Questão resolvida - Resolva a equação diferencial ordinária de segunda ordem y'' y sen(x) x de valor inicial y()0 e y'()2 - EDO - Cálculo II

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Resolva a equação diferencial ordinaria de segunda ordem de valores y'' + y = sen x + x( )
iniciais y π = 0 e y' π = 2.( ) ( )
 
Resolução:
 
A solução geral de uma EDO de 2° ordem é a soma da solução homogênea com a particular;
 
y = y + yG H P
 
Primeiro vamos achar a solução homogênea , nessa EDO, a equação homogênea yH
associada é dada por;
 
y'' + y = 0
Vamos fazer a seguinte substituição;
 
y'' = 𝜆 e y = 𝜆 = 12 0
 
y'' + y = 0 𝜆 + 1 = 0→ 2
 
Resolvendo essa equação para ;𝜆
 
𝜆 + 1 = 0 𝜆 = - 1 𝜆 = ±2 → 2 → -1
 
𝜆 = ±1i = 0 ± 1i
 
 
(1)
A solução da equação homogênea é genericamente dada por;
 
y = C ⋅ e cos bx + C ⋅ e sen bxH 1
a⋅x ( ) 2
a⋅x ( )ax
 
Onde: é a parte real e é a parte imaginária do número comprexo obtido na solução em 1, a b
(considerando em módulo), substituindo;b
 
y = C ⋅ e cos 1 ⋅ x + C ⋅ e sen 1 ⋅ x y = C ⋅ e cos x + C ⋅ e sen xH 1
0⋅x ( ) 2
0⋅x ( ) → H 1
0 ( ) 2
0 ( )
 
y = C ⋅ 1 ⋅ cos x + C ⋅ 1 ⋅ sen xH 1 ( ) 2 ( )
 
y = C cos x + C sen xH 1 ( ) 2 ( )
 
Agora, devemos encontrar a solução particular da EDO, perceba que o segundo membo yP
da EDO é composto por 2 funções, uma função trigonômetrica e outra função poliminial de 
grau , com isso, a estrutura da solução que queremos é:3
 
y = Ax + B + Cxcos x + Dxsen xp ( ) ( )
 
Precisamos derivar essa função 2 vezes, como feito a seguir;
 
y = Ax + B + Cxcos x + Dxsen xp ( ) ( )
 
y' = A + Ccos x - Cxsen x + Dsen x + Dxcos xp ( ) ( ) ( ) ( )
 
y" = - Csen x + -Csen x + cos x -Cx + Dcos x + Dcos x + -sen x Dxp ( ) ( ( )) ( ( ))( ) ( ) ( ) ( ( ))
 
y" = - Csen x - Csen x - Cxcos x + Dcos x + Dcos x - Dxsen xp ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 
y" = - 2Csen x + 2Dcos x - Cxcos x - Dxsen xp ( ) ( ) ( ) ( )
 
Agora, substituimos as expressões e na EDO;3 5
 
Ax + B - 2Csen x + 2Dcos x = sen x + x( ) ( ) ( )
 
 
-2Csen x + 2Dcos x - Cxcos x - Dxsen x + Ax + B + Cxcos x + Dxsen x = sen x + x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 
(2)
(3)
(4)
(5)
Da igualdade obtida, podemos formar o seguinte sistema;
 
A = 1 
B = 0 
-2C = 1 
2D = 0 
Temos que:
A = 1, B = 0
 
-2C = 1 C = -→
1
2
 
2D = 0 D = D = 0→
0
2
→
 
Achadas as contantes, temos que a solução particular (expressão ) é;yP 3
 
y = 1x + 0 + - xcos x + 0xsen x y = x - xcos xp
1
2
( ) ( ) → p
1
2
( )
 
Encontradas as soluções homogênea e particular , temos que a solução geral da EDO yH yP
é dada por:
 
y = C cos x + C sen x + x - xcos xG 1 ( ) 2 ( )
1
2
( )
 
Vamos derivar a equação geral encontrada para podermos usar o problema de valor inicial 
dado;
 
y' = - C sen x + C cos x + 1 - cos x + - x -sen xG 1 ( ) 2 ( )
1
2
( )
1
2
( ( ))
 
y' = - C sen x + C cos x + 1 - cos x + xsen xG 1 ( ) 2 ( )
1
2
( )
1
2
( )
 
 
(6)
(7)
Substituindo o valores , respectivamente, em 6 e 7, temos;y π = 0, y' π = 2( ) ( )
 
y π = C cos π + C sen π + π - πcos π = 0G( ) 1 ( ) 2 ( )
1
2
( )
 
C -1 + C ⋅ 0 + π - π -1 = 0 -C + 0 + π+ = 0 -C + = 01( ) 2
1
2
( ) → 1
𝜋
2
→ 1
2𝜋 + 𝜋
2
 
-C + = 0 -C = - × -11
3𝜋
2
→ 1
3𝜋
2
( )
 
 
C =1
3𝜋
2
 
 
y' π = - C sen π + C cos π + 1 - cos π + π sen π = 2G( ) 1 ( ) 2 ( )
1
2
( )
1
2
( ) ( )
-C + = 2 -C + = 2 -C = 2 - -C = -C =2
2 + 1
2
→ 2
3
2
→ 2
3
2
→ 2
4 - 3
2
→ 2
1
2
 
C = -2
1
2
 
Encontrados os valores de e , a solução do problema de valor inicial é:C1 C2
 
y = cos x + - C sen x + x - xcos xG
3𝜋
2
( )
1
2
2 ( )
1
2
( )
 
y = cos x - sen x + x - xcos xG
3𝜋
2
( )
1
2
( )
1
2
( )
 
 
y' π = - C ⋅ 0 + C -1 + 1 - -1 + π ⋅ 0 = 2 -C + 1 + = 2G( ) 1 2( )
1
2
( )
1
2
( ) → 2
1
2
(Resposta)