Aula_01_Probabilidade (1)

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CMIP- Centro de Metrologia e Inovação em ProcessosUFSC- UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
Profª Andréa
Fundamentos de Probabilidade
Introdução
Na última vez que você saiu de casa, carregou um guarda-chuva? 
E se soubesse, antes de sair, que havia 95% de possibilidade de 
chover naquele dia?
Se você soubesse, hoje, que há 80% de possibilidade de chover, 
você avaliaria com mais cuidado a idéia de lavar o carro por fora, 
concorda?
Se um médico afirmasse que há somente 30% de possibilidade de 
sucesso em uma cirurgia, você se submeteria a esta cirurgia?
Introdução
Em muitos casos, não podemos prever o que ocorrerá, mas
podemos enumerar o que poderá ocorrer e associar a cada
situação sua possibilidade de ocorrência.
As probabilidades são usadas para associar, a cada fato possível,
sua respectiva possibilidade de ocorrência.
Se há 80% de possibilidade de chover então há 20% de
possibilidade de não chover.
Introdução
Assim como decidimos lavar ou não o carro, fazer ou não
cirurgias, podemos utilizar probabilidade para cálculo de custos
de produção, elaboração de orçamentos, compra de ações,
contratação de novos empregados, e para outros fins.
As probabilidades são úteis porque nos ajudam a desenvolver
estratégias.
Assim há muitos experimentos que mesmo repetidos em
condições idênticas apresentam resultados diferentes.
Pode-se dizer que o resultado de cada um desses eventos é
imprevisível.
Fenômenos desse tipo, cujos resultados dependem do acaso, são
chamados de fenômenos aleatórios.
Pelo fato de não sabermos antecipadamente os resultados de
fenômenos aleatórios, é importante aprendermos calcular as
chances de um resultado ocorrer.
Introdução
Definições
Experimento Aleatório: procedimento que, ao ser repetido sob as 
mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes.
Exemplos
Experimento Resultado Experimental
Jogar uma moeda Cara, Caroa
Lançar um dado 1,2,3,4,5,6
Jogar futebol Ganhar, perder, empatar
Construção de um Modelo Probabilístico
Nos casos em que os possíveis resultados de um experimento
aleatório podem ser listados, um modelo probabilístico pode ser
entendido como a listagem desses resultados, acompanhadas de
suas respectivas probabilidades.
Espaço Amostral (S) ou 
Geralmente denotado por S ou pela letra grega ômega .
O ESPAÇO AMOSTRAL é o conjunto de TODOS os resultados
possíveis de um experimento aleatório. Para cada experimento
aleatório haverá um espaço amostral único associado a ele.
Exemplos
1. Lançamento de um dado e observação da face voltada para 
cima.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. Retirada de uma carta de um baralho de 52 cartas e 
observação do naipe. 
S = {copas, espadas, ouros, paus}
Espaço Amostral (S) ou 
Exemplos
4. A observação do diâmetro em mm, de um eixo produzido 
em uma metalúrgica.
S = {d, tal que d > 0}
5. Exame de sangue (tipo sanguíneo).
S = {A, B, AB, O}
6. Hábito de fumar.
S = {Fumante, Não fumante}
3. Mensagens que são transmitidas corretamente por dia em 
uma rede de computadores. 
S = {0, 1, 2, 3, ... }
Eventos
Chamamos de evento a qualquer subconjunto do espaço amostral:
A é um evento ⇔A ⊆ S
Lê-se: A é um subconjunto do espaço amostral S.
Exemplo 1:
Seja o experimento do lançamento de um dado. 
Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
São exemplos de eventos: 
A = número par do dado = {2, 4, 6}
B = número maior que 2 do dado = {3, 4, 5, 6}
C = número 6 = {6}
Exemplo 2: Seja o espaço amostral S =  9;7;2;1 , determine os eventos: 
A: ser número ímpar; → A =  9;7;1 
 
B: ser número fracionário: → B = Ø 
 
C: ser positivo; → C =  9;7;2;1 
 
Eventos
Exemplo 3: Sejam os experimentos:
Eventos
Operações entre Eventos
Existem as seguintes operações entre eventos que são: 
Seja o experimento aleatório lançamento de um dado não viciado e
observação da face voltada para cima: o seu espaço amostral será
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Definindo três eventos: E1 = {2, 4, 6}, E2 = {3, 4, 5, 6} e E3 = {1, 3}
▪União
▪ Intersecção
▪ Complementar.
Exemplo
Evento União
União: Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos
E1 = {2, 4, 6}, E2 = {3, 4, 5, 6} e E3 = {1, 3}
Evento União de E1 com E2 (E1  E2 ): evento que ocorre se E1 OU E2 OU
ambos ocorrem.
E1 E2
E1  E2
S
E1  E2 = {2, 3, 4, 5, 6}
Composto por todos os resultados que pertencem a um ou ao outro, ou a 
ambos.
Diagrama de Venn
Espaço Amostral
Evento
Evento
Evento Intersecção
Intersecção : Representa a ocorrência simultânea dos eventos
E1 = {2, 4, 6}, E2 = {3, 4, 5, 6} e E3 = {1, 3}
Evento Intersecção de E1 com E2 (E1  E2 ) : evento que ocorre se E1 E E2
ocorrem SIMULTANEAMENTE
E1 E2
E1  E2
S
E1  E2 = {4, 6}
Composto por todos os resultados que pertencem a ambos.
Se E1  E2 = 
São disjuntos ou mutuamente exclusivos (ME) quando não têm 
elementos em comum ou seja, são eventos que NÃO PODEM 
OCORRER SIMULTANEAMENTE
Evento Complementar
Evento Complementar de um evento qualquer é formado por todos os resultados
do espaço amostral que NÃO PERTENCEM ao evento.
Ei
S
SEE ii =
E1 = {2, 4, 6} = {1, 3, 5} E2 = {3, 4, 5, 6} = {1, 2} 
= ii EE
A união de um evento e seu complementar formará o próprio Espaço 
Amostral.
A intersecção de um evento e seu complementar é o conjunto vazio.
1E 2E
iE
ÁLGEBRA DOS EVENTOS
Relação entre Eventos, Operações Matemáticas e
interpretação em Português.
EVENTO MATEMÁTICA PORTUGUÊS
+ OU
× E
Definições de Probabilidade
Probabilidade: É a mensuração da possibilidade de ocorrência
de fenômenos aleatórios, mostrando como poderão ocorrer os
fatos
Probabilidade
- Uma criança tem 50% de chance de nascer com o sexo feminino;
- Clássico (Jogos de Azar): Em um conjunto de cartas (sem os 
coringas) bem embaralhadas a probabilidade de sortearmos uma 
carta de paus é de 13/52;
Exemplos
Probabilidade
Como atribuir probabilidade aos 
elementos do espaço amostral?
Definição Clássica de Probabilidade
Se um experimento aleatório tem n resultados igualmente
prováveis* e nA desses resultados pertencem ao evento A, então a
probabilidade que ocorra o evento A, será:
n
n
AP A=)(
nA = favoráveis = número de vezes que ocorreu
n = possíveis = resultado igualmente possíveis
* se num espaço amostral finito os eventos elementares têm todos a mesma probabilidade, então 
dizemos que são igualmente prováveis.
Definição Clássica de Probabilidade
No caso do sexo do bebê, há apenas dois resultados possíveis e
igualmente prováveis (MASCULINO ou FEMININO), resultando
que a probabilidade de ocorrência de um dos sexos será igual a
No caso dos naipes do baralho há quatro resultados possíveis e
igualmente prováveis, resultando quea probabilidade de ocorrência
de um deles será igual a ¼ . Nesse caso, a probabilidade de ocorrer
certo naipe é
2
1
)( ==
n
n
AP A
4
1
52
13
)( ===
n
n
AP A
Exemplo: Considere o lançamento de 2 dados. Calcular a
probabilidade de:
a) Obter soma 7;
b) Obter soma maior que 10;
Exemplo 1
Exemplo: Considere o lançamento de 2 dados. Calcular a
probabilidade de:
a) Obter soma 7;
b) Obter soma maior que 10;




















=
6,65,64,6
6,55,54,5
6,45,44,4
3,62,61,6
3,52,51,5
3,42,41,4
6,35,34,3
6,25,24,2
6,15,14,1
3,32,31,3
3,22,21,2
3,12,11,1
S
Exemplo 1
Este é o meu
espaço amostral
do lançamento
de 2 dados,
lembre-se, todos
os resultados
possíveis




















=
6,65,64,6
6,55,54,5
6,45,44,4
3,62,61,6
3,52,51,5
3,42,41,4
6,35,34,3
6,25,24,2
6,15,14,1
3,32,31,3
3,22,21,2
3,12,11,1
S
a) A={(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6)}  Tenho 6 resultados possíveis, logo
P(A)=nA/n = 6/36 = 1/6
Exemplo 1
Quais resultados 
me fornecem 
soma sete?




















=
6,65,64,6
6,55,54,5
6,45,44,4
3,62,61,6
3,52,51,5
3,42,41,4
6,35,34,3
6,25,24,2
6,15,14,1
3,32,31,3
3,22,21,23,12,11,1
S
a) A={(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6)}  Tenho 6 resultados possíveis, logo
P(A)=nA/n = 6/36 = 1/6
b) B={(5,6),(6,5),(6,6)} => Neste caso tenho três resultados, logo
P(B) = 3/36= 1/12
Exemplo 1
Quais resultados 
me fornecem 
soma sete?
Quais resultados 
me fornecem 
soma maior que 
10?
Axiomas da Probabilidade
a) 0 ≤P(Ei) ≤1
A probabilidade é sempre um número entre 0 e 1.
Toda probabilidade é um valor maior ou igual a zero e menor
ou igual a um. Quanto mais próxima de 1, tanto maior a
possibilidade de ocorrência.
Quando a possibilidade é igual a um, o evento é dito certo;
quando a probabilidade é zero, o evento é dito impossível.
Axiomas da Probabilidade
b) P(S) = 1
Como S é conjunto de todos os resultados possíveis, a soma das
probabilidades de cada um dos seus elementos deverá ser
exatamente igual à unidade.
Ao realizar o experimento sempre vai ocorrer algum dos
resultados possíveis, razão pela qual o espaço amostral é chamado
de evento certo.
Axiomas da Probabilidade
c) A probabilidade da união de eventos disjuntos A1, A2, ... An, é
a soma de suas probabilidades.
Propriedades da Probabilidade
1) P() = 0
Se o experimento é realizado, algum resultado certamente vai
ocorrer (P(S) = 1). Portanto,  nunca ocorre (P() = 0).  é
conhecido como evento impossível.
O conjunto vazio é um evento impossível. É como jogarmos um
dado e dar face maior que seis.
Propriedades da Probabilidade
2) Para o caso discreto, isto é, quando os resultados possíveis
podem ser listados, a probabilidade de qualquer evento pode
ser obtida pela soma das probabilidades dos resultados
individuais, ou seja, A⊆ S = {w1, w2, ..., wn} então:
No experimento do dado, por exemplo:
P(número par) = P({2, 4, 6}) = P(2) + P(4) + P(6) = 3/6 = ½
)()(
:
i
Awi
wPAP
i


=
Note que ao unir A e A temos o espaço amostral S, que tem 
probabilidade igual a 1.
Propriedades da Probabilidade
3) Probabilidade do evento complementar
Sejam A ⊆ S e A o evento complementar de A, então:
P(A) = 1− P(A)
Da união de A e do seu complementar resulta o espaço amostral 
S e, por consequência, a soma da probabilidade de A do seu 
complementar será igual à probabilidade de S, que é a unidade.
Exemplo 1: Se a probabilidade de um aluno ser aprovado em
estatística é de 95%, então quanto vale a probabilidade de ele não
ser aprovado?
Exemplo 2: No experimento do dado, temos, por exemplo, P(ocorrer
6) = P({6}) = 1/6.
Então P(não ocorrer 6) = 1 – 1/6 = 5/6
Propriedades da Probabilidade
05,095,01
)(1
=−=
−=
A
ApA
4) Regra da Adição:
Note, pelo esquema, que, ao somar P(A) e P(B). Estamos contando 
duas vezes os pontos do conjunto A  B. Logo ao calcular P(AB),é 
necessário excluir uma vez P(A  B). 
Propriedade das Probabilidades
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
Exemplo 1:
No experimento do dado, sejam A={2, 4, 6} e B ={3, 4, 5 ,6}. A
probabilidade de ocorrer um número maior do que 1 será dada
por:
Propriedade das Probabilidades
Exemplo 1:
No experimento do dado, sejam A={2, 4, 6} e B ={3, 4, 5, 6}. A
probabilidade de ocorrer um número maior do que 1 será dada
por:
Propriedade das Probabilidades
2
1
6
3
)( ==AP
3
2
6
4
)( ==BP
Exemplo 1:
No experimento do dado, sejam A={2, 4, 6} e B ={3, 4, 5, 6}. A
probabilidade de ocorrer um número maior do que 1 será dada
por:
Propriedade das Probabilidades
2
1
6
3
)( ==AP
3
2
6
4
)( ==BP
3
1
6
2
)}6,4({)( === PBAP
Exemplo 1:
No experimento do dado, sejam A={2, 4, 6} e B ={3, 4, 5, 6}. A
probabilidade de ocorrer um número maior do que 1 será dada
por:
Propriedade das Probabilidades
2
1
6
3
)( ==AP
3
2
6
4
)( ==BP
3
1
6
2
)}6,4({)( === PBAP
6
5
3
1
3
2
2
1
)(
)()()()(
=−+=
−+=
BAP
BAPBPAPBAP
Muitas vezes há interesse em calcular a probabilidade de
ocorrência de um evento A, dada a ocorrência de um evento B.
Exemplos:
- Qual a probabilidade de chover amanhã em Florianópolis, sabendo 
que choveu hoje?
- Qual a probabilidade de um dispositivo eletrônico funcionar sem
problemas por 200 horas consecutivas, sabendo que ele já
funcionou por 100 horas?
- Qual a probabilidade de que um dos três servidores de correio
eletrônico fique congestionado, sabendo que um deles está
inoperante?
Probabilidade Condicional
Probabilidade Condicional
Em outras palavras queremos calcular a probabilidade de
ocorrência de A CONDICIONADA à ocorrência prévia de B,
simbolizada por P(A | B) - lê-se probabilidade de A dado B e a
sua expressão será:
0)B(P para 
)B(P
)BA(P
)B|A(P 

=
A probabilidade de ocorrência de A condicionada à ocorrência de
B será igual à probabilidade da intersecção entre A e B, dividida
pela probabilidade de ocorrência de B (o evento que já ocorreu).
Exemplo: Os dados a seguir, representam o sumário de um dia de
observação em um posto de qualidade, em que se avalia o peso dos
pacotes de leite produzidos num laticínio.
Probabilidade Condicional
Exemplo: Os dados a seguir, representam o sumário de um dia de
observação em um posto de qualidade, em que se avalia o peso dos
pacotes de leite produzidos num laticínio.
Probabilidade Condicional
Retira-se, ao acaso, um pacote de leite da população de 6850
unidades. Sejam os eventos:
D: “ pacote retirado está dentro das especificações”
F: “ pacote retirado está fora das especificações”
B, C e UHT são eventos que representam o tipo de leite.
a) Qual é a probabilidade de o pacote de leite estar fora das
especificações?
Probabilidade Condicional
a) Qual é a probabilidade de o pacote de leite estar fora das
especificações?
Probabilidade Condicional
P(F) = 350 / 6.850 = 0,051
Probabilidade Condicional
b) Qual é a probabilidade de o pacote de leite estar fora das
especificações, sabendo que é do tipo UHT?
Probabilidade Condicional
b) Qual é a probabilidade de o pacote de leite estar fora das
especificações, sabendo que é do tipo UHT?
P(F|U) = 50 / 1.550 = 0,032
Probabilidade Condicional
Exemplo
Seja o lançamento de 2 dados não viciados, um após o outro, e a
observação das faces voltadas para cima. Calcular as
probabilidades:
a) de que as faces sejam iguais supondo-se que sua soma é
menor ou igual a 5.
b) de que a soma das faces seja menor ou igual a 5, supondo-se
que as faces são iguais.
Solução a
É preciso montar o espaço amostral S.




















=
)6,6()5,6()4,6()3,6()2,6()1,6(
)6,5()5,5()4,5()3,5()2,5()1,5(
)6,4()5,4()4,4()3,4()2,4()1,4(
)6,3()5,3()4,3()3,3()2,3()1,3(
)6,2()5,2()4,2()3,2()2,2()1,2(
)6,1()5,1()4,1()3,1()2,1()1,1(
S
Há um total de 36 resultados possíveis: n = 36.
Probabilidade Condicional
Solução a
Faces iguais sabendo-se que sua soma é menor ou igual a 5 significa dizer que a 
probabilidade de ocorrência de faces iguais supondo-se que já ocorreram faces 
cuja soma é menor ou igual a 5.
E1= o evento faces iguais;
E2 = o evento soma das faces menor ou igual a 5
Estamos procurando P(E1 | E2 ), probabilidade de ocorrência de E1 condicionada à
ocorrência PRÉVIA de E2.
Usando a fórmula:
)E(P
)EE(P
)E|E(P
2
21
21

=
é preciso encontrar os valores das
probabilidades.
Probabilidade Condicional
Solução a
Faces iguais sabendo-se que sua soma é menor ou igual a 5 significa 
dizer que a probabilidade de ocorrência de faces iguais supondo-se 
que já ocorreram faces cuja soma é menor ou igual a 5.
Esquematicamente temos:
Probabilidade Condicional
E1= o evento faces iguais;
E2 = o evento soma das faces menor ou igual a 5
Solução a
Esquematicamente temos:
E1 = {(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) } - faces iguais, 6 resultados,
nE1 = 6.
E2 = {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1)} - soma das faces
 5, 10 resultados,
nE2 = 10.
Probabilidade Condicional
Solução a
Os elementos em comum formam o evento intersecção:
E1  E2 = {(1,1) (2,2)} - faces iguais e soma das faces  5, 2 resultados,
nE1E2 = 2.
P(E1 E2) = nE1E2/ n = 2/36
P(E2) = nE2 / n = 10/36 
Tendo as probabilidades acima é possível calcular a probabilidade condicional:
%)20( 2,0
10
2
36/10
36/2
)E(P
)EE(P
)E|E(P
2
21
21 ===

=
Então a probabilidade de que as faces são iguais sabendo-se que sua
soma é menor ou igual a 5 é de 20%.
Probabilidade Condicional
Solução b
Soma das faces menor ou igual a 5 sabendo-se que as faces são iguais significa 
dizer probabilidade de ocorrência de faces cuja soma é menor ou igual a 5 
supondo-se que já ocorreram faces que são iguais.
E1 = o evento faces iguais; 
E2 = o evento soma das faces menor ou igual a 5.
Procurando P(E2 | E1 ), probabilidade de ocorrência de E2 condicionada à 
ocorrência PRÉVIA de E1.
Usando a fórmula
)E(P
)EE(P
)E|E(P
1
12
12

= todos os valores já foram obtidos no item a.
Probabilidade Condicional
Solução b
%)33( 33,0
6
2
36/6
36/2
)E(P
)EE(P
)E|E(P
1
12
12 ===

=
Então a probabilidade de que as faces tenham soma menor ou igual a 5
sabendo-se que são iguais é de 33%.
Probabilidade Condicional
Uma das consequências da expressão da probabilidade condicional 
é a regra do produto, obtida ao isolar a probabilidade de 
intersecção, ou seja:
Que fornece a fórmula de calcular a probabilidade de ambos os 
eventos (A e B) ocorrerem. O evento condicionado é o B, mas o 
inverso também é possível.
)|().()( 
)(
)(
)|( BAPBPBAP
BP
BAP
BAP =

=
)|().()( 
)(
)(
)|( ABPAPABP
AP
ABP
ABP =

=
Teorema do Produto
OBS: quando não estiver descrito no enunciado nada sobre qual é o
processo, diz-se que o processo é sem reposição.
Exemplo 1: Um lote é formado por 10 peças boas, 4 peças com
defeitos e 2 peças com defeitos graves. Retiram-se, simultaneamente,
duas peças, ao acaso. Qual a probabilidade de que:
E: retirar do lote 2 peças → S = 10B + 4D + 2DG = 16 peças
16/14)(16/2)(
16/12)(16/4)(
16/6)(16/10)(
=→=
=→=
=→=
GDPDGP
DPDP
BPBP
Teorema do Produto
a) ambas sejam boas?
P(ambas boas)= ====
8
3
15
9
16
10
)/()()( 12121 BBPBPBBP 
b) nenhuma tenha defeitos graves?
c) nenhuma seja boa?
%83,757583,0
120
91
15
13
16
14
)/()()( 12121 ===== DGDGPDGPDGDGP
%5,12125,0
8
1
15
5
16
6
)/()()( 12121 ===== BBPBPBBP
Teorema do Produto
DEFINIÇÃO: Se dois ou mais eventos são independentes, a probabilidade
deles acontecerem juntos é igual ao produto das probabilidades de cada um
ocorrer separadamente.
)B(P)A(P)BA(P =
)()()()( CPBPAPCBAP =
)()()( BPAPBAP =
OBS: Se A e B são independentes, pode-se dizer 
que , também serão independentes.
Independência Estatística
Independência Estatística
As probabilidades de três jogadores marcarem um pênalti são respectivamente: 2/ 3;
4/5 e 7/10, se cada um cobrar uma única vez, qual a probabilidade de:
(A) = 
3
2
 → 
3
1
)( =AP P(B) = 
5
4
 → 
5
1
)( =BP P(C) = 
10
7
 → 
10
3
)( =CP 
a) todos acertarem?
)()()()( CPBPAPCBAP = = %33,373733,0
75
28
10
7
5
4
3
2
=== 
b) todos errarem? 
 
%202,0
50
1
150
3
10
3
5
1
3
1
)()()()( ====== CPBPAPCBAP
c) pelo menos um acertar? 
1 - %9898,0
50
49
50
1
1)( ===−= CBAP 
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	Slide 34: 4) Regra da Adição: Note, pelo esquema, que, ao somar P(A) e P(B). Estamos contando duas vezes os pontos do conjunto A  B. Logo ao calcular P(AB),é necessário excluir uma vez P(A  B). 
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