17,0 kN/m³ (ver página 2) 
PABC = 17,0 . (5,5 . 6,5  2)  PABC = 303,9 kN/m 
 
Força de coesão (S) 
 
6,5
=35º1=50º
Pa
T
B
R
5,5
A
SP=W
C
L = 8,5
=11,7º
 
 
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S = c . L 
Onde: 
c - coesão (ver página 2) 
L - comprimento da linha de ruptura 
S = 0,5 . 8,5  S = 4,25 kN/m  desprezível em relação à PABC 
 
 
 
 
Polígono de forças: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P é conhecido  P = 303,9 kN/m 
 
Se colocarmos P em alguma escala definida podemos extrair Pa 
graficamente. 
 
Então, medindo o comprimento das linhas Pa, no polígono de forças 
temos: 
6,5
=35º
1=50º
Ea=Pa
T
B
R
5,5
A
SP=W
C
=11,7º
R
Pa=Ea
P
 
 
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Pa = 78,7 kN/m 
 
Agora temos que repetir o método gráfico para vários valores de , até 
acharmos o maior valor de Pa, que corresponderá ao EaH. 
 
 
 
Adotaremos agora outro valor de : 
- 2 = 40º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Peso das cunhas de ruptura (P) 
P =  . área  PABD = 17,0 . (7,8 . 6,5  2)  PABD = 430,9 kN/m 
Força de coesão (S) 
S = c . L  S = 0,5 . 10,1  S = 5,05 kN/m  desprezível 
Do polígono de forças: 
Pa = 38,4 kN/m 
 
Adotaremos agora outro valor de : 
- 3 = 60º 
 
 
 
 
 
 
 
6,5
=35º2=40º
Pa
T
B
R
7,8
A
S
P=W
D
L=10,1
PR
Pa=Ea
=11,7º
 
 
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Peso das cunhas de ruptura (P) 
P =  . área  PABE = 17,0 . (3,8 . 6,5  2)  PABE = 210,0 kN/m 
Força de coesão (S) 
S = c . L  S = 0,5 .7,8  S = 3,9 kN/m  desprezível 
Do polígono de forças: 
Pa = 90,0 kN/m 
 
Das 3 cunhas estudas, adaota-se a de maior valor do empuxo. 
Agora apenas para efeito de conhecimento, vamos aumentar o valor 
da coesão de tal forma de o valor de S aumente: 
 
T - aderência  T = 4,0 kN/m² (adotado) 
 = 60º (adotado) 
Onde: T é parcela da força de coesão (S) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6,5
3=60º
Pa
T
B
R
3,8
A
S
P=W
E
=35º
P
R
Pa
L=7,5
=11,7º
 
 
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Peso das cunhas de ruptura (P) 
P =  . área  PABE = 17,0 . (3,8 . 6,5  2)  PABE = 210,0 kN/m 
 
Força de coesão (S) 
S = c . L 
Onde: 
c - coesão c = 5,0 kN/m² (adotado) 
L - compromento da linha de ruptura 
S = 5,0 . 7,5  S = 37,5 kN/m 
Do polígono de forças: 
Pa = 54,9 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
6,5
3=60º
Pa
T
B
R
3,8
A
S
P=W
E
=35º L=7,5
P-T=206
Pa
R
S
=11,7º
R
S
Pa
P-T=206