história da aritmética

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história da aritmética 
A história da aritmética abrange o período a partir do surgimento da contagem antes da 
definição formal dos números e operações aritméticas sobre eles por 
um sistema de axiomas. A aritmética - a ciência dos números, suas propriedades e 
relações - é uma das ciências matemáticas básicas, sendo está intimamente relacionada 
com álgebra e teoria dos números. 
A Aritmética (1492-1495), 
pintura de Pinturicchio, no Aposento Borgia do Palácio do Vaticano, Roma. 
A aritmética tornou-se uma necessidade prática, a longo prazo, para medidas simples 
e cálculos. A primeira informação confiável sobre o conhecimento aritmética é encontrada 
nos monumentos históricos do Antigo Egito e na Babilônia, relativa ao 3°-2° milênio a.C. 
Os matemáticos gregos tiveram grande contribuição para o desenvolvimento da aritmética, 
particularmente os pitagóricos, que tentaram usar números para identificar todas as leis do 
mundo. Na Idade Média, as principais áreas de aplicação da aritmética eram o comércio e 
os cálculos aproximados. A aritmética desenvolveu-se principalmente na Índia e países 
islâmicos, e só depois veio para a Europa Ocidental. Na astronomia náutica do século 
XVII, a mecânica, os cálculos de navegação, os cálculos de negócios mais complexos 
criaram novas solicitações aritméticas para a técnica de computação e deram um impulso 
promovendo seu desenvolvimento. 
As bases teóricas do número como representação associadas principalmente com a 
definição de um número natural e axiomas de Peano foram formuladas em 1889. Foram 
seguidos pela definição estrita de números racionais, reais, negativos e complexos. A 
expansão adicional do conceito de número só foi possível nos casos de falhas de algumas 
das leis de aritmética. 
O surgimento de aritmética 
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Opera%C3%A7%C3%B5es_aritm%C3%A9ticas&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_formal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Axioma
https://pt.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_n%C3%BAmeros
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pinturicchio
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pal%C3%A1cio_do_Vaticano
https://pt.wikipedia.org/wiki/Roma
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https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Antigo_Egito
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_grega
https://pt.wikipedia.org/wiki/Escola_pitag%C3%B3rica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Idade_M%C3%A9dia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Com%C3%A9rcio
https://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_num%C3%A9rica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_indiana
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Matem%C3%A1tica_no_isl%C3%A3_medieval&action=edit&redlink=1
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Astronomia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural
https://pt.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Peano
https://pt.wikipedia.org/wiki/1889
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativo
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Borgia_Apartment_003.jpg
Entalhes em osso (Osso de Ishango), mostrando 
contagem, encontrada perto do Lago Eduardo, com mais de 30 mil anos.[1] 
Se em dois conjuntos (conjunto de objetos), cada elemento do conjunto tem um único par 
no outro conjunto, consequentemente, estes conjuntos têm a mesma cardinalidade.[2] Tal 
comparação real, quando as coisas são dispostas em duas fileiras, foram usadas por 
tribos mais primitivas, pré-históricas em trocas,[3] tornando-se possível estabelecer relações 
quantitativas entre grupos de objetos e não requerer o conceito de número.[4] 
Mais tarde, houve a contagem padrão natural, por exemplo, com os dedos e então o 
conjunto em padrões, tais como as mãos. Com o aparecimento de padrões que 
representam o número específico, e estes associados com um conceito de número. Além 
disso, foi comparado o número de indivíduos com a lua no céu, o número de olhos, o 
número de dedos em uma mão. Mais tarde, muitos padrões foram substituídos por um 
mais confortável, geralmente ele se tornaram dedos (5, 10) ou artelhos (mais 5, mais 10 na 
contagem, totalizando 20).[3] 
O passo seguinte foi o surgimento de um conceito comum de número. Para o 
idioma protoindo-europeu, que usou o sistema de numeração decimal, os nomes dos 
números já foram reconstruídos até cem, inclusive.[5] Lebesgue, nesta ocasião, disse: "É 
possível que, se as pessoas tivessem onze dedos, que seria aceita a notação 
unodecimal".[3] 
Registrou-se os resultados de contagem usando entalhes em madeira ou osso, nós em 
cordas - marcações de contagem artificiais.[3][6][7] O osso rádio de um lobo jovem com 55 
entalhes foi encontrado em 1937 perto da vila de Dolní Věstonice (República Checa). A 
idade do achado é de cerca de 5.000 anos (de acordo com outros dados, cerca de 30 mil 
anos [1]), sendo por um longo tempo, a mais antiga gravação conhecida.[6] B.A. Frolov, 
especialista em Paleolítico de Novosibirsk, vê nos padrões gráficos do Paleolítico Superior, 
começando com os monumentos de Dolní Věstonice, muitas evidências de que as 
pessoas desta era (Cro-Magnon) distinguiam claramente determinado números de 
elementos idênticos e certa quantidade, muitas vezes, enfatizou, sobre 5 ou 7 indivíduos, 
bem como múltiplos (especialmente 10 e 14).[8] 
Ao nomear-se os números usou-se tanto nomes indecomponíveis (tais números são 
chamados de nós), ou nomes compostos por nomes algorítmicos.[9] Neste caso, uma 
combinação de algoritmos numéricos com base em operações aritméticas realizadas 
sobre os números nodais.[10] 
A numeração, bem como os nomes de números, baseou-se em um dos três princípios:[6] 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Osso_de_Ishango
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lago_Eduardo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-Boyer-1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cardinalidade
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-2
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A9-hist%C3%B3ria
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-HM0912-3
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-4
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Padr%C3%A3o_(metrologia)&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-HM0912-3
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADngua_protoindo-europeia
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Numerais_protoindo-europeus&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Numerais_protoindo-europeus&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-5
https://pt.wikipedia.org/wiki/Henri_Lebesgue
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-HM1213-6
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-Arnold-7
https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADtio_arqueol%C3%B3gico_de_Doln%C3%AD_V%C4%9Bstonice
https://pt.wikipedia.org/wiki/Rep%C3%BAblica_Checa
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-Boyer-1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-HM1213-6
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Boris_A._Frolov&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Paleol%C3%ADtico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Novosibirskhttps://pt.wikipedia.org/wiki/Paleol%C3%ADtico_Superior
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cro-Magnon
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-8
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-9
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-10
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-HM1213-6
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Os_d%27Ishango_IRSNB.JPG
• Aditivo (additio - adição) - indicações para 1, 10, 100, e repetição destes sinais 
(1n, 10n, 100n); 
• Subtrativo (subtractio - subtração) - uma combinação de números de mn, em 
que m<n, é igual à diferença n-m; 
• Multiplicativo (multiplicatio - multiplicação) - uma combinação de números 
equivalentes ao produto mn, usado para os nomes de dezenas e centenas 
nas línguas indo-europeias, em particular o russo. 
Para além do referido, um número de fontes como o princípio mencionado, com base 
na divisão.[11][12] 
Textos matemáticos antigos e notações 
Antigo Egito 
Informações básicas sobre matemática egípcia baseada no Papiro de Rhind, que é uma 
sinopse do escriba egípcio Ahmesa (século XVIII-XVII A.C.) e do Papiro de Moscou. 
Ambos os papiros pertence à era do Império Médio. As informações sobre os textos 
matemáticos do Novo Reino, bem como os reinos primeiros e antigos, não 
sobreviveu.[13] Papiros matemáticos do Antigo Egito foram feitas para fins de 
ensino,[13] contendo problemas com soluções, informações de apoio e as regras de 
resolução números inteiros e frações, contendo progressões aritméticas e geométricas, 
assim como suas equações.[7][14] 
Parte do papiro de Rhind. 
Os egípcios usavam o sistema decimal.[15] Numeração hieroglífica era aditiva sinais 
especiais de 1, 10, 100, 1000 e assim por diante até dez milhões, enquanto nos 
sinais hieráticos surgiram para os números de um a nove, para as dezenas, centenas e 
milhares, e caracteres especiais para frações da forma 1/n ou frações alíquotas (fração 
egípcia).[16] 
Textos matemáticos egípcios focam o cálculo e as dificuldades que nele surgem, o que 
depende em grande medida dos métodos de resolução de problemas. Os egípcios usavam 
as operações aritméticas, como adição, duplicação e adição de frações a um. Qualquer 
multiplicação e divisão inteira sem qualquer resíduo foram realizados com operações 
repetitivas de duplicação, resultando em cálculos complicados, que foram assistidos por 
certos membros da seqüência 1, 2, 4, 8, 16, ...[17] No Egito, foram usados apenas fração 
em alíquotas, e todas as outras frações decompostas no valor de alíquotas. No Papiro 
Rhind apresentam-se tabelas de tais expansões por formas de frações , os cálculos 
com frações restantes vem com a operação de duplicação.[18] Ao determinar a área de uma 
superfície, o volume de um cubo ou encontrar o lado de uma área em função de sua área, 
os egípcios enfrentaram os problemas da exponenciação e extração de raiz, embora os 
nomes destas operações ainda não eram como os conhecemos.[17] 
Babilônia 
Textos matemáticos cuneiformes babilônicos usaram sistema de numeração sexagesimal, 
característico dos sumérios,[19] e representados em um livro didático que inclui 
metodologias da multiplicação de números ("tabuadas") contendo números e resultados de 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Adi%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Subtra%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Multiplica%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnguas_indo-europeias
https://pt.wikipedia.org/wiki/Divis%C3%A3o
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Papiro_de_Rhind
https://pt.wikipedia.org/wiki/Papiro_de_Moscou
https://pt.wikipedia.org/wiki/Papiro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Imp%C3%A9rio_M%C3%A9dio
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https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_inteiro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C3%A3o_aritm%C3%A9tica
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Hier%C3%A1tico
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Fra%C3%A7%C3%A3o_eg%C3%ADpcia&action=edit&redlink=1
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Volume
https://pt.wikipedia.org/wiki/Exponencia%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Radicia%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-HM2324-17
https://pt.wikipedia.org/wiki/Escrita_cuneiforme
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numera%C3%A7%C3%A3o_sexagesimal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sum%C3%A9ria
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-19
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tabuada_de_multiplicar
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg
valores de 1 a 59, bem como tabelas de números inversos, tábuas 
de quadrados e cubos de números naturais, cálculos de porcentagens e frações 
base.[7][15] Há mais de três centenas de tabuletas com textos, problemas matemáticos e 
tabelas numéricas.[20] A matemática babilônica é caracterizada pelo uso extensivo de 
tabelas.[21][22] 
Tábua de argila babilônica com o 
cálculo 
= 1.41421296… 
Na Babilônia, apareceu pela primeira vez a numeração posicional consistente. Os 
primeiros cinquenta e nove números foram registrados com a repetição de personagens e 
dezenas de unidades necessárias várias vezes. Da mesma forma foram registrados 
múltiplos de sessenta à esquerda do primeiro conjunto. Mais tarde, este arranjo foi 
estendido para todo o número do formulário e . Além disso, introduziu-se um 
sinal babilônio denotando zero quando da grafia do número.[22][23] 
Adição e subtração na Babilônia eram as mesmas que aquelas ações em sistema 
posicional decimal com a diferença de que a transição para o próximo nível era necessária 
para o sistema de base, e para as unidades e dezenas. Devido à grande base dos 
babilônios não utilizava-se uma única tabela de multiplicação até 59, que contêm um 
grande número de elementos, e uma variedade de tabelas de números de 1 a 59 sobre os 
números 1, 2, 3, … 19, 20, 30, 40, 50 , também chamada de "capital". Na operação de 
divisão dos babilônios não era, portanto, dada muita atenção para as mesas de desenho 
de recíprocos, ou seja, números gerados quando dividido-se 60 2, 3, 40 .. No caso de 
divisão, dando fração infinita, primeiro escrevia-se que há um número inverso, e depois, 
dado um valor aproximado.[21] 
Ao resolver problemas aritméticos os babilônios invocavam proporção e progressão. Eles 
conheciam a fórmula para a soma dos termos de uma progressão aritmética, as regras 
para a soma de uma progressão geométrica, resolvendo o problema dos juros. [24] Na 
Babilônia, conhecia-se uma quantidade de trios pitagóricos, mas os métodos que usavam 
para encontrá-los é desconhecido. Em geral,o problema de encontrar soluções inteiros 
eracionais da equação refere-se à teoria dos números.[25] Problemas geométricos 
conduziram à necessidade de aproximar a raiz quadrada, utilizando a regra e 
métodos iterativos para a prossecução da aproximação do resultado. [nota 1][26] 
Grécia antiga 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Inverso_multiplicativo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Quadrado_(aritm%C3%A9tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cubo_(aritm%C3%A9tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural
https://pt.wikipedia.org/wiki/Porcentagem
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-Arnold-7
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-Depman4952-15
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-Scott10-22
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Propor%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-24
https://pt.wikipedia.org/wiki/Terno_pitag%C3%B3rico
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-25
https://pt.wikipedia.org/wiki/Raiz_quadrada
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-26
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-HM4647-27
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Ybc7289-bw.jpg
Inicialmente, os gregos usaram a numeração ática, que usava símbolos para os 
números.[27] Este sistema é descrito em gramáticas pelo historiador Aelius Herodianus, de 
um rei Herodes, no século II a.C.. Com numeração ática registra-se os resultados dos 
cálculos no ábaco. Ao longo do tempo, a numeração foi substituído pela alfabética 
compacta, ou jônica.[28] A numeração jônica usou as 24 letras do alfabeto grego e três 
letras extras de tratamento às unidades de 1 a 9, dezenas de 10 a 90 e centenas de 100 a 
900 (lançadas a partir de cartas de circulação utilizadas para designar números 6, 90, 
900 [27]). Para distinguir o número de cartas sobre eles colocavam a linha. Para gravar o 
número 1000 utilizando o mesmo símbolo para a unidade, mas com um traço na parte 
inferior esquerda. Esta é uma reminiscência de um sistema posicional, mas a transição 
final ocorreu.[29] Acredita-se que tal sistema dificultava cálculos complexos,[7] mas em 1882 
o historiador da Matemática francês Paul Tannery chegou à conclusão de que a 
abordagem correta do sistema de numeração grego não é muito diferente dos cálculos 
decimais mais rápidos.[30] 
Pitágoras (1509-1511, detalhe de Escola 
de Atenas), por Rafael, na Stanza della Segnatura, no Vaticano. 
O desenvolvimento da aritmética grega deve-se principalmente à escola pitagórica. 
Pitagoreanos acreditavam em primeiro lugar, que a proporção de quaisquer dois 
segmentos podia ser expressa em termos da relação de números inteiros, 
consequentemente, a geometria representava a aritmética de números racionais. Usar 
uma relação semelhante à harmonia da música levou os pitagóricos à conclusão de que 
todas as leis do mundo podiam ser expressas em termos de números e aritmética seria 
necessária a fim de formular um relacionamento e construir um modelo do mundo. [31] Em 
particular, o pitagórico Arquitas de Tarento escreveu:[32] "Aritmética, para a [minha] opinião, 
é entre outras ciências muito distinta em perfeição do conhecimento; e a geometria [é 
perfeita porque] é mais clara, pois a geometria considera qualquer [coisa].” 
Os pitagóricos consideravam unicamente os números inteiros positivos, e acreditavam que 
o número de unidades de montagem. As unidades eram indivisíveis e dispostas em corpos 
geométricos regulares. Pitagóricos definiam a característica de "números figurados ou 
agrupados" ("triangulares", "quadrados" e outros). Ao estudar as propriedades dos 
números, eles os dividiam em pares e ímpares (como um sinal de divisibilidade por 
dois), primos e compostos. Foram, provavelmente, os pitagóricos, utilizando apenas 
divisibilidade por dois que foram capazes de provar que, se é um número primo, 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Numera%C3%A7%C3%A3o_%C3%A1tica
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Divisibilidade
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_composto
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Sanzio_01_Pythagoras.jpg
então é um número perfeito. A demonstração é dada na obra "Os Elementos" 
de Euclides (IX, 36). Somente no século XVIII, Leonhard Euler provou que outros números 
perfeitos existem, mas a questão de que se existem infinitos números perfeitos ainda não 
foi resolvida. Pitagóricos também desenvolveram uma fórmula e encontraram um número 
infinito de soluções inteiras da equação , os chamados trios pitagóricos [32] (a 
apresentação da primeira fórmula que determina os trios pitagóricos é atribuída a Platão, 
que dedicou muita atenção a aritmética, ou a ciência dos números [33]). 
Sabe-se que entre os pitagóricos houve a doutrina dos números racionais, ou a relação 
dos segmentos, mas esta doutrina e suas demonstrações não sobreviveram. [34] No entanto, 
sobreviveram provas da incomensurabilidade da diagonal e o lado do quadrado unidade. 
Esta descoberta significa que a proporção de inteiros não é suficiente para expressar as 
relações de todos os segmentos e que, nesta base, é impossível construir uma geometria 
métrica.[35] O primeiro pertence à doutrina das irracionalidades. Teeteto de Atenas, aluno 
de Sócrates, determinou que, para a superfície, cuja área é expressa por um número não-
quadrado, o lado é incomensurável da área de superfície unitária (de valor igual a 
unidade). Em outras palavras, determinou o tipo de irracionalidade . Da mesma 
forma, definiu a irracionalidade da diagonal para o cubo unidade (proporcional à raiz 
quadrada de 3).[36] 
A teoria geral da divisibilidade apareceu em 399 a.C. e. pertence, evidentemente, também 
a Teeteto de Atenas. Euclides dedicou seu livro VII e parte do livro IX, «Eu comecei". A 
teoria baseia-se no algoritmo de Euclides para encontrar o máximo divisor comum de dois 
inteiros. A consequência deste algoritmo é a possibilidade de expandir qualquer número 
em fatores primos (“fatorar”),bem como a singularidade desta decomposição. A lei da 
singularidade de fatoração privilegiada é a base da aritmética dos números inteiros. O 
algoritmo de Euclides para determinar os quocientes parciais da expansão da fracão 
racional de um número racional. No entanto, o conceito de fração racional periódica não 
era possuído pelos gregos.[36] 
Seguindo Euclides para números racionais, ao contrário, inteiros sempre tem possível 
divisão. Na Grécia, era-se capaz de operar com frações da forma , somá-las e 
subtraí-las, levando a um denominador comum, multiplicar e dividir, bem como subtrair. 
Em construções teóricas gregos partiam de uma unidade indivisível e não tratavam de 
frações de uma unidade, e a relação de números inteiros. Por estas relações definiram o 
conceito de proporcionalidade, que rompe todos as relações em classes disjuntas. Na 
antiga Grécia, determinava-se o menor par de todos tendo a mesma “atitude”, ou um 
‘casal’, em que os números são relativamente primos, o que corresponde ao conceito de 
fração irredutível.[34] 
O problema da construção de uma medida finita e a determinação de um número real foi 
uma crise científica no século V a.C., e a solução desses dilemas conduziu todas as 
escolas filosóficas da Grécia Antiga. Mostrar todas as dificuldades em resolver esses 
problemas conseguiu Zenão de Eleia em seus paradoxos ou aporias.[37] Novos 
fundamentos da matemática foram sugeridos por Eudoxo de Cnido. Formulou uma 
conceituação mais geral do que o número: o conceito de magnitudes geométricas - por 
exemplo, a área do segmento, o volume. Para quantidades homogêneas Eudoxo 
determinou a função da relação entre os axiomas de ordem e introduziu o axioma, 
conhecido como o axioma de Arquimedes. Essa abordagem nos permitiu determinar os 
valores de relações arbitrárias, o que resolve o problema da incomensurabilidade então 
conhecido. No entanto, Eudoxo não formulou um análogo do axioma da continuidade, que 
é por isso que a questão da comensurabilidade não foi totalmente decidido. Eudoxo 
também não especificou valores para operações aritméticas.[38] Finalmente combinou o 
conceito do número e magnitude (ou mais precisamente, a relação com o valor da unidade 
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_perfeito
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-HM9498-39
padrão), como apresenta Isaac Newton, em "Aritmética Universal" (Arithmetica Universalis, 
1707).[39] No entanto, a construção de Eudoxo é próximo à definição posterior de um 
número real dada por Richard Dedekind para carta na qual Rudolf Lipschitz requisita uma 
nova definição.[38] 
Após as conquistas de Alexandre, o Grande, o centro da ciência grega mudou-se 
para Alexandria.[40] A dificuldade fundamental do tempo são "Os Elementos" de Euclides de 
Alexandria, obra composta de treze livros. Livro V é dedicado à teoria das relações de 
Eudoxo, o livro VI - as relações de comunicação com os segmentos de operação de 
multiplicação ou a construção de paralelogramos, os livros VII-IX - a teoria de números 
inteiros e racionais, também considerado como linhas, o livro X - a classificação irracional 
sobre Theaetetus.[41] 
Folha de "Aritmética", de Diofanto (o 
manuscrito é do século XIV). A linha superior contém a equação: 
No trabalho de Arquimedes o método do “O Contador de Areia” foi desenvolvido para a 
expressão de um grande número arbitrariamente. Seu projeto permite que se construa 
uma série de primeira ordem (até ), em seguida, a segunda ordem (de até ) 
e, ainda, ao mesmo tempo pode ser expandido. Arquimedes também mostra que o número 
de grãos em uma esfera, cujo diâmetro é inferior a 10 mil vezes maior que o diâmetro da 
Terra não excede .[42][43] 
Com o passar do tempo, rumo à Idade Média, a aritmética da Grécia antiga, a matemática 
como um todo, declinou.[44] Novos conhecimentos só aparecem no século I-II a.C..[45] No 
século III começou a construção da álgebra de Diofanto de Alexandria não confiando na 
geometria e aritmética. Diofanto também expandiu a área do número com os números 
negativos.[46] Diofanto trabalhou na resolução de equações indeterminadas em números 
racionais, no cruzamento da teoria dos números e geometria algébrica.[47] 
Roma antiga 
O sistema de numeração romano não era bem adequado para a computação. Caracteres 
numéricos romanos apareceram posteriormente ao alfabeto e não são descendentes de 
suas anotações de cunho exclusivamente matemático. Acredita-se que os números 
originais de 1 a 9 são, respectivamente, o número de linhas na vertical, e a seu traço 
cruzado significava o número vezes dez (daí o número X). Consequentemente, para obter 
o número 100 anula-se a barra duas vezes. Subsequentemente, houve a simplificação do 
sistema.[48] Atualmente, ele é usado em casos especiais, como por exemplo em: século 
XIX, Caterina II, VI Congresso e outros. 
China 
No século II a.C. foram criados o "Tratado sobre o pólo de medição" (astronomia) e “Os 
nove capítulos sobre a arte matemática" (um livro para agrimensores, engenheiros, 
funcionários públicos e comerciantes) — as mais antigas obras de matemática existentes 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
https://pt.wikipedia.org/wiki/Arithmetica_Universalis
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https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativo
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da China. Juntamente com uma série de mais livros escritos nos séculos III-IV, eles 
formaram os "Dez tratados clássicos" que foram reimpressos por longo período 
inalterados.[49] Para a matemática do século XIV a China apresenta um conjunto de 
algoritmos numéricos para resolver um quadro de contagem.[50] 
Triângulo Yang Hui (análogo 
ao triângulo de Pascal), manuscrito chinês medieval, 1303. 
No centro da numeração chinesa está um princípio multiplicativo: como um sistema de 
numeração posicional, são escritos a partir de cima para baixo ou da esquerda para a 
direita, enquanto que o sinal de milhares de milhares distancia-se mais para o número de 
centenas - um sinal de centenas, com o número de dezenas - um sinal de uma dúzia - e 
no final o número de unidades. Para executar operações aritméticas usa-se 
calculador suanpan e varas de contagem. Na placa de contagem usa-se registro 
posicional. Ao mesmo tempo, de acordo com o matemático chinês do século III Sun Tzu, 
"nos métodos que são usados na análise convencional, especialmente [deve] se reunir 
com valores: unidades de dezenas verticais, horizontais; são centenas, milhares e 
dezenas têm a mesma aparência, dezenas de milhares e centenas, também ". [51] 
As operações aritméticas de adição e subtração, produzidas na placa de contagem, não 
exigiram tabelas adicionais para tabela de multiplicação dos mesmos, como 1 x 1 a 9 x 9. 
Ações de multiplicação e divisão produzidas a partir dos valores mais significativos, e os 
resultados intermediários são removidas do tabuleiro, o que torna impossível a verificação. 
A princípio, as operações de multiplicação e divisão são independentes, mas, a esse 
tempo, Sun Tzu fez sua revisão.[52] Quase simultaneamente com os números inteiros e as 
frações apareceu, já no século II a.C. operações com frações bem desenvolvidos. Para a 
adição e subtração de produto utilizando os denominadores, a multiplicação é 
geometricamente definida como a área de um retângulo, a divisão também foi associado 
com o problema da divisão de uma área, com o número de participantes na divisão 
podendo ser fracionado. No século V a.C. Zhang Qiu Jian substituiu a divisão por 
multiplicação por uma fração invertida, enquanto que a fração foi vista como um par de 
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números, ajudado pelo uso da placa de contagem. Já no século III a.C. na China havia 
decimais, aos qual foi dado um valor aproximado de valores irracionais. [53] 
Na China, foram capazes de resolver problemas usando as regras de duas posições 
erradas, que os europeus atribuíram à ciência indiana. Por substituição por dois valores 
diferentes no lado esquerdo da equação para o lado direito a receber dois valores 
diferentes, dos quais utilizando-se proporções poderia se encontrar uma solução 
para . Os chineses usaram uma opção quando do lado direito há excesso ou 
deficiência.[54] Para a resolução de sistemas de equações lineares foi necessária a 
introdução de números negativos. Eles aplicaram na placa varas de uma cor diferente, e 
outra tinta sobre a carta ou barra. Além disso, os números negativos têm um nome 
especial. Para eles, as regras foram formuladas para operações de adição e subtração, 
com subtração determinada, em primeiro lugar. Inicialmente, os números negativos foram 
utilizados apenas na conta e no final dos cálculos foram removidas do tabuleiro, em 
seguida, os estudiosos chineses começaram a interpretá-los como uma dívida ou 
escassez.[55] 
Aritmética na Idade Média 
Na Idade Média, a matemática se desenvolve principalmente em países islâmicos, 
Bizâncio e da Índia, e só depois vem para a Europa Ocidental. Uma das principais áreas 
de matemática neste momento são a aritmética, cálculos e ensinamentos de aproximações 
comerciais sobre o número.[56] 
Índia 
O sistema de numeração posicional (dez algarismos, incluindo o zero) foi introduzido 
na Índia. Com ele foi permitido o desenvolvimento de regras relativamente simples de 
operações aritméticas.[7] Os pesquisadores acreditam que na Índia o sistema de 
posicionamento foi introduzido pela primeira vez o mais tardar no início de nossa era. No 
entanto, devido ao fato de os indianos utilizarem materiais frágeis para a escrita, poucos 
documentos resultantes deste período sobreviveram. Um documento autêntico, utilizando 
a numeração posicional, é considerado o manuscrito Bakhshaliyskaya (ou Bakhshali, 
em inglês), que pertence ao século XII.[57] 
Estátua de Aryabhata no Centro de Astronomia e 
Astrofísica, em Pune. 
Para expressar números inteiros na Índia já utilizava-se o sistema decimal. Primeiro foram 
as figuras na carta Karosti (Kharosthi), em que foram escritos da direita para a esquerda, e 
depois na Escrita brami, em que foram escritos da esquerda para a direita. Ambas as 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-54
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_aritm%C3%A9tica#cite_note-55
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https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADngua_inglesa
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Pune
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Escrita_brami
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:2064_aryabhata-crp.jpg
versões usam o princípio de adição para números até 100 e multiplicador para valores 
maiores. No entanto, em brami utiliza-se caracteres especiais para os números de 1 a 9. 
Na base deste sistema foram concebidos modernos números letras devanágari (ou "letras 
divinas"), que foram utilizadas no sistemadecimal posicional. Até o ano de 595 utilizava-se 
um primeiro número de entrada, que usava nove dígitos, não sendo incluído o zero. Por 
conveniência em cálculos, Ariabata utilizou registros de números com sinais usando-se de 
letras em sânscrito. Em 662, o bispo cristão sírio Severus Sebokht afirmou: "Eu não vou 
tocar em ciência os indianos... seu sistema numérico que ultrapassa qualquer descrição. 
Eu só quero dizer que o projeto é realizado por meio de nove personagens". [58] 
Operações aritméticas básicas na Índia foram consideradas, como a adição, a subtração, 
a multiplicação, a divisão, em quadratura e do cubo, as raízes quadradas e cúbicas, que 
foram desenvolvidos pelas regras. Os cálculos foram realizados em placa contando com 
grãos de areia ou pó, ou simplesmente no chão escrevendo-se com varas. Cálculos 
intermediários foram apagados, resultando na incapacidade de se verificar usando a 
operação inversa, que era usada em vez de utilizar a prova dos noves. [59] Os indianos 
conheciam frações e foram capazes de realizar operações sobre elas, a proporção de 
progressão.[60] Já a partir do século VII a.C. eles usaram números negativos, interpretando-
as como uma dívida, assim como números irracionais.[61] Eles foram atraídos pela soma de 
séries numéricae, em particular, exemplos de progressões aritméticas e geométricas estão 
disponíveis no "Vedas", e no século XVI Narayana Pandit fez um somatório mais geral.[62] 
Os matemáticos indianos Ariabata, Brahmagupta e Bhaskara resolveram equações 
diofantinas do tipo em números inteiros. Além disso, eles resolveram em inteiros 
equações da forma , que foi a maior conquista de matemáticos indianos na teoria dos 
números. Posteriormente, esta equação e seu caso especial quando atraiu a atenção 
de Fermat, Euler e Lagrange. A proposta pelo método de Lagrange para encontrar 
soluções foi obtida de maneira aproximada pelos indianos.[63] 
Países islâmicos 
Nos séculos IX-X, o centro científico islâmico era Bagdá, onde trabalharam al-
Khwarizmi, al-Marwazi, al-Fargani, Thabit Ibn Qurra, Ibrahim ibn Sinan e Al-Battani. Mais 
tarde, houve novos centros de pesquisa em Bucara, Corásmia e Cairo, onde trabalhou Ibn 
Sīnā (nome latinizado Avicena), Al-Biruni e Abu Kamil al-Misri, e, em seguida, 
em Isfahan e Maragha, onde trabalharam Omar Khayyām e Nasir al-Din al-Tusi. No século 
XV o novo centro de pesquisa foi criada em Samarcanda, em que trabalhou Ghiyas al-Din 
al-Kashi. Centros de matemática na costa noroeste da África e da Península 
Ibérica desempenharam um papel importante na disseminação do conhecimento na 
Europa.[64] 
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Tradução em latim de página do livro "Por conta 
indiana". 
Os árabes usaram dois tipos de numeração: posicional alfabética e decimal. A numeração 
alfabética embora semelhante ao grego antigo, mas retornou ao alfabeto semita. [65][66] No 
início do século IX, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi escreveu um livro "Sobre o contar 
dos indianos". O livro contém resolução de problemas práticos "de vários tipos e 
variedades" e foi o primeiro livro escrito usando a notação posicional, antes que os dados 
utilizados para os cálculos estivessem apenas nem tábuas de contagem. [65][66] No século 
XII Adelardo de Bath (Espanha) e John Sevelskim (Inglaterra), realizaram duas traduções 
de livros para o latim.[67] Seu original não foi preservado, mas em 1857 sob o nome de 
"Alhorezmi incluindo o índio", foi publicado em uma tradução latina.[66] Em seu tratado 
descreve como realizar com a ajuda de numerais indianos na placa de contagem 
operações aritméticas, como adição, subtração, duplicação, multiplicação, divisão e raiz 
quadrada.[68] Multiplicação de frações como a divisão, considerou o uso de 
proporções: multiplicado por sendo que esse era o mesmo que procurar , 
tal que . Esta teoria baseia-se na aritmética árabe. No entanto, houve outro cálculo de 
frações que representem qualquer fração como a soma das frações alíquotas. [69] 
Entre os anos 952-953, Abu al-Hasan Ahmad Abu'l-Hasan al-Uqlidisi em seu trabalho "O 
livro da divisão em aritméticas indianas" usando decimais, dividiu os números ímpares e 
realizou alguns outros cálculos, mas este livro não tem qualquer impacto sobre o 
desenvolvimento. No início do século XV al-Kashi tinha a intenção de construir um sistema 
de frações em que todas as operações seriam realizadas como com números inteiros e 
estariam disponíveis para aqueles que não sabem, "O cálculo de astrônomos". [69] Em 1427, 
al-Kashi descreveu o sistema decimal, que se espalhou na Europa após Simon Stevin em 
1585.[7] Assim, al-Kashi formulou as regras básicas das operações com frações decimais, 
as fórmulas para traduzi-los em sexagesimal e vice-versa.[69] 
Nos trabalhos de al-Khwarizmi há a técnica comum de extrair a raiz quadrada, a extração 
de raízes cúbicas com Kushyar Gilani, o desenvolvimento total de métodos para o cálculo 
das raízes envolvida por Omar Khayyam. A primeira descrição da extração de raízes de 
qualquer grau de um inteiro é encontrado no livro de al-Tusi "Coleção de aritmética usando 
placas e pó" (1265). O sistema é essencialmente o mesmo que o esquema de 
Horner proposto no século XIX, quando a parte situa-se aproximadamente na forma 
de . Além disso, al-Tusi forneceu uma tabela de coeficientes binomiais de uma forma 
semelhante ao triângulo de Pascal.[70] Muita atenção foi dada nos países árabes aos 
números irracionais e cálculos aproximados. Al-Khwarizmi produziu por operações simples 
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com a radiciação, que é mais simples do que os segmentos díspares utilizados na Grécia 
antiga. Desenvolve-se a teoria das proporções submetida à análise crítica. Em particular, 
Omar Khayyam em 1077, em seu tratado "Comentário para as dificuldades na introdução 
do livro de Euclides", apresenta que a definição grega antiga não reflete a verdadeira 
essência das proporções. Khayyam deu uma nova definição de proporção, introduziu a 
relação "mais" e "menos" para generalizar a noção de um número real positivo. Os 
números negativos não foram populares com os matemáticos árabes.[71] 
Para resolver os problemas árabes apreciavam a regra tripla, vinda da Índia e descrita, 
juntamente com várias outras técnicas em "O Livro do Indiano Rashika", de al-Biruni, a 
regra das duas disposições falsas veio da China e recebeu justificativa teórica no "Livro do 
estado da falsa posição dupla" de Costa ben Luca.[72] 
O sucesso da ciência islâmica na teoria dos números foi menos significativa. Eles foram 
capazes de resolver as equações do primeiro e segundo grau em números inteiros, 
conheciam as regras de construção de trios pitagóricos, e pela primeira vez foi feita uma 
declaração de que a equação era geralmente insolúvel em números racionais, o que 
é um caso especial do chamado último teorema de Fermat. A prova prevista desta 
afirmação não foi preservada,[73] sendo considerada em nossos dias como atribuída a 
Euler. 
Bizâncio 
O primeiro matemático cristão bizantino era Antêmio de Trales, que viveu no século VI. A 
aritmética bizantina foi influenciada pelas obras de matemáticos árabes e gregos. A Miguel 
Pselo, que viveu no século XI, pertence um ensaio sobre a aritmética, onde toca os 
números e as relações de classificação, bem como os principais nomes, graus, chamando 
ao mesmo tempo “primeiro inefável", e — a "segunda inexprimível", que diz que 
Pselo conhecia e usava o sistema multiplicativo em que os expoentes são expressos em 
produto e não acrescentando, como era anteriormente. A Máximo Planudes, que viveu no 
século XIII, pertencem comentários para o "Aritmética" de Diofante, e "Aritmética ao longo 
das linhas dos índios". No século XIV João Pediasimos escreveu vários tratados sobre 
aritmética, destacando suas perguntas difíceis, Ravda Nikolai Artavazd levou ao método 
de cálculo dos dedos das mãos e um método aproximado para extrair raízes quadradas, 
e Isaac Argir, comentou sobre os primeiros seis livros dos "Elementos" de Euclides e 
construiu uma extração de tabela de raízes quadradas para os números até 102 utilizando 
as frações sexagesimais.[74] 
América 
Yupana usado para cálculos aritméticos. 
Na América Central, usou-se principalmente o sistema numérico vigesimal. 
Sacerdotes maias na península de Iucatã usavam-no em cálculos abstratos (relacionados 
a simbolismo religioso, com enormes números de “ciclos” de seus mitos de criação) e em 
cálculos do calendário maia. Entre as limitações de seus métodos e resultados, certos 
cálculos, ainda que sofisticados em técnica e exatos resultados, só atingem o número 19 
como um de seus fatores,[75] e com o uso de uma razão adicional para utilizar o número 
5.[76] O calendário maia era um sistema posicional, onde cada item foi localizado 
relacionado com uma divindade e com um determinado número de caracteres. Ao 
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escrever uma divindade não a está representando, e para designar um lugar vazio foi 
usado como um símbolo de um escudo aberto[77] ou o olho.[78][79] Na América do Sul, para o 
registro de números foi usada numeração nodal, ou um conjunto de “quipos”. [80] 
Cálculos aritméticos foram realizadas utilizando yupana, que é um análogo do ábaco,[81] no 
entanto, devido ao sistema de aritmética com números específicos, não relacionado com 
cálculos astronômicos, teve fraco desenvolvimento.[82] 
Europa Ocidental 
No feudalismo inicial na Europa Ocidental não necessitava da ciência não ir além das 
questões de aritmética prática e geometria. Os livros de “artes liberais” continham uma 
introdução para as sete artes liberais, incluindo aritmética. Foram as obras mais populares 
de Boécio, que datam do século VI, que, entre outras coisas, traduziram para o latim a 
"Aritmética" de Nicômaco de Gerasa com seus próprios exemplos numéricos e uma parte 
dos "Elementos" de Euclides sem prova rigorosa.[83] 
Através da Espanha e Sicília no século X começou-se a amarrar os laços científicos com o 
mundo árabe. Neste momento, os cientistas visitaram o monge Gerbert, da Catalúnia, que 
mais tarde se tornou o papa Silvestre II. A ele são creditadas obras como o "Livro da 
divisão de números" e "Regras da conta no ábaco." Em ambos os livros os números são 
representados por palavras escritas ou algarismos romanos.[83] Gerbert chamou cálculos 
sobre o ábaco de "abatsistami".[84] 
Página do "Livro dos ábacos", de Fibonacci. 
Nos séculos XII-XIII na Europa, havia traduções latinas de livros árabes em aritmética. 
Traduções básicas foram feitas do árabe para a Península Ibérica, em Toledo, sob o 
patrocínio do arcebispo Raimundo I, bem como em Barcelona e Segóvia. As 
representações nos livros de numeração decimais posicional foram chamadas de 
"algoristami" em homenagem ao matemático al-Khwarizmi na forma Latina.[84] Aos poucos, 
o novo sistema prevaleceu.[67][85] Sua principal vantagemé a simplificação das operações 
aritméticas. No entanto, na Alemanha, França e Inglaterra, os novos números não seriam 
adotados antes do final do século XV.[85] 
Esse conhecimento chegou até Leonardo Fibonacci, italiano de Pisa, que viveu no século 
XIII. Em sua principal obra "Liber Abaci" (Livro dos Ábacos), escrito em 1202, ele se tornou 
um defensor do sistema de numeração indiano e métodos de cálculo no ábaco 
considerando-os um desvio de uma caminho mais correto. Cinco capítulos do livro são 
dedicados à aritmética dos números inteiros. Fibonacci usou zero como um número real, 
realizou “provas dos nove”, sabia dos métodos para determinação da divisibilidade por 2, 
3, 5, 9, trouxe a um denominador comum da fração usando o menor múltiplo comum dos 
denominadores, expôs a regra de três, as regras de cinco, sete, nove, e outras variáveis. 
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Em regras de proporções, resolveu problemas que envolvem a mistura, operado pela 
soma da série, incluindo uma das séries de retorno e da sequência de Fibonacci, explicou 
o método de cálculo aproximado de raízes quadradas e cúbicas. No "Livro dos ábacos" 
são dadas em conjunto com a evidência de uma variedade de métodos e objetivos, que 
são amplamente utilizados nos escritos de matemáticos posteriores.[86] 
O professor na Universidade de Oxford, o mestre Thomas Bradwardine (início do século 
XIV), que se tornou mais tarde Arcebispo da Cantuária, o livro pertence a "aritmética 
teórica", que é uma versão abreviada de "aritmética" de Boécio. Além disso, o pensador 
em seu trabalho sobre os mecanismos do uso da "metade", com base no qual o 
matemático francês Nicole d'Oresme desenvolveu a doutrina do expoente fracionário em 
seu tratado "Relações de algorismos", e foi para o conceito de expoentes 
irracionais,[87][88] que pode ser celebrado entre inteiro o suficiente perto e fracionário, e 
realizou uma generalização de exponenciação com expoentes fracionários positivos. Seus 
trabalhos foram publicados apenas no século XIX.[88] 
Em 1484 o manuscrito foi publicado pela bachelor francesa de medicina Nicolas 
Chuquet em "Ciência dos números em três partes", em que ele, em particular, compara o 
trabalho dos membros de uma progressão aritmética e a soma de uma progressão 
geométrica, em antecipação a logaritmos, considera casos de raiz do primeiro grau de si 
mesma e usa expoentes negativo e zero.[89] Em 1487 Luca Pacioli escreveu o seu "A 
quantidade [de conhecimento] em aritmética, geometria, relações e da proporcionalidade". 
Nesse livro, publicado em Veneza em 1494, Pacioli delineou vários métodos de operações 
aritméticas, aproveitando os símbolos algébricos. Além disso Pacioli indicou o sinal , 
adição, e subtração — . Também usou em números negativos a expressão "inferior a 
zero" e formulou a regra que muda o sinal quando multiplica-se números.[90] 
A página título da edição flamenga de "Dezena". 
O texto de Girolamo Cardano, "Grande Arte", no século XVI, introduziu o conceito de 
valores imaginários, ou sofísticos. Embora Cardano considerou-os inúteis, eles foram 
usados por Rafael Bombelli para resolver equações cúbicas, que também introduziu a 
regra da multiplicação do imaginário e os números reais.[91] No mesmo século na Europa 
estavam se espalhando o conceito e uso de decimais. Eles aparecem na obra de François 
Viète, Immanuel Bonfils e Simon Stevin. Em 1585, em seu livro "A Décima", última 
campanha para o uso generalizado de casas decimais. No mesmo ano em 
"Aritmética",[92] ele deu uma nova definição de número irracional como "por meio do qual é 
expresso o número de todas as coisas”. Stevin considerou números irracionais e em parte 
negativas, tais como estes, bem como frações e pensou em unidades divisíveis. [93] 
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Michael Stifel em sua "Aritmética Completa" apresenta uma definição de algoritmo e a 
razão entre a relação de divisão,[94] também dá uma interpretação geométrica dos números 
negativos ("menos do que nada") e faz uma analogia entre a introdução dos números 
negativos e irracionais.[95] Em 1569, o professor francês Pierre de la Ramée, que foi 
proibido pelo decreto do rei de criticar Aristóteles escreveu: "O curso de matemática em o 
livro de trinta e um", que tentou dar a matemática um novo estudo, baseado não na 
geometria e aritmética.[96] 
Aritmética da Idade Moderna 
A navegação astronômica do século XVII, a mecânica, os cálculos de negócios mais 
complexos criaram novas solicitações aritméticas para a técnica de computação e deramum impulso para promover o desenvolvimento. 
Aritmética decimal e a extensão do conceito 
O conceito de número sofreu uma mudança significativa. Anteriormente o campo dos 
números atribuía apenas apenas números racionais positivos, e desde o século XVI, cada 
vez mais reconhece-se os números irracionais e negativas. As "atualizações" de René 
Descartes em 1637 estabelecem uma ligação entre a aritmética e as construções 
geométricas, utilizando proporções, em outras palavras, o número é entendido no mesmo 
sentido que o de Euclides e as operações aritméticas são equivalentes à busca da relação 
desejada de comprimento para a relação já apresentada. A razão de qualquer 
comprimento para a unidade, neste caso, é equivalente a um número real, e os 
argumentos serão verdadeiras tanto para comparáveis e para os segmentos díspares. O 
próprio Descartes trata esses últimos de "números de surdos» (nombres sourds). Isaac 
Newton em suas palestras divide-os em três tipos: inteiros (medidos em unidades), 
fracionários (múltiplos de uma unidade) e irracionais (incomensuráveis com a unidade). 
Desde 1710 essa definição é firmemente inserida em todos os livros texto.[97] 
Tabelas aritméticas, 1835. 
A fração periódica apareceu no "Cálculo Decimal" (Logistica decimalis) de I.G. Beyer em 
1603. os trabalhos sobre eles continuaram por Valais em "Tratado sobre Álgebra" (Treatise 
on Algebra), em 1685, onde se determinou que uma fração irredutível , o número de 
dígitos será menor do que ou igual a . John Wallis também mostra a imagem final 
com um denominador da forma , também sabendo que é impossível expressar os 
números irracionais em frações periódicas.[98] 
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Tables_generales_aritmetique_MG_2108.jpg
No início do século XVII John Napier inventou os logaritmos. O uso de logaritmos e o 
ponto decimal, a inclusão do conceito de aritmética dos números irracionais como uma 
sequência de aproximações racionais ampliou o âmbito da aritmética até o final do século 
XVII e identificou a importância fundamental dessa ciência para o estudo das variáveis 
contínuas.[7] 
No século XVIII continuou-se a trabalhar com decimais, em particular com os decimais 
infinitos e periódicos. O fato de qualquer fração periódica ser um número racional, e que 
qualquer fração irredutível contendo o denominador diferente dos dois e cinco fatores 
primos pode ser expandida numa periódica, foi demonstrado na metade meio do século 
XVIII por Lambert. No trabalho de “Pesquisa aritmética” de Gauss utilizando a teoria de 
“resíduos de potência”, foram apresentadas propriedades mais profundas de frações 
periódicas. No entanto, os livros didáticos da época que passam decimais afetadas não o 
mencionam. Frações contínuas foram estudadas por Euler, que primeiro introduziu as 
técnicas de transformação de infinitas frações contínuas em séries infinitas, e, em seguida, 
dedicou um capítulo inteiro no primeiro volume de sua "Introdução à Análise do Infinito", 
em 1748. A Euler pertence a prova de que cada número racional pode ser representado 
como uma fração contínua finita, e que uma fração periódica continua com unidades no 
numerador representa a raiz da equação quadrática. O reverso foi comprovado 
por Lagrange em 1768.[98] No século XVIII com Euler e seus discípulos a aritmética toma 
formas modernas.[7] 
Albert Girard e Descartes interpretaram os números negativos geometricamente na 
direção oposta do segmento. Apesar do fato de Descartes apresentar raízes negativos de 
equações, juntamente com as raízes reais positivas (em oposição a imaginária), algumas 
propriedades de números negativos por longo tempo permaneceram obscuras.[99] Em 1° de 
setembro de 1742, Euler em uma carta a Nicholas Bernoulli primeiro avançou a alegação 
de que as raízes de todas as equações algébricas são da forma . Em 1747, em 
"Reflexões sobre a causa comum de ventos" D'Alembert mostrou que . No "Estudo 
sobre as raízes imaginárias" de Euler, no entanto, um número imaginário é definido como 
aquele que "não superior a zero ou inferior a zero ou igual a zero", e "algo impossível." Ele 
prova o teorema que cada soma imaginária forma um número real e o produto de um 
número real de . O problema foi resolvido pelas funções individuais, a gama de 
operações em números imaginários não foi delineada. Além disso, houve problemas com a 
interpretação geométrica de números imaginários.[100] A primeira tentativa foi feita por 
Wallis, que acreditava que o número imaginário de segmentos, perpendicular ao real [99] e 
foi o trabalho de Heinrich Kühn em 1753, em que considerava um lado número imaginário 
da área com uma área de negativo.[100] Wallis conseguiu desenvolver, isoladamente, mas 
simultaneamente com Wessel e Argand na virada do séculos XVIII-XIX.[99] 
Criação e desenvolvimento da teoria dos números 
Na década de 30 do século XVII a teoria dos números era colocada por Fermat como uma 
área não separada da aritmética, e sua opinião era de que apenas seria um pouco afetada 
por Euclides e, possivelmente, por Diofanto. Trabalhos de Fermat eram engajados na 
solução de equações diofantinas e da divisibilidade de números inteiros. Ele fez uma série 
de afirmações sem demonstrações, nomeadamente no pequeno teorema e no 
chamado último teorema de Fermat.[101][102] Fermat não tem nenhum trabalho especial sobre 
a teoria dos números, e apresentam-se apenas em notas em correspondência, bem como 
comentários à "Arimética” de Diofanto.[103] 
Só depois de 70 anos Fermat atraiu a atenção de Euler, que estudou a teoria dos números 
por várias décadas.[103] A ela é dedicada quatro volumes e meio da série de 30 volumes de 
Euler sobre Matemática.[104] Euler estudou a generalização do pequeno teorema de Fermat, 
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e a demonstração do último teorema de Fermat para o caso . Euler foi o primeiro a ter 
aplicado a problemas da teoria dos números outros ramos da matemática, especialmente 
a análise matemática pelo Teorema de Euler na Teoria dos Números (Teorema do 
Tociente). Formulou um método de funções geradoras, a identidade de Euler, bem como 
problemas associados com a adição de números primos.[105] 
Acredita-se que, após o trabalho de teoria dos números de Euler, a teoria dos números 
tornou-se uma ciência separada.[106] 
Estudo dos problemas aritméticos 
Giuseppe Peano 
A partir das obras de geometria de Lobachevsky desencadeou-se um processo associado 
de revisão crítica dos fundamentos da matemática, que aconteceu no século XIX. Mesmo 
no século XVIII, foram feitas tentativas para dar uma justificativa teórica do número de 
vários pontos de vista. No começo isso era apenas a aritmética dos números naturais, que 
são usados para uma variedade de axiomas e definições que são muitas vezes excessivas 
e insuficientes, enquanto em grande parte emprestadas dos "Os Elementos" de Euclides. 
É também o caso com as leis básicas da aritmética: leis comutativa e associativa para 
adição e multiplicação mencionados muitas vezes, a lei distributiva para a multiplicação em 
relação à adição - menos e todas as cinco leis - são extremamente raras. Leibniz primeiro 
definiu a tarefa de construção dedutiva da aritmética e, em particular, havia mostrado a 
necessidade de provar a igualdade "dois mais dois é igual a quatro" em seu "Novo Ensaio 
sobre o Entendimento Humano" em 1705. Na tentativa de resolver este problema e seus 
axiomas foi apresentada por Wolf em 1770, Schultz em 1790, Ohm em 
1822, Grassmann em 1861 e, finalmente, Peano em 1889.[107] 
A complexidade das afirmações das principais divisões da aritmética contrasta com a 
simplicidade de suas posições iniciais. Apenas no meio do século XIX Grassmann 
escolheu um sistema de axiomas básicos que definem adição e multiplicação. O sistema 
permite que você visualize as disposições restantes da aritmética como uma consequência 
lógica dos axiomas. Com base nos axiomas foram provadas as propriedades comutativa, 
associativa e as leis distributivas de adição e multiplicação, o conceito de frações como 
pares de números inteiros com certas leis e comparações. O trabalho de Grassmann 
continuou o dos axiomas de Peano.[7] Houve outras tentativas para se aproximar de uma 
fundamentação teórica completa da aritmética dos números naturais, em especial o 
trabalho de Hilbert, enquanto não surgia em 1932 a demonstração dos teoremas de 
incompletude de Gödel.[107] 
Da mesma forma, tem havido tentativas de dar uma justificativa teórica das frações 
racionais, para a qual havia dois conceitos: A parte igual da unidade ou a razão de dois 
valores homogêneos.[107] Para funções racionais necessários para provar a lealdade para 
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com as igualdades e ( — número natural), que foram usadas em adição, 
subtração e redução de frações. As igualdades eram triviais na teoria das relações, mas 
não são claras, independentemente da sua concepção. No entanto, elas apenas eram 
“sentidas como verdade”.[108] A aritmética das frações foi justificada por J. Tannery em 
1894, em sua fração modelo apresentando pares de números inteiros.[100] 
Em 1758, na "Primeira fundação da aritmética, geometria, trigonometria esférica e plana e 
perspectivas", Kästner pediu o apoio de todos os conceitos de aritmética através de um 
número inteiro. Assim, determina-se no livro números inteiros, frações, números negativos, 
decimais, números irracionais, e só então a teoria das relações. Operações em números 
irracionais começaram a ser exploradas explorar, com base na sua aproximação por 
frações racionais. Ao mesmo tempo, a existência de números irracionais foi feita 
antecipadamente, e eles foram tratados como fora da sequência de números racionais. 
Para uma definição de números irracionais utilizados por Newton como a razão de valores 
incomensuráveis (tal definição foi dada por Euler). Da mesma forma tratados os números 
irracionais por P. Rakhmanov na "Nova teoria da detenção e proporções geométricas 
quantidades proporcionais e incomensuráveis, e, neste último caso com base na teoria de 
limites." E apenas na segunda metade do século XIX, existe uma teoria rigorosa 
dos números reais formulada por Méray, Cantor, Dedekind e Weierstrass.[108] 
Na teoria da formação dos números negativos, o principal problema foi a afirmação de que 
o número negativo é menor que zero, então não é menos do que nada. Na definição estrita 
de números negativos faltava, embora tenha havido tentativas de formular regras de sinais 
("menos vezes mais dá um sinal de menos" e "menos vezes menos dá mais"). O 
matemático francês Carnot escreveu em 1813: "A Metafísica de regras assinala um estudo 
mais profundo mostrando que é talvez mais difícil do que a metafísica de quantidades 
infinitesimais; normalmente, isso nunca foi provado de forma totalmente satisfatória e, 
aparentemente, ela não pode mesmo ser demonstrada de forma satisfatória". As primeiras 
tentativas para formular uma teoria de números negativos foram feitas no meio do século 
XIX e pertencem a Hamilton e Grassmann. 
A interpretação geométrica dos números complexos foi proposta por Caspar Wessel na 
"Experiência da representação analítica de tendências e suas aplicações, principalmente 
para a solução plana e polígonos esféricos" em 1799. Wessel quis trabalhar com a direção 
do segmento no plano, com a ajuda de operações algébricas, mas os números reais só 
permitem mudar na direção oposta, mas não especificar uma direção arbitrária. [109] Wessel 
utilizou unidades básicas , , , e, usando a regra da multiplicação, 
concluiu que . O trabalho