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Equações Diferenciais Lineares Encontro 19 Rodrigo C M Nemer UAMat/CCT/UFCG 11/04/2024 e-mails: rodrigo.cohen@professor.ufcg.edu.br rodrigocmnemer@mat.ufcg.edu.br Rodrigo C M Nemer (UAMat/CCT/UFCG) Equações Diferenciais Lineares 11/04/2024 1 / 6 rodrigo.cohen@professor.ufcg.edu.br rodrigocmnemer@mat.ufcg.edu.br Veremos hoje: EDL de ordem n com coeficientes constantes: equação caracteŕıstica ráızes complexas e conjugadas; ráızes repetidas. Rodrigo C M Nemer (UAMat/CCT/UFCG) Equações Diferenciais Lineares 11/04/2024 2 / 6 ➢ Segundo caso: se a equação caracteŕıstica tem soluções complexas (e conjugadas), digamos, a± ib, então as soluções da EDL correspondentes são eat cos(bt) e eat sen(bt). Exemplo Determinar a solução geral das EDLs abaixo: a) y ′′ + 6y = 0; b) y ′′′ + y = 0; c) y ′′′ − y = 0; d) y (4) + y ′ = 0; e) y (4) − 5y = 0; f) y (5) + y ′′′ − y ′′ − y = 0. Rodrigo C M Nemer (UAMat/CCT/UFCG) Equações Diferenciais Lineares 11/04/2024 3 / 6 Mermão... Se liga! Teorema Fundamental da Álgebra: todo polinômio de grau n tem n ráızes complexas. 1 = e0i = cos(0) + i sen(0) = cos(0 + 2kπ) + i sen(0 + 2kπ) = e2kπi ; −1 = eπi = cos(π) + i sen(π) = cos(π + 2kπ) + i sen(π + 2kπ) = e(π+2kπ)i ; Todo número real pode ser considerado um número complexo com parte real nula; Se α > 0, então α = 1.α; se α < 0, α = (−1).|α| . Rodrigo C M Nemer (UAMat/CCT/UFCG) Equações Diferenciais Lineares 11/04/2024 4 / 6 ➢ Terceiro caso: se a equação caracteŕıstica tem uma solução real com multiplicidade s, isto é, uma solução que aparece repetida s vezes, digamos, r1, então as s soluções reais correspondentes da EDL são er1t , t er1t , t2 er1t , . . . , ts−1 er1t . Se a solução que se repete é complexa, digamos, a± ib, então as 2s soluções correspondentes da EDL são eat cos(bt), t eat cos(bt), t2 eat cos(bt), . . . , ts−1 eat cos(bt), eat sen(bt), t eat sen(bt), t2 eat sen(bt), . . . , ts−1 eat sen(bt). Rodrigo C M Nemer (UAMat/CCT/UFCG) Equações Diferenciais Lineares 11/04/2024 5 / 6 Exemplo Determinar a solução geral das EDLs abaixo: a) y (4) + 2y ′′′ + y ′′ = 0; b) y (4) + 2y ′′ + y = 0; c) y ′′′ + y ′′ − y ′ − y = 0; d) y (6) − y (5) − 4y (4) − 4y ′′′ − 5y ′′ − 3y ′ = 0. Rodrigo C M Nemer (UAMat/CCT/UFCG) Equações Diferenciais Lineares 11/04/2024 6 / 6
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