Apostila Funções exponenciais e logarítmicas

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<p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p>APOSTILA: Funções Exponenciais e Logarítmicas</p><p>Aluno: Nº:</p><p>Turma: Professor: Gustavo da Silva Martins</p><p>Data: / /2024 Nº de aulas: 18 a 20</p><p>Funções Exponenciais</p><p>A expressão “crescimento exponencial” refere-se a um crescimento muito rápido.</p><p>Assim, a função exponencial possui múltiplas aplicações:</p><p>-na área financeira, em tabelas progressivas a juros fixos;</p><p>-no crescimento populacional;</p><p>-em medicina, na taxa de transmissão de doenças viróticas;</p><p>-em biologia, no crescimento de algumas bactérias;</p><p>Você sabia?</p><p>Na prática, as bactérias podem desenvolver-se sobre</p><p>uma camada de alimentos, e sua população é medida pela área</p><p>que ocupam.</p><p>Pratique: Supondo que em uma cultura de bactérias, a</p><p>população dobra a cada hora monte uma tabela com o número</p><p>de bactérias nas 10 primeiras horas, considerando que há</p><p>1.000 bactérias no início da pesquisa.</p><p>Horas após o inicio Número de Bactérias Proporção da qtd. atual em relação a qtd. inicial</p><p>0 1.000 1</p><p>1 2.000 2</p><p>Atividades:</p><p>1 - Com a tabela totalmente preenchida, reflitam sobre as seguintes questões:</p><p>a) Na 1ª hora, a quantidade de bactérias aumentou em 1.000 (era 1.000, foi para 2.000). E na 2ª hora? E</p><p>na 3ª hora? Por que esse valor não é sempre o mesmo?</p><p>R:</p><p>b) Existe uma lógica na sequência de valores que indicam a proporção entre a quantidade de bactérias em</p><p>determinada hora e o valor inicial? Qual é essa lógica?</p><p>R:</p><p>c) Qual deve ser a quantidade de bactérias após x horas?</p><p>R:</p><p>De modo geral, o modelo matemático usado para resolver situações como essa é dado pela função de tipo</p><p>exponencial 𝑓 𝑥 = 𝑏 ∙ 𝑎𝑥 .</p><p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p>Definição: Dado 𝑎 ∈ ℝ tal que 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, função 𝑓 ∶ ℝ → ℝ dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 ou 𝑦 = 𝑎𝑥 é</p><p>chamada de função exponencial de base 𝑎.</p><p>São exemplos de funções exponenciais:</p><p>1) 𝑦 = 2𝑥</p><p>2) 𝑦 = 10𝑥</p><p>3) 𝑦 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑥</p><p>4) 𝑦 = 𝜋𝑥</p><p>Vejamos como construir o gráfico da função f, cuja lei é 𝑓(𝑥) = 2𝑥 . Vamos usar o método de localizar</p><p>alguns pontos do gráfico e ligá-los por meio de uma curva.</p><p>Propriedades da potenciação:</p><p>Vale ressaltar também que</p><p>Agora construiremos o gráfico da função</p><p>𝑓(𝑥) =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑥</p><p>.</p><p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p>Atividades:</p><p>Domínio: ℝ Contradomínio: ℝ Imagem: ℝ+</p><p>∗</p><p>Funções Logarítmicas</p><p>Definição de Logarítmo:</p><p>Lê-se logaritmo de b na base</p><p>a.</p><p>Condição de existência :</p><p>a > 0 a ≠ 1 b > 0</p><p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p>Exemplos:</p><p>Logaritmo decimal é o logaritmo cuja base é 10, ele poderá ser escrito: log10 3 = log 3</p><p>Logaritmo natural é o logaritmo cuja base é o número de Euler 𝑒 ≅ 2,71, ele poderá ser escrito:</p><p>log𝑒 3 = ln 3</p><p>Exercício resolvido:</p><p>1) Qual o valor do log3 81?</p><p>Solução</p><p>Neste exemplo, queremos descobrir qual expoente devemos elevar o 3 para que o resultado seja igual a</p><p>81.</p><p>Usando a definição, temos: log3 81 = x ⇔ 3</p><p>x</p><p>= 81</p><p>Para encontrar esse valor, podemos fatorar o número 81, conforme indicado abaixo:</p><p>Substituindo o 81 por sua forma fatorada, na equação anterior, temos:</p><p>3</p><p>x</p><p>= 3</p><p>4</p><p>Como as bases são iguais, chegamos a conclusão que x = 4.</p><p>2) Calcular log4 8 =</p><p>Solução</p><p>3) Calcular log1</p><p>3</p><p>9</p><p>5</p><p>=</p><p>log1</p><p>3</p><p>9</p><p>5</p><p>⇒</p><p>1</p><p>3</p><p>𝑥</p><p>= 9</p><p>5</p><p>3−1 𝑥 = (32)</p><p>1</p><p>5</p><p>3−𝑥 = 3</p><p>2</p><p>5</p><p>−𝑥 =</p><p>2</p><p>5</p><p>⇒ 𝑥 = −</p><p>2</p><p>5</p><p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p>Atividades:</p><p>Definição: Função Logarítmica é a função bijetiva 𝑓: ℝ+</p><p>∗ ⟶ ℝ em que 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙, com 0 < 𝑎 ≠</p><p>1. Essa função é a função inversa da Função Exponencial.</p><p>Exemplos:</p><p>f(x) = log3 x</p><p>g(x) = log1/3 x</p><p>p(x) = log0,5 x</p><p>h(x) = log10 x = log x</p><p>Gráfico da Função Logarítmica.</p><p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p>Construindo o gráfico da função logarítmica:</p><p>Agora é sua vez, construa o gráfico da função 𝑓 𝑥 = log1</p><p>2</p><p>𝑥</p><p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p>Propriedades do gráfico da função logarítmica</p><p>Atividades:</p><p>Domínio: ℝ+</p><p>∗</p><p>Contradomínio: ℝ</p><p>Imagem: ℝ</p><p>Governo do Estado de Mato Grosso do Sul</p><p>Secretaria de Estado de Educação</p><p>Escola Estadual Maria da Gloria Muzzi Ferreira</p><p>Exercícios de Vestibulares e Enem</p><p>1. (PUC-RS/2013) A desintegração de uma substância radioativa é um fenômeno químico modelado</p><p>pela fórmula 𝑞 = 10 ∙ 2𝑘∙𝑡 , onde q representa a quantidade de substância radioativa (em gramas)</p><p>existente no instante t (em horas). Quando o tempo t é igual a 3,3 horas, a quantidade existente q</p><p>vale 5. Então, o valor da constante k é</p><p>a) – 35/5 b) – 33/10 c) – 5/33 d) – 10/33 e) – 100/33</p><p>2. (UPF/2017) Considere as funções reais de variável real, definidas por: 𝑓(𝑥) = 1 + 3𝑥–2 e</p><p>𝑔(𝑥) = log𝑎 𝑥. Sabe-se que, na representação gráfica das funções, as curvas interceptam-se no</p><p>ponto de abscissa 2. Dessa forma, o valor de a é:</p><p>a) 2 d) ½ c) 1 b) –½ e) – 2</p><p>3. (UFRGS/2014) A função f, definida por 𝑓(𝑥) = 4–𝑥 – 2, intercepta o eixo das abscissas em</p><p>a) 1/2 b) 0 c) – 1/2 d) – 1 e) – 2</p><p>4. (PEIES/2009) Dentre os gráficos a seguir, o que melhor representa a função 𝑓(𝑥) = log½ 𝑥 é</p>