Calculo aplicado varias variaveis Atividade - 4

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A lei de resfriamento de Newton nos permite calcular a taxa de variação da 
temperatura de um corpo em resfriamento. Considere a seguinte situação: Um 
cozinheiro fez um bolo de chocolate. Ao retirar do forno, o bolo apresentava uma 
temperatura de 150°C. Passados quatro minutos, essa temperatura caiu para 90 °C. 
Sabendo que a temperatura do ambiente é de 25°C, calcule quanto tempo levará para 
que o bolo esfrie até a temperatura de 30 °C. 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação de resfriamento do bolo pode 
ser descrita pela equação diferencial onde e são fornecidas 
as seguintes informações: e . Nosso problema consiste em 
determinar o tempo , em minutos, tal que . Resolvendo a equação 
diferencial, temos
 
, onde . Das condições e
 vamos determinar as constantes e . De temos . De
, temos . Portanto, a função temperatura do bolo é
. Vamos determinar agora o tempo para o qual a temperatura é 
30ºC. De , temos . 
 
 
De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações 
diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para resolver 
um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para Huygens em 1691). 
John Bernoulli explicou o método geral em um artigo publicado em 1694”. 
 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
 
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a 
integração de ambos os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa que 
corresponde à solução da equação diferencial . 
 
 
 
 
 
As equações diferenciais podem ser classificadas de acordo com alguns critérios. Por 
exemplo, podemos classificar uma equação diferencial de acordo com sua ordem e 
grau. No caso da classificação pela ordem, temos que esta é definida pela ordem da 
mais alta derivada que aparece na equação, e a classificação pelo grau é dada pelo 
expoente da derivada de maior ordem que aparece na equação. 
 
De acordo com a classificação de ordem e grau, assinale a alternativa correta: 
 
 
 
 
 
Uma equação diferencial linear de primeira ordem pode ser expressa na 
forma , onde e são funções contínuas em um dado intervalo. A 
solução geral para equações diferenciais lineares de primeira ordem é dada pela 
expressão . 
 
Com base nessa informação, analise as afirmativas a seguir e, na sequência, assinale 
a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s): 
 
 
I. A solução geral da equação é . 
II. A solução geral da equação é . 
III. A solução geral da equação é . 
IV. A solução geral da equação é . 
 
É correto o que se afirma em: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando o método de solução para 
uma equação diferencial linear, temos: 
Afirmativa I: correta. Temos que e , assim, 
 
Afirmativa II: correta. Dividindo toda a equação por , temos que e
, assim,
. 
 
Afirmativa IV: correta. Temos que e , assim,
, onde 
 
 
 
“Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a 
forma , onde e são funções contínuas” 
(STEWART, 2016, p. 1028). Se , a equação é dita linear homogênea, caso 
contrário, se a equação é dita linear não homogênea. 
 
STEWART, J. Cálculo. 
São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
 
Com relação às equações homogêneas, assinale a alternativa correta: 
 
 
 
 
 
De acordo com Sodré (2003, p. 5), “se são conhecidas condições adicionais, podemos 
obter soluções particulares para a equação diferencial e, se não são conhecidas 
condições adicionais, poderemos obter a solução geral”. Uma condição adicional que 
pode ser conhecida é o valor da função em um dado ponto. Assim, uma equação 
diferencial mais essa condição adicional é chamada de Problema de Valor Inicial 
(PVI). 
 
SODRÉ, U. Notas de aula. Equações diferenciais ordinárias,2003. Disponível em: 
http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf. Acesso em: 20 dez. 
2019. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a solução do PVI: , . 
 
 
 
Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua linearidade 
em equação diferencial linear e equação diferencial não linear. As equações 
diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: Considere que a 
variável independente é e a variável dependente é , temos que: (i) A variável 
dependente e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, possuem grau 1. 
(ii) Cada coeficiente depende apenas da variável independente . 
 
Considere a variável uma função da variável , isto é, . Analise as 
afirmativas a seguir. 
 
I. A equação diferencial é linear. 
II. A equação diferencial é linear. 
III. A equação diferencial é linear. 
IV. A equação diferencial é linear. 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
 
 
 
 
As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. O 
método de resolução de uma equação diferencial depende de algumas características 
apresentadas pela mesma. Por exemplo, equações diferenciais escritas na 
forma são ditas equações diferenciais separáveis e resolvidas 
usando a integração em ambos os membros da igualdade. 
 
Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis, analise as 
afirmativas a seguir: 
 
I. A solução da equação é . 
II. A solução da equação é . 
III. A solução da equação é . 
IV. A solução da equação é . 
 
É correto o que se afirma em: 
 
 
 
Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares homogêneas 
de segunda ordem, consiste em determinar uma solução que satisfaça às condições 
iniciais da forma e . Por meio dessas condições, é possível 
determinar o valor das constantes obtidas na solução geral. 
 
Considere o seguinte PVI: , e . Analise as 
afirmativas a seguir: 
 
I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas. 
II. A solução do PVI é . 
III. O valor de umas das constantes da solução geral é . 
IV. A EDO dada não é homogênea. 
 
É correto o que se afirma em: 
 
 
 
 
As equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem podem ser 
expressas por meio da seguinte forma: , 
onde e são funções contínuas. Para resolvermos equações desse tipo, 
precisamos escrever uma equação auxiliar, a qual é uma equação de segundo grau. 
 
Com relação à solução de equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda 
ordem, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para 
a(s) Falsa(s). 
 
I. ( ) A equação auxiliar pode apresentar duas raízes reais distintas. 
II. ( ) A equação auxiliar sempre apresenta raízes reais. 
III. ( ) A equação auxiliar da EDO homogênea de segunda 
ordem é expressa por . 
IV. ( ) A equação auxiliar de raízes complexas e apresenta como solução a 
função . 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: