Álgebra - Caderno 09

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9
ENSINO MÉDIO
PROFESSOR MATEMÁTICA ÁLGEBRA
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Análise combinatória
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MATEMÁTICA ÁLGEBRA
Luiz Roberto Dante
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Análise combinatória
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1
 ANÁLISE COMBINATÓRIA
1 Análise combinatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
Princípio da multiplicação ou princípio fundamental 
da contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
Permutações simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Permutações com repetição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
Arranjos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
Combinações simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
Problemas que envolvem os vários tipos de 
agrupamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
Números binomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
Triângulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
Binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2126956 (PR)
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Estátua Iracema Guardiã (1996). Diferentemente 
das outras esculturas em homenagem à personagem, 
essa obra mostra a indígena segurando um grande arco, 
de frente para o mar, lembrando uma posição de com-
bate. Praia de Iracema, Fortaleza, Ceará.
MÓDULO
Análise combinatória
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REFLETINDO SOBRE A IMAGEM
Em Análise combinatória, há um conceito 
chamado princípio multiplicativo. Um exem-
plo clássico da aplicação desse princípio é o 
cálculo da quantidade de anagramas de uma 
palavra (do grego anagrama) 2 rearranjos das 
letras que a compõem. 
Um dos marcos do romance indianista, Iracema, 
do autor cearense José de Alencar (1829-1877), 
tem como protagonista Iracema (“lábios de 
mel” em guarani), cujo nome é um anagrama 
da palavra “América” 2 sugerindo a ideia de 
a personagem ser a personificação do novo 
mundo americano conquistado pelo europeu.
Sabe quantos anagramas é possível formar 
com a palavra “América”? Sabe como utilizar 
o princípio multiplicativo e sua relação com 
Análise combinatória?
www.ser.com.br
F
A
B
IO
 C
O
L
O
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IN
I
A palavra “América” tem 
? ? ? ? ? ?
?
5
7 6 5 4 3 2 1
2 1
2520 anagramas.
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4 Análise combinatória
CAPÍTULO
1 Análise combinatória
Objetivos:
c Compreender o 
conceito de contagem.
c Aprender a aplicar as 
técnicas de contagem 
para resolver situações-
-problema.
c Identificar as 
propriedades dos 
números binomiais no 
triângulo de Pascal.
c Entender o conceito de 
fatorial e binômio de 
Newton.
c Aplicar a fórmula 
do termo geral do 
binômio.
Analise a seguinte situação-problema:
Usando as 26 letras e os 10 algarismos conhecidos, quantas placas diferentes de automóvel 
podem ser feitas de modo que, em cada uma, existam três letras (não repetidas) seguidas de quatro 
algarismos (repetidos ou não)?
Problemas como esse envolvem o cálculo do número de agrupamentos que podem ser feitos 
com os elementos de um ou mais conjuntos, submetidos a certas condições.
Esses problemas constituem o que chamamos de problemas de contagem, pois o que nos 
interessa aqui é calcular quantas e não necessariamente quais possibilidades existem.
 FATORIAL
Inicialmente, vamos estudar o conceito de fatorial, que será bastante útil ao longo do capítulo.
Considerando-se n um número natural, chamamos de fatorial de n ou n fatorial o número 
n!, tal que:
 para n 5 0 ; 0! 5 1
 para n 5 1 ; 1! 5 1
 para n > 2 ; n! 5 n ? (n 2 1) ? (n 2 2) ? ... ? 2 ? 1 (pro-
duto dos n fatores, de n até 1)
Exemplos:
1o) 5! 5 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 120
2o) 4! 5 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24
3o) 2! 5 2 ? 1 5 2
Podemos escrever:
n! 5 n(n 2 1)!
15! 5 15 ? 14 ? 13!
PARA
REFLETIR
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 Simplifique as expressões:
a) 
20!
18!
b) 
48! 49!
50!
1
c) 
( )
n!
n 1 !1
 
RESOLUÇÃO:
a) 
20!
18!
20 19 18!
18!
3805
? ?
5
b) 48! (1 49)
50 49 48!
50
50 49
1
49
1
? ?
5
?
5 
c) 
n!
(n 1)!
n!
(n 1)n!
1
n 11
5
1
5
1
Veja, no Guia do Professor, o quadro de competências e habilidades desenvolvidas neste módulo.
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Análise combinatória
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2 (FEI-SP) Se (n 1 4)! 1 (n 1 3)! 5 15(n 1 2)!, então:
a) n 5 4
b) n 5 3
c) n 5 2
d) n 5 1
e) n 5 0
RESOLUÇÃO:
n 4 ! n 3 ! 15(n 2)!( ) ( ) ⇒1 1 1 5 1
 
( )( )( ) ( )( ) ( )⇒ ⇒n 4 n 3 n 2 ! n 3 n 2 ! 15 n 2 !1 1 1 1 1 1 5 1
 
( )( ) ( )⇒ ⇒n 4 n 3 n 3 151 1 1 1 5
 
n 8n 15 15 n 02⇒ ⇒1 1 5 5
 
ou n 5 28 (não convém)
Alternativa e.
3 Encontre o valor de n na equação n 2 ! 720( )2 5 
RESOLUÇÃO:
Vamos fatorar 720 em fatores consecutivos a partir de 2:
720
360
180
90
45
15
5
1
2
2
2
2
3
3
5
 
720 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5
720 5 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 6!
Logo: (n 2 2)! 5 6! ⇒ n 2 2 5 6 ⇒ n 5 8
 PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO OU PRINCÍPIO 
FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Acompanhe a seguir a resolução de alguns problemas.
1o) Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo. Sabendo que há 
5 roteiros diferentes para chegar a São Paulo partindo de Recife e 4 roteiros diferentes para 
chegar a Porto Alegre partindo de São Paulo, de quantas maneiras possíveis essa pessoa 
poderá viajar de Recife a Porto Alegre?
Para facilitar a compreensão vamos utilizar os esquemas seguintes:
2
3
A
B
C
D
A
B
C
D
1
A
B
C
D
4
5
A
B
C
D
A
B
C
D
Recife Porto Alegre
1
2
3
4
5 possibilidades 4 possibilidades
5
São Paulo
A
B
C
D
ou
5 ? 4 5 20 possibilidades: 1A 1B 1C 1D 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D 4A 4B 4C 4D 5A 5B 5C 5D
Portanto, nas condições do problema, há 20 maneiras possíveis de viajar de Recife a Porto Alegre, 
passando por São Paulo.
A esse 1o esquema dá-se o nome 
de árvore de possibilidades ou 
diagrama de árvore. 
PARA
REFLETIR
Dizemos que essa viagem de Re-
cife a Porto Alegre é um evento 
composto por duas etapas su-
cessivas e independentes. Quais 
são elas?
PARA
REFLETIR
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6 Análise combinatória
2o) Ao lançarmos uma moeda e um dado, temos as seguintes possibilidades para o resultado 
(em que C é cara e C, coroa):
C
C.
1
2
3
4
5
6
C 1
C 2
C 3
C 4
C 5
C 6
1
2
3
4
5
6
C. 1
C. 2
C. 3
C. 4
C. 5
C. 6
6
possibilidades
12
possibilidades
2
possibilidades
Observe que o evento tem duas etapas, com 2 possibilidades em uma e 6 possibilidades em 
outra, totalizando 2 ? 6 5 12 possibilidades.
3o) Quantos números de 3 algarismos podem ser escritos nas seguintes condições: o algarismo 
das centenas corresponde a um múltiplo de 3, o das dezenas é 4 ou 7 e o das unidades 
corresponde a um múltiplo de 5?
Neste caso, o número (evento) é composto de 3 etapas (algarismos):
0
5
4
0
5
0
5
0
5
0
5
0
5
340
345
370
375
640
645
670
675
940
945
970
975
7
3
6
9
3
possibilidades
2
possibilidades
2
possibilidades
12
possibilidades
4
7
4
7
Há 3 possibilidades para o algarismo das centenas, 2 possibilidades para o algarismo das dezenas 
e 2 possibilidades para o algarismo das unidades, totalizando 3 ? 2 ? 2 5 12 possibilidades. Portanto, 
podemos escrever 12 números nas condições dadas.
Mesmo sendo múltiplo de 3, o 
zero é excluído do algarismo das 
centenas. Por quê?
PARA
REFLETIR
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Análise combinatória
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EXERCêCIOS RESOLVIDOS
De modo geral, podemos dizer:
Se um evento é composto por duas etapas sucessivase independentes de tal maneira que 
o número de possibilidades na 1a etapa é m e para cada possibilidade da 1a etapa o número de 
possibilidades na 2a etapa é n, então o número de possibilidades de o evento ocorrer é dado 
pelo produto m n? .
Observação: o produto dos números de possibilidades vale para qualquer número de etapas 
independentes.
4 Em um restaurante, há 2 tipos de salada, 3 tipos de prato quente e 3 tipos de sobremesa. Quais e quantas são as possibilidades que 
temos para fazer uma refeição com uma salada, um prato quente e uma sobremesa?
RESOLU‚ÌO:
Representando por S
1
 e S
2
 os dois tipos de salada; por P
1
, P
2
 e P
3
 os três tipos de prato quente; e por s
1
, s
2
 e s
3
 os três tipos de 
sobremesa, temos:
s
1
s
2
s
3
s
1
s
2
s
3
s
1
s
2
s
3
P
1
P
2
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3
S
1
S
1
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1
s
1
S
1
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1
s
2
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1
s
3
S
1
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2
s
1
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1
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2
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1
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3
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s
1
S
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s
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S
1
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3
s
3
2
possibilidades
3
possibilidades
3
possibilidades
s
1
s
2
s
3
s
1
s
2
s
3
s
1
s
2
P
1
P
2
S
2
P
3
s
3
18
possibilidades
S
2
P
1
s
1
S
2
P
1
s
2
S
2
P
1
s
3
S
2
P
2
s
1
S
2
P
2
s
2
S
2
P
2
s
3
S
2
P
3
s
1
S
2
P
3
s
2
S
2
P
3
s
3
Portanto, o número total de possibilidades é 2 ? 3 ? 3 5 18.
5 Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
RESOLU‚ÌO:
centena dezena unidade
Há 6 possibilidades para preencher a lacuna das centenas, 6 possibilidades para preencher a lacuna das dezenas e outras 6 possi-
bilidades para preencher a lacuna das unidades, pois um algarismo pode aparecer mais de uma vez no mesmo número.
Portanto, temos 6 ? 6 ? 6 5 63 possibilidades no total, o que indica que podemos escrever 63 5 216 números de três algarismos 
com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
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8 Análise combinatória
PARA CONSTRUIR
6 Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
RESOLUÇÃO:
centena dezena unidade
Há 6 possibilidades para a centena, 5 possibilidades para a dezena e 4 possibilidades para a unidade, já que o exercício pede nú-
meros de 3 algarismos distintos.
Então, temos 6 ? 5 ? 4 5 120 possibilidades, ou seja, podemos formar 120 números.
7 Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7:
a) quantos números de 3 algarismos podemos formar?
b) quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar?
RESOLUÇÃO:
a) 
 centena dezena unidade
 Há 7 possibilidades para a centena (0 não é permitido), 8 para a dezena e 8 para a unidade. Portanto, podemos formar 
7 ? 8 ? 8 5 448 números.
b) 
 centena dezena unidade
 Com 3 algarismos distintos, há 7 possibilidades para a centena, 7 para a dezena e 6 para a unidade. Portanto, podemos formar 
7 ? 7 ? 6 5 294 números de 3 algarismos distintos com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.
1 (UFC-CE) Dentre os cinco números inteiros listados abaixo, 
aquele que representa a melhor aproximação para a ex-
pressão:
2 ? 2! 1 3 ? 3! 1 4 ? 4! 1 5 ? 5! 1 6 ? 6! é: b
a) 5 030.
b) 5 042.
c) 5 050.
d) 5 058.
e) 5 070.
2 ? 2! 1 3 ? 3! 1 4 ? 4! 1 5 ? 5! 1 6 ? 6! 5
5 4 1 18 1 96 1 600 1 4 320 5 5 038
5 038 2 5 030 5 8 e 5 042 2 5 038 5 4, portanto 5 042 representa 
melhor a expressão.
2 (UPF-RS – Adaptada) Alice não se recorda da senha que defi-
niu no computador. Sabe apenas que é constituída por qua-
tro letras seguidas, com pelo menos uma consoante. 
Usuário
Alice
Senha
••••
Como o alfabeto é constituído por 26 letras e se consi-
derarmos que não há diferença para o uso de maiúscu-
las e minúsculas, quantos códigos dessa forma é possível 
compor? d
a) 264
b) 263 ? 21
c) 263 ? 84
d) 264 2 54
e) 214 1 54
Pelo Princípio Multiplicativo, podemos formar 26 ? 26 ? 26 ? 26 5 
5 264 códigos, sem qualquer restrição, utilizando as 26 letras do 
alfabeto. Por outro lado, o número de códigos em que figuram 
apenas vogais, também pelo Princípio Multiplicativo, é dado por 
5 ? 5 ? 5 ? 5 5 54. Em consequência, o resultado pedido é igual 
a 264 2 54.
3 (Uneb-BA) Texto para a próxima questão: 
Danos de alimentos ácidos
O esmalte dos dentes dissolve-se prontamente em con-
tato com substâncias cujo pH (medida da acidez) seja menor 
do que 5,5. Uma vez dissolvido, o esmalte não é reposto, e as 
partes mais moles e internas do dente logo apodrecem. A 
acidez de vários alimentos e bebidas comuns é surpreenden-
temente alta; as substâncias listadas a seguir, por exemplo, 
podem causar danos aos seus dentes com contato prolongado. 
(BREWER. 2013, p. 64).
En
em
C-1
H-2
En
em
C-1
H-3
En
em
C-1
H-1
En
em
C-1
H-2
En
em
C-1
H-3
En
em
C-1
H-1
En
em
C-1
H-2
En
em
C-5
H-1
7
As competências e habilidades do Enem estão indicadas em questões diversas ao longo do módulo. Se necessário, explique aos alunos que a utilidade deste “selo” é indicar o 
número da(s) competência(s) e habilidade(s) abordada(s) na questão, cuja área de conhecimento está diferenciada por cores (Linguagens: laranja; Ciências da Natureza: verde; Ciên-
cias Humanas: rosa; Matemática: azul). A tabela para consulta 
da Matriz de Referência do Enem está disponível no portal.
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Análise combinatória
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ç
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9
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 a 8 Para aprimorar: 1
Comida/bebida pH
Suco de limão/ lima 1,8 2 2,4
Café preto 2,4 2 3,2
Vinagre 2,4 2 3,4
Refrigerantes de cola 2,7
Suco de laranja 2,8 2 4,0
Maçã 2,9 2 3,5
Uva 3,3 2 4,5
Tomate 3,7 2 4,7
Maionese/ molho de salada 3,8 2 4,0
Chá preto 4,0 2 4,2
Considere que em um laboratório foram verificadas, por um 
tŽcnico, duas amostras de alimentos que constam na tabela 
e verificado, por ele, que o pH dessas subst‰ncias era, respec-
tivamente, 3,2 e 4,2.
Nessas condi•›es, de posse dessa tabela, pode-se afirmar 
que o nœmero de maneiras distintas que esse tŽcnico tem 
para tentar identificar, de maneira correta, quais foram os dois 
alimentos examinados Ž igual a: c
a) 9. b) 10. c) 12. d) 14. e) 15.
Como existem 4 alimentos cujo pH pode ser 3,2 e 3 alimentos 
cujo pH pode ser 4,2, temos então 12 maneiras distintas de esse 
técnico tentar identificar, de maneira correta, quais foram os dois 
alimentos examinados. 4 ? 3 5 12.
4 (Unicamp-SP) Para acomodar a crescente quantidade de ve’-
culos, estuda-se mudar as placas, atualmente com tr•s letras 
e quatro algarismos numŽricos, para quatro letras e tr•s alga-
rismos numŽricos, como está ilustrado abaixo.
ABC 1234 ABCD 123
Considere o alfabeto com 26 letras e os algarismos de 0 a 9. 
O aumento obtido com essa modifica•‹o em rela•‹o ao nœ-
mero máximo de placas em vigor seria: a
a) inferior ao dobro.
b) superior ao dobro e inferior ao triplo.
c) superior ao triplo e inferior ao quádruplo.
d) mais que o quádruplo.
Total de placas possíveis no modelo em estudo: 264 ? 103
Total de placas possíveis no modelo atual: 263 ? 104
Razão entre os dois valores: 
?
?
5
26 10
26 10
2,6.
4 3
3 4
Portanto, o aumento será de 2,6 2 1 5 1,6 (160%), ou seja, me-
nos que o dobro. 
En
em
C-1
H-1
En
em
C-1
H-2
En
em
C-1
H-3
 PERMUTAÇÕES SIMPLES
Permutar é sinônimo de trocar. Intuitivamente, nos problemas de contagem, devemos associar 
a permutação à noção de embaralhar, de trocar objetos de posição.
Vejamos agora quantos agrupamentos é possível formar quando temos n elementos e todos 
serão usados em cada agrupamento. Observe os exemplos:
1o) Quantos números de 3 algarismos (sem repeti-los num mesmo número) podemos formar 
com os algarismos 1, 2 e 3?
Podemos resolver por tentativa. Assim, temos: 123, 132, 213, 231, 312 e 321. Concluímos então 
que são seis os números procurados. Podemos também fazer uma árvore de possibilidades:
32
2
3
1
2
1
1
1
2
2
3
3
2
3
1
3
1
2
3
2
3
1
2
1
3
1
2
3
3
possibilidades
2
possibilidades
1
possibilidade
1
3
1
2
Pelo princípio fundamental da contagem temos 3 ? 2 ? 1 5 6 possibilidades.Observe que a ordem dos algarismos é muito importante. Todos os números diferem entre 
si pela ordem de seus algarismos.
2o) Quantos são os anagramas (diferentes disposições das letras de uma palavra) da palavra 
ANEL?
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10 Análise combinatória
Construindo a árvore de possibilidades, temos:
A
N
E
L
E
E
N
N
L
L
L
E
N
E
L
L
E
L
N
N
L
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N
L
A
L
A
N
E
N
A
E
A
N
A
A
A
4
possibilidades
3
possibilidades
2
possibilidades
1
possibilidade
N
E
L
E
L
A
E
A
L
N
L
A
N
A
N
E
E
A
N
A
Pelo princípio fundamental da contagem, temos 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24 possibilidades, ou seja, são 
24 anagramas.
A árvore de possibilidades ainda permite saber quais são os 24 anagramas da palavra ANEL:
ANEL, ANLE, AENL, AELN, ALEN, ALNE, NAEL, NALE, NEAL, NELA, NLAE, NLEA, EANL, EALN, 
ENAL, ENLA, ELAN, ELNA, LAEN, LANE, LNAE, LNEA, LEAN, LENA.
Concluímos:
Se temos n elementos distintos, então o número de agrupamentos ordenados que pode-
mos obter com todos esses n elementos é dado por:
n(n 2 1)(n 2 2) ? ... ? 3 ? 2 ? 1 5 n!
Esses agrupamentos ordenados (diferem pela ordem) recebem o nome de permutações 
simples. Indicamos por P
n
 o número de permutações simples de n elementos:
P
n
 5 n(n 2 1)(n 2 2) ? ... ? 3 ? 2 ? 1 5 n!
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An‡lise combinat—ria
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A
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Á
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G
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11
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
8 De quantas maneiras podem ser arrumados de forma horizontal três selos: 1 da Argentina, 1 do Brasil e 1 do Chile?
RESOLUÇÃO:
Temos três tipos de selos que indicaremos por A: Argentina; B: Brasil; C: Chile. 
Para saber de quantas maneiras eles podem ser arrumados horizontalmente, 
podemos construir a árvore de possibilidades.
Usando o princípio fundamental da contagem, temos 3 ? 2 ? 1 5 6 possibilidades.
Os agrupamentos ordenados são: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
Observa•‹o:
Podemos calcular diretamente o número de permutações simples de 3 ele-
mentos: 
P
3
 5 3! 5 3 ? 2 ? 1 5 6
Logo, é possível arrumar os três selos de 6 maneiras diferentes.
9 Quantos anagramas podem ser formados com a palavra PREÁ?
RESOLUÇÃO:
Permutamos todas as letras da palavra PREÁ.
Logo, P
4
 5 4! 5 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24. Temos, então, 24 anagramas.
10 Responda:
a) Quantos são os anagramas da palavra PRÉDIO?
b) Quantos são os anagramas da palavra PRÉDIO que iniciam com P e terminam em O?
c) Quantos são os anagramas da palavra PRÉDIO em que as letras I e O aparecem juntas e nessa ordem (IO)?
d) Quantos são os anagramas da palavra PRÉDIO em que P e O aparecem nos extremos?
e) Quantos são os anagramas da palavra PRÉDIO em que as letras P, R e E aparecem juntas, em qualquer ordem?
RESOLUÇÃO: 
a) Basta calcular P
6
 5 6! 5 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 720.
b) Anagramas iniciados por P e terminados em O:
 P O
 Devemos permutar as 4 letras não fixas, ou seja, calcular P4:
5 ? ? ? 5P 4 3 2 1 244
 
 Portanto, há 24 anagramas da palavra PRÉDIO iniciados com P e terminados em O.
c) Anagramas da palavra PRÉDIO em que as letras I e O aparecem juntas e nessa ordem (IO):
 é como se a expressão IO fosse uma só letra em PRÉD IO . Assim, temos de calcular P5:
5 ? ? ? ? 5P 5 4 3 2 1 1205
 
d) P O
 O P
 Temos, então, 2P
4
 5 2 ? 4! 5 48 anagramas.
e) Considerando PRÉ como uma só letra, PRÉ DIO, temos de calcular P
4
:
5 5P 4! 244 
Como as 3 letras de P, R e E podem aparecer em qualquer ordem, temos:
5 5P 3! 63 possibilidades de escrevê-las juntas.
Assim, o número total de anagramas pedido é:
P
4
 ? P
3
 5 24 ? 6 5 144 anagramas.
CB
B
C
A
B
A
C
A
B
C
3
possibilidades
2
possibilidades
1
possibilidade
A
C
A
B
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12 An‡lise combinat—ria
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 9 a 12
PARA CONSTRUIR
5 (UPE) Na comemoração de suas Bodas de Ouro, Sr. Manuel e D. 
Joaquina resolveram registrar o encontro com seus familiares 
através de fotos. Uma delas sugerida pela família foi dos avós 
com seus 8 netos. Por sugestão do fotógrafo, na organização 
para a foto, todos os netos deveriam ficar entre os seus avós. 
De quantos modos distintos Sr. Manuel e D. Joaquina podem 
posar para essa foto com os seus netos? d
a) 100
b) 800
c) 40 320
d) 80 640
e) 3 628 800
Supondo que todos aparecer‹o na foto lado a lado, temos 2 pos-
sibilidades para os av—s e P
8
 5 8! 5 40 320 possibilidades para os 
netos. Portanto, pelo princ’pio fundamental da contagem, existem 
2 ? 40 320 5 80 640 maneiras distintas de fazer a foto. 
6 (UCS-RS) Rose não anotou o número de celular que seu novo 
amigo lhe informou. Agora ela tem dúvidas em relação aos 
últimos quatro dígitos. Sabe quais são os dígitos, porém não 
sabe a ordem em que eles aparecem no número do telefone.
Quantas são as diferentes possibilidades para a ordem desses 
quatros dígitos? c
a) 8
b) 16
c) 24
d) 36
e) 120
O nœmero de possibilidades para a ordem dos quatros d’gitos Ž 
dado por 5 5P 4! 24.4 
7 Quantos números naturais de algarismos distintos entre 
5 000 e 10 000 podemos formar com os algarismos 1, 2, 4 e 6?
Os nœmeros devem ter algarismo 6 na unidade de milhar porque eles 
est‹o entre 5 000 e 10 000. Logo, fixando o 6, temos 3 algarismos 
para as outras tr•s ordens:
5 5 ? ? 5P 3! 3 2 1 63 nœmeros com algarismos distintos
(6 124, 6 142, 6 214, 6 241, 6 412, 6 421).
8 (Fuvest-SP) Com as 6 letras da palavra FUVEST podem ser for-
madas 6! 5 720 "palavras" (anagramas) de 6 letras distintas 
cada uma. Se essas "palavras" forem colocadas em ordem alfa-
bética, como num dicionário, a 250a "palavra" começa com: d 
a) EV.
b) FU.
c) FV.
d) SE.
e) SF.
Colocando as letras em ordem alfabŽtica, temos: E, F, S, T, U e V.
Fixando E como primeira letra, temos: 
E → 5! 5 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 120 palavras
Ou seja, temos 120 palavras come•ando por E. O mesmo acon-
tece com F.
Fixando S como primeira letra e E como segunda, temos:
S E → 4! 5 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24 palavras.
Da 241a ÒpalavraÓ atŽ a 264a todas come•am com SE, portanto a 
250a come•a com SE.
En
em
C-1
H-1
En
em
C-1
H-2
En
em
C-1
H-3
En
em
C-1
H-1
En
em
C-1
H-2
En
em
C-1
H-3
En
em
C-1
H-2
En
em
C-1
H-3
En
em
C-1
H-2
En
em
C-1
H-3
 PERMUTA‚ÍES COM REPETI‚ÌO
Consideremos os exemplos:
1o) Quantos são os anagramas da palavra BATATA?
Se os As fossem diferentes e os Ts também, teríamos as letras B, A
1
, A
2
, A
3
, T
1
, T
2
 e o total de 
anagramas seria 5P 6!6 
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Análise combinatória
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13
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Mas as permuta•›es entre os 3 As n‹o produzir‹o novo anagrama. Ent‹o, precisamos dividir P6 por P3. 
O mesmo ocorre com os dois Ts: precisamos dividir tambŽm por
 
P2.
Portanto, o nœmero de anagramas da palavra BATATA Ž:
?
5 5
? ? ?
5
P
P P
6!
3!2 !
6 5 4 3
3!2!
606
3 2 
2o) Quantos anagramas tem a palavra CACA?
Se a palavra tivesse as 4 letras distintas, ter’amos P
4
 5 4! 5 4 ? 3 ? 2 5 24.
Como a letra A e a letra C aparecem 2 vezes, devemos ent‹o fazer:
P
P P
4!
2!2!
4 3 2
2 2
64
2 2?
5 5
? ?
?
5
Logo, a palavra CACA tem 6 anagramas.
Generalizando:
A permuta•‹o de n elementos dos quais a Ž um tipo, b Ž outro e g Ž outro, com a 1 b 1 g 5 n, 
Ž dada por: 
5
a b g
a b gP
n!
! ! !
n
, ,
11 Quantos s‹o os anagramas da palavra ARARA?
RESOLUÇÃO:
Nesse caso, h‡ 3 letras A, 2 letras R e um total de 5 letras. 
Ent‹o:
P 5!
3!2!
5 4 3!
3! 2!
105
3,2
5 5
? ?
5
Logo, s‹o 10 os anagramas da palavra ARARA.
12 Quantos s‹o os anagramas da palavra DEZESSETE?
RESOLUÇÃO:
Nesse caso, h‡ 4 letras E e 2 letras S, num total de 9 letras. 
Ent‹o, temos:
P
9
4, 2 5 
9!
4!2!
 5 
9 8 7 6 5 4!
4! 2!
? ? ? ? ?
 5 7 560
13 Quantos anagramas da palavra CAMARADA come•am pela 
letra C?
RESOLUÇÃO:
Fixamos a letra C como 1a letra e fazemos: 
5 5 ? ? 5P
7!
4!
7 6 5 21074 ,1,1,1
Portanto, s‹o 210 os anagramas de CAMARADA que come-
•am por C.
14 Quantos anagramas de CAMARADA come•am com A?
RESOLUÇÃO:
ACAMARAD
1 24 34
5 5 ? ? ? 5P
7!
3!
7 6 5 47
3,1,1,1,1
5 840 anagramas
15 Determine quantas solu•›es naturais possui a equa•‹o 
x y z 61 1 5 .
RESOLUÇÃO:
Como a soma dos valores de x, y e z Ž 6, consideraremos que 
precisamos separar 6 elementos em 3 partes. Cada modo de 
separarmos 6 elementos em 3 partes Ž uma solu•‹o da equa-
•‹o. Por exemplo:
?? | ?? | ?? equivale a x 5 2, y 5 2 e z 5 2
? | ????? equivale a x 5 1, y 5 5 e z 5 0
|| ?????? equivale a x 5 0, y 5 0 e z 5 6
Dessa forma, permutando as 6 bolinhas e os 2 separadores 
(2 separadores para separar em 3 partes) temos a quantidade 
de solu•›es naturais da equa•‹o dada:
P 8!
6!2!
8 7 6!
6! 2 1
8
6,2
5 5
? ?
? ?
5
5 28 solu•›es naturais
Observa•‹o: Por conven•‹o 
n‹o se considera a acentua•‹o 
gr‡fica nos anagramas. Na pa-
lavra ab—bora, por exemplo, a 
letra o com acento ou sem tem 
o mesmo significado.
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14 Análise combinatória
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 13 e 14 Para aprimorar: 2
PARA CONSTRUIR
9 (Uerj) Uma criança ganhou seis picolés de três sabores diferentes: baunilha, morango e chocolate, representados, respectivamen-
te, pelas letras B, M e C. De segunda a sábado, a criança consome um único picolé por dia, formando uma sequência de consumo 
dos sabores. Observe estas sequências, que correspondem a diferentes modos de consumo:
(B, B, M, C, M, C) ou (B, M, M, C, B, C) ou (C, M, M, B, B, C)
O número total de modos distintos de consumir os picolés equivale a: b 
a) 6.
b) 90.
c) 180.
d) 720.
Sabendo que a crian•a ganhou dois picolŽs de cada sabor, tem-se que o resultado pedido Ž dado por:
5
? ?
5P
6!
2! 2! 2!
90.6
(2, 2, 2)
 
En
em
C-1
H-1
En
em
C-1
H-2
En
em
C-1
H-3
 ARRANJOS SIMPLES
Vimos que permuta•ão simples de n elementos Ž qualquer agrupamento ordenado desses 
n elementos. Agora, tendo n elementos, vamos estudar os agrupamentos ordenados de 1 elemento, 
2 elementos, 3 elementos, É, de p elementos, com p < n.
Observe os exemplos:
1o) Consideremos as letras a, b, c e d. Quais e quantos agrupamentos ordenados de 2 letras 
distintas Ž poss’vel formar com elas?
a
b
c
d
1a posi•‹o
4 possibilidades
2a posi•‹o
3 possibilidades
c
c
b
b
d
d
d
c
b
a
a
a
Na primeira posi•ão temos 4 possibilidades (pois temos 4 elementos dispon’veis). Na segunda 
posi•ão, 3 possibilidades (pois temos 3 elementos dispon’veis).
Pelo princ’pio fundamental da contagem, há, no total, 4 ? 3 5 12 possibilidades.
Os 12 agrupamentos ordenados diferentes são:
ab ba ca da
ac bc cb db
ad bd cd dc
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15
Esses agrupamentos s‹o chamados de arranjos simples. Arranjamos 4 elementos 2 a 2 e o 
nœmero desses arranjos foi 12. Escrevemos ent‹o:
5 ? 5A 4 3 124 ,2 (arranjo de 4 elementos tomados 2 a 2 Ž igual a 12)
2o) Usando os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9, quantos nœmeros naturais de 3 algarismos distintos po-
demos formar?
centena dezena unidade
Há 5 possibilidades para o 1o algarismo, 4 para o 2o e 3 para o 3o.
No total podemos ent‹o formar 5 ? 4 ? 3 5 60 nœmeros.
Dizemos neste exemplo que fizemos arranjos de 5 elementos 3 a 3, e o nœmero desses arranjos Ž 60.
Indicamos assim: A
5,3
 5 5 ? 4 ? 3 5 60
Vejamos como calcular o nœmero total desses agrupamentos no caso geral de n elementos 
arranjados p a p, com n . p, ou seja, como calcular An,p .
Para n 5 p, temos A P n!n,n n5 5 , já estudado.
Para n . p, temos n elementos distintos e vamos arranjá-los p a p. Construindo a árvore de 
possibilidades, temos:
 na primeira posi•‹o: n possibilidades (pois temos n elementos dispon’veis)
 na segunda posi•‹o: (n 2 1) possibilidades (pois temos (n 2 1) elementos dispon’veis)
 na terceira posi•‹o: (n 2 2) possibilidades (temos (n 2 2) elementos dispon’veis)
:
 na p-Žsima posi•‹o: n 2 (p 2 1) possibilidades (temos n 2 (p 2 1) elementos dispon’veis)
Aplicando o princ’pio fundamental da contagem, temos que o nœmero total de possibilidades 
Ž dado por:
5 2 2 ? ? 2 2A n(n 1)(n 2) É [n (p 1)]n,p
p fatores
1 244444 344444
Podemos ainda indicar An,p por meio de fatoriais. Observe:
A n n 1 n 2 n p 1n,p 5 2 2 ? ? 2 1( )( ) ( )… 
Multiplicando esse nœmero por 
(n p)!
(n p)!
2
2
, temos:
5 2 2 ? ? 2 1 ?
2
2
5
5
2 2 ? ? 2 1 2
2
5
2
A n n 1 n 2 n p 1
n p !
n p !
n(n 1)(n 2) (n p 1)(n p)!
(n p)!
n!
n p !
n,p ( )( ) ( )
( )
( )
( )
…
…
Portanto:
A
n!
(n p)!
n,p 5
2
Resumindo:
Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p < n) s‹o os agrupamentos ordenados 
diferentes que se podem formar com p dos n elementos dados.
Indica-se por A
n, p
 ou An
p o total desses agrupamentos, que calculamos assim:
5 2 2 ? ? 2 1A n n 1 n 2 n p 1n,p ( )( ) ( )…
ou
A
n!
(n p)!
n.p 5
2
n p 12 2( ) 5 n p 12 1
PARA
REFLETIR
Como n . p, multiplicar um nú-
mero por 
n p !
n p !
2
2
( )
( )
 significa mul-
tiplicá-lo por 1; logo, seu valor 
não se altera.
PARA
REFLETIR
Usando a 2a fórmula podemos 
comprovar que: 
A
n!
(n n)!
n!
0 !
n!
1!
n!n,n 5 5 5 5
−
PARA
REFLETIR
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16 An‡lise combinat—ria
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Exemplos:
1o) 5 ? ? ? 5A 10 9 8 7 504010,4
(10–4 1)
↑
+
 
5 5
? ? ? ?
5A
10!
6!
10 9 8 7 6!
6!
5 04010,4
 
2o) 5 ? 5A 8 7 568 ,2
8 2 1( )
↑
− +
 ou 5
? ?
5A
8 7 6!
6!
568 ,2
Observa•ão: você tanto pode usar o conceito de arranjo como o princípio fundamental da 
contagem para resolver problemas, como veremos nos exercícios resolvidos a seguir. Mais importante 
do que decorar uma fórmula e aplicá-la é compreender o que está sendo feito.
16 Quantos números de dois algarismos diferentes podemos 
escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
RESOLUÇÃO:
1a maneira: usando a fórmula 
Procuramos agrupamentos de 2 elementos em que a ordem 
é importante, pois, por exemplo, 12 Þ 21. Temos 9 elementos 
para serem arranjados 2 a 2. Assim, temos de calcular:
( )−
5 5 5
? ?
5A
9!
9 2 !
9
7
9 8 7!
7!
729,2
Portanto, existem 72 números de dois algarismos diferentes 
que podem ser escritos com os algarismos de 1 a 9.
2a maneira: sem usar a fórmula 
Para o algarismo das dezenas temos 9 opç›es, e para o al-
garismo das unidades, apenas 8 opç›es, pois n‹o podemos 
repetir algarismos. Assim, temos 9 ? 8 5 72 possibilidades. 
Portanto, s‹o 72 números.
17 Quantos números de 2 algarismos diferentes podemos es-
crever com os algarismos 1, 2, 3 e 4?
RESOLUÇÃO:
1a maneira: sem usar a fórmula 
Para o algarismo das dezenas temos 4 opç›es, e para o alga-
rismo das unidades, apenas 3, pois n‹o podemos repetir al-
garismos. Assim, temos 4 ? 3 5 12 possibilidades, e, portanto, 
12 números.
2a maneira: usando a fórmula 
Nesse caso, temos quatro d’gitos, 1, 2, 3 e 4, e queremos sa-
ber quantos números de 2 algarismos diferentes podemos 
escrever com eles. Precisamos calcular
 
A4 ,2:
A
4!
2!
4 3 2!
2!
124 ,2 5 5
? ?
5
Portanto, podemos escrever 12 números com 2 algarismos 
diferentes com os d’gitos 1, 2, 3 e 4.
18 Responda ˆs seguintes quest›es:
a) Quantos anagramas podemos formar com as letras da pa-
lavra CONTAGEM?
b) Quantas ÒpalavrasÓ de 4 letras distintas podemos formar 
com as letras da palavra CONTAGEM?
c) Quantas dessas ÒpalavrasÓ começam com E ?
d) Quantas terminam com TA?
e) Quantas contêm a letra M ?
f ) Quantas n‹o contêm a letra M ?
RESOLUÇÃO:
a) P 8! 8 7 6 5 4 3 2 1 40 3208 5 5 ? ? ? ? ? ? ? 5 
b) 1a maneira: sem usar a fórmula 
Temos 8 possibilidades para a 1a letra, 7 para a 2a, 6 para a 3a 
e 5 para a 4a letra. Assim, temos 8 ? 7 ? 6 ? 5 5 1 680 palavras.
2a maneira: usando a fórmula 
A 8 7 6 5 16808,4 5 ? ?? 5
c) 1a maneira: sem usar a fórmula 
Fixando E como 1a letra, restam 7 possibilidades para a 2a le-
tra, 6 para a 3a e 5 para a 4a letra. Assim, temos 7 ? 6 ? 5 5 210
2a maneira: usando a fórmula 
Fixando E como 1a letra, temos de arranjar as 3 restantes 
das 7 que sobraram. Assim:
A 7 6 5 2107,3 5 ? ? 5
d) 1a maneira: sem usar a fórmula 
Fixando TA como 3a e 4a letras, restam 6 possibilidades 
para a 1a letra e 5 para a 2a Assim, temos:
6 ? 5 5 30 palavras.
2a maneira: usando a fórmula 
Fixando as duas últimas como sendo TA, temos de arranjar 
as 2 iniciais das 6 que sobraram. Assim:
A
6,2
 5 6 ? 5 5 30
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Análise combinatória
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
17
e) 1a maneira: sem usar a f—rmula 
Fixando M como 1a letra, restam 7 possibilidades para a 2a le-
tra, 6 para a 3a e 5 para a 4a letra. Assim, temos 7 ? 6 ? 5 5 210 
palavras com o M na 1a posi•‹o. Da mesma forma, tere-
mos 210 possibilidades para o M na 2a posi•‹o, na 3a posi-
•‹o e na 4a posi•‹o. Assim, temos 4 ? 210 5 840 palavras.
2a maneira: usando a f—rmula
Colocado o M, temos A
7,3
5 7 ? 6 ? 5 5 210 possibilidades 
para as outras letras. Como podemos colocar o M de qua-
tro maneiras diferentes: 
 M __ __ __; __ M __ __; __ __ M __ e __ __ __ M ; 
temos: 4 ? 210 5 840 
f) 1a maneira: sem usar a f—rmula 
Sem o M teremos 7 letras para compor a palavra: 7 possi-
bilidades para a 1a letra, 6 para a 2a, 5 para a 3a e 4 para a 4a 
letra. Assim, temos 7 6 5 4 840? ? ? 5 palavras.
2a maneira: usando a f—rmula
Retirando o M, passamos a ter 7 letras. Como os anagra-
mas devem conter 4 letras, temos:
A 7 6 5 4 8407,4 5 ? ? ? 5 
Observa•‹o:
TambŽm poder’amos ter feito 1 680 2 840 para obter 840, 
subtraindo o nœmero de palavras obtido em e do nœmero 
total obtido em b.
19 De quantas maneiras 5 meninos podem sentar-se num ban-
co que tem apenas 3 lugares?
RESOLUÇÃO:
1a maneira: usando a f—rmula 
Estamos interessados nos agrupamentos ordenados de 3 
elementos, retirados de 5 elementos, ou seja:
A
5!
2!
5 4 3 605,3 5 5 ? ? 5
Portanto, há 60 maneiras poss’veis.
2a maneira: sem usar a f—rmula 
5 meninos s‹o poss’veis para o 1o lugar do banco, 4 para o 2oâ 
e 3 para o 3o. Ent‹o, s‹o 5 ? 4 ? 3 5 60 possibilidades.
20 Quantas fra•›es diferentes (e n‹o iguais a 1) podemos escre-
ver usando os nœmeros 2, 3, 5, 7, 11 e 13?
RESOLUÇÃO:
1a maneira: usando a f—rmula 
Nesse caso estamos procurando agrupamentos de dois ele-
mentos nos quais a ordem deles Ž relevante 2
3
3
2
?




 e nos 
quais um mesmo nœmero n‹o pode ser repetido na mesma 
fra•‹o 3
3
15


.
Esses agrupamentos de 2 elementos devem ser formados 
com os 6 elementos: 2, 3, 5, 7, 11 e 13. Logo, temos:
A
6!
4!
6 5 306,2 5 5 ? 5
Portanto, podemos formar 30 fra•›es nessas condi•›es.
2a maneira: sem usar a f—rmula 
Para o denominador temos 6 op•›es e para o numerador, 5 
op•›es. Ent‹o, 6 ? 5 5 30 fra•›es.
21 Quantos nœmeros ’mpares de 4 algarismos n‹o repetidos po-
demos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
RESOLUÇÃO:
1a maneira: sem usar a f—rmula 
Para que o nœmero seja ’mpar, devemos ter como algarismo 
das unidades uma das 5 op•›es apresentadas (1, 3, 5, 7 ou 9). 
Para a dezena, temos 8 op•›es, pois n‹o podemos repetir o 
algarismo usado nas unidades. Para a centena, 7 op•›es, e, 
para o milhar, 6 op•›es. Assim, 6 ? 7 ? 8 ? 5 5 1 680 nœmeros.
2a maneira: usando a f—rmula 
Dos 9 algarismos, 5 s‹o ’mpares. Terminando com um desses 
5 algarismos (por exemplo, __ __ __ 1), podemos escrever 
A8,3 nœmeros de 4 algarismos.
Como s‹o 5 as possibilidades para a œltima posi•‹o, pode-
mos escrever:
5A 5
8!
5!
5 8 7 6 16808,3 5 ? 5 ? ? 5( )
Portanto, há 1 680 nœmeros ’mpares de 4 algarismos n‹o re-
petidos com os d’gitos de 1 a 9.
22 Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos nœmeros de 3 
algarismos distintos maiores que 300 podemos formar?
RESOLUÇÃO:
1a maneira: sem usar a f—rmula 
Para algarismos maiores do que 300 Ž necessário que o alga-
rismo da centena seja 3, 4, 5 ou 6. Assim, temos 4 possibilida-
des para a centena. Para a dezena, 5 possibilidades, pois n‹o 
podemos repetir a centena, e para a unidade, 4 possibilida-
des. Assim, 4 ? 5 ? 5 5 80 nœmeros.
2a maneira: usando a f—rmula 
Temos as possibilidades:
 3 __ __ 
 4 __ __
 5 __ __
 6 __ __
Para preencher cada uma das lacunas temos A5,2 possibilida-
des. Portanto, podemos formar: 
4A
5,2
 5 4 ? (5 ? 4) 5 80 nœmeros.
SER1_CAD9_MAT_ALG_C1.indd 17 9/15/15 11:04 AM
18 Análise combinatória
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 15 a 20
PARA CONSTRUIR
23 Com os algarismos 3, 5, 7 e 9 foram formados todos os nœme-
ros naturais poss’veis de 3 algarismos e colocados em ordem 
crescente. Qual Ž a posi•‹o do nœmero 739?
RESOLUÇÃO:
Temos as possibilidades:
→
→



5
5
1 5
3 A 6
5 A 6
6 6 123,2
3,2
 7 3 5 → 13o nœmero 
 7 3 9 → 14o nœmero
Portanto, 739 Ž o 14o nœmero.
24 Com os d’gitos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos nœmeros de algarismos 
distintos menores do que 400 podemos formar?
RESOLUÇÃO:
Temos as possibilidades:
 todos de 1 algarismo: 5
 todos de 2 algarismos: A 5 4 205,25 ? 5 
 os de 3 algarismos que come•am por 1, 2 ou 3:
 1 __ __ ; 2 __ __ ; 3 __ __
 
5 ? 53A 3 12 364 ,2 
Portanto, o total de nœmeros Ž: 5 1 20 1 36 5 61
10 (UEPB) A solu•‹o da equa•‹o A 4 An,3 n,25 ⋅ Ž: d
a) 3.
b) 4.
c) 8.
d) 6.
e) 5.
Temos:
5 ?
2
5 ?
2
? 2 5 2
? 2 5 2 ? 2
5 2 5
A 4 A
n!
(n 3)!
4
n!
(n 2)!
4 (n 3)! (n 2)!
4 (n 3)! (n 2) (n 3)!
4 n 2 n 6.
n, 3 n, 2 ⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒
Portanto, a solu•‹o da equa•‹o Ž 5n 6. 
11 (Fuvest-SP) Vinte times de futebol disputam a SŽrie A do 
Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas. Cada time 
joga duas vezes contra cada um dos seus advers‡rios. A por-
centagem de jogos nos quais os dois oponentes s‹o paulis-
tas Ž: b
a) menor que 7%.
b) maior que 7%, mas menor que 10%.
c) maior que 10%, mas menor que 13%.
d) maior que 13%, mas menor que 16%.
e) maior que 16%.
O nœmero total de jogos disputados Ž dado por:
5 5 ? 5A
20!
18!
20 19 380.20, 2
 
Logo, como o nœmero de jogos nos quais os dois oponentes s‹o 
paulistas Ž:
5 5 ? 5A
6!
4!
6 5 30,6, 2
segue que a porcentagem pedida Ž igual a: 
?
30
380
100% 7,9%.
12 (PUC-SP) O novo sistema de placas de ve’culos utiliza um gru-
po de 3 letras (dentre 26 letras) e um grupo de 4 algarismos 
(por exemplo: ABC-1023). Uma placa dessas ser‡ "pal’ndro-
ma" se os dois grupos que a constituem forem "pal’ndromos". 
O grupo ABA Ž "pal’ndromo", pois as leituras da esquerda 
para a direita e da direita para a esquerda s‹o iguais; da mes-
ma forma, o grupo 1331 Ž "pal’ndromo". Quantas placas "pa-
l’ndromas" distintas poder‹o ser constru’das?
• Letras: 26 ? 26 ? 1 5 262
• Nœmeros: 10 ? 10 ? 1 ? 1 5 102
Total de placas Òpal’ndromasÓ:
262 ? 102 5 67 600 placas.
13 Determine o valor de n em −5A 2An, 3 n 1, 45
( )
( )
( )
( ) ( )
( )( )
⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
5
n!
(n 3)!
2
n 1 !
n 1 4 !
n! n 5 !
n 3 ! n 1 !
2
5
n(n Ð1)! (n Ð 5)!
(n 3)(n 4) (n 5)! (n 1)!
2
5
2 n 3 n 4 5n
?
2
5 ?
2
2 2
2
2 2
5
2 2 2 2
5 2 2 5
 
2 1 2 5 2 1 2 5
2 1 5
2 n 7n 12 5n 0 2n 14n 24 5n 0
2n 19n 24 0
2 2
2
( )⇒ ⇒ ⇒
⇒ 
Δ 5 361 2 4(2)(24) 5 169
5 5n
19 13
4
n
3
2
± ⇒ (n‹o convŽm) ou n 5 8
Logo, n 5 8.
En
em
C-4
H-1
5
En
em
C-1
H-1
En
em
C-1
H-2
En
em
C-1
H-3
En
em
C-1
H-1
En
em
C-1
H-2
En
em
C-1
H-3
En
em
C-1
H-1
En
em
C-1
H-2
En
em
C-1
H-3
En
em
C-1
H-2
En
em
C-1
H-3
SER1_CAD9_MAT_ALG_C1.indd 18 10/30/15 12:59 PM
An‡lise combinat—ria
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
19
 COMBINAÇÕES SIMPLES
Nos problemas de contagem, o conceito de combina•ão est‡ intuitivamente associado ˆ no•ão 
de escolher subconjuntos.
Observe com aten•ão estes dois exemplos:
1o) Ane, Elisa, Rosana, Felipe e Gustavo formam uma equipe. Dois deles precisam representar 
a equipeem uma apresenta•ão. Quais e quantas são as possibilidades?
Representemos por A: Ane; E: Elisa; R: Rosana; F: Felipe e G: Gustavo. Precisamos determinar 
todos os subconjuntos de 2 elementos do conjunto de 5 elementos {A, E, R, F, G}. A ordem em que 
os elementos aparecem nesses subconjuntos não importa, pois Ane-Elisa, por exemplo, é a mesma 
dupla que Elisa-Ane.
Então, os subconjuntos de 2 elementos são:
{A, E}, {A, R}, {A, F}, {A, G}, {E, R}, {E, F}, {E, G}, {R, F}, {R, G}, {F, G}.
A esses subconjuntos chamamos de combina•›es simples de 5 elementos tomados com 
2 elementos, ou tomados 2 a 2, e escrevemos: C
5, 2
.
Como o nœmero total dessas combina•›es é 10, escrevemos C
5, 2
 5 10.
2o) Consideremos um conjunto com 5 elementos e calculemos o nœmero de combina•›es 
simples de 3 elementos, ou seja, o nœmero de subconjuntos com 3 elementos.
Conjunto com 5 elementos: {a, b, c, d, e}.
Combina•›es simples de 3 elementos: {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e}, {b, c, d}, 
{b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}.
Cada combina•ão d‡ origem a 6 arranjos, permutando de todos os modos possíveis seus 3 ele-
mentos. Por exemplo: ao permutar todos os elementos da combina•ão {a, b, c} encontramos os arranjos: 
(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a). Isso significa que o nœmero de arranjos de 5 elementos 
tomados 3 a 3 é seis vezes o nœmero de combina•›es de 5 elementos tomados 3 a 3, ou seja:
A
5, 3
 5 6C
5, 3
Como o 6 foi obtido fazendo permuta•›es dos 3 elementos de, por exemplo, {a, b, c}, temos P
3
 5 6.
Logo:
A
5, 3
 5 P
3
 ? C
5, 3
ou
C
5, 3
 5 
A
P
5 , 3
3
 5 
5!
(5Ð3)!
3!
 5 
5!
3!(5Ð3)!
 5 
5 4 3!
3!2!
? ?
 5 
20
2
 5 10
A cada combina•ão de n elementos tomados p a p correspondem p! arranjos que são obtidos
permutando-se os elementos da combina•ão, ou seja:
C
A
p!
n!
n p
p!
n!
p! n p !
n,p
n, p
5 5 5
( ) ( )− −
 
Então:
C
A
p!
n,p
n, p
5 ou C
n!
p!(nÐp)!
n,p 5
Combina•›es simples de n elementos tomados p a p p n<( ) são os subconjuntos com 
exatamente p elementos que se podem formar com os n elementos dados.
Indica-se por C
n, p
, C 
n
p ou 
n
p





 o nœmero total de combina•›es de n elementos tomados 
p a p e calcula-se por C
n, p
 5 
n!
p!(n p)!2
 ou C
n, p
 5 
A
p!
n, p
.
SER1_CAD9_MAT_ALG_C1.indd 19 9/15/15 11:04 AM
20 An‡lise combinat—ria
EXERCêCIOS RESOLVIDOS
Observaç›es: 
1a) Como são subconjuntos de um conjunto, a ordem dos elementos não importa. Só 
consideramos subconjuntos distintos os que diferem pela natureza dos seus elementos.
2a) Como foi observado anteriormente, do mesmo modo que se obtém a fórmula da combi-
nação por meio da divisão de um arranjo pela permutação, podemos obter a combinação 
sem usar a fórmula, calculando o arranjo e dividindo o resultado pela permutação dos 
elementos escolhidos.
Uma propriedade importante das combina•›es
Observemos que:
C
3, 2
 5 C
3, 1
, pois C
3, 2
 5 3 e C
3, 1
 5 3
2 1 1 5 3
3 1 2 5 5
C
5, 3
 5 C
5, 2
, pois C
5, 3
 5 
A
3!
5 , 3
 5 
5 4 3
3 2 1
? ?
? ?
 5 10 e C
5, 2
 5 
A
2!
5 , 2
 5 
5 4
2 1
?
?
 5 10
De modo geral, vale a propriedade:
C
n,p
5 C
n,n 2 p
pois:
C
n, p
 5 
n!
p!(n–p)!
n!
(n–p)!p!
n!
(n–p)!(n–(n–p))!
5 5 5 C
n, n 2 p
Essa propriedade é muito útil para simplificar os cálculos e é conhecida por igualdade de com-
binações complementares.
Exemplos:
1o) C
100, 98
 5 C
100, 2
 5 
100 99
2 1
?
?
 5 4 950
2o) C
43, 42
 5 C
43, 1
 5 43
Dado um conjunto de 5 elemen-
tos, para cada subconjunto de 
3 elementos sobra um de 2 ele-
mentos.
Da’, C
5, 3
 5 C
5, 2
.
PARA
REFLETIR
Para p 5 n, temos C
n, n
. Qual Ž seu 
valor?
PARA
REFLETIR
25 Calcule o valor de:
a) C
6, 3
b) C
5, 2
c) C4
3 d) 




4
2
e) C
21, 19
RESOLU‚ÌO:
a) C
6, 3
 5 
6!
3!(6 3)!2
 5 
6!
3!3!
 5 
6 5 4 3!
3! 3!
? ? ?
 5 
6 5 4
3 2 1
? ?
? ?
 5 20 ou C
6, 3
 5 
A
3!
6, 3
 5 
6 5 4
3 2 1
? ?
? ?
 5 20
b) C
5, 2
 5 
5!
2!(5 2)!2
 5 
5!
2!3!
 5 
5 4 3!
2! 3!
? ?
 5 10 ou C
5, 2
 5 
5 4
2 1
?
?
 5 10
c) C4
3 5 
4!
3!(4 3)!2
 5 
4!
3!1!
 5 
4 3!
3!1!
?
 5 4 ou C4
3
 5 
4 3 2
3 2 1
? ?
? ?
 5 4
d) 




4
2
 5 
4!
2!(4 2)!2
 5 
4!
2!2!
 5 
⋅4 3
2
 5 6 ou 




4
2
 5 
?
?
5
4 3
2 1
6
e) C
21, 19
 5 C
21, 2
 5 
21 20
2 1
?
?
 5 210
SER1_CAD9_MAT_ALG_C1.indd 20 9/15/15 11:04 AM
Análise combinatória
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
21
26 De quantas maneiras diferentes um tŽcnico pode escalar seu 
time de basquete tendo 12 atletas ˆ sua disposi•‹o?
RESOLU‚ÌO:
1a maneira: usando a fórmula
Procuramos o nœmero total de subconjuntos (ou combina-
•›es) de um conjunto de 12 elementos. 
A ordem n‹o importa; cada subconjunto difere um do outro 
apenas pela natureza dos seus elementos. Assim, procuramos:
C
12, 5 
5 
12!
5!7!
 5 
12 11 10 9 8
5 4 3 2 1
? ? ? ?
? ? ? ?
 5 11 9 8 792? ? 5 .
Portanto, podemos formar 792 times de basquete diferentes 
com 12 atletas.
2a maneira: sem usar a fórmula
S‹o 5 jogadores a serem escolhidos entre 12. Ent‹o, ter’amos 
12 ? 11 ? 10 ? 9 ? 8 5 95 040 possibilidades se estivŽssemos 
calculando um arranjo. Como Ž uma combina•‹o, ent‹o, de-
vemos dividir o resultado pelo fatorial dos elementos escolhi-
dos (5 elementos):
12 11 10 9 8
5!
? ? ? ?
 5 792 possibilidades.
27 Em um plano marcamos 6 pontos distintos, dos quais 3 nun-
ca est‹o em linha reta.
a) Quantos segmentos de reta podemos tra•ar ligando-os 
2 a 2?
b) Quantos tri‰ngulos podemos formar tendo sempre 3 de-
les como vŽrtices?
RESOLU‚ÌO:
a) Marcamos 6 pontos num plano, onde n‹o 
existem 3 alinhados.
 Como em cada segmento temos 2 ex-
tremos e, por exemplo, o segmento AD 
Ž o mesmo que o segmento DA, o nœ-
mero de segmentos Ž:
C
6, 2
 5 
6 5
2
?
 5 15.
Portanto, podemos tra•ar 15 segmentos de retas.
b) Como cada tri‰ngulo fica determinado por 3 pontos n‹o 
colineares, temos, independentemente da ordem deles:
 
A
B
C
D
E
F
C
6, 3
 5 
6 5 4
3 2 1
? ?
? ?
 5 5 ? 4 5 20.
Logo, podemos formar 20 tri‰ngulos.
28 Quantas diagonais tem um hex‡gono convexo?
RESOLU‚ÌO:
O nœmero de segmentos que unem 2 vŽrtices Ž, como no 
exerc’cio anterior, C
6, 2
 5 15.
Nesses 15 segmentos, alŽm das diagonais, est‹o inclu’dos os 
6 lados do hex‡gono.
Ent‹o: C
6, 2
 2 6 5 15 2 6 5 9.
Logo, o nœmero de diagonais do hex‡gono convexo Ž 9.
29 No jogo de truco, cada jogador recebe 3 cartas de um bara-
lho de 40 cartas (s‹o exclu’das as cartas 8, 9 e 10). De quantas 
maneiras diferentes um jogador pode receber suas 3 cartas?
RESOLU‚ÌO:
As 3 cartas diferem entre si pela natureza delas e n‹o pela or-
dem. Como a ordem n‹o importa, o problema fica resolvido 
calculando:
C
40, 3
 5 
40 39 38
3 2 1
? ?
? ?
 5 9 880.
Portanto, cada jogador pode receber suas 3 cartas de 9 880 
maneiras diferentes.
30 O conselho desportivo de uma escola Ž formado por 2 profes-
sores e 3 alunos. Candidataram-se 5 professores e 30 alunos. 
De quantas maneiras diferentes esse conselho pode ser eleito? 
RESOLU‚ÌO:
Se escolhermos os professores de x maneiras e os alunos de 
y maneiras, pelo princ’pio fundamental da contagem esco-
lheremos os professores e alunos de xy maneiras. Assim:
 escolha dos professores: C
5, 2
 5 
5!
2!3!
 5 
5 4 3!
2! 3!
? ?
 5 
5 4
2 1
⋅
⋅
 5 10
 escolha dos alunos: C
30,3
 5 
30!
3!27!
 5 
30 29 28 27!
3! 27!
? ? ?
 5 
5 
30 29 28
3 2
? ?
?
 5 4 060
Logo:
C
5,2
 ? C
30,3
 5 10 ? 4 060 5 40 600.
Portanto, o conselho pode ser eleito de 40 600 maneiras di-
ferentes.
31 Ap—s uma reuni‹o de neg—cios, foram trocados um total de 
15 apertos de m‹o. Sabendo que cada executivo cumpri-
mentou todos os outros, qual o nœmero de executivos que 
estavam presentes nessa reuni‹o?
RESOLU‚ÌO:
Aqui temos um problema inverso. Sabemos que C
n, 2
 5 15 e 
procuramos o valor de n:
n!
2!(n 2)!
n(n 1)(n 2) !
2! (n 2) !
n(n 1)
2
15
n n 30 0 n 6 ou n 52
2
5
2 2
2
5
2
5
2 2 5 5 5 2
A
B
C
D
E
F
SER1_CAD9_MAT_ALG_C1.indd 21 9/15/15 11:04 AM
22 Análise combinatória
Portanto, o nœmero de executivos era 6 (n n‹o pode ser 
negativo).
Para conferir, verifique que C
6, 2
 5 15.
32 Dados 8 pontos num mesmo plano, sendo que 5 deles per-
tencem a uma reta, 3 pertencem a outra e nenhum pertence 
ˆs duas retas, responda:
a) Quantas retas eles determinam?
b) Quantos tri‰ngulos eles determinam?
RESOLU‚ÌO:
r
s
a) Para cada ponto de r com um dos 5 pontos de s temos C
5, 1
 
retas. Como s‹o 3 pontos em r, temos 3C
5, 1
. Considerando 
ainda as retas r e s, temos o total de 3C
5, 1
 1 2 retas, ou seja:
 3 ? 
5!
1!4!
 1 2 5 3 ? 5 1 2 5 17.
Portanto, ficam determinadas 17 retas.
Outra resolu•‹o:
5C
3, 1
 1 2 5 17
A resolu•‹o do item a pode ser 
feita, diretamente, assim:
3 ? 5 1 2 5 17
PARA
REFLETIR
b) Um tri‰ngulo fica determinado quando temos:
 I) um ponto em r e dois em s;
 II) um ponto em s e dois em r.
Calculemos essas duas possibilidades e somemos:
 I) Temos 5 pontos em s e precisamos de 2. Vamos combin‡-
-los 2 a 2:
 C
5, 2
 5 
5!
2!3!
 5 10
Como em r h‡ 3 pontos e podemos considerar qualquer 
um deles, temos:
3C
5, 2
 5 3 ? 10 5 30 possibilidades
II) Da mesma forma, temos 3 pontos em r e precisamos de 2. 
Combinando-os 2 a 2, temos:
 C
3, 2
 5 
3!
2!1!
 5 3
Como em s h‡ 5 pontos e podemos considerar qualquer 
um deles, temos:
5C
3, 2
 5 5 ? 3 5 15 possibilidades
Juntando as possibilidades, temos:
3C
5, 2
 1 5C
3, 2
 5 30 1 15 5 45.
Portanto, s‹o determinados 45 tri‰ngulos com esses 
8 pontos.
Outra resolu•‹o:
Os 8 pontos agrupados 3 a 3 formam 
C
8, 3
 5 
8 7 6
3 2
? ?
?
 5 56.
Os 3 pontos de r agrupados 3 a 3 formam C
3, 3
 5 1 (n‹o Ž 
tri‰ngulo).
Os 5 pontos de s agrupados 3 a 3 formam 
C
5, 3
 5 
5 4 3
3 2
? ?
?
 5 10 (n‹o s‹o tri‰ngulos).
Portanto, o total de tri‰ngulos Ž:
56 2 1 2 10 5 45
33 De quantas maneiras podemos colocar 10 bolas em 3 urnas, 
de modo que fiquem 2 bolas na primeira urna, 3 bolas na 
segunda urna e 5 bolas na terceira?
RESOLU‚ÌO:
H‡ C
10, 2
 maneiras de escolher as 2 bolas que ficar‹o na pri-
meira urna. Para cada maneira h‡ C
8, 3
 possibilidades de es-
colher as 3 bolas que ficar‹o na segunda urna. Pelo princ’pio 
fundamental da contagem, h‡, ent‹o, C
10, 2
 ? C
8, 3
 maneiras de 
distribuir as 2 bolas na primeira urna e as 3 bolas na segunda 
urna. Para cada uma dessas possibilidades, h‡ C
5, 5
 maneiras 
de colocar as 5 bolas na terceira urna. Portanto, novamen-
te pelo princ’pio fundamental da contagem, h‡ C
10, 2
 ? C
8, 3
 ? C
5,
 
5
 
maneiras diferentes de colocar 2 bolas na primeira urna, 3 bo-
las na segunda urna e 5 bolas na terceira urna.
1a urna 2a urna 3a urna
2 bolas 3 bolas 5 bolas
em 10 em 8 em 5
C
10, 2
 ? C
8, 3
 ? C
5, 5
 5
10!
2!8!
8!
3!5!
5!
5! 0!
10 9 8!
2 1 8!
8 7 6 5!
3 2 1 5!
1!
0!
45 56 1 2 520.
5
1
5 ? ? 5
? ?
? ?
?
? ? ?
? ? ?
? 5
5 ? ? 5
Portanto, existem 2 520 possibilidades para fazer essa dis-
tribui•‹o.
SER1_CAD9_MAT_ALG_C1.indd 22 9/15/15 11:04 AM
Análise combinatória
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
23
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 21 a 25 Para aprimorar: 3 a 5
PARA CONSTRUIR
14 (UFRGS-RS) Considere o padrão de construção representado 
pelos desenhos abaixo.
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa 4
Na etapa 1, há um único triângulo equilátero. Na etapa 2, é 
traçado um segmento a partir dos pontos médios de dois 
lados do triângulo da etapa 1, formando dois triângulos 
equiláteros. Na etapa 3, é traçado um segmento a partir dos 
pontos médios de dois lados do triângulo menor da etapa 2, 
formando três triângulos equiláteros. Na etapa 4 e nas etapas 
seguintes, o mesmo processo é repetido em cada um dos 
triângulos menores da etapa anterior.
O número de trapézios na 6a etapa de construção é: b
a) 14.
b) 15.
c) 16.
d) 17.
e) 18.
Na sexta construção teremos 6 segmentos paralelos, consideran-
do que dois deles sempre determinam um trapézio, o número de 
trapézios será dado por :
5 5C
6!
2!(6 2)!
156,2
− 
15 Determine o valor de x, sabendo que:
a) 800 , A
7, x
 , 2 600
800
7!
(7 x)!
2 600 800
5040
(7 x)!
2 600
20
126
(7 x)!
65
 ⇒ ⇒
⇒ ⇒
,
2
, ,
2
,
,
2
,
 
 
⇒ ,
2
,
1
65
(7 x)!
126
1
20 
 
(I) 7 x !
126
65
7 x ! 2! 7 x 2
x 5 x 5
( )( ) ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
2 . 2 > 2 >
2 > 2 <
 
( ) ( )⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
2 , 2 < 2 <
2 < 2 >
(II) 7 x !
126
20
7 x ! 3! 7 x 3
x 4 x 4
De (I) e (II), temos < <4 x 5. Logo, x 5 4 ou x 5 5.
b) A
x, 3
 2 C
x, x 2 3
 5 25C
x, x 2 1
⇒
⇒ − ⇒
2
2
2 2 1
5 ?
2 2 1
2 2
5
2
x!
(x 3)!
x!
(x 3)!(x x 3)!
25
x!
(x 1)!(x x 1)!
x!
(x 3)!
x!
(x 3)!3!
25x!
(x 1)!1!
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
2
2
2
5
2 2
5
2
2
5
2
1
(x 3)!
1
6(x 3)!
25
(x 1)!
5
6(x 3)!
25
(x 1)!
1
6(x 3)!
5
(x 1)! 
⇒ 30(x − 3)! 5 (x − 1)! ⇒ 30(x − 3)! 5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)! ⇒ 
⇒ 30 5 (x − 1)(x − 2) ⇒ x2 − 3x 1 2 − 30 5 0 ⇒ x2 − 3x − 28 5 0 ⇒ 
⇒ (x − 7)(x 1 4) 5 0 ⇒ x 5 7 ou x 5 −4 (não convém) 
Logo, x 5 7.
16 (Unifesp) Uma população de 10 camundongos, marcados 
de 1 a 10, será utilizada para um experimento em que serão 
sorteados aleatoriamente 4 camundongos. Dos 10 camun-
dongos, apenas 2 têm certa característica C
1
, 5 têm certa 
característica C
2 
e nenhum deles tem as duas características. 
Pergunta-se:
a) Qual é a probabilidade de que ao menos um dos camun-
dongos com a característica C
1
 esteja no grupo sorteado?
2 5 2 5 2 51
C
C
1
70
210
1
1
3
2
3
8,4
10,4
 (em que C8,4 é a quantidade de 
camundongos sorteados que não possuem a característica C
1
)
b) Qual é a probabilidade de que o grupo sorteado tenha 
apenas 1 camundongo com a característica C
1
 e ao me-
nos 2 com a característica C
2
? 
C C C
C
C C
C
2 10 3
210
2 10
210
6
21
2
21
8
21
2,1 5,2 3,1
10,4
2,1 5,3
10.4
? ?
1
?
5
? ?
1
?
5 1 5 
17 (Uece) Sejam r e s duas retas distintas e paralelas. Se fixarmos 
10 pontos em r e 6 pontos em s, todos distintos, ao unirmos, 
com segmentos de reta, três quaisquer destes pontos não 
colineares, formam-se triângulos. Assinale a opção corres-
pondente ao número de triângulos que podem ser forma-
dos. d
a) 360
b) 380
c) 400
d) 420
Número de combinações do total de pontos três a três: 
−
5 5C
16!
3!(16 3)!
56016,3
Número de combinações dos 10 pontos de uma reta três a três: 
−
5 5C
10!
3!(10 3)!
12010,3
Número de combinações dos 6 pontos da outra reta três a três: 
5
2
5C
6!
3!(6 3)!
206,3
Portanto, o total de triângulos será dado por: 2 2 5560 120 20 420. 
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-1
H-1
En
em
C-1
H-2
En
em
C-1
H-3
En
em
C-1
H-1
En
em
C-1
H-2
En
em
C-1
H-3
En
em
C-1
H-1
En
em
C-1
H-2
En
em
C-1
H-3
Observa•‹o: como o fatorial de um número n é o pro-
duto deste número com todos os seus antecessores 
(até o 1), deve-se destacar ao aluno que n pertence ao 
conjunto dos nœmeros naturais, caso ele tenha dúvi-
das nas aproximações feitas em (I) e (II).
SER1_CAD9_MAT_ALG_C1.indd 23 10/30/15 1:00 PM
24 An‡lise combinat—ria
PARA CONSTRUIR
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
 PROBLEMAS QUE ENVOLVEM OS VÁRIOS TIPOS 
DE AGRUPAMENTO
Os exerc’cios resolvidos a seguir resumem os vários tipos de agrupamentos estudados e as 
formas de calcular o nœmero de agrupamentos; o œltimo exerc’cio Ž a resolu•‹o do problema da 
introdu•‹o deste cap’tulo.
34 Usando os algarismos 1, 3, 4, 6 e 9, quantos nœmeros de 3 algarismos distintos podemos formar?
RESOLUÇÃO:
A
5, 3
 5 
5!
2!
 5 
5 4 3 2 1
2 1
? ? ? ?
?
 5 60 ou 5 ? ? 5A 5 4 3 605,3 nœmeros
35 Quantas comiss›es diferentes de 3 pessoas podemos formar para representar um grupo de 10 pessoas?
RESOLUÇÃO:
C
10, 3
 5 
10!
3!7!
 5 
10 9 8 7!
3 2 1 7!
? ? ?
? ? ?
 5 120 ou C
10, 3
 5 
A
3!
10, 3
 5 
10 9 8
3 2 1
? ?
? ?
 5 120 comiss›es
36 Quantos anagramastem a palavra BANANA?
RESOLUÇÃO:
 P6
3, 2, 1
 5 
6!
3!2!1!
 5 
6 5 4 3 2 1
3 2 1 2 1 1
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
 5 60 anagramas
37 Problema da introdu•‹o do cap’tulo
Usando as 26 letras e os 10 algarismos conhecidos, quantas placas diferentes de autom—vel podem ser feitas de modo que, em 
cada uma, existam tr•s letras (n‹o repetidas) seguidas de quatro algarismos (repetidos ou n‹o)?
RESOLUÇÃO:
As 26 letras ser‹o agrupadas de 3 em 3 sem repeti•‹o:
26 ? 25 ? 24 5 15 600 agrupamentos de letras
Os 10 algarismos ser‹o agrupados de 4 em 4, com repeti•‹o:
=10 10 10 10 10000? ? ? agrupamentos de algarismos
Para cada agrupamento de letras, podemos usar todos os agrupamentos de algarismos. Ent‹o, o total de placas Ž:
15 600 ? 10 000 5 156 000 000 placas
18 (Fuvest-SP) Tr•s empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condom’nio. Cada trabalho ser‡ 
atribu’do a uma œnica empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribu’dos os 
trabalhos? c
a) 12
b) 18
c) 36
d) 72
e) 108
En
em
C-1
H-3
Como h‡ 4 trabalhos e 3 empresas, uma empresa realizar‡ 2 trabalhos. Logo, os trabalhos ser‹o distribu’dos da seguinte forma:




↑
↑
? 5 ? 5
?
? 5
4
2
3!
4!
2!2!
3!
4 3
2
6 36
trabalhos
empresas
SER1_CAD9_MAT_ALG_C1.indd 24 9/15/15 11:04 AM
An‡lise combinat—ria
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
25
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 26 a 36 Para aprimorar: 6 e 7
19 (UEPG-PR) Sobre análise combinatória, dê a soma da(s) 
proposição(ões) correta(s). 
(01) Com 4 elementos iguais a X e n elementos iguais a Y 
forma-se um total de 35 permutações. Então n 5 3.
(02) Ao lançar uma moeda 6 vezes pode-se obter 26 sequên-
cias diferentes de “cara” e “coroa”. 
(04) A 3A A n .n, 3 n, 2 n,1
3
1 1 5
(08) O número de combinações de n elementos tomados 8 
a 8 é 45. Então o número de arranjos de n elementos 
tomados 8 a 8 é 360.
(16) Se C C 10,n,1 n, 21 5 então n 5 4
01 1 02 1 04 1 16 5 23
(01) Correto. Com efeito, segue que:
= ⇔+
1
?
5 1 ? 1 ? 1 ? 1 5P
(n 4)!
n! 4!
35 (n 4) (n 3) (n 2) (n 1)
7!
6
.n 4
(n, 4)
Portanto, tem-se n 5 3.
(02) Correto. Pelo princ’pio multiplicativo, conclu’mos que o nœ-
mero de sequ•ncias poss’veis Ž igual a ? ? ? ? ? 52 2 2 2 2 2 2 .6
(04) Correto. De fato, temos:
=
=
=
=
1 1
2
1
2
1
2
5
2 2 1 2 1 5
2 1 1 2 1 5
A 3A A
n!
(n 3)!
3
n!
(n 2)!
n!
(n 1)!
n(n 1)(n 2) 3n(n 1) n
n(n 3n 2 3n 3 1)
n .
n, 3 n, 2 n,1
2
3
(08) Incorreto. Sabendo que 5C
A
8!
,n, 8
n, 8
 vem:
5 ? 5 ? .A 8! 45 7! 360 360.n, 8
 
(16) Correto.
n
1
n
2
n!
1!(n 1)!
n!
2!(n 2)!
10
n
n(n 1)
2
10 2n n(n 1) 20
n n 20 0
n
1 1 80
2
1 9
2
n 4 ou n 5
2








⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒ ± ± ⇒
1 5
2
1
2
5
1
2
5 1 2 5
1 2 5
5
2 1
5
2
5 5 2
Logo, encontramos:








⇔1 5 ? 1 5n
1
n
2
10 n (n 1) 20.
Em consequ•ncia, como n Ž um nœmero natural, s— pode ser 
n 5 4. 
20 Num plano estão marcados 12 pontos, dos quais 5 estão so-
bre uma mesma reta e, dos 7 que estão fora dela, não há 3 
colineares. Quantas retas distintas podemos traçar ligando 
esses pontos 2 a 2?
C
12, 2
 2 C
5, 2
 1 1 5 
12!
2!10!
 2 
5!
2!3!
 1 1 5 
?12 11
2
6
1
 2 
?5 4
2
2
1
 1 1 5 66 2 
2 10 1 1 5 57
21 (Insper-SP) Um dirigente sugeriu a criação de um torneio de 
futebol chamado Copa dos Campeões, disputado apenas 
pelos oito países que já foram campeões mundiais: os três 
sul-americanos (Uruguai, Brasil e Argentina) e os cinco euro-
peus (Itália, Alemanha, Inglaterra, França e Espanha). As oito 
seleções seriam divididas em dois grupos de quatro, sendo 
os jogos do grupo A disputados no Rio de Janeiro e os do 
grupo B em São Paulo. Considerando os integrantes de cada 
grupo e as cidades onde serão realizados os jogos, o número 
de maneiras diferentes de dividir as oito seleções de modo 
que as três sul-americanas não fiquem no mesmo grupo é: d
a) 140. 
b) 120. 
c) 70. 
d) 60. 
e) 40. 
Existem 2 maneiras de escolher o grupo que ter‡ duas sele•›es 
sul-americanas, 




5
3
2
3 modos de escolher essas duas sele-
•›es, e 




5
?
5
5
2
5!
3! 2!
10 modos de escolher as duas sele•›es 
europeias que ir‹o formar o grupo com as duas sul-americanas. 
Como o segundo grupo Ž determinado univocamente pelas esco-
lhas do primeiro, segue-se que o resultado pedido, pelo princ’pio 
fundamental da contagem, Ž ? ? 52 3 10 60.
22 Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 3, 
5, 7, 9 e escrevem-se os números formados em ordem cres-
cente. Determine:
a) que lugar ocupa o número 53 179.
Para determinar o lugar do nœmero 53 179, devemos contar quan-
tos nœmeros o antecedem. Assim, temos os nœmeros come•ados 
em 1 (4! 5 24), em 3 (4! 5 24), em 51 (3! 5 6). Antecedem-no 24 1 
1 24 1 6 5 54 nœmeros. O nœmero 53 179 ocupa o 55o lugar.
b) qual a soma dos números assim formados.
A soma das unidades dos nœmeros Ž:
(1 1 3 1 5 1 7 1 9)4! 5 25 ? 24 5 600, pois cada um dos al-
garismos 1, 3, 5, 7, 9 aparece como algarismo das unidades em 
4! nœmeros. De modo an‡logo, a soma das dezenas Ž 600 deze-
nas, ou seja, 6 000. A das centenas, 60 000; a das unidades de 
milhar Ž 600 000 e a das dezenas de milhar Ž 6 000 000. Logo:
600 1 6 000 1 60 000 1 600 000 1 6 000 000 5 6 666 600.
proposição(ões) correta(s). 
(01) 
En
em
C-1
H-2
(02) E
ne
m
C-1
H-3
En
em
C-1
H-2
En
em
C-1
H-3
En
em
C-1
H-1
En
em
C-1
H-2
En
em
C-1
H-3
En
em
C-1
H-2
En
em
C-1
H-3
SER1_CAD9_MAT_ALG_C1.indd 25 10/30/15 1:00 PM
26 An‡lise combinat—ria
PARA CONSTRUIR
EXERCêCIO RESOLVIDO
 NòMEROS BINOMIAIS
Chama-se nœmero binomial o nœmero 
n
p





 com n e p naturais, n > p, tal que
n
p





 5 
n!
p!(nÐp)!
 (n Ž o numerador e p Ž a classe do nœmero binomial).
Exemplo:
5
2




 5 
5!
2 !(5 2)!2
 5 
⋅
5!
2 ! 3!
 5 
5 4 3!
2 1 3!
? ?
? ?
 5 10
Propriedade
Dois nœmeros binomiais s‹o iguais se tiverem o mesmo numerador e:
 suas classes forem iguais, ou
 a soma de duas classes for igual ao numerador (binomiais complementares).
Verifique que:




n
0
 5 1; 




n
1
 5 n; 




n
n 5 
5 1.
PARA
REFLETIR
38 Obtenha o valor de x sabendo que 








7
3
7
x
5 
RESOLU‚ÌO:
Sabemos que a igualdade acontece em duas situa•›es: x 5 3 ou 3 1 x 5 7. Se 3 1 x 5 7, ent‹o x 5 4.
Logo, os valores de x s‹o x 5 3 ou x 5 4.
23 (Mack-SP) Se 




n
2
 5 28, ent‹o n vale: b
a) 7.
b) 8 .
c) 14.
d) 26.
e) 56.




n
2
 5 28 ⇒ 
n!
(n – 2)!2!
 5 28 ⇒ 
2n(n 1)
2
 5 28 ⇒ n2 2 n 5 56 ⇒ n2 2 n 2 56 5 0 ⇒ n 5 27 (não convém) ou n 5 8
a) 
b) 
En
em
C-1
H-3
SER1_CAD9_MAT_ALG_C1.indd 26 9/15/15 11:04 AM
An‡lise combinat—ria
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
Á
L
G
E
B
R
A
27
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 37 a 40 Para aprimorar: 8
24 (Uece) A soma das soluções da equação 










18
6
18
4x 1
5
2
 é: b
a) 8
b) 5
c) 6
d) 7








⇒ ⇒
⇒ ⇒





5 5
5 2 5 5
1 2 5 5 5
18
6
18
4x Ð1
6 4x 1 4x 7 x
7
4
6 4x 1 18 4x 13 x
13
4 
Logo:
1 5 5
7
4
13
4
20
4
5
 
 TRIåNGULO DE PASCAL
Podemos dispor os nœmeros binomiais em forma•›es triangulares, como abaixo:


0
0
1
0
1
1
2
0
2
1
2
2
3
0
3
1
3
2
3
3
n
0
n
1
n
2
n
3
n
n




























































ou 


0
0
1
0
1
1
2
0
2
1
2
2
3
0
3
1
3
2
3
3
n
0
n
1
n
2
n
3
n
n




























































SER1_CAD9_MAT_ALG_C1.indd 27 10/30/15 1:01 PM
28 An‡lise combinatóriaCalculando cada número binomial, temos:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
…
ou
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
…
Essa maneira de dispor tais números é conhecida por triângulo de Pascal.
Propriedades dos nœmeros binomiais
Observando o triângulo de Pascal, podemos obter as seguintes propriedades:
1a) Por exemplo: 
3
1
3
2
1 2 3








→5 1 5 
4
1
4
3
1 3 4








→5 1 5
5
2
5
3
2 3 5








→5 1 5
De modo geral, como já foi visto no item anterior:
n
a




 5 
n
b




, se a 1 b 5 n (binomiais complementares)
2a) Observe:
3
1
3
2
4
2












1 5
 
3
2
3
3
4
3












1 5
4
2
4
3
5
3












1 5
SER1_CAD9_MAT_ALG_C1.indd 28 9/15/15 11:04 AM
An‡lise combinat—ria
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
29
…
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 1
1
De modo geral:


















n 1
p 1
n 1
p
n
p
2
2
1
2
5 (Rela•‹o de Stifel) 
3a) Observe a soma dos elementos de uma mesma linha no tri‰ngulo de Pascal:
 
0
0




 5 1 5 20
 
1
0




 1 
1
1




 5 1 1 1 5 2 5 21
 
2
0




 1 
2
1




 1 
2
2




 5 1 1 2 1 1 5 4 5 22
 
3
0




 1 
3
1




 1 
3
2




 1 
3
3




 5 1 1 3 1 3 1 1 5 8 5 23
 
4
0




 1 
4
1




 1 
4
2




 1 
4
3




 1 
4
4



 5 1 1 4 1 6 1 4 1 1 5 16 5 2
4
Qual seria o valor de 
 
6
0




 1 
6
1




 1 
6
2



 1 
6
3




 1 
6
4




 1 
6
5




 1 
6
6




?
De modo geral, temos:
n
0




 1 
n
1




 1 
n
2




 1 
n
3




 1 É1 
n
n 1






2
 1 
n
n




 5 2n
4a) Existem outras propriedades, menos importantes que as anteriores, que citaremos rapida-
mente abaixo:
 A soma dos n primeiros elementos de uma coluna Ž igual ao binomial situado imedia-
tamente ˆ direita e abaixo do œltimo elemento considerado.
SER1_CAD9_MAT_ALG_C1.indd 29 9/15/15 11:04 AM
30 Análise combinat—ria
PARA CONSTRUIR
De modo geral, temos:
p
p





 1 
p 1
p






1
 1 
p 2
p






1
 1 É 1 
n
p





 5 
n 1
p 1






1
1
 A soma dos n primeiros elementos de uma diagonal é igual ao binomial situado imedia-
tamente abaixo do último elemento considerado.
De modo geral, temos:
n
0




 1 
n 1
1






1
 1 
n 2
2






1
 1 É1 
n p
p






1
 5 
n p 1
p






1 1
Veja que 2n Ž o mesmo que 
(1 1 1)n.
PARA
REFLETIR
25 (Unifor-CE) A soma 
3
0
4
1
5
12
12
9












…




1 1 1 1 Ž igual a: d
a) 



65
10
b) 



15
9
c) 



13
10
d) 



13
9
e) 



12
10
A soma dos n primeiros termos de uma diagonal Ž igual ao binomial situado imediatamente ˆ direita e abaixo do œltimo elemento considerado.
A soma 




3
0
 1 




4
1
 1 




5
2
 1 ...1 




12
9
 5 




13
9
, pois Ž a soma de 10 termos de uma diagonal do tri‰ngulo de Pascal.
26 Escreva o tri‰ngulo de Pascal com pelo menos 8 linhas. Quais propriedades voc• observa nele?
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
Propriedades:
• em cada linha, o primeiro e o último elementos valem 1;
• em cada linha, os coeficientes binomiais equidistantes dos extremos são iguais;
• a soma dos n primeiros termos da coluna p Ž igual ao n-Žsimo termo da coluna seguinte.
En
em
C-1
H-2
En
em
C-1
H-3
SER1_CAD9_MAT_ALG_C1.indd 30 9/15/15 11:04 AM
Análise combinatória
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
31
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 41 a 43 Para aprimorar: 9
27 Calcule:
a) ∑
p 0
10
5






10
p
∑
5p 0
10 





10
p
 5 210 5 1 204
b) ∑
k 6
10
5




k
5
∑












5 2
5
k
5
11
6
5
5k 6
10
 5 462 2 1 5 461
c) ∑
k 0
6
5






4 k
k
1
∑


































1
5 1 1 1 1
1 1 5 5
5
4 k
k
4
0
5
1
6
2
7
3
8
4
10
6
11
6
462
k 0
6
28 (Unifor-CE) A soma 












30
8
2
30
9
30
10
1 ? 1 é igual a: c
a) 



30
11
b) 



32
11
c) 



32
10
d) 



32
9
e) 



31
10




30
8
 1 




30
9
 1 




30
9
 1 




30
10
 5 




31
9 1 




31
10 5 
5 




32
10
a) 
En
em
C-1
H-3
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-1
H-3
En
em
C-5
H-2
1
 BINïMIO DE NEWTON
Toda pot•ncia da forma (x 1 y)n, com x [ R, y [ R e n [ N, Ž conhecida como bin™mio de 
Newton.
O desenvolvimento do bin™mio de Newton Ž simples em casos como os seguintes:
 (5x 2 7)0 5 1 
 (2x 1 y)1 5 2x 1 y
 (x 1 y)2 5 (x 1 y)(x 1 y) 5 x2 1 2xy 1 y2
 (x 1 y)3 5 (x 1 y)2(x 1 y) 5 x3 1 3x2y 1 3xy2 1 y3
Em casos como (x 1 y)7, (2x 2 y)5, (x 1 2)10 e outros, vamos recorrer aos conhecimentos ad-
quiridos na an‡lise combinat—ria.
Observe nos exemplos seguintes os bin™mios de Newton desenvolvidos e veja como s‹o os 
coeficientes de cada termo:
1o) (x 1 y)2 5 x2 1 2xy 1 y2 5 1x2y0 1 2x1y1 1 1x0y2 5 
2
0




 x2y0 1 
2
1



 x
1y1 1 
2
2




 x0y2
2o) (x 1 y)3 5 x3 1 3x2y 1 3xy2 1 y3 5 1x3y0 1 3x2y1 1 3x1y2 1 1x0y3 5 
3
0




 x3y0 1 
3
1




 
x2y1 1 
3
2




 x1y2 1 
3
2




 x0y3
Note que os coeficientes dos desenvolvimentos s‹o as linhas do tri‰ngulo de Pascal. Ser‡ que 
isso tambŽm acontece para (x 1 y)4?
SER1_CAD9_MAT_ALG_C1.indd 31 9/15/15 11:04 AM
32 Análise combinatória
EXERCêCIOS RESOLVIDOS
De fato:
(x 1 y)4 5 x4 1 4x3y 1 6x2y2 1 4xy3 1 y4 5 1x4y0 1 4x3y1 1 6x2y2 1 4x1y3 1 1x0y4 5 
5 
4
0




 x4y0 1 
4
1




 x3y1 1 
4
2




 x2y2 1 
4
3




 x1y3 1 
4
4




 x0y4
Generalizando, podemos escrever, para x e y [ R e n [ N:
(x1y)n 5 
n
0




 xn 1 
n
1




 xn 21 y 1 
n
2




 xn22 y2 1 É 1 
n
k




xn2k yk 1 É 1 
n
n




yn
Observe que os expoentes de x come•am em n e decrescem de 1 em 1 atŽ 0, enquanto os 
expoentes de y come•am em 0 e crescem de 1 em 1 atŽ n.
Observa•‹o:
Dados os nœmeros naturais n e p, com n > p, o nœmero 
n
p





 Ž chamado de nœmero binomial 
n sobre p.
Lembre que:
C
n, p
 5 
n
p





 5 n!
p!(n p)!2
39 Efetue o desenvolvimento de:
a) (x 1 a)5
b) (2x 2 a)4
c) x
1
2
6



2
d) ( )3 5
4
1
RESOLU‚ÌO:
a) ( ) 























↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
x a
5
0
x
5
1
x a
5
2
x a
5
3
x a
5
4
xa
5
5
a
5
1
5
5
4
10
3 2
10
2 3
5
4
1
5
1 5 1 1 1 1 1
 Portanto:
 (x 1 a)5 5 x5 1 5x4a 1 10x3a2 1 10x2a3 1 5xa4 1 a5
b) (2x 2 a)4 5 [2x 1 (2a)]4 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )




















↓ ↓ ↓ ↓ ↓
4
0
2x
4
1
2x a
4
2
2x a
4
3
2x a
4
4
a
1
4
4
3
6
2 2
4
3
1
4
1 2 1 2 1 2 5 2 5
 5 1 ? 16x4 1 4 ? 8x3(2a) 1 6 ? 4x2a2 1 4 ? 2x(2a)3 1 1a4 5 16x4 2 32x3a 1 24x2a2 2 8xa3 1 a4
c) x
1
2
6



2 5 x Ð
1
2
6








1 5 




6
0
x6 1 




6
1
x5 Ð
1
2



 1 




6
2
 x4 Ð
1
2
2



 1 




6
3
 x3 Ð
1
2
3



 1 




6
4
 x2 Ð
1
2
4



 1
1 




6
5
x Ð
1
2
5



 1 




6
6
Ð
1
2
6




SER1_CAD9_MAT_ALG_C1.indd32 9/15/15 11:04 AM
An‡lise combinat—ria
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
33
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 44 a 46
PARA CONSTRUIR
Calculando 




6
0
 5 




6
6
 5 1; 




6
1
 5 




6
5
 5 6; 




6
2
 5 




6
4
 515; 




6
3
 5 20, temos:
x
1
2
6



2 5 x
6 
6
2
2 x5 1 
15
4
 x4 
20
8
2 x3 1 
15
16
x2 2 
6
32
x 1 
1
64
 5 x6 2 3x5 1 
15
4
x4 2 
5
2
x3 1 
15
16
x2 2 
3
16
x 1 
1
64
d) 3 5
4( )+ 5 




4
0
3
4( ) 1 



4
1
( )3 3 5 1 



4
2
3
2( ) 5 2( ) 1 



4
3
3 5
3( ) 1 



4
4
5
4( ) 5 3 4( ) 1 4 3
3( ) 5 1
1 6 3
2( ) 5 2( ) 1 4 3 5 3( ) 1 5 4( ) 5 9 1 12 3 ? 5 1 6 ? 3 ? 5 1 20 3 ? 5 1 25 5 124 1 32 15
40 Qual Ž o valor da soma dos coeficientes do desenvolvimento de (3x 2 y)10?
RESOLUÇÃO:
Para obter apenas a soma dos coeficientes, basta fazer x 5 y 5 1. Assim:
S 5 (3 ? 1 2 1)10 5 210 5 1 024
41 Qual o valor de
S 5 




10
0
 1 




10
1
 ? 3 1 




10
2
 ? 32 1 … 1 




10
9
 ? 39 1 




10
10
 ? 310?
RESOLUÇÃO:
Note que S pode ser reescrito como:
S 5 












…




⇒10
0
1 3
10
1
1 3
10
2
1 3
10
10
1 3 S (1 3) 410 0 9 1 8 2 0 10 10 10? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 1 ? ? 5 1 5
29 Qual Ž o valor da soma dos coeficientes obtidos no desenvolvimento de (3x 2 2y)23?
(3 ? 1 2 2 ? 1)23 5 (3 2 2)23 5 123 5 1
30 (Mack-SP) S 5 (x 2 1)5 1 5(x 2 1)4 1 10(x 2 1)3 1 10(x 2 1)2 1 5(x 2 1) 1 1. Lembrando apenas que (a 1 1)5 5 a5 1 5a4 1 10a3 1 
1 10a2 1 5a 1 1, o valor de S Ž: e
a) x5 1 x4 1 x3 1 x2 1 x 1 1
b) x5 1 5x4 1 10x3 1 10x2 1 5x 1 1
c) x5 1 5x4 1 10x3 1 10x2 1 5x
d) x5 1 1
e) x5
S 5 x5 2 5x4 1 10x3 2 10x2 1 5x 2 1 1 5(x4 2 4x3 1 6x22 4x 1 1) 1 10(x3 2 3x2 1 3x 2 1) 1 10(x2 2 2x 1 1) 1 5x 2 5 1 1 5 x5 2 5x
4 
1 10x
3
 
2 10x
2 
1 5x 2 1 1 5x
4 
2 20x
3
 1 30x
2 
2 20x 1 5 1 10x
3
 2 30x
2
 1 30x 2 10 1 10x
2
 2 20x 1 10 1 5x 2 5 1 1 5 x5
En
em
C-1
H-3
En
em
C-1
H-3
En
em
C-5
H-2
1
SER1_CAD9_MAT_ALG_C1.indd 33 10/30/15 1:02 PM
34 Análise combinatória
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Termo geral do binômio
No desenvolvimento de (x 1 y)n, vimos que:
(x 1 y)n 5 
123
n
0
xn
T1




 1 
1 24 34
n
1
x yn 1
T2




2
 1 
1 24 34
n
2
x yn 2 2
T3




2
 1 … 1 
1 24 34
n
k
x yn k k
T k 1




2
1
 1 
123
n
n
yn
Tn 1




1
Assim, o termo geral Ž dado por:
T
k 1 1 
5 
n
k




xn 2 k yk
Observe que o desenvolvimento tem (n 1 1) termos.
42 Qual é o 5o termo do desenvolvimento de (x 1 3)5 de acordo 
com as potências decrescentes de x?
RESOLUÇÃO:
Procuramos o valor de T
5
. Como 5 5 k 1 1 ⇒ k 5 4, temos:
T
5
 5 
5
4



 x
 52 4
 ? 5 
5!
4!1!
 x ? 81 5 405x
Portanto, o 5o termo de (x 1 3)5 é 405x.
43 Qual é o 6o termo do desenvolvimento de (x 2 2)7?
RESOLUÇÃO:
Procuramos o valor de T
6
. Como 6 5 k 1 1 ⇒ k 5 5, temos:
T
6
 5 




7
5
x7 2 5 (22)5 5 




7
5
2 25 x2 5 
7!
5!2!
2 ? 32x2 5
5 2672x2
Portanto, o 6o termo do desenvolvimento de (x 2 2)7 é: 
2672x2.
44 Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de 



x
1
x
6
1 .
RESOLUÇÃO:
T
k 1 1
 5 




6
k
x6 2 k 




1
x
k
 5 




6
k
x6 2k ? x2k 5 




6
k
 x6 22k
O termo independente de x é o de x
0
, ou seja, quando 6 2 
2 2k 5 0 ⇒ k 5 3.
Logo, o termo independente de x é:
T
4
 5 




6
3
 5 
6!
3!3!
 5 
6 5 4 3!
3! 3!
? ? ?
 5 20
45 Qual é o termo médio (ou central) no desenvolvimento de 
(x 2 3)6?
RESOLUÇÃO: 
Como o binômio está elevado à 6a potência, o desenvolvi-
mento tem 7 termos. Procuramos, então, o 4o termo, que é o 
termo central:
k 1 1 5 4 ⇒ k 5 3
T
4
 5 




6
3
x6 2 3 (23)3 5 




6
3
2 27x3 5 220 ? 27x3 5 2540x3
No desenvolvimento de (x 1 y)n, 
se n é par, existe termo central, 
que é o termo T
k 1 1
 

k
n
2
5 .
PARA
REFLETIR
46 Qual é o termo em x5 no desenvolvimento (x 1 3)8?
RESOLUÇÃO:
O termo geral é dado por T
k 1 1
 5 




8
k
x 8 2 k ? 3k.
O termo em x5 ocorre quando 8 − k 5 5, ou seja, quando k 5 3.
Assim, o termo em x5 é dado por:
T
4
 5 




8
3
x8 2 3 ? 33 5 56 ? 27x5 5 1 512x5
47 Existe o termo independente de x no desenvolvimento 



x
1
x
3
1 ?
SER1_CAD9_MAT_ALG_C1.indd 34 9/15/15 11:05 AM
Análise combinatória
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
ç
L
G
E
B
R
A
35
PARA CONSTRUIR
RESOLU‚ÌO:
O termo geral é dado por T
k 1 1
 5 




3
k
x3 2 k 




1
x
k
 5 




3
k
x3 2 k x2k 5 




3
k x
3 2 2k.
Para que haja termo independente é necessário que 3 2 2k 5 0
Não existe número natural k tal que 3 − 2k 5 0.
Logo, não há termo independente de x no desenvolvimento de 

x
1
x
8
1 .
31 (Ufop-MG) No desenvolvimento de 




x
1
x3
6
1 , calcule a ordem e o coeficiente do termo em x2.
T
k
 
1 1
 5 




6
k
 x6 2 k ? 




1
x3
k
 5 




6
k
 x6 2 k ? 
1
x
k
3
 5 




6
k
 x6 2 k ? 
2
x
k
3 5 




6
k
2
x
6
4k
3
O termo em x2 deve ter:
6 2 
4k
3
 5 2 ⇒ 4 5 
4k
3
 ⇒ 4k 5 12 ⇒ k 5 3
T
4
 5 




6
3
 x3 




1
x3
3
 5 




6
3 x
3 ? 
1
x
 5 
6!
3!3!
 x2 5 
6 5 4
3 2
? ?
?
 x2 5 20x2
Portanto, o termo em x2 é o 4o termo e seu coeficiente é 20.
32 (FGV-SP) No desenvolvimento do binômio (a 1 b)n 1 5, ordenado segundo as potências decrescentes de a, o quociente do 
(n 1 3)-ésimo termo pelo (n 1 1)-ésimo termo é 
2b
3a
2
2 , isto é, 
T
T
n 3
n 1
1
1
 5 
2b
3a
2
2
. Determine n.
• T
n 1 3
 5 






1
1
n 5
n 2
 a3bn 1 2
• T
n 1 1
 5 






1n 5
n
a5bn
1
1
T
T
n 3
n 1
 5 
1






(n + 5)!
(n + 2)!3!
a b
3 n 2
 : 
(n 5)!
n!5!
a b
5 n






1
 5 
(n + 5)! a b b
(n 2)! 6
3 n 2
1
?
1
 ? 
1
n!120
(n 5)!a b
20
5 n
 5 
a b n! 20
(n 2)!a
3 2
5
?
1
 5 
a b 20 n!
(n 2)(n 1)n!
20 a b
(n 2) (n 1)
2b
3a
2 2 2 2 2
2
2 2
?
1 1
5
1 1
5
 
⇒ 2(n 1 2)(n 1 1)b2 5 60a22 ? a2b2 ⇒ 
(n 1 2)(n 1 1) 5 30 ⇒ n2 1 3n 1 2 2 30 5 0 ⇒ 
⇒ n2 1 3n 2 28 5 0 ⇒ (n 1 7)(n ? 4) 5 0 ⇒ n 5 27 (não convém) ou n 5 4
Portanto, n 5 4.
En
em
C-1
H-3
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-1
H-3
En
em
C-5
H-2
1
SER1_CAD9_MAT_ALG_C1.indd 35 9/15/15 11:05 AM
36 Análise combinatória
TAREFA PARA CASA
Veja, no Guia do Professor, as respostas da “Tarefa para casa”. As resoluções encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 47 a 51 Para aprimorar: 10 e 11
33 (UFC-CE) O coeficiente de a3b7 no desenvolvimento de (a 1 b)10 é: b
a) 110.
b) 120.
c) 130.
d) 140.
e) 150.
T
k 1 1
 5 




10
k
 a10 2 k ? bk 5 10 2 k 5 3 ⇒ k 5 7
Então:




10
k
 5 




10
7
 5 
10!
3!7!
 5 
? ?
?
10 9 8
3 2
5 3
1 1
 5 120
En
em
C-1
H-3
En
em
C-5
H-2
1
PARA PRATICARPARA PRATICAR
1 Resolva a equação 
…2 4 6 8 2n
n!
? ? ? ? ?
 5 512.
2 Determine n de modo que 
…1 2 3 4 n
(n 1)!
1 1 1 1 1
1
 5 
1
240
.
3 Encontre o valor de n: (n!)2 2 25n! 1 24 5 0.
4 (UFRGS-RS) Escolhe-se aleatoriamente um número formado 
somente por algarismos pares distintos, maior do que 200 e 
menor do que 500.
Assinale a alternativa que indica a melhor aproximação para a 
probabilidade de que esse número seja divisível por 6. 
a) 20%
b) 24% 
c) 30%
d) 34% 
e) 50% 
5 (UEG-GO) Érika resolve passear com a cachorrinha Kika e, 
antes de sair do apartamento, escolhe colocar uma roupa e 
uma coleira na cachorrinha. Se Kika tem 7 roupas e 3 colei-
ras, todas distintas, de quantas maneiras Érika pode escolher 
uma roupa e uma coleira para passear com a Kika? 
a) 10
b) 21
c) 35
d) 42
6 Numa lanchonete há 5 tipos de sanduíche, 4 tipos de refri-
gerante