Equações Diferenciais Lineares

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Equações Diferenciais Lineares
Encontro 19
Rodrigo C M Nemer
UAMat/CCT/UFCG
11/04/2024
e-mails: rodrigo.cohen@professor.ufcg.edu.br
rodrigocmnemer@mat.ufcg.edu.br
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rodrigo.cohen@professor.ufcg.edu.br
rodrigocmnemer@mat.ufcg.edu.br
Veremos hoje:
EDL de ordem n com coeficientes constantes: equação caracteŕıstica
ráızes complexas e conjugadas;
ráızes repetidas.
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➢ Segundo caso: se a equação caracteŕıstica tem soluções complexas (e conjugadas),
digamos, a± ib, então as soluções da EDL correspondentes são
eat cos(bt) e eat sen(bt).
Exemplo
Determinar a solução geral das EDLs abaixo:
a) y ′′ + 6y = 0;
b) y ′′′ + y = 0;
c) y ′′′ − y = 0;
d) y (4) + y ′ = 0;
e) y (4) − 5y = 0;
f) y (5) + y ′′′ − y ′′ − y = 0.
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Mermão...
Se liga!
Teorema Fundamental da Álgebra: todo polinômio de grau n tem n ráızes complexas.
1 = e0i = cos(0) + i sen(0) = cos(0 + 2kπ) + i sen(0 + 2kπ) = e2kπi ;
−1 = eπi = cos(π) + i sen(π) = cos(π + 2kπ) + i sen(π + 2kπ) = e(π+2kπ)i ;
Todo número real pode ser considerado um número complexo com parte real nula;
Se α > 0, então α = 1.α; se α < 0, α = (−1).|α| .
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➢ Terceiro caso: se a equação caracteŕıstica tem uma solução real com multiplicidade s,
isto é, uma solução que aparece repetida s vezes, digamos, r1, então
as s soluções reais correspondentes da EDL são
er1t , t er1t , t2 er1t , . . . , ts−1 er1t .
Se a solução que se repete é complexa, digamos, a± ib,
então as 2s soluções correspondentes da EDL são
eat cos(bt), t eat cos(bt), t2 eat cos(bt), . . . , ts−1 eat cos(bt),
eat sen(bt), t eat sen(bt), t2 eat sen(bt), . . . , ts−1 eat sen(bt).
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Exemplo
Determinar a solução geral das EDLs abaixo:
a) y (4) + 2y ′′′ + y ′′ = 0;
b) y (4) + 2y ′′ + y = 0;
c) y ′′′ + y ′′ − y ′ − y = 0;
d) y (6) − y (5) − 4y (4) − 4y ′′′ − 5y ′′ − 3y ′ = 0.
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