Números Hipercomplexos 3D [Gentil Lopes]

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Algumas Pérolas
“Nenhuma produção de ordem superior, nenhuma invenção jamais procedeu do
homem, mas emanou de uma fonte ultraterrena. Portanto, o homem deveria
considerá-la um dom inspirado do Alto e aceitá-la com gratidão e veneração.
Nestas circunstâncias, o homem é somente o instrumento de uma Potência Su-
perior, semelhante a um vaso julgado digno de receber um conteúdo divino”.
Goethe
“O gênio, porque sabe encontrar relações novas entre as coisas, revela-nos novas
harmonias e nos aproximam do pensamento de Deus.” E = m · c2
Pietro Ubaldi
“Sois de tal modo levados a vos tomar por tipos do Universo, que credes sempre
que fora do vosso mundo não há mais nada. Pareceis verdadeiramente com
esses selvagens que nunca sáıram de sua ilha e crêem que o mundo não vai mais
longe”.
O Livro dos Médiuns
“Apenas aqueles que pensam por metades se tornam ateus, aqueles que se
aprofundam em seus pensamentos e vêem as maravilhosas relações entre as leis
universais reconhecem um poder criador”.
Max Planck
“Um conceito é um estado vibratório individualizado e delicad́ıssimo que,
uma vez perdido, não mais se acha nem com a lógica e muito menos com a
vontade, não retornando senão quando excitado por uma conexão de idéias, isto
é, por uma nova passagem próxima num estado vibratório afim”.
Pietro Ubaldi/As Noúres
“. . . O matemático, como o pintor ou poeta, é um desenhista. Se os seus
desenhos são mais duradouros que os deles, é porque são feitos com idéias”.
G.H. Hardy
“A fusão entre fé e ciência, tão auspiciada, já se completou em meu esṕırito:
visão única na substância e de uma a outra eu passo unicamente por uma
mudança de perspectiva visual ou de focalização de meus centros pśıquicos
”. Pietro Ubaldi/As Noúres
“Não se pode imaginar que tenacidade de resistência, que massa de inércia re-
presenta o homem médio, justamente o que impõe as normas da vida social”.
Pietro Ubaldi/As Noúres
“O fenômeno baseia-se na sintonização pśıquica e a mente do observador,
se não afasta com suas emanações um objeto do microscópio, nem influencia
um fenômeno f́ısico ou qúımico, pode paralisar, todavia, o funcionamento de
um fenômeno psiqúıco. O fenômeno tem suas defesas e se retira em face da
ameaça à sua vitalidade e, então, a ciência não consegue a observação, e sim, a
destruição”.
Pietro Ubaldi/As Noúres
“Para poder avançar na investigação cient́ıfica e ver no ı́ntimo das coisas, é
indispensável a sutilização do instrumento de pesquisa - a consciência”.
Pietro Ubaldi/As Noúres
2
Números Hipercomplexos− 3D
(Uma Nova Generalização dos Números Complexos )
Gentil Lopes da Silva∗
18 de maio de 2007
∗www.dmat.ufrr.br/∼ gentil ∴ gentil.silva@gmail.com
Sumário
1 Os Números Hipercomplexos 7
1.1 Definição: Números Hipercomplexos . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Propriedades das operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Imersão de C em H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Imersão de H − 2D em H − 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Forma algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1 Unidade imaginária/Unidade hiperimaginária . . . . . . . 21
1.7 Forma trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7.1 Representação gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.8 Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.9 Forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.9.1 Interpretação geométrica da multiplicação hipercomplexa 45
1.10 Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2 Equações 83
2.1 Resolução da equação a · w = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.1.1 Resolução da equação b · w = a . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.1.2 Resolução da equação a · w−1 = b . . . . . . . . . . . . . . 90
2.1.3 Resolução da equação b · w−1 = a . . . . . . . . . . . . . . 92
2.2 Resolução da equação a · w2 = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.2.1 Algoritimo para extração de ráızes quadradas . . . . . . . 113
3 Funções Hipercomplexas de Argumentos Hipercomplexos 117
3.1 Generalização da fórmula de Euler (26.01.07 ) . . . . . . . . . . . 117
3.2 Generalização de funções complexas elementares . . . . . 119
3.2.1 Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.2.2 Funções trigonométricas com argumentos hipercomplexos . . . 124
4 Aplicações 133
4.1 Computação Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2 Robótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.3 Um Desafio Dirigido aos Matemáticos do Planeta Terra . . . . . . . . 135
Apêndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
• Da impossibilidade de uma multiplicação no R3 . . . . . . . . . 140
• Programa para multiplicar hipercomplexos . . . . . . . . . . . 141
• Programa para transformar coordenadas retangulares em polares . . 147
3
O Homem e a Eternidade
Aproveito esta oportunidade para resumir minha concepção a respeito
da relação entre Deus e o homem.
Algumas pessoas questionam se existe um limite para o homem (até onde
o homem pode crescer-evoluir- ou avançar) ou qual a natureza do homem.
A relação entre Deus e o homem pode ser entendida, parcialmente, pelo
gráfico abaixo:
-
6
0
t
h(t)
D
q -
6
0
t
h(t)
D
q
D−ε
D+ε
δ
“O homem é uma função do tempo e tem em Deus uma asśıntota”
Assim como o gráfico aproxima-se indefinidamente de sua asśıntota,
sem nunca tocá-la, da mesma forma o homem terá a eternidade para aproximar-
se de Deus, sem nunca tocá-lo, digo, jamais será igual a Deus.
Podemos resumir isto na fórmula:
lim
t→∞
h(t) = D
Esta equação encerra o seguinte significado: Dado, arbitrariamente, um
número ε > 0, existe um δ > 0 de tal modo que
∣
∣h(t) − D
∣
∣ < ε, sempre que
t > δ.
Traduzindo: Fixada uma distância qualquer (ε) de Deus, sempre vai existir
um instante no tempo (δ) a partir do qual a distância do homem a Deus será
menor que aquela distância fixada.
Observe que o gráfico não parte do zero (origem), isto se deve ao fato do
homem possuir natureza divina.
Então Jesus afirmou:
− Na Lei de voces está escrito que Deus disse: “Voces são deuses”.(João, 10 : 34)
Ainda no gráfico observamos que Deus é uma função constante do tempo,
em outras palavras, é imutável.
Cada homem individualmente encontra-se sobre algum ponto do gráfico
(falando em termos evolutivos).
Agora levando em conta o conjunto dos Esṕıritos (isto é, não somente o
homem, como também outros seres) podemos dizer que Deus é um ponto de acu-
mulação para este conjunto. Isto é: a qualquer distância de Deus, encontramos
um Esṕırito.
Prefácio
Neste trabalho construimos um sistema numérico sobre o R3: os números
Hipercomplexos−3D (uma nova generalização dos números Complexos).
Notação: H, ou ainda, H − 3D.
Nosso escopo, com este trabalho, é trazer à baila o tema números tridi-
mensionais.
O matemático irlandês William Rowan Hamilton (1805-1865) ([2]) ao per-
ceber que os números complexos poderiam ser representados por pontos no
plano, isto é, por pares ordenados (x, y) de números reais, teve a idéia de gene-
ralizá-los para pontos no espaço a três dimensões. Isto é, para ternos ordenados
(x, y, z). Por nada menos que dez anos Hamilton procurou pelos números na
terceira dimensão sem lograr sucesso.
O que significa procurar por estes números? Eles, por acaso, estariam
perdidos em algum recanto da natureza? Certamente que não; o homem − à
semelhança de Deus − também tem o poder de crear; e foi isto o que Hamilton
intentou.
E como se crea um conjunto numérico?
Respondemos: Definindo uma soma e uma multiplicação∗. Por exemplo:Números Complexos:
{
(a, b) + (c, d) = (a + b, c + d)
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
pronto! estão criados os números complexos. Portanto, o que Hamilton procu-
rou foi definir uma soma e uma multiplicação de ternos ordenados.
A soma nunca apresentou problemas, é fácil, veja
Números 3 −D :
{
(a, b, c) + (d, e, f) = (a + d, b + e, c + f)
(a, b, c) · (d, e, f) = ( ?, ?, ?)
O que Hamilton desejou foi preencher as três interrogações acima.
Posteriormente ficou provada a impossibilidade de uma tal multiplicação.
No apêndice (pág. 140) reproduzimos esta prova tal como comparece em [3].
Acontece que, para a prova de uma tal impossibilidade, assume-se a hipótese
de que a multiplicação deve ser associativa e distributiva.
Podemos ignorar uma prova matemática. Isto mesmo, um teorema não
encerra uma verdade absoluta no momento em que, não aceitando sua hipótese,
estamos desobrigados de aceitar sua tese.
Em resumo: para nós que não exigimos, da multiplicação, as propriedades
citadas anteriormente, os números tridimensionais são uma realidade.
De outro modo: Hamilton tentou preservar propriedades algébricas (da
multiplicação) e malogrou. Nós, a priori, preservamos uma única propriedade;
não algébrica, mas sim geométrica: a rotação, e tivemos mais sorte.
Ademais justificaremos, com razões geométricas (ou ainda, “razões
intŕınsecas”), porque o “natural” é que em três dimensões (isto é, no R3) a
multiplicação não seja nem associativa e nem distributiva. Por exemplo, o -
clássico - problema:
∗Existem condições adicionais sobre estas operações. Condições intŕınsecas e extŕınsecas,
diriamos. A mais importante, dentre estas últimas, - assim cremos - é que resultem de utilidade
nas ciências.
6
“separar o número 10 em duas partes tais que o produto destas seja 40.”,
o qual se traduz na resolução do sistema,
{
x + y = 10
x · y = 40
como se sabe, em R não possui solução, em C possui uma única solução; nos
hipercomplexos ( H − 3D ), como mostraremos, este problema possui infinitas
soluções; isto se deve a razões intŕınsecas ao espaço R3 (quero dizer: por dis-
pormos de uma dimensão a mais que no R2), isto não poderia acontecer se a
multiplicação fosse associativa e distributiva.
Há de se assinalar, todavia, a existência de problemas insolúveis no corpo
complexo C e com solução em H, por exemplo o (simples) sistema a seguir
x + y = 0
(−1 · x − y) · y = 2
Acontece que, como diz o velho adágio popular, “onde passa um boi, passa
uma boiada” , quero dizer: se existe um problema insolúvel em C - e com solução
em H - então pode existir uma infinidade de tais problemas.
Em nosso contexto, generalizamos a equação de Euler: eiy = cos y+i sen y,
para o R3, assim:
eiy+jz = cos y cos z + i sen y cos z + j sen z
onde, i = (0, 1, 0) e j = (0, 0, 1). Por exemplo, e(i+j)π = e(i−j)π = 1.
Conseguimos também colocar argumentos hipercomplexos nas funções tri-
gonométricas, por exemplo,
sen
(
π
2 ,
π
4 ,
π
6
)
= 14
[
(e
π
4 + e−
π
4 )
√
3 − j (eπ4 − e−π4 )
]
Quanto à primeira das propriedades em questionamento, como se sabe,
existem álgebras não associativas; quanto a álgebras não-distributivas estas po-
derão ter interêsse para a ciência, vejamos a seguinte citação ( [4], pág. 167 ):
“No tocante aos sistemas quânticos, tudo muda de figura. . . Procedendo-se
analogamente ao caso clássico, o reticulado a que se chega, conforme Birkhoff e
Von Neuman, não é a álgebra de Boole, porém um reticulado não distributivo;”.
Mais á frente (pág. 169):
“Ele observa, seguindo a trilha de Birkhoff e Von Neuman, que o reticu-
lado das proposições da mecânica quântica não é distributivo. Mas, em vez de
considerar as operações definidas entre as proposições do reticulado como novas
operações que se superporiam aos conectivos clássicos, trata de mostrar que a
posição mais sensata é a de se aceitar tais operações como as operações de uma
nova lógica proposicional, não distributiva, a qual, ao ser aplicada a proposições
relativas a fenômenos macroscópicos, recai na lógica clássica.”
Ficaremos gratos a cŕıticas e/ou sugestões.
Minha gratidão maior ao bom Deus, por ter me concedido gestar e dar à luz
este trabalho. Isto é, assentar este tijolinho em sua magnânima obra.
Gentil Lopes da Silva.
Boa Vista-RR, 02 de maio de 2007.
Caṕıtulo 1
Os Números
Hipercomplexos
“Dizendo isso, gritou bem forte:
‘Lázaro, saia para fora!’ O morto
saiu. Tinha os braços e as pernas
amarrados. . . Jesus disse aos pre-
sentes: ‘Desamarrem e deixem que
ele ande’.” Jo. (43 − 44 )
Introdução: Diferença entre conjunto e estrutura
Em matemática são freqüentes conjuntos munidos de uma ou mais operações,
que gozam de certas propriedades. Esses conjuntos com tais operações e respec-
tivas propriedades constituem aquilo que denominamos estruturas algébricas.
Primeiramente observamos que quando nos referimos - na maioria das ve-
zes - aos “conjuntos numéricos” Z, R, C, por exemplo; estamos nos referindo, a
estes conjuntos com suas respectivas operações, isto é, às estruturas (Z, +, ·),
(R, +, ·), etc. Em função do exposto sugerimos a seguinte notação:
R =conjunto dos números reais; R =sistema dos números reais
C =conjunto dos números complexos; C =sistema dos números complexos
Observe que, de acordo com nossa convenção, C = R2 e C =
(
R2, +, · )
Definição 1 (Número). Um “elemento” de um conjunto continuará a ser cha-
mado de elemento; agora, ao construirmos uma estrutura algébrica sobre este
conjunto, este elemento terá adquirido o status de número. Por exemplo, 1 é
um elemento do conjunto dos naturais N = {1, 2, 3, . . .} enquanto que 1 é um
número da estrutura N =
(
N, +, ·
)
.
Continuaremos a usar o śımbolo de pertinência (∈ ) tanto de elemento
para conjunto quanto de número para estrutura. Por exemplo,
1 ∈ N, 1 ∈ N
No primeiro caso 1 é um reles elemento do conjunto dos naturais; enquanto
no segundo caso, 1 terá adquirido o status de número do sistema numérico dos
naturais.
7
8
1.1 Definição: Números Hipercomplexos
Seja R o conjunto dos números reais. Consideremos o produto cartesiano
R × R × R = R3:
R3 =
{
(x, y, z) : x, y, z ∈ R
}
Vamos tomar dois elementos, (a1 , b1 , c1) e (a2 , b2 , c2), de R
3, para
dar três definições:
( i ) Igualdade: dois ternos ordenados são iguais se, e somente se, ocorre o se-
guinte:
(a
1
, b
1
, c
1
) = (a
2
, b
2
, c
2
) ⇔ a
1
= a
2
, b
1
= b
2
, e c
1
= c
2
.
( ii ) Adição: chama-se adição de dois ternos ordenados a um novo terno orde-
nado, obtido da seguinte forma:
(a1 , b1 , c1) + (a2 , b2 , c2) = (a1 + a2 , b1 + b2 , c1 + c2)
( iii ) Multiplicação: chama-se multiplicação de dois ternos ordenados a um novo
terno ordenado, obtido da seguinte forma:
(a
1
, b
1
, c
1
) · (a
2
, b
2
, c
2
) =
(−c1 · c2 , 0, 0), se r1 = 0 e r2 = 0 (D1)
(−c1 · c2 · a2
r2
, −c1 · c2 · b2
r2
, c1 · r2), se r1 = 0 e r2 6= 0 (D2)
(−c1 · c2 · a1
r1
, −c1 · c2 · b1
r1
, c2 · r1), se r
1
6= 0 e r
2
= 0 (D
3
)
(
(a1 · a2 − b1 · b2)γ, (a1 · b2 + a2 · b1)γ, c1 · r2 + c2 · r1
)
, se r1 6= 0 e r2 6= 0 (D4)



Onde,
r
1
=
√
a2
1
+ b2
1
, r
2
=
√
a2
2
+ b2
2
e γ = 1 − c1 · c2
r
1
· r
2
Observe que,
r =
√
a2 + b2 = 0 ⇒ a2+b2 = 0 ⇒ a2 = −b2 ⇒ a = b = 0; porquanto, a, b ∈ R.
Nota: Já neste momento observe que se tomarmos c
1
= c
2
= 0 estamos de volta
aos complexos C.
Nota: Na pág. 141 mostramos um programa para multiplicar dois hipercom-
plexos.
Definição 2 (Números hipercomplexos). Chama-se sistema dos números hiper-
complexos, e representamos por H, ao sistema dos ternos ordenados de números
reais para os quais estão definidas a igualdade, a adição e a multiplicação con-
forme o ı́tem acima.
Gentil 9
Representaremos cada elemento genérico (x, y, z) ∈ H com o śımbolo w,
portanto:
w ∈ H ⇔ w = (x, y, z) ∈ (R3,+, ·)
Exemplos:
1o ) Dados w
1
= (1, 2, 3) e w
2
= (2, 0, 0), calcule: w
1
+ w
2
, w
1
· w
2
e w2
1
.
Solução: Temos,
( i ) w
1
+ w
2
= (1, 2, 3) + (2, 0, 0) = (1 + 2, 2 + 0, 3 + 0) = (3, 2, 3).
( ii ) w
1
· w
2
= (1, 2, 3) · (2, 0, 0). Então,
r1 =
√
12 + 22 =
√
5, r2 =
√
22 + 02 = 2, γ = 1 − 3 · 0√
5 · 2
= 1,
como r
1
6= 0 e r
2
6= 0, calculamos o produto em (D
4
), assim:
w1 · w2 =
(
(1 · 2 − 2 · 0) · 1, (1 · 0 + 2 · 2) · 1, 3 · 2 + 0 ·
√
5
)
= (2, 4, 6).
( iii ) w2
1
= w
1
· w
1
= (1, 2, 3) · (1, 2, 3). Então,
r
1
= r
2
=
√
12 + 22 =
√
5, γ = 1 − 3 · 3√
5 ·
√
5
=
−4
5
,
como r1 = r2 6= 0, calculamos o produto em (D4), assim:
w2
1
=
(
(1·1−2·2)·(−4/5), (1·2+2·1)·(−4/5), 3·
√
5+3·
√
5
)
=
( 12
5
,
−16
5
, 6
√
5
)
2o ) Dados w
1
= (−1, 0, 0) e w
2
= (0, 0, 1), calcule: w
1
+w
2
, w
1
·w
2
e w2
2
.
Solução: Temos,
( i ) w
1
+ w
2
= (−1, 0, 0) + (0, 0, 1) = (−1 + 0, 0 + 0, 0 + 1) = (−1, 0, 1).
( ii ) w
1
· w
2
= (−1, 0, 0) · (0, 0, 1). Então,
r
1
=
√
(−1)2 + 02 = 1, r
2
=
√
02 + 02 = 0,
como r
1
6= 0 e r
2
= 0, calculamos o produto em (D
3
), assim:
(−1, 0, 0) · (0, 0, 1) =
(
− 0 · 1 · 0
1
, −0 · 1 · 0
1
, 1 · 1
)
= (0, 0, 1).
( iii ) w2
2
= w
2
· w
2
= (0, 0, 1) · (0, 0, 1). Então,
r
1
= r
2
=
√
02 + 02 = 0,
como r
1
= r
2
= 0, calculamos o produto em (D
1
), assim:
(0, 0, 1) · (0, 0, 1) = (−1 · 1, 0, 0) = (−1, 0, 0).
3o ) Dados w
1
= (4, 3, 2) e w
2
= (6, 7, 8), calcule w de modo que w
1
+ w = w
2
.
Solução: Tomemos w = (x, y, z), então,
10
w
1
+w = w
2
⇒ (4, 3, 2)+(x, y, z) = (6, 7, 8) ⇒



4 + x = 6,
3 + y = 7,
2 + z = 8.
⇒



x = 2,
y = 4,
z = 6.
Portanto, w = (2, 4, 6).
4o ) Dados w
1
= (1, −1, 2) e w
2
= (1, 0, 3), calcule w de modo que w
1
·w = w
2
.
Solução: Tomemos w = (x, y, z), então,
w
1
· w = w
2
⇒ (1, −1, 2) · (x, y, z) = (1, 0, 3),
temos,
r
1
=
√
12 + (−1)2 =
√
2, r
2
=
√
x2 + y2,
temos dois casos a considerar,
( i ) r
2
=
√
x2 + y2 = 0, isto é, x = y = 0. Neste caso calculamos o produto
em (D3), assim:
(1, −1, 2) · (0, 0, z) =
(
− 2 · z · 0√
2
, −2 · z · (−1)√
2
, z ·
√
2
)
Então,
(0, z ·
√
2, z
√
2) = (1, 0, 3) ⇒



0 = 1,
z ·
√
2 = 0,
z ·
√
2 = 3.
Isto significa que não existe um número hipercomplexo w = (x, y, z), com
x = y = 0, satisfazendo a condição dada; logo este primeiro caso pode ser
ignorado.
( ii ) r
2
=
√
x2 + y2 6= 0. Neste caso calculamos o produto em (D
4
), assim:
(1, −1, 2) · (x, y, z) =
(
(1 · x− (−1) · y) · γ, (1 · y − x · (−1)) · γ, 2 · r
2
+ z ·
√
2
)
onde, γ = 1 − 2z√
2 r
2
= 1 −
√
2 z
r
2
. Igualando este produto a (1, 0, 3), obtemos



(x + y) ·
(
1 −
√
2 z
r
2
)
= 1 (1.1)
(−x + y) ·
(
1 −
√
2 z
r
2
)
= 0 (1.2)
2 r
2
+
√
2 · z = 3 (1.3)
De (1.3), temos: 1 −
√
2 z
r
2
= 3
(
1 − 1r2
)
, substituindo em (1.1) e (1.2),
Gentil 11
obtemos
(x + y) · 3
(
1 − 1
r
2
)
= 1 (1.4)
(−x + y) · 3
(
1 − 1
r
2
)
= 0 (1.5)
De (1.4) concluimos que
(
1− 1
r
2
)
6= 0, então dividindo (1.5) por 3
(
1− 1
r
2
)
,
obtemos: −x + y = 0, ou ainda, x = y. Substituindo este resultado em (1.4),
resulta:
(x + x) · 3
(
1 − 1√
x2 + x2
)
= 1 ⇒ x ·
(
1 − 1√
2 · |x|
)
=
1
6
Temos dois casos a considerar:
a) x > 0 (|x| = x). Sendo assim, resulta,
x ·
(
1 − 1√
2 · x
)
=
1
6
⇒ x = 1 + 3
√
2
6
= y
b) x < 0 (|x| = −x). Sendo assim, resulta,
x ·
(
1 − 1√
2 · (−x)
)
=
1
6
⇒ x = 1 − 3
√
2
6
= y
Da equação (1.3) tiramos,
z =
3 − 2 r
2√
2
=
3√
2
− 2 |x|
portanto,
z =
3√
2
− 2
∣
∣
∣
1 + 3
√
2
6
∣
∣
∣ =
−2 + 3
√
2
6
e
z′ =
3√
2
− 2
∣
∣
∣
1 − 3
√
2
6
∣
∣
∣ =
2 + 3
√
2
6
Sendo assim temos dois números que satisfazem a equação w
1
· w = w
2
, quais
sejam:
w =
( 1 + 3
√
2
6
,
1 + 3
√
2
6
,
−2 + 3
√
2
6
)
e
w′ =
( 1 − 3
√
2
6
,
1 − 3
√
2
6
,
2 + 3
√
2
6
)
Observe que a equação w
1
· w = w
2
poderia, alternativamente, ter sido
escrita como, a · x = b, com a = (1, −1, 2) e b = (1, 0, 3). Conclusão: em H,
diferentemente do que ocorre em R ou C, uma equação do 1o grau pode ter
duas soluções.
12
1.2 Propriedades das operações
Proposição 1. A operação de adição define em H uma estrutura de grupo co-
mutativo, isto é, verifica as seguintes propriedades:
A1) Propriedade associativa;
A2) propriedade comutativa;
A3) existência do elemento neutro;
A4) existência do elemento simétrico (ou oposto).
Prova: Deixamos como exerćıcio. �
Apenas observamos que, 0 = (0, 0, 0) é o elemento neutro para a adição.
Dado w = (x, y, z) temos que −w = (−x, −y, −z) é o seu oposto aditivo, isto
é,
w + (−w) = 0.
Subtração
Decorre da proposição anterior que, dados os hipercomplexos w
1
= (a
1
, b
1
, c
1
)
e w2 = (a2 , b2 , c2) existe um único w ∈ H tal que w1 + w = w2 . Esse número
w é chamado diferença entre w
2
e w
1
e indicado por w
2
− w
1
.
Proposição 2. A operação de multiplicação em H verifica as seguintes propri-
edades:
M1) Propriedade comutativa;
M2) não associativa;
M3) existência do elemento neutro;
M4) existência do elemento inverso;
M5) não distributiva em relação à adição.
Prova: M1) Propriedade comutativa.
Dados w1 = (a1 , b1 , c1) e w2 = (a2 , b2 , c2) em H, devemos mostrar que
w
1
· w
2
= w
2
· w
1
. De acordo com a definição de multiplicação temos quatro
casos a considerar:
( 1 ) r
1
= 0 e r
2
= 0 (D
1
). Nesta situação, temos:
w1 · w2 = (0, 0, c1) · (0, 0, c2) = (−c1 · c2 , 0, 0)
= (−c2 · c1 , 0, 0) = (0, 0, c2) · (0, 0, c1) = w2 · w1 .
( 2 ) r
1
= 0 e r
2
6= 0 (D
2
). Nesta situação, temos:
w
1
· w
2
= (0, 0, c
1
) · (a
2
, b
2
, c
2
) =
(
− c1 · c2 · a2
r
2
, −c1 · c2 · b2
r
2
, c
1
· r
2
)
=
(
− c2 · c1 · a2√
a2
2
+ b2
2
, −c2 · c1 · b2√
a2
2
+ b2
2
, c
1
·
√
a2
2
+ b2
2
)
= (a
2
, b
2
, c
2
) · (0, 0, c
1
) = w
2
· w
1
.
(D
3
)
Gentil 13
( 3 ) r1 6= 0 e r2 = 0. Análogo ao caso ( 2 ).
( 4 ) r
1
6= 0 e r
2
6= 0 (D
4
). Nesta situação, temos:
w1 · w2 =
(
(a1 · a2 − b1 · b2)γ, (a1 · b2 + a2 · b1)γ, c1 · r2 + c2 · r1
)
=
(
(a
2
· a
1
− b
2
· b
1
)γ, (a
2
· b
1
+ a
1
· b
2
)γ, c
2
· r
1
+ c
1
· r
2
)
= w
2
· w
1
.
M2) Não associativa. Tomando, por exemplo,
w
1
= (0, 1, 0), w
2
= (0, 0, 1), w
3
= (0, 0, −1).
Resulta (confira),
(w
1
· w
2
) · w
3
= (1, 0, 0)
w1 · (w2 · w3) = (0, 1, 0)
M3) Existência do elemento neutro. Existe 1 = (1, 0, 0) ∈ H com a seguinte
propriedade: w · 1 = w, ∀w ∈ H. De fato, considerando w = (a, b, c) temos
dois casos a considerar:
( i ) r =
√
a2 + b2 = 0 (D
2
), então,
w · 1 = (0, 0, c) · (1, 0, 0) =
(
− c · 0 · 1
1
, −c · 0 · 0
1
, c · 1
)
= (0, 0, c) = w
( ii ) r =
√
a2 + b2 6= 0 (D
4
), então,
w·1 = (a, b, c)·(1, 0, 0) =
(
(a·1−b·0)·1, (a·0+1·b)·1, c·1+0·r1
)
= (a, b, c) = w.
Da comutatividade da multiplicação decorre a unicidade do elemento neu-
tro, assim: sejam u e ũ dois elementos neutros para a multiplicação. Sendo
assim, ter-se-à, por um lado, w ·u = w, para todo w ∈ H; em particular ũ ·u = ũ
(∗). Por outro lado também temos w · ũ = w, para todo w ∈ H; em particular
u · ũ = u. Esta última igualdade pode ser reescrita como ũ · u = u. Daqui e de
(∗) concluimos que u = ũ.
M4) Existência do elemento inverso. Desejamos mostrar que,
∀w ∈ H∗, ∃w−1 ∈ H / w · w−1 = 1.
De fato, tomando w = (a, b, c), procuramos w′ = (x, y, z) satisfazendo
w·w′ = (1, 0, 0). Vamos inicialmente supor, r
1
=
√
a2 + b2 6= 0. A possibilidade
r
2
=
√
x2 + y2 = 0 (isto é, w′ = (0, 0, z)) nos conduz a uma inconsistência.
Consideremos então r2 =
√
x2 + y2 6= 0. Sendo assim, temos,
w ·w′ = (a, b, c)·(x, y, z) =
(
(a ·x−b ·y)γ, (a ·y+x·b)γ, c ·r
2
+z ·r
1
)
= (1, 0, 0).
Sendo assim, obtemos



(ax − by) ·
(
1 − c · z
r
1
· r
2
)
= 1 (1.6)
(ay + bx) ·
(
1 − c · z
r
1
· r
2
)
= 0 (1.7)
c · r
2
+ z · r
1
= 0 (1.8)
14
De (1.8), temos: 1− c · z
r1 · r2
=
r2
1
+c2
r2
1
, substituindo em (1.6) e (1.7), obtemos
(ax − by) · r
2
1
+ c2
r2
1
= 1 (1.9)
(ay + bx) · r
2
1
+ c2
r2
1
= 0 (1.10)
De (1.9) e (1.10) concluimos que ay + bx = 0, (de r
1
6= 0 ⇒ a 6= 0 ou b 6= 0)
supondo a 6= 0, resulta y = − b·xa . Substituindo este resultado em (1.9), resulta:
(
a x − b (−b x
a
)
)
=
r2
1
r2
1
+ c2
⇒ x = a
r2
1
· r
2
1
r2
1
+ c2
=
a
a2 + b2 + c2
.
Logo,
y = − b
a
· x = − b
a
· a
a2 + b2 + c2
=
−b
a2 + b2 + c2
e,
z = −c · r2
r
1
=
−c
a2 + b2 + c2
portanto,
w′ =
( a
a2 + b2 + c2
,
−b
a2 + b2 + c2
,
−c
a2 + b2 + c2
)
- Vamos agora supor r
1
=
√
a2 + b2 = 0, então,
w′ =
( 0
02 + 02 + c2
,
−0
02 + 02 + c2
,
−c
02 + 02 + c2
)
=
(
0, 0, −1
c
)
Temos,
w · w′ = (0, 0, c) ·
(
0, 0, −1
c
)
=
(
− c · −1
c
, 0, 0
)
= (1, 0, 0)
Portanto, qualquer que seja w = (a, b, c) 6= (0, 0, 0), temos que:
w · w′ = (a, b, c) ·
( a
a2 + b2 + c2
,
−b
a2 + b2 + c2
,
−c
a2 + b2 + c2
)
= (1, 0, 0).
�
Nota: Observe que também provamos que o inverso multiplicativo é único. De
fato, o sistema w · w′ = (1, 0, 0) possui uma única solução.
1.3 Divisão
Devido a existência do inverso multiplicativo, podemos definir em H a
operação de divisão, simbolizada por
w1
w2
, estabelecendo que
w1
w2
= w1 · w′2 =
w
1
· w−1
2
, onde mudamos de notação: w′
2
= w−1
2
.
Gentil 15
Exemplo:
(0, 1, 0)
(0, 0, 1)
= (0, 1, 0) · (0, 0, 1)−1
= (0, 1, 0) ·
( 0
02 + 02 + 12
,
−0
02 + 02 + 12
,
−1
02 + 02 + 12
)
= (0, 1, 0) · (0, 0, −1)
Em (D
3
), temos:
(0, 1, 0) · (0, 0, −1) =
(
− 0 · (−1) · 0
1
, −0 · (−1) · 1
1
, −1 · 1
)
= (0, 0, −1),
portanto,
(0, 1, 0)
(0, 0, 1)
= (0, 0, −1).
Uma observação importante é que para resolvermos, por exemplo, a equação
a · x = b em H, não é ĺıcito procedermos assim:
a · x = b ⇒ a−1 · (a · x) = a−1 · b ⇒ (a−1 · a) · x = a−1 · b ⇒ x = a−1 · b,
uma vez que a multiplicação em H é não associativa. Para resolver a equação
em questão devemos proceder como no exemplo 4o ), pág. 10.
Uma outra observação é a de que, como o produto é comutativo, podemos
definir a multiplicação em H com apenas três sentenças, ao invés de quatro. A
operação de multiplicação pode ser vista (é) uma aplicação: f : R3 × R3 → R3,
definida por três sentenças.
M5) A multiplicação é não distributiva em relação à adição.
Tome, por exemplo, a = (1, 2, 1), b = (0, 1, 1) e c = (3, 2, 1) e mostre
que a · (b + c) 6= a · b + a · c.
16
1.4 Imersão de C em H
Consideremos agora a subestrutura C̃ de H na qual C̃ é formado pelos
ternos ordenados cujo terceiro termo é zero:
C̃ =
{
(a, b, c) ∈ R3 : c = 0
}
Consideremos agora a aplicação f , de C em C̃, que leva cada (x, y) ∈ C ao terno
(x, y, 0) ∈ C̃, tipo assim:
C C̃
H
f
(a
1
, b
1
) (a
1
, b
1
, 0)
(a
2
, b
2
) (a
2
, b
2
, 0)
(a1 + a2 , b1 + b2) (a1 + a2 , b1 + b2 , 0)
(a
1
· a
2
− b
1
· b
2
, a
1
· b
2
+ a
2
· b
1
) (a
1
· a
2
− b
1
· b
2
, a
1
· b
2
+ a
2
· b
1
, 0)
f : C C̃
(x, y) (x, y, 0)
Primeiramente notemos que f é bijetora, porquanto:
( i ) todo terno (x, y, 0) ∈ C̃ é o correspondente, segundo f , de (x, y) ∈ C (isto
quer dizer que f é sobrejetora);
( ii ) Dados (x, y) ∈ C e (x′, y′) ∈ C, com (x, y) 6= (x′, y′) os seus correspon-
dentes (x, y, 0) ∈ C̃ e (x′, y′, 0) ∈ C̃ são distintos, de acordo com a definição de
igualdade de ternos ordenados (isto quer dizer que f é injetora).
Em segundo lugar, notemos que f preserva as operações de adição e mul-
tiplicação pois,
f
(
(a
1
, b
1
) + (a
2
, b
2
)
)
= f
(
(a
1
+ a
2
, b
1
+ b
2
)
)
= (a
1
+ a
2
, b
1
+ b
2
, 0)
= (a
1
, b
1
, 0) + (a
2
, b
2
, 0) = f
(
(a
1
, b
1
))
)
+ f
(
(a
2
, b
2
)
)
No que concerne à multiplicação, temos
f
(
(a
1
, b
1
) · (a
2
, b
2
)
)
= f
(
(a
1
· a
2
− b
1
· b
2
, a
1
· b
2
+ a
2
· b
1
)
)
= (a
1
· a
2
− b
1
· b
2
, a
1
· b
2
+ a
2
· b
1
, 0)
Observe que (a1 , b1) · (a2 , b2) está em C e como tal verifica a regra de
multiplicação de C, isto é:
(a
1
, b
1
) · (a
2
, b
2
) = (a
1
· a
2
− b
1
· b
2
, a
1
· b
2
+ a
2
· b
1
)
Gentil 17
Por outro lado, (a1 · a2 − b1 · b2 , a1 · b2 + a2 · b1 , 0) está em H, obedecendo,
portanto, as regras operacionais deste sistema. Devemos mostrar que,
(a
1
·a
2
−b
1
·b
2
, a
1
·b
2
+a
2
·b
1
, 0) = (a
1
, b
1
, 0)·(a
2
, b
2
, 0) = f
(
(a
1
, b
1
)
)
·f
(
(a
2
, b
2
)
)
Para efetuar o produto (a1 , b1 , 0) · (a2 , b2 , 0) temos que analisar quatro
alternativas, em cada uma delas devemos ter: f
(
(a
1
, b
1
)·(a
2
, b
2
)
)
= f
(
(a
1
, b
1
)
)
·
f
(
(a
2
, b
2
)
)
. Vamos provar para a alternativa (D
4
) (r
1
6= 0 e r
2
6= 0), pois para
as demais se prova de modo análogo. Temos,
(a
1
, b
1
, 0) · (a
2
, b
2
, 0) =
(
(a
1
· a
2
− b
1
· b
2
) · 1, (a
1
· b
2
+ a
2
· b
1
) · 1, 0 · r
2
+ 0 · r
1
)
= (a
1
· a
2
− b
1
· b
2
, a
1
· b
2
+ a
2
· b
1
, 0)
Sendo assim,
(a1 ·a2−b1 ·b2 , a1 ·b2+a2 ·b1 , 0) = (a1 , b1 , 0)·(a2 , b2 , 0) = f
(
(a1 , b1)
)
·f
(
(a2 , b2)
)
.
Devido ao fato de existir uma aplicação f : C → C̃ que preserva as operações
de adição e multiplicação, dizemos que C e C̃ são isomorfos.
Devido ao isomorfismo, operar com (x, y, 0) leva a resultados análogos aos
obtidos operando com (x, y); em razão disto, de agora em diante, faremos a
identificação que se segue:
(x, y) = (x, y, 0), ∀ (x, y) ∈ C
Em particular, pela teoria dos números complexos, podemos escrever ainda,
x = (x, 0) = (x, 0, 0), ∀x ∈ R
Aceita estas igualdades, temos em particular que,
0 = (0, 0) = (0, 0, 0), 1 = (1, 0) = (1, 0, 0), a = (a, 0) = (a, 0, 0).
Assim o corpo C dos números complexos passa a ser considerado uma
subestrutura do sistema H dos números hipercomplexos.
Nota: Para o nosso próximo ı́tem veja [5].
18
1.5 Imersão de H − 2D em H − 3D
Consideremos agora a subestrutura H̃ de H na qual H̃ é formado pelos
ternos ordenados cujo segundo termo é zero:
H̃ =
{
(a, b, c) ∈ R3 : b = 0
}
Vamos mostrar que H̃ é fechado para as operações de soma e multiplicação.
De fato, sejam (a1 , 0, c1) e (a2 , 0, c2) dois pontos em H̃, então,
(a
1
, 0, c
1
) + (a
2
, 0, c
2
) = (a
1
+ a
2
, 0, c
1
+ c
2
) ∈ H̃
Por outro lado (ver pág. 8),
(
a1 , 0, c1) · (a2 , 0, c2
)
=
(
− c
1
· c
2
, 0, 0
)
, se r
1
= 0 e r
2
= 0
(
− c1 · c2 · a2
r
2
, 0, c
1
· r
2
)
, se r1 = 0 e r2 6= 0
(
− c1 · c2 · a1
r
1
, 0, c
2
· r
1
)
, se r
1
6= 0 e r
2
= 0
(
(a
1
· a
2
)γ, 0, c
1
· r
2
+ c
2
· r
1
)
, se r
1
6= 0 e r
2
6= 0



Onde,
r
1
= |a
1
| , r
2
= |a
2
| e γ = 1 − c1 · c2|a
1
| · |a
2
|
De outro modo,
(a1 , 0, c1) · (a2 , 0, c2) =
(
− c
1
· c
2
, 0, 0
)
, se a
1
= 0 e a
2
= 0
(
− c
1
· c
2
a
2
|a
2
| , 0, c1 · |a2 |
)
, se a1 = 0 e a2 6= 0
(
− c
1
· c
2
a
1
|a
1
| , 0, c2 · |a1 |
)
, se a1 6= 0 e a2 = 0
(
a
1
· a
2
− c
1
· c
2
a
1
· a
2
|a
1
| · |a
2
| , 0, c1 · |a2 | + c2 · |a1 |
)
, se a
1
6= 0 e a
2
6= 0



Portanto,
(a
1
, 0, c
1
) · (a
2
, 0, c
2
) ∈ H̃
Gentil 19
Consideremos agora a aplicação f , de H − 2D em H̃, que leva cada
(x, y) ∈ H − 2D ao terno (x, 0, y) ∈ H̃, tipo assim:
H − 2D H̃
H
f
(a
1
, b
1
) (a
1
, 0, b
1
)
(a
2
, b
2
) (a
2
, 0, b
2
)
(a
1
+ a
2
, b
1
+ b
2
) (a
1
+ a
2
, 0, b
1
+ b
2
)
(a
1
· a
2
− b
1
· b
2
, a
1
· b
2
+ a
2
· b
1
) (a
1
· a
2
− b
1
· b
2
, 0, a
1
· b
2
+ a
2
· b
1
)
f : H − 2D H̃
(x, y) (x, 0, y)
Podemos mostrar que f é um isomorfismo. Devido ao fato de existir
uma aplicação f : H − 2D → H̃ que preserva as operações de adição e multi-
plicação, dizemos que H − 2D e H̃ são isomorfos.
Devido ao isomorfismo, operar com (x, 0, y) leva a resultados análogos aos
obtidos operando com (x, y); em razão disto, de agora em diante, faremos a
identificação que se segue:
(x, y) = (x, 0, y), ∀ (x, y) ∈ H − 2D
Em particular,pela teoria dos números hipercomplexos−2D, podemos es-
crever ainda,
x = (x, 0) = (x, 0, 0), ∀x ∈ R
Aceita estas igualdades, temos em particular que,
0 = (0, 0) = (0, 0, 0), 1 = (1, 0) = (1, 0, 0), (0, 1) = (0, 0, 1) = j.
Assim o sistema H − 2D, dos números hipercomplexos bidimensionais,
passa a ser considerado uma subestrutura do sistema H dos números hipercom-
plexos tridimensionais.
Em resumo, os números H − 3D generalizam, a um só tempo, os números
complexos e os hipercomplexos−2D.
Podemos ilustrar a imersão de estruturas através de diagramas de Venn,
assim:
C
R
H−2D
H−3D
20
Proposição 3. Para todo k ∈ R, a seguinte identidade
k · (a, b, c) = (k a, k b, |k| c) =
{
(k a, k b, k c), se k ≥ 0;
(k a, k b, −k c), se k < 0.
se verifica.
Prova: Temos algumas alternativas a considerar:
( i ) k = 0, trivial.
( ii ) k 6= 0 e r
2
=
√
a2 + b2 = 0. Temos (D
3
):
k · (0, 0, c) = (k, 0, 0) · (0, 0, c) =
(
− 0 · c · k|k| , −
0 · c · 0
|k| , c · |k|
)
= (k 0, k 0, |k| c)
( iii ) k 6= 0 e r
2
=
√
a2 + b2 6= 0. Temos (D
4
):
k · (a, b, c) = (k, 0, 0) · (a, b, c) =
(
(k · a − 0 · b) · 1, (k · b + 0 · a) · 1, 0 · r
2
+ c · |k|
)
= (k a, k b, |k| c
)
.
�
Esta proposição nos proporciona um fenômeno que não ocorre em R ou em C.
Corolário 1. Em H a seguinte identidade
−1 · x = −x
é falsa.
Prova: De fato, tomando x = (0, 0, 1), resulta,
−x = −(0, 0, 1) = (0, 0, −1)
−1 · x = (−1 · 0, −1 · 0, | − 1| · 1) = (0, 0, 1)
�
Sendo assim é importante estar atento para o fato de que, ao contrário
do que ocorre em R, ou em C, em H é necessário distinguir entre −x e −1 · x.
Observe que, enquanto no primeiro caso temos o oposto aditivo de x, no segundo
caso temos o produto de dois hipercomplexos: −1 = (−1, 0, 0) e x = (a, b, c).
Observe, outrossim, que em H não vale a propriedade de cancelamento
para a multiplicação; para se convencer disto considere a seguinte igualdade,
1 · (0, 0, 1) = −1 · (0, 0, 1)
Isto se deve ao fato da multiplicação não ser associativa. Prove a seguinte,
Proposição 4. Sejam a ∈ R e w ∈ H,
j · a = w ⇒



a =
w
j
, se a ≥ 0;
a = − w
j
, se a < 0.
(1.11)
Nota: Esta proposição nos alerta quando formos “dividir” por j.
Gentil 21
1.6 Forma algébrica
1.6.1 Unidade imaginária/Unidade hiperimaginária
Chamamos unidade imaginária e indicamos por i o número hipercomplexo
(0, 1, 0). Notemos que
i2 = (0, 1, 0) · (0, 1, 0) =
(
(0 · 0 − 1 · 1) · 1, (0 · 1 + 0 · 1) · 1, 0 · 1 + 0 · 1
)
= (−1, 0, 0) = −1,
isto é, a propriedade básica da unidade imaginária é,
i2 = −1
Chamamos unidade hiperimaginária e indicamos por j o número hiper-
complexo (0, 0, 1). Notemos que
j2 = (0, 0, 1) · (0, 0, 1) = (−1 · 1, 0, 0) = −1,
isto é, a propriedade básica da unidade hiperimaginária é,
j2 = −1
Digamos que a unidade hiperimaginária tem duas propriedades básicas, sendo
a outra dada por,
−1 · j = j (1.12)
propriedade esta que não é partilhada pela unidade imaginária.
A bem da verdade esta é apenas um caso especial da seguinte:
Vamos multiplicar j pelo número complexo z = (x, y, 0). Temos
(0, 0, 1) · (x, y, 0) =
(
− 1·0·xr2 , −
1·0·y
r2
, 1 · r
2
)
= (0, 0,
√
x2 + y2)
Portanto,
j · z = ( 0, 0, |z| )
Observe que se |z| = 1 (ćırculo unitário) então z · j = j.
Forma algébrica
Dado um número hipercomplexo qualquer w = (x, y, z), temos:
w = (x, y, z) = (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z)
Temos,
( i ) (x, 0, 0) = x.
( ii ) Temos,
y · (0, 1, 0) = (y · 0, y · 1, |y| · 0) = (0, y, 0) ⇒ y · i = (0, y, 0)
( iii ) Se z ≥ 0, então (0, 0, z) = z (0, 0, 1) = z j.
Se z ≤ 0 ( |z| = −z ), então
−j z = z·(−j) = z·(0, 0, −1) = (z·0, z·0, |z|·(−1)) = (0, 0, (−z)·(−1)) = (0, 0, z)
22
Tendo em conta estes resultados podemos escrever,
w = (x, y, z) =
{
x + i y + j z, se z ≥ 0;
x + i y − j z, se z ≤ 0.
(1.13)
Assim, todo número hipercomplexo w = (x, y, z) pode ser escrito sob a
forma acima, chamada forma algébrica. O número real x é chamado parte real
de w, o número real y é chamado parte imaginária de w e o número real z é
chamado parte hiperimaginária de w.
Neste momento precisamos fazer um esclarecimento assaz importante: A
estas alturas o leitor já percebeu que a álgebra hipercomplexa é “ligeiramente”
distinta da álgebra real ou complexa. Isto nos obriga a estar (bastante) atento
quanto às notações. Por exemplo, consideremos as quatro expressões seguintes
x + i y − j z
x + i y − z j
x + i y + j(−z)
x + i y + z(−j)
Vejamos o significado da terceira parcela em cada uma delas:
−jz, significa: o oposto de j que multiplica z
−zj, significa: o oposto de z que multiplica j
j(−z), significa: o oposto de z que multiplica j
z(−j), significa: o oposto de j que multiplica z
O leitor pode mostrar, a partir da proposição 3, que
−jz 6= −zj = j(−z)
Podemos dar as seguintes denominações a alguns hipercomplexos:
w = (0, 0, c), c 6= 0, hiperimaginário puro;
w = (0, b, 0), b 6= 0, imaginário puro;
w = (a, 0, 0), real puro;
w = (a, b, 0), a 6= 0, b 6= 0, complexo puro;
w = (a, b, c), c 6= 0, hipercomplexo puro;
w = (a, b, c), a 6= 0 ou b 6= 0; c 6= 0, hipercomplexo não-singular.
Nota: Um hipercomplexo não-singular é um hipercomplexo puro com a 6= 0 ou
b 6= 0.
Gentil 23
Um milagre aos olhos dos habitantes Complexos
Se, algum dia, um matemático do Universo complexo se defrontar com a se-
guinte equação elementar: (−1·x + x)·x = −1, êle teria duas sáıdas: abandonar
o “jogo”, ou consultar um matemático do “universo Hipercomplexo”∗. De fato,
esta é uma equação imposśıvel de se resolver dentro dos universos numéricos
conhecidos dos matemáticos (hodiernos), em razão de que vale:
(−1 · x + x) · x = −1 ⇐⇒ 0 · x = −1
Pois bem, vamos assumir o desafio.
Proposição 5 (Gentil/04.12.2008). A seguinte equação,
(−1 · x + x) · x = −1 (1.14)
possui solução em H.
Prova: Tomando x = (c, d, e), temos −1 · x = −1 · (c, d, e) = (−c, −d, e),
pela prop. 3, pág. 20. Portanto,
−1 · x + x = (−c, −d, e) + (c, d, e) = (0, 0, 2e)
Substituindo este resultado em (1.14), obtemos
(0, 0, 2e) · (c, d, e) = −1
O produto acima fica,
(0, 0, 2e) · (c, d, e) =



(−2e2, 0, 0), se c = d = 0;
(−2e2 c/r
2
, −2e2 d/r
2
, 2e · r
2
), se c 6= 0 ou d 6= 0.
Onde: r
2
=
√
c2 + d2. Para c = d = 0 concluimos que e = ±
√
2/2. Portanto,
x =
(
0, 0, ±
√
2
2
)
⇒ x =
√
2/2 j ou x = −
(√
2/2 j
)
.
Observe que o número j foi o responsável por este milagre!
É fácil ver que para c 6= 0 ou d 6= 0 o problema não tem solução. �
A t́ıtulo de curiosidade, observe que, das duas equações abaixo:
x2 + 1 = 0
(−1 · x + x) · x + 1 = 0
Com o número i resolvemos apenas a primeira, ao passo que, com o número j
resolvemos as duas.
∗No caso eu, que por enquanto, sou o único habitante deste Universo.
24
− Considere a equação,
0 · x = b, b 6= 0 (1.15)
nos reais, ou complexos; como, nestes universos, vale
0 = −1 · x + x
0 = −1 · (−x) + (−x)
Segue-se que,
0 · x = b ⇐⇒



(−1 · x + x) · x = b
(−1 · (−x) + (−x)) · x = b
(1.16)
Em H, embora não possamos resolver diretamente a equação (1.15), pode-
mos resolver suas equivalentes, dadas acima.
Se b > 0, resolvemos a segunda das equações em (1.16), caso contrário
resolvemos a primeira. Por exemplo, seja a equação 0 · x = 1, então,
0 · x = 1 ⇐⇒ (−1 · (−x) + (−x)) · x = 1
Tomando x = (c, d, e), temos, −x = (−c, −d, −e), logo,
−1 · (−x) + (−x) = −1 · (−c, −d, −e) + (−c, −d, −e) = (c, d, −e) + (−c, −d,−e) = (0, 0, −2e)
Então,
(−1 · (−x) + (−x)) · x = 1 ⇒ (0, 0, −2e) · (c, d, e) = 1
O produto acima fica,
(0, 0, −2e) · (c, d, e) =



(2e2, 0, 0), se c = d = 0;
(2e2 c/r
2
, 2e2 d/r
2
, −2e · r
2
), se c 6= 0 ou d 6= 0.
Onde: r2 =
√
c2 + d2. Para c = d = 0 concluimos que e = ±
√
2/2. Portanto,
x =
(
0, 0, ±
√
2
2
)
⇒ x =
√
2/2 j ou x = −
(√
2/2 j
)
.
É fácil ver que para c 6= 0 ou d 6= 0 o problema não tem solução.
Gentil 25
1.7 Forma trigonométrica
Definição 3 (Conjugado). Chama-se conjugadodo hipercomplexo w = (a, b, c)
ao hipercomplexo w = (a, −b, −c), isto é:
w = (a, b, c) ⇔ w = (a, −b, −c)
Definição 4 (Norma). Chama-se norma do hipercomplexo w = (a, b, c) ao
número real
N(w) = a2 + b2 + c2
Definição 5 (Módulo). Chama-se módulo (ou valor absoluto) do hipercomplexo
w = (a, b, c) ao número real
|w| =
√
N(w) =
√
a2 + b2 + c2
Nota: Alternativamente podemos usar a notação: ρ, para o módulo.
Deixamos como exerćıcio ao leitor, mostrar que w · w = |w|2.
Observe que o inverso de w = (a, b, c) pode ser escrito como,
w−1 =
( a
a2 + b2 + c2
,
−b
a2 + b2 + c2
,
−c
a2 + b2 + c2
)
⇔ w−1 =
( a
|w|2 ,
−b
|w|2 ,
−c
|w|2
)
Ou ainda,
w−1 =
1
|w|2 ( a, −b, −c ). (1.17)
Definição 6 (Argumento). Chama-se argumento de um hipercomplexo w =
(x, y, z), não nulo, ao par de ângulos (θ, β) tal que
cos θ · cosβ = x
ρ
, sen θ · cosβ = y
ρ
, e sen β =
z
ρ
.
Observe que, existe ao menos um par (θ, β) satisfazendo a definição,
pois
(
cos θ · cosβ
)2
+
(
sen θ · cosβ
)2
+
(
sen β
)2
=
( x
ρ
)2
+
( y
ρ
)2
+
( z
ρ
)2
=
x2 + y2 + z2
ρ2
= 1.
Fixado o hipercomplexo w 6= 0, estão fixados cos θ · cosβ, sen θ · cosβ e
sen β, mas os ângulos θ e β podem assumir infinitos valores, congruentes dois
a dois (congruência módulo 2π).
Assim o hipercomplexo w 6= 0 tem argumento,
(θ, β) = (θ
0
+ 2kπ, β
0
+ 2k′π); k, k′ ∈ Z (1.18)
onde (θ
0
, β
0
) é chamado argumento principal de w, é tal que
cos θ0 · cosβ0 =
x
ρ
, sen θ0 · cosβ0 =
y
ρ
, e senβ0 =
z
ρ
.
26
e
0 ≤ θ
0
< 2π, −π
2
≤ β
0
≤ π
2
(1.19)
Por vezes trabalharemos com (θ
0
, β
0
) chamando-o simplesmente argu-
mento de w.
Exemplos:
1o) Para w =
√
3 + i, temos ρ =
√
(
√
3)2 + 12 + 02 = 2, então



cos θ0 · cosβ0 =
x
ρ
=
√
3
2
sen θ
0
· cosβ
0
=
y
ρ
=
1
2
sen β
0
=
z
ρ
=
0
2
= 0
Tendo em conta (1.19), resulta
θ0 =
π
6
⇒ θ = π
6
+ 2kπ
β
0
= 0 ⇒ β = 0 + 2k′π
2o) Para w = (0, 1, 1), temos ρ =
√
02 + 12 + 12 =
√
2, então



cos θ
0
· cosβ
0
=
x
ρ
=
0√
2
= 0
sen θ0 · cosβ0 =
y
ρ
=
1√
2
sen β
0
=
z
ρ
=
1√
2
Tendo em conta (1.19), desta útima equação concluimos que β
0
= π4 , sendo
assim resulta
cos θ0 · cos π4 = 0 ⇒ cos θ0 = 0
⇒ θ
0
= π2
sen θ
0
· cos π4 =
√
2
2 ⇒ sen θ0 = 1
Sendo assim, temos
θ =
π
2
+ 2kπ, β =
π
4
+ 2k′π
3o) Para w = −
√
3 + 3i − 2j, temos ρ =
√
(−
√
3)2 + 32 + (−2)2 = 4, então



cos θ
0
· cosβ
0
=
x
ρ
=
−
√
3
4
sen θ
0
· cosβ
0
=
y
ρ
=
3
4
sen β0 =
z
ρ
=
−2
4
= −−1
2
Gentil 27
Tendo em conta (1.19), desta útima equação concluimos que β0 = −π6 , sendo
assim resulta
cos θ
0
· cos(−π6 ) = −
√
3
4 ⇒ cos θ0 = − 12
⇒ θ
0
= 2π3
sen θ
0
· cos(−π6 ) = 34 ⇒ sen θ0 =
√
3
2
Sendo assim, temos
θ =
2π
3
+ 2kπ, β = −π
6
+ 2k′π
Dado um número hipercomplexo w = (x, y, z), não nulo, podemos escrever
w = (ρ cos θ
0
·cosβ
0
, ρ sen θ
0
·cosβ
0
, ρ senβ
0
). Sendo ρ > 0, podemos reescrever,
w = ρ (cos θ0 · cosβ0 , sen θ0 · cosβ0 , senβ0)
chamada forma trigonométrica de w. Na forma algébrica (equação (1.13), pág.
22):
w =



ρ
(
cos θ
0
· cosβ
0
+ i sen θ
0
· cosβ
0
+ j senβ
0
)
, se senβ
0
≥ 0;
ρ
(
cos θ0 · cosβ0 + i sen θ0 · cosβ0 − j senβ0
)
, se senβ0 < 0.
(1.20)
Observe que se β0 = 0, resulta w = ρ
(
cos θ0 + i sen θ0).
28
1.7.1 Representação gráfica
As noções de módulo e argumento tornam-se mais concretas quando repre-
sentamos os números hipercomplexos w = (x, y, z) pelos pontos do espaço R3,
com a convenção de marcamos sobre os eixos 0X , 0Y e 0Z, respectivamente, a
parte real, a parte imaginária e a parte hiperimaginária de w.
Assim a cada número hipercomplexo w = (x, y, z) corresponde um único
ponto P do espaço X0Y Z, assim:
0
z
X
x
Y
y
Z
P (x, y, z)
r
ρ
ρ =
√
x2+y2+z2
r =
√
x2+y2
θ0
β0
0≤ θ0 < 2π
−π2 ≤ β0 ≤ π2
Note que a distância entre w = (x, y, z) e 0 = (0, 0, 0) é o módulo de w:
|w| =
√
x2 + y2 + z2 = ρ
Nomenclatura:
X0Y Z = espaço R3;
0X = eixo real;
0Y = eixo imaginário;
0Z = eixo hiperimaginário;
X0Y = plano complexo C;
X0Z = plano hipercomplexo − 2D;
P = afixo de w.
Observação: Gráficamente a condição r =
√
a2 + b2 = 0 para w = (a, b, c)
significa que este número está localizado sobre o eixo 0Z.
Desta forma as sentenças que definem o produto podem ser interpretadas
como:
1a) r
1
= r
2
= 0. Neste caso w
1
e w
2
estão situados sobre o eixo 0Z. Isto é,
dois hiperimaginários puro são multiplicados segundo D
1
.
2a) r
1
= 0 e r
2
6= 0. Neste caso w
1
está situado sobre o eixo 0Z e w
2
está
situado fora deste eixo. Observe que as condições (D
2
) e (D
3
), para o produto,
podem ser unificadas em uma única, onde fazemos r
1
(ou r
2
) corresponder ao
ponto que situa-se fora do eixo 0Z.
3a) r
1
6= 0 e r
2
6= 0. Neste caso w
1
e w
2
estão situados, ambos, fora do eixo 0Z.
Desta forma dois números que não são hiperimaginários puro são multiplicados
em D4 .
Gentil 29
Considere, novamente, o diagrama de Venn:
C
R
H−2D
H−3D
A seguir colocamos em destaque uma versão geométrica,
Y
Z
i
R
Plano C
j
R
Y
Z
P
l
a
n
o
H
−
2D
Vimos que em H temos −w 6= −1 · w. Sendo,
w = (x, y, z)
−w = (−x, −y, −z)
−1 · w = (−x, −y, z)
Geometricamente −w é uma rotação de 180o (em torno da origem) em w; en-
quanto −1 · w pode ser visto como a rotação anterior seguida de uma reflexão,
com respeito ao plano complexo. Por exemplo, assim,
30
Y
Z
X
w
−w
−1·w
Um problema clássico no contexto dos hipercomplexos
O fato de os hipercomplexos residirem em dimensão 3, enquanto os com-
plexos em dimensão 2 isto, naturalmente, se reflete na (re) solução de um mesmo
problema trabalhado em um ou outro destes espaços. Vejamos um exemplo do
que estamos falando. Vamos resolver o clássico,
Problema: Separar o número 10 em duas partes x e y tais que o produto destas
seja 40.
Solução: Devemos resolver o seguinte sistema,
{
x + y = 10 (1.21)
x · y = 40 (1.22)
1o) Resolução no universo C.
Tirando y na primeira equação e substituindo na segunda, obtemos:
x ·
(
10 + (−x)
)
= 40
Aplicando a propriedade distributiva e associativa temos 10 x − x2 = 40, ou
ainda,
x2 − 10x + 40 = 0. Sendo assim, temos
x =
−(−10)±
√
(−10)2 − 4 · 1 · 40
2
= 5 ±
√
−15
Sendo assim, em C, temos uma única solução para este problema:
X
Y
x=5+i
√
15
y=5−i
√
15
5p
x = 5 + i
√
15
y = 5 − i
√
15
Gentil 31
2o) Resolução no universo H.
Aqui vamos fazer uma mudança de notação,
{
x′ + y′ = 10 (1.23)
x′ · y′ = 40 (1.24)
Tirando y′ na primeira equação e substituindo na segunda, obtemos:
x′ ·
(
10 + (−x′)
)
= 40 (1.25)
Observe que em H não podemos aplicar, na equação acima, a propriedade distri-
butiva da multiplicação em relação à adição. Devemos proceder assim: façamos
x′ = (x, y, z). Substituindo em (1.25), resulta (x, y, z) ·
(
10+ (−x, −y,−z)
)
=
40, de outro modo,
(x, y, z) · (10 − x, −y, −z) = 40
Inicialmente observamos que este problema só tem solução se considerar-
mos r
1
=
√
x2 + y2 6= 0 (por que?). Sendo assim calculemos o produto anterior
em D
4
:
((
x · (10− x) − y · (−y)
)
· γ,
(
x · (−y) + (10− x) · y
)
· γ, z · r
2
+ (−z) · r
1
)
= 40
onde, r
1
=
√
x2 + y2, r
2
=
√
(10 − x)2 + y2 e γ = 1+z2/(r
1
·r
2
). Sendo assim,
montamos o seguinte sistema



(10x − x2 + y2) ·
(
1 +
z2
r
1
· r
2
)
= 40 (1.26)
(−2xy + 10y) ·
(
1 +
z2
r
1
· r
2
)
= 0 (1.27)
z · (r
2
− r
1
) = 0 (1.28)
De (1.26) e (1.27) concluimos que −2xy +10y = 0, ou ainda (−x+5) ·y = 0.
Desta equação tiramos y = 0 ou x = 5. Então:
I ) x = 5 ⇒



r
1
= r
2
=
√
y2 + 25
γ = 1 + z
2
y2+25
As equações (1.27) e (1.28) estão satisfeitas, resta satisfazer (1.26):
(10 · 5 − 52 + y2) ·
(
1 +
z2
25 + y2
)
= 40
Donde,
y2 + z2 = 15 (cilindro)
Logo,
(x = 5 )
︸ ︷︷ ︸
plano
∩ ( y2 + z2 = 15 )
︸ ︷︷ ︸
cilindro
= ćırculo (1.29)
32
II) y = 0 ⇒



r
1
= |x|, r
2
= |x − 10|
γ = 1 + z
2
|x|·|x−10|
A equação (1.27) está satisfeita, resta satisfazer (1.26) e (1.28):
(10x − x2 + 02) ·
(
1 +
z2
|x| · |x − 10|
)
= 40
z ·
(
|x| − |x − 10|
)
= 0
Desta última equação concluimos que z = 0 ou |x| − |x− 10| = 0. Se z = 0, na
primeira equação obtemos 10x− x2 = 40, a qual não tem solução (porquanto x
deve ser real). Se |x| − |x − 10| = 0, resulta x = 5; volta ao primeiro caso.
Deste modo existem infinitas soluções para o nosso problema, todas da
forma,
x′ = (5, y, z), y′ = (5, −y, −z), onde y2 + z2 = 15.
Tomando, por exemplo, z = 0, obtemos y = ±
√
15. Como as soluções são
“conjugadas”, resulta:
x′ = ( 5,
√
15, 0 ), y′ = ( 5, −
√
15, 0 )
que é a solução complexa.
Tomando, por exemplo, y = 0, obtemos z = ±
√
15. Como as soluções são
“conjugadas”, resulta:
x′ = ( 5, 0,
√
15 ), y′ = ( 5, 0, −
√
15 )
que é a solução hipercomplexa (2 − D) (ver [5]).
A equação y2 + z2 = 15 representa um cilindro em R3, a interseção deste
cilindro com o plano x = 5 nos dá um ćırculo (eq. (1.29)), onde moram as
infinitas soluções do nosso problema. Geometricamente temos,
X
Y
Z
x′
y′
5
X
Y
Z
5
No gráfico da direita temos, na cor azul, os afixos da solução complexa
e, na cor vermelha, os afixos da solução hipercomplexa (2 − D).
Gentil 33
Multiplicação na forma trigonométrica
Veremos a seguir que a multiplicação na forma trigonométrica se apre-
senta de forma mais simples (e mais estética) que na forma retangular e, o que
é melhor, nos possibilita dar uma interpretação geométrica ao produto hiper-
complexo, o que aumentará, substancialmente, o espectro de aplicações destes
números.
Proposição 6. Dois números na forma trigonométrica,
w1 = ρ1 (cos θ1 · cosβ1 , sen θ1 · cosβ1 , sen β1)
w
2
= ρ
2
(cos θ
2
· cosβ
2
, sen θ
2
· cosβ
2
, sen β
2
)
onde cosβ
1
≥ 0 e cosβ
2
≥ 0, são multiplicados da seguinte forma:
w
1
·w
2
= ρ
1
ρ
2
(
cos(θ
1
+θ
2
)·cos(β
1
+β
2
), sen (θ
1
+θ
2
)·cos(β
1
+β
2
), sen (β
1
+β
2
)
)
Prova: Apêndice, pág. 142 �
Notas:
1a ) Uma observação importante a respeito desta proposição é que, para qual-
quer número do eixo 0Z (β = π2 + k π, k ∈ Z ) devemos tomar θ = 0 e β = π2
ou θ = 0 e β = −π2 , antes de fazer a multiplicação.
Uma vez que pontos do eixo OZ têm θ indeterminado, estamos “levan-
tando” esta indeterminação convencionando que θ = 0, não há nenhum mal
nisto, desde que estejamos todos de acordo.
2a ) Para deduzir esta fórmula para a multiplicação supomos cosβ
1
≥ 0 e
cosβ
2
≥ 0; esta não é uma restrição séria tendo em conta que qualquer hi-
percomplexo w pode ser escrito com cosβ ≥ 0 (ver (1.18), pág. 25).
3a ) Observe outrossim que, enquanto a multiplicação em coordenadas retangu-
lares (definição) é dada em quatro sentenças, na forma trigonométrica é dada
em apenas uma. Isto se deve à restrição referida na nota anterior.
Corolário 2. O módulo do produto de dois números hipercomplexos é igual ao
produto dos módulos dos fatores. Isto é,
|w
1
· w
2
| = |w
1
| · |w
2
|
Prova: Basta ter em conta que, para quaisquer ângulos λ e γ, temos:
√
(cos λ cos γ)2 + ( sen λ cos γ)2 + ( sen γ)2 = 1
�
Proposição 7. Dois números na forma trigonométrica,
w
1
= ρ
1
(cos θ
1
· cosβ
1
, sen θ
1
· cosβ
1
, sen β
1
)
w2 = ρ2 (cos θ2 · cosβ2 , sen θ2 · cosβ2 , sen β2)
onde cosβ
1
≥ 0 e cosβ
2
≥ 0, são divididos da seguinte forma:
w
1
w2
=
ρ
1
ρ2
(
cos(θ1 − θ2) · cos(β1 −β2), sen (θ1 − θ2) · cos(β1 − β2), sen (β1 − β2)
)
34
Prova: Provamos esta proposição utilizando a anterior. Pois bem, tendo
em conta (1.17) (pág. 25) escrevemos
w−1
2
=
1
ρ
2
(
cos θ
2
· cosβ
2
, − sen θ
2
· cosβ
2
, − senβ
2
)
=
1
ρ
2
(
cos(−θ
2
) · cos(−β
2
), sen (−θ
2
) · cos(−β
2
), sen (−β
2
)
)
Realizando o produto w
1
·w−1
2
de acordo com a proposição 6, temos o resultado
desejado. �
Corolário 3. O módulo do quociente de dois números hipercomplexos é igual
ao quociente dos módulos dos hipercomplexos. Isto é,
∣
∣
∣
w
1
w
2
∣
∣
∣ =
|w
1
|
|w
2
|
Prova: Basta ter em conta que, para quaisquer ângulos λ e γ, temos:
√
(cosλ cos γ)2 + ( senλ cos γ)2 + ( sen γ)2 = 1
�
1.8 Potenciação
Definição 7. Sejam w um número hipercomplexo e n um número natural.
Potência de base w e expoente n é o número wn tal que:
{
w0 = 1;
wn = wn−1 · w, ∀n, n ≥ 1.
Desta definição decorre que:
w1 = w0 · w = 1 · w
w2 = w1 · w = w · w
w3 = w2 · w = (w · w) · w
w4 = w3 · w =
[
(w · w) · w
]
· w
Proposição 8. A seguinte identidade é válida
jn =
{
−1, se n é par;
j, se n é ı́mpar.
Prova: Indução sobre n.
1o) n par.
Para n = 2 já mostramos que a proposição é verdadeira. Suponhamos a
Gentil 35
validade da mesma para n = k, isto é, jk = −1. Mostremos que a proposição
continua válida para o próximo par n = k + 2:
jk+2 = (jk · j) · j = (−1 · j) · j = j · j = j2 = −1
2o) n ı́mpar. Análogo. �
Lema 1. Se w = (x, y, z) então,
w2 =



(−z2, 0, 0), se x = y = 0;
(
(x2 − y2) ·
(
1 − z2x2+y2
)
, 2 x y ·
(
1 − z2x2+y2
)
, 2z
√
x2 + y2
)
, se x 6= 0 ou y 6= 0.
Prova: Seja w = (x, y, z). Para calcular w · w, temos duas alternativas,
1a ) r =
√
x2 + y2 = 0 (x = y = 0). Deste modo calculamos o produto em (D
1
)
(pág. 8), w · w = (−z · z, 0, 0).
2a ) r =
√
x2 + y2 6= 0. Deste modo calcule o produto em (D
4
). �
Como exemplo, calculemos (i + j)2. Temos
i + j = (0, 1, 0) + (0, 0, 1) = (0, 1, 1) ⇒ x = 0, y = 1, z = 1.
Sendo assim, temos
(i + j)2 =
(
(x2 − y2) ·
(
1 − z
2
x2 + y2
)
, 2 x y ·
(
1 − z
2
x2 + y2
)
, 2z
√
x2 + y2
)
=
(
(02 − 12) ·
(
1 − 1
2
02 + 12
)
, 2 · 0 · 1 ·
(
1 − 1
2
02 + 12
)
, 2 · 1
√
02 + 12
)
= (0, 0, 2) = 2j
Exerćıcio: Seja w ∈ H, mostre que w · (−w) ∈ C.
Dado w = (x, y, z) ∈ H observamos que a cota de w2 tem o mesmo sinal
de z. Isto significa que ao multiplicarmos um hipercomplexo por ele mesmo o
resultado permanece no mesmo semi-espaço (z > 0 ou z < 0) de w. Vamos
mostrar que isto vale para qualquer potência de w.
Proposição 9. Seja w = (x, y, z) ∈ H. Temos,
Se wn = (x′, y′, z′), então sign (z′) = sign (z), ∀n ≥ 2.
Prova: Indução sobre n. Para n = 2 a proposição decorre do lema (1).
Suponhamos a proposição verdadeira para n = k. Isto é,
wk = (a, b, c), onde sign (c) = sign (z) (hipótese de indução)
E mostremos que vale para n = k + 1. Isto é,
wk+1 = (x′, y′, z′) ⇒ sign (z′) = sign (z) (tese de indução)
36
Então,
wk+1 = wk · w = (a, b, c) · (x, y, c)
=
(
(ax − by) γ, (ay + bx) γ, c r
2
+ z r
1
)
Temos z′ = c r
2
+ z r
1
, donde decorre a tese, tendo em conta a hipótese de
indução. �
Definição 8 (Reflexo). Dado o hipercomplexo w = (x, y, z) definimos como o
reflexo de w o hipercomplexo (x, y, −z). Notação: ẇ = (x, y, −z).
Temos a seguinte,
Proposição 10. Seja o hipercomplexo w = (a, b, c); se wn = (d, e, f), então
ẇn = (d, e, −f).
Prova: Indução sobre n. Sendo, ẇ = (a, b, −c); para n = 2, temos
w2 =
(
(a2 − b2) ·
(
1 − c
2
a2 + b2
)
, 2 a b ·
(
1 − c
2
a2 + b2
)
, 2c
√
a2 + b2
)
ẇ2 =
(
(a2 − b2) ·
(
1 − (−c)
2
a2 + b2
)
, 2 a b ·
(
1 − (−c)
2
a2 + b2
)
, 2(−c)
√
a2 + b2
)
Sendo assim a proposição resulta verdadeira para n = 2. Suponhamos verda-
deira para n = k, isto é,
Se wk = (d, e, f), então ẇk = (d, e, −f) (H.I.)
Mostremos que vale para n = k + 1, isto é,
Se wk+1 = (g, h, i), então ẇk+1 = (g, h, −i) (T.I.)
Vamos calcular os números wk+1 e ẇk+1 para efeito de comparação,
wk+1 = wk · w = (d, e, f) · (a, b, c) = (a, b, c) · (d, e, f)
=
(
(a · d − b · e)γ, (a · e + d · b)γ, c · r
2
+ f · r
1
)
(1.30)
Onde,
r1 =
√
a2 + b2 , r2 =
√
d 2 + e2 e γ = 1 − c · f
r1 · r2
Por outro lado, temos
ẇk+1 = ẇk · ẇ = (d, e, −f) · (a, b, −c) = (a, b, −c) · (d, e, −f)
=
(
(a · d − b · e)γ′, (a · e + d · b)γ′, (−c) · r
2
+ (−f) · r
1
)
=
(
(a · d − b · e)γ′, (a · e + d · b)γ′, −(c · r2
+ f · r
1
)
)
(1.31)
Onde,
r
1
=
√
a2 + b2 , r
2
=
√
d 2 + e2 e γ′ = 1 − (−c) · (−f)
r
1
· r
2
Comparando (1.30) e (1.31), e tendo em conta que γ = γ′, a proposição resulta
verdadeira! �
Gentil 37
Observe que,
w + ẇ ∈ C, w · ẇ ∈ C
Com o aux́ılio do lema 1 vamos deduzir uma fórmula para o cálculo de
w2 · w2, assim: Façamos
w2 =
(
(x2 − y2)λ, 2xyλ, 2zr
)
onde,
λ = 1 − z
2
x2 + y2
, r =
√
x2 + y2
Para o cálculo de w2 · w2, façamos,
r̃ =
√
(x2 − y2)2 λ2 + 4x2y2 λ2 = |λ|r2
λ̃ = 1 − (2zr)
2
(
(x2 − y2)λ )2 + (2xyλ)2
= 1 − 4z
2 r2
λ2 (x2 + y2)2
= 1 − 4z
2 r2
λ2 r4
= 1 − 4z
2
λ2 r2
= 1 − 4z
2
λ2 (x2 + y2)
Deste modo, sendo w2 · w2 = (X, Y, Z), devemos ter
X =
(
(x2 − y2)2 λ2 − 4x2y2λ2
)
λ̃
Y = 2
(
(x2 − y2)λ
)
· (2xyλ) · λ̃
Z = 2 · (2zr) · r̃
Simplificando,
X =
(
(x2 − y2)2 − 4x2y2
)
λ2 λ̃
Y = 4xy(x2 − y2)λ2 λ̃ (1.32)
Z = 4zr|λ|r2 = 4z(x2 + y2) 32 |λ|
38
Potenciação na forma trigonométrica
Para os números hipercomplexos vale uma versão (mais fraca) da lei de De
Moivre,
Proposição 11 (De Moivre). Dados o hipercomplexo w = ρ (cos θ ·cos β, sen θ ·
cosβ, sen β), não nulo, e o natural n ≥ 2, temos:
wn = ρn (cosn θ · cosn β, sen n θ · cosn β, sen nβ) (1.33)
desde que: cosβ ≥ 0, cos 2β ≥ 0, . . . , cos(n − 1)β ≥ 0.
Prova: Prinćıpio da Indução Finita. Para n = 2, a proposição é verdadeira
(devido à prop. 6).
Admitamos a validade da proposição para n = k − 1:
wk−1 = ρk−1
(
cos(k−1) θ ·cos(k−1)β, sen (k−1) θ ·cos(k−1)β, sen (k−1)β
)
onde, cosβ ≥ 0, cos 2β ≥ 0, . . . , cos
(
(k − 1) − 1
)
β ≥ 0.
E provemos que vale para n = k:
wk = wk−1 · w = ρk−1
[
cos(k − 1) θ · cos(k − 1)β, sen (k − 1) θ · cos(k − 1)β, sen (k − 1)β
]
· ρ (cos θ · cosβ, sen θ · cosβ, sen β)
Pela proposição 6 podemos escrever:
wk = (ρk−1 · ρ )
[
cos
(
(k − 1) θ + θ
)
· cos
(
(k − 1)β + β
)
,
sen
(
(k − 1) θ + θ
)
· cos
(
(k − 1)β + β
)
, sen
(
(k − 1)β + β
) ]
= ρk (cos k θ · cos k β, sen k θ · cos k β, sen kβ)
A fórmula (1.33) vale, por exemplo, para
−π
2
≤ (n − 1)β ≤ π
2
⇔ − π
2(n− 1) ≤ β ≤
π
2(n − 1) (1.34)
�
Gentil 39
1.9 Forma polar
As proposições 6 (pág. 33) e 7 nos permitem adotar uma outra notação
para os números hipercomplexos: a forma polar, assim designada,
w = ρ θ β
Exemplos: Exprimir os seguintes números na forma polar:
a) i b) j c) −1 d) 1 e) 1 +
√
3 i f) (1, −1, −
√
2).
Solução: Lembramos que,
ρ =
√
x2 + y2 + z2, cos θ · cosβ = x
ρ
, sen θ · cosβ = y
ρ
, senβ =
z
ρ
.
Temos,
a) i = (0, 1, 0), ρ =
√
02 + 12 + 02 = 1, temos
sen β =
z
ρ
=
0
1
= 0 ⇒ β = 0o (−90o ≤ β ≤ 90o)
cos θ · cos 0o = 01 = 0 ⇒ cos θ = 0
⇒ θ = 90o (0o ≤ θ < 360o)
sen θ · cos 0o = 11 = 1 ⇒ sen θ = 1
Sendo assim, temos: i = 1 90o 0o
b) j = (0, 0, 1), ρ =
√
02 + 02 + 12 = 1, temos
sen β =
z
ρ
=
0
1
= 0 ⇒ β = 0o
cos θ · cos 90o = 01 = 0 ⇒ θ = indeterminado.
sen θ · cos 90o = 01 = 0 ⇒ θ =indeterminado.
Escolhendo θ = 0o, obtemos: j = 1 0o 90o
c) −1 = (−1, 0, 0), ρ =
√
(−1)2 + 02 + 02 = 1, temos
sen β =
z
ρ
=
0
1
= 0 ⇒ β = 0o
cos θ · cos 0o = −11 = −1 ⇒ cos θ = −1
⇒ θ = 180o
sen θ · cos 0o = 01 = 0 ⇒ sen θ = 0
Sendo assim, temos: − 1 = 1 180o 0o
40
d) 1 = (1, 0, 0), ρ =
√
12 + 02 + 02 = 1, temos
sen β =
z
ρ
=
0
1
= 0 ⇒ β = 0o
cos θ · cos 0o = 11 = 1 ⇒ cos θ = 1
⇒ θ = 0o
sen θ · cos 0o = 01 = 0 ⇒ sen θ = 0
Sendo assim, temos: 1 = 1 0o 0o
e) 1 +
√
3 i = (1,
√
3, 0), ρ = 2, temos
sen β =
z
ρ
=
0
2
= 0 ⇒ β = 0o
cos θ · cos 0o = 12 ⇒ cos θ = 12
⇒ θ = 60o
sen θ · cos 0o =
√
3
2 ⇒ sen θ =
√
3
2
Sendo assim, temos: 1 +
√
3 i = 2 60o 0o
f) (1, 1, −
√
2), ρ = 2, temos
senβ =
z
ρ
=
−
√
2
2
⇒ β = −45o
cos θ · cos(−45o) = xρ = 12 ⇒ cos θ = 1√2
⇒ θ = 45o
sen θ · cos(−45o) = yρ = 12 ⇒ sen θ = 1√2
Sendo assim, temos: (1, 1, −
√
2) = 2 45o −45o
Multiplicação e divisão na forma polar
Para multiplicar ou dividir dois hipercomplexos na forma polar nos valemos
das proposições 6 (pág. 33) e 7, assim:
Dados, w
1
= ρ
1
θ1 β1 e w
2
= ρ
2
θ2 β2, temos:
M) Multiplicação
w1 · w2 = ρ1ρ2 θ1+θ2 β1+β2 (1.35)
D) Divisão
w
1
w
2
=
ρ
1
ρ
2
θ1−θ2 β1−β2 (1.36)
Exemplos: Realizar na forma polar as seguintes operações:
a) (−1) · i b) (j + 1)2 c) (j − 1)2 d) ( i+1 )
2
( j+1 )2 e)
(
j+1
j−1
)2
f) (i + j)2 g) (i − j)2 h) (j − i)2
Gentil 41
Solução:
a) Temos,
−1 = (−1, 0, 0) = 1 180o 0o
i = (0, 1, 0) = 1 90o 0o
Então,
−1 · i =
(
1 180o 0o
)
·
(
1 90o 0o
)
= 1 270o 0o
b) Temos,
j + 1 = (0, 0, 1) + (1, 0, 0) = (1, 0, 1) =
√
2 0o 45o
Então,
(j + 1)2 = (j + 1) · (j + 1) =
(√
2 0o 45o
)
·
(√
2 0o 45o
)
Portanto,
(j + 1)2 = 2 0o 90o = 2 j
Observe que,
(j + 1)2 = j2 + 2j + 1
c) Temos,
j − 1 = (0, 0, 1) − (1, 0, 0) = (−1, 0, 1) =
√
2 180o 45o
Então,
(j − 1)2 = (j − 1) · (j − 1) =
(√
2 180o 45o
)
·
(√
2 180o 45o
)
Portanto,
(j − 1)2 = 2 360o 90o = 2 j
Observe que,
(j − 1)2 = j2 − 2j + 1
Ou ainda,
(j + 1)2 = (j − 1)2
d) i + 1 =
√
2 45o 0o , j + 1 =
√
2 0o 45o . Temos
(i + 1)2
(j + 1)2
= 2
90o 0o
2 0o 90o
= 22 90
o−0o 0o−90o = 1 90o −90o = −j
e) j + 1 =
√
2 0o 45o , j − 1 =
√
2 180o 45o . Então,
j + 1
j − 1 =
√
2 0o 45o√
2 180o 45o
= 1 −180o 0o = −1
42
Sendo assim, temos
( j + 1
j − 1
)2
=
(
1 −180o 0o
)
·
(
1 −180o 0o
)
= 1 −360o 0o = 1
f) (i + j)2 = (i + j) · (i + j), temos
i + j = (0, 1, 0) + (0, 0, 1) = (0, 1, 1) =
√
2 90o 45o
Então,
(i + j)2 = (
√
2 90o 45o ) · (
√
2 90o 45o ) = 2 180o 90o= 2 0o 90o= 2j
Observe que, (i + j)2 6= i2 + 2 i j + j2. De fato,
i2 + 2 i j + j2 = −1 + 2 i j − 1 = −2 + 2j
Este fenômeno também ocorre na álgebra de matrizes. Lá o produto é
distributivo, mas não comutativo; aqui é comutativo, mas não distributivo.
g) (i − j)2 = (i − j) · (i − j), temos
i − j = (0, 1, 0) + (0, 0, −1) = (0, 1, −1) =
√
2 90o −45o
Então,
(i − j)2 = (
√
2 90o −45o) · (
√
2 90o −45o)
= 2 180o −90o = 2 0o −90o = −2j
Observe que, (i − j)2 6= i2 − 2 i j + j2. De fato,
i2 − 2 i j + j2 = −1 − 2 i j − 1 = −2 − 2j
h) (j − i)2 = (j − i) · (j − i), temos
j − i = (0, 0, 1) − (0, 1, 0) = (0, −1, 1) =
√
2 −90o 45o
Então,
(j − i)2 = (
√
2 −90o 45o) · (
√
2 −90o 45o)
= 2 −180o 90o= 2 0o 90o = 2j
Observe que (i − j)2 6= (j − i)2.
Gentil 43
Transformação de coordenadas
As calculadoras cient́ıficas trazem as transformações de coordenadas re-
tangular para polar (e vice-versa). Estas transformações podem ser aplicadas
ao plano complexo:
p
q
0 x
y (x, y)
r
)θ
8
>
<
>
:
x = r cos θ
y = r sen θ
(r, θ)→ (x, y)
8
>
>
<
>
>
:
θ = tg−1 (y/x)
r =
√
x2 + y2
(x, y)→ (r, θ)
Para o caso dos números hipercomplexos, o ângulo θ é o mesmo for-
necido pelas calculadoras; o módulo ( ρ ) e ângulo β são obtidos da seguinte
forma:
0
z
X
x
Y
y
Z
(x, y, z)
ρ
rθ
β
8
>
>
<
>
>
:
β = tg−1 (z/r)
ρ =
√
x2 + y2 + z2
Dado um número na forma polar, a transformação para a forma retan-
gular é obtida da seguinte forma:
w = ρ θ β ⇒



x = ρ cos θ cosβ
y = ρ sen θ cosβ
z = ρ senβ
(1.37)
Na verdade existem calculadoras (HP por exemplo) que já trazem estas
transformações no espaço (coordenadas esféricas).
No apêndice (pág. 147) damos um programa para a transformação de
coordenadas retangulares para polares.
Importante!
Dado um hipercomplexo w = ρ θ β com argumento (θ, β) podemos
(para efeito de cálculos, quando necessário) usar o programa citado acima para
escrevê-lo como w = ρ θ0 β0 em função do argumento principal (θ
0
, β
0
).
Por exemplo, seja o hipercomplexo w = 1 45o 120o para escrevê-lo em
função do argumento principal vamos, antes, transformá-lo para coordenadas
44
retangulares, assim:
w = 1 45o 120o ⇒



x = 1 cos 45o cos 120o
y = 1 sen 45o cos 120o
z = 1 sen 120o
Levando os valores,
x = −
√
2
4 , y = −
√
2
4 , z = −
√
3
2
no programa, obtemos w = 1 225o 60o , portanto, podemos escrever
1 45o 120o = 1 225o 60o
Observe a localização de w:
Y
Z
X
w
Nota: Óbviamente que podemos escrever w em funçãodo argumento prin-
cipal, diretamente (isto é, sem passar pelas coordenadas retangulares), assim:
1 45o 120o = 1 180o+45o 180o−120o
= 1 225o 60o
A versão da lei de De Moivre em coordenadas polares fica assim,
Proposição 12 (De Moivre). Dados o hipercomplexo w = ρ θ β , não nulo,
e o natural n ≥ 2, temos:
wn = ρn nθ nβ (1.38)
desde que: cosβ ≥ 0, cos 2β ≥ 0, . . . , cos(n − 1)β ≥ 0.
Exemplo: Seja o número w =
( √
6
2 ,
√
6
2 , 1
)
, calcule w5.
Solução: Escrevendo este número em coordenadas polares temos w = 2
π
4
π
6 .
Substituindo β = π6 na desigualdade (1.34), temos
− π2(n−1) ≤ π6 ≤ π2(n−1) ⇒ n ≤ 4.
Isto significa que pela fórmula de De Moivre podemos calcular só até a quarta
potência. Então,
w4 = 24 4·
π
4 4·π6 = 16 π
2π
3
Gentil 45
Observe que cos 2π3 = cos 120
o < 0, razão porque não pudemos calcular w5
diretamente por (1.38). Mas, isto não constitui nenhum empecilho uma vez que
podemos reescrever w4 em função do argumento principal, assim:
w4 = 16 π
2π
3 = 16 π+π π−
2π
3 = 16 0
π
3
Observe que, θ = 2π ≃ 0. Pois bem,
w5 = w4 · w = 16 0 π3 · 2 π4 π6
= 16 · 2 0+ π4 π3 + π6 = 32 π4 π2
Voltando para a forma retangular, obtemos (ver (4.3), pág. 139)
w5 = 32
π
4
π
2 ⇒



x = 32 cos π4 cos
π
2 = 0
y = 32 sen π4 cos
π
2 = 0
z = 32 sen π2 = 32
Portanto,
( √
6
2 ,
√
6
2 , 1
)5
= (0, 0, 32)
Ou ainda,
( √
6
2 + i
√
6
2 + j
)5
= 32j
1.9.1 Interpretação geométrica da multiplicação hipercom-
plexa
Agora iremos dar uma interpretação geométrica ao produto hipercomplexo.
No caso particular dos complexos ( plano - C ) e dos hipercomplexos bidimen-
sionais ( plano H − 2D ) já sabemos o que acontece ( ver [5] ).
Adotaremos a seguinte notação:
j ( 2 ) w = j j w ⇒ j ( 2 ) w = j ( j w )
j ( 3 ) w = j j j w ⇒ j ( 3 ) w = j
(
j ( j w )
)
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Antes de mais nada observamos, pela multiplicação na forma polar, que a
interpretação geométrica desta operação é a de uma rotação∗ no espaço; entre-
tanto vejamos algumas situações particulares:
I ) Multiplicação de j por um número complexo z = (x, y, 0). Temos
(0, 0, 1) · (x, y, 0) =
(
− 1·0·xr
2
, − 1·0·yr
2
, 1 · r
2
)
= (0, 0,
√
x2 + y2)
Portanto,
j · z = ( 0, 0, |z| )
Observe que se |z| = 1 (ćırculo unitário no plano complexo) então j ·z = j.
Conclusão: multiplicar j por um número complexo significa rotacioná-lo de 90o
na “vertical”, assim:
∗Numa rotação não há alteração de módulo; cometeremos um abuso de linguagem igno-
rando este pormenor.
46
Y
Z
j
z
R
Plano C
Y
Z
jz
z
R
Plano C
II ) Multiplicação de j por um número hipercomplexo w = (x, y, z). Temos
j = 1 · (cos 0 · cos π
2
, sen 0 · cos π
2
, sen
π
2
)
w = ρ (cos θ · cosβ, sen θ · cosβ, sen β)
Então,
jw = ρ
(
cos θ · cos
(
β +
π
2
)
, sen θ · cos
(
β +
π
2
)
, sen
(
β +
π
2
))
Conclusão: multiplicar j por um número hipercomplexo significa rotacioná-lo
de 90o “para cima”, assim:
Y
Z
X
j
w
Y
Z
X
jw
Nota: Óbviamente que o caso anterior ( jz ) é um caso particular deste ( jw ).
Dado w = (x, y, z) ∈ H, desejamos agora analisar o produto j ( 2 ) w, em
Gentil 47
coordenadas retangulares. Então∗,
jw = (0, 0, 1) · (x, y, z)
=
(
− 1·z·xr
2
, − 1·z·yr
2
, r
2
)
=
(
− xzr
2
, − yzr
2
, r
2
)
onde, r
2
=
√
x2 + y2. Observe que a aplicação,
(x, y, z) 7−→
(
− xz√
x2+y2
, − yz√
x2+y2
,
√
x2 + y2
)
é uma rotação de 90o no plano que passa pelo eixo Oz e o ponto w. Continuando,
j ( 2 ) w = (0, 0, 1) ·
(
− xzr
2
, − yzr
2
, r
2
)
=
(
−
1·r
2
·−xz
r
2
r′
2
, −
1·r
2
·−yz
r
2
r′
2
, 1 · r′
2
)
onde,
r′
2
=
√(
− xzr
2
)2
+
(
− yzr
2
)2
= |z|
Sendo assim, resulta,
j ( 2 ) w =
( x z
|z| ,
y z
|z| , |z|
)
Ou ainda,
j ( 2 ) w =
( x z
|z| ,
y z
|z| , |z|
)
=
{
w, se z > 0;
−w, se z < 0.
III ) Multiplicação de um complexo z por um hipercomplexo w. Temos∗
z = (cos θ
1
· cos 0, sen θ
1
· cos 0, sen 0)
w2 = ρ2 (cos θ2 · cosβ2 , sen θ2 · cosβ2 , sen β2)
Então,
zw = ρ
2
(
cos
(
θ
1
+ θ
2
)
· cosβ
2
, sen
(
θ
1
+ θ
2
)
· cosβ
2
, sen β
2
)
Conclusão: multiplicar um número complexo z por um hipercomplexo w sig-
nifica rotacionar w de θ
1
graus “para a direita”; não há rotação “para cima”,
assim:
∗Para nossa análise vamos considerar w um hipercomplexo não-singular.
∗Para nossa análise vamos considerar o complexo de módulo unitário, não faz mal.
48
Y
Z
X
w
z
Y
Z
X
w
zw
θ
1
Vejamos esta multiplicação em coordenadas retangulares. Sejam, z =
(cos θ, sen θ, 0) e w = (x, y, z). Temos,
zw = (cos θ, sen θ, 0) · (x, y, z)
=
(
(x cos θ − y sen θ) γ, (y cos θ + x sen θ) γ, 0 · r2 + z · r1
)
onde, r
1
=
√
cos2 θ + sen 2θ = 1, r
2
=
√
x2 + y2 e γ = 1. Então,
zw =
(
x cos θ − y sen θ, y cos θ + x sen θ, z
)
O que confirma o resultado anterior.
IV ) Multiplicação e divisão de dois hipercomplexos.
Para interpretar o produto w
1
· w
2
, convencionaremos chamar o fator à
direita (isto é, w
2
) de indutor e o fator à esquerda de induzido.
Quando, na forma trigonométrica (ou polar) do produto (ou quociente)
comparece a soma θ1 + θ2 dizemos que houve uma rotação positiva na pri-
meira variável (variável θ); em θ
1
−θ
2
dizemos que houve uma rotação negativa;
análogamente com respeito à segunda variável (β ).
A partir das proposições 6 e 7, pág. 33, (ou suas similares pág. 40)
não é dif́ıcil inferir o significado geométrico destas operações. Por exemplo, a
multiplicação,
w1 · w2 = ρ1ρ2
(
cos(θ1 + θ2) · cos(β1 + β2), sen (θ1 + θ2) · cos(β1 + β2), sen (β1 + β2)
)
pode ser interpretada da seguinte forma: o número w1 sofreu uma rotação
(+, + ) de argumento ( θ
2
, β
2
). A divisão,
w1
w
2
=
ρ1
ρ
2
θ1−θ2 β1−β2
pode ser interpretada da seguinte forma: o número w
1
sofreu uma rotação
(−, − ) de argumento ( θ
2
, β
2
).
Exemplos: Vejamos um exemplo concreto: multiplicar os números,
w
1
= 1 30o 45o , w
2
= 1 225o 60o
Gentil 49
Temos,
w
1
· w
2
= 1 · 1 30o+225o 45o+60o = 1 255o 105o
Podemos interpretar este produto dizendo que w
1
sofre uma rotação (+, + )
de argumento ( 225o, 60o ). Graficamente, temos
Y
Z
X
w
2
Y
Z
X
w
2 w
1
·w
2
Temos,
w
1
· w
2
= 1 255o 105o = 1 75o 75o
Vejamos um exemplo envolvendo divisão: No hipercomplexo
( √
2
2 ,
√
6
2 ,
√
2
)
dar uma rotação (−, −) de argumento (90o, 60o).
Solução: Por (1.36) (pág. 40), devemos realizar a seguinte divisão:
w
1
w
2
=
( √
2
2 ,
√
6
2 ,
√
2
)
1 90o 60o
Temos duas alternativas para esta divisão: em coordenadas polares ou
em coordenadas retangulares. Façamos das duas formas:
a) Forma Polar. Temos
w1
w
2
= 2
60o 45o
1 90o 60o
= 2 60o−90o 45o−60o = 2 −30o −15o
b) Forma retangular. Temos
w
1
w
2
=
( √
2
2 ,
√
6
2 ,
√
2
)
(
0, 12 ,
√
3
2
) =
( √
2
2 ,
√
6
2 ,
√
2
)
·
(
0,− 12 ,−
√
3
2
)
Realizando este produto encontramos,
w
1
w2
=
(
(1+
√
3 )·
√
6
4 , −
(1+
√
3 )·
√
2
4 , −
√
6−
√
2
2
)
Podemos usar o programa dado no apêndice para transformar este número
para a forma polar, então
(
(1+
√
3 )·
√
6
4 , −
(1+
√
3 )·
√
2
4 , −
√
6−
√
2
2
)
= 2 −30o −15o
Geometricamente, temos
50
Y
Z
X
w1
w
2
Y
Z
w1
w
2
w
1
w2
Temos,
(
(1+
√
3 )·
√
6
4 , −
(1+
√
3 )·
√
2
4 , −
√
6−
√
2
2
)
≃ (1, 673; −0, 966; −0, 518)
Rotação em torno da origem
Segundo a proposição 6 (pág. 33) se multiplicarmos o número
w
1
= 1 · (cos θ · cosβ, sen θ · cosβ, senβ) pelo ponto (número) w = (x, y, z)
obteremos uma rotação, deste último, de um ângulo (θ, β). Para atender a
referida proposição basta escolher −π2 ≤ β ≤ π2 (isto é, cosβ ≥ 0).
Para obter a rotação - de argumento (θ, β) - de um ponto w = (x, y, z),
em torno da origem, devemos realizar o produto:
(cos θ · cosβ, sen θ · cosβ, sen β) · (x, y, z)
Vamos calcular este produto para o caso especial em que,
r1 =
√
(cos θ · cosβ)2+ ( sen θ · cosβ)2 = | cosβ| = cosβ 6= 0 ⇒ β 6= ±π
2
.
e w fora do eixo Oz. Sendo assim, multiplicamos em (D
4
):
(
(x·cos θ·cosβ−y· sen θ·cosβ)γ, (y·cos θ·cos β+x· sen θ·cosβ)γ, senβ·r
2
+z·cosβ
)
Onde, r
2
=
√
x2 + y2 e γ = 1 − z senβ
cos β
√
x2+y2
, isto é, γ = 1 − z√
x2+y2
tgβ.
Façamos,
x′ =(x cos θ cosβ − y sen θ cosβ) γ
y′ =(y cos θ cosβ + x sen θ cosβ) γ
z′ =
√
x2 + y2 · senβ + z · cosβ
Exemplos:
a ) Rotacione w = ( 1, 0, 0 ) de um ângulo (45o, 45o).
Gentil 51
Temos,
x′ =(1 cos 45o cos 45o − 0 sen 45o cos 45o) · 1 = 1
2
y′ =(0 cos 45o cos 45o + 1 sen 45o cos 45o) · 1 = 1
2
z′ =
√
12 + 02 · sen 45o + 0 · cos 45o =
√
2
2
Observe que,
|w′| =
√
(
1
2
)2
+
(
1
2
)2
+
( √
2
2
)2
= 1 = |w|
b ) Rotacione w = ( 1, −1, 2 ) de um ângulo (135o, −30o).
Temos,
x′ =(1 cos 135o cos−30o − (−1) sen 135o cos−30o) ·
(
1 +
√
6
3
)
y′ =(−1 cos 135o cos−30o + 1 sen 135o cos−30o) ·
(
1 +
√
6
3
)
z′ =
√
12 + (−1)2 · sen − 30o + 2 · cos−30o
Então,
x′ =
(
1
(
−
√
2
2
)
√
3
2
+ 1
√
2
2
√
3
2
)
·
(
1 +
√
6
3
)
= 0
y′ =
(
− 1
(
−
√
2
2
)
√
3
2
+ 1
√
2
2
√
3
2
)
·
(
1 +
√
6
3
)
= 1 +
√
6
2
z′ =
√
2 ·
(
− 1
2
)
+ 2 ·
√
3
2
=
√
3 −
√
2
2
Observe que,
|w′| =
√
02 +
(
1 +
√
6
2
)2
+
(√
3 −
√
2
2
)2
=
√
6 = |w|
Geometricamente, os exemplos anteriores ficam
w
X
Y
Z
w′
w
X
Y
Z
w′
52
c ) Na figura a seguir, rotacionamos o triângulo de vértices,
( 1 ) :
( 1
2
, 0, 0
)
, ( 2 ) :
(
1, 0, 0
)
, ( 3 ) :
(
1, 0, 1
)
X
Y
Z
( 1 )
( 2 )
( 3 )
( 1 ) ( 2 )
( 3 )
X
Y
Z
( 1 )
( 2 )
( 3 )
( 1 )′
( 2 )′
( 3 )′
X
Y
Z
de um ângulo (90o, 45o).
Na figura do centro temos o triângulo original rotacionado de θ = 90o e
β = 0o (triângulo “intermediário”).
Calculemos as coordenadas de cada um dos vértices do triângulo rotacio-
nado.
Vértice: ( 1 )′. Temos ( 1 ) :
(
1
2 , 0, 0
)
. Então,
x′ =
(
1
2 cos 90
o cos 45o − 0 sen 90o cos 45o
)
· 1 = 0
y′ =
(
0 cos 90o cos 45o + 12 sen 90
o cos 45o
)
· 1 =
√
2
4
z′ =
√
( 12 )
2 + 02 · sen 45o + 0 · cos 45o =
√
2
4
Então, ( 1 )′ :
(
0,
√
2
4 ,
√
2
4
)
.
Vértice: ( 2 )′. Temos ( 2 ) :
(
1, 0, 0
)
. Então,
x′ =
(
1 cos 90o cos 45o − 0 sen 90o cos 45o
)
· 1 = 0
y′ =
(
0 cos 90o cos 45o + 1 sen 90o cos 45o
)
· 1 =
√
2
2
z′ =
√
12 + 02 · sen 45o + 0 · cos 45o =
√
2
2
Então, ( 2 )′ :
(
0,
√
2
2 ,
√
2
2
)
.
Vértice: ( 3 )′. Temos ( 3 ) :
(
1, 0, 1
)
. Então,
x′ =
(
1 cos 90o cos 45o − 0 sen 90o cos 45o
)
· 0 = 0
y′ =
(
0 cos 90o cos 45o + 1 sen 90o cos 45o
)
· 0 = 0
z′ =
√
12 + 02 · sen 45o + 1 · cos 45o =
√
2
Então, ( 2 )′ :
(
0, 0,
√
2
)
.
Gentil 53
Porque a multiplicação em R3 não poderia ser associativa
Daremos agora uma justificativa - geométrica - pela qual não se deve-
ria esperar uma multiplicação em R3 associativa. Assumiremos, únicamente,
que uma tal multiplicação, como ocorre em R2, resulta em uma rotação. Va-
mos retomar o exemplo 4o ), pág. 10. Neste exemplo resolvemos a equação:
(1, −1, 2) · w = (1, 0, 3) e mostramos que a mesma tem duas soluções,
w′ =
( 1 + 3
√
2
6
,
1 + 3
√
2
6
,
−2 + 3
√
2
6
)
= 1, 29 45, 00o 16, 83o
e
w′′ =
( 1 − 3
√
2
6
,
1 − 3
√
2
6
,
2 + 3
√
2
6
)
= 1, 29 225, 00o 53, 70o
Isto significa que podemos ir do ponto a = (1, −1, 2) ao ponto b = (1, 0, 3) (ou
ainda: superpor o ponto a ao ponto b) por dois “caminhos” distintos; caminhos
estes dados por w′ e w′′. Isto podemos ver no gráfico seguinte,
a
R
R
R
b
E o que aconteceria se tivéssemos resolvido a equação a · w = b supondo a
multiplicação associativa? Isto é,
a · w = b ⇔ a−1 · (a · w) = a−1 · b ⇔ w = a−1 · b
Temos,
a−1 =
( 1
6
,
1
6
,
−2
6
)
⇒ w =
( 1
6
,
1
6
,
−2
6
)
· (1, 0, 3) = 1, 29 45, 00o 16, 83o
Uma única solução. Ou seja, estariamos perdendo “informação”. Ou ainda: se
a multiplicação fosse associativa, isto não refletiria a “realidade” ; isto é, o fato
de podermos ir de a para b por dois caminhos distintos.
De outro modo: No plano a equação a ·w = b tem apenas uma solução por-
que temos uma única alternativa de irmos de a para b através de uma rotação;
agora com uma dimensão a mais (isto é, saindo do plano para o espaço) se
nos apresenta mais um caminho; isto se deve, como já vimos, ao fato de a
multiplicação não ser associativa. Ou melhor: isto vai se refletir na não associ-
atividade da multiplicação.
54
Porque a multiplicação em R3 não poderia ser distributiva
Para justificar porque o “natural” é que a multiplicação em R3 não seja
distributiva, podemos tecer comentários análogos ao do caso anterior, só que
agora invocando o problema clássico resolvido à pág. 30. De fato, vamos resolver
este problema aplicando a distributividade na equação (1.25) (pág. 31), assim
10x′ + x′ · (−x′) = 40
Temos,
x′ · (−x′) = (x, y, z) · (−x, −y, −z)
=
(
(−x2 + y2)γ, (−xy − xy)γ, zr2 + (−z)r1
)
onde, r
1
=
√
x2 + y2, r
2
=
√
(−x)2 + (−y)2, γ = 1 − z·(−z)r
1
·r
2
= 1 + z
2
x2+y2 .
Portanto,
x′ · (−x′) =
(
(−x2 + y2)γ, −2xyγ, 0
)
10x′ = (10x, 10y, 10z)
Sendo assim, resulta
10x′ + x′ · (−x′) =
(
10x + (−x2 + y2)γ, 10y − 2xyγ, 10z
)
= (40, 0, 0)
Portanto,



10x + (−x2 + y2)γ = 40
10y − 2xyγ = 0
10z = 0
Temos, z = 0 ⇒ γ = 1. Prosseguindo, encontramos uma única solução:
x′ = (5,
√
15, 0) e y′ = (5, −
√
15, 0); que é a solução complexa.
Conclusão: Estamos perdendo infinitas soluções; ou ainda: a distributivi-
dade nos “esconde” a “maioria” das soluções.
Vê-se, nestes exemplos, que a multiplicação não ser associativa e nem dis-
tributiva, redunda em vantagens.
Gentil 55
1.10 Radiciação
Definição 9. Dado um número hipercomplexo w, chama-se raiz enésima de w,
e denota-se, n
√
w, a um número hipercomplexo w
k
tal que wn
k
= w. Então,
n
√
w = w
k
⇐⇒ wn
k
= w
Exemplos: Calcular,
a)
√
1 b)
√
−1 c) √j d) √1 + i + j e) √1 − j f) 4√1 + i + j
Solução: a) Pela definição, temos
√
1 = (x, y, z) = w ⇔ (x, y, z)2 = 1.
Para resolver esta equação temos duas alternativas:
1a ) r =
√
x2 + y2 = 0 (x = y = 0), sendo assim, pelo lema 1 (pág. 35), resulta,
w2 = (−z2, 0, 0) = (1, 0, 0) ⇒ −z2 = 1 ⇒ z2 = −1.
Esta possibilidade está descartada, porquanto z é real.
2a ) r =
√
x2 + y2 6= 0. Pelo lema 1 devemos ter,
w2 =
(
(x2 − y2) ·
(
1− z
2
x2 + y2
)
, 2 x y ·
(
1− z
2
x2 + y2
)
, 2z
√
x2 + y2
)
= (1, 0, 0)
De imediato concluimos que z = 0, no que resulta:
{
x2 − y2 = 1
x y = 0
Da segunda equação concluimos que x = 0 ou y = 0, da primeira equação
concluimos que x 6= 0; portanto y = 0. Resultando, x = ± 1. Portanto, são em
número de duas as ráızes quadradas de 1:
√
1 = (1, 0, 0) ⇒
√
1 = 1.
√
1 = (−1, 0, 0) ⇒
√
1 = −1.
b) Por definição de raiz quadrada, temos
√
−1 = (x, y, z) = w ⇔ (x, y, z)2 = −1.
Para resolver esta equação temos duas alternativas:
1a ) r =
√
x2 + y2 = 0 (x = y = 0), sendo assim, pelo lema 1, resulta,
w2 = (−z2, 0, 0) = (−1, 0, 0) ⇒ −z2 = −1 ⇒ z2 = 1 ⇒ z = ± 1.
Neste caso, temos duas ráızes quadradas de -1: (0, 0, 1) = j e (0, 0,−1) = −j.
2a ) r =
√
x2 + y2 6= 0. Pelo lema 1 devemos ter,
w2 =
(
(x2−y2)·
(
1− z
2
x2 + y2
)
, 2 x y ·
(
1− z
2
x2 + y2
)
, 2z
√
x2 + y2
)
= (−1, 0, 0)
56
De imediato concluimos que z = 0, no que resulta:
{
x2 − y2 = −1
x y = 0
Da segunda equação concluimos que x = 0 ou y = 0, da primeira equação
concluimos que y 6= 0; portanto x = 0. Resultando, y = ± 1. Portanto, temos
mais duas ráızes quadradas de -1:
√
−1 = (0, 1, 0) ⇒
√
1 = i.
√
−1 = (0, −1, 0) ⇒
√
1 = −i.
Resumindo, temos quatro valores para
√
−1, quais sejam:
√
−1 = ± i,
√
−1 = ± j.
c) Por definição de raiz quadrada, temos
√
j = (x, y, z) = w ⇔ (x, y, z)2 = j.
Para resolver esta equação temos duas alternativas:
1a ) r =
√
x2 + y2 = 0 (x = y = 0), sendo assim, pelo lema 1, resulta,
w2 = (−z2, 0, 0) = (0, 0, 1)
Está possibilidade está excluida.
2a ) r =
√
x2 + y2 6=