SE 2019 - Aula 18 - Progressão Aritmética

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Curso Sala de Ensino 
Estrada Francisco da Cruz Nunes, 6501, Shopping Itaipu Multicenter – sala 311 
Telefone: 3587-8376 
 
 
 
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Aluno: Data: __/__/_____ 
/___/__ 
Profº. Carlos Henrique(Bochecha) – Aula 18 – Progressão Aritmética 
 
Progressão Aritmética (P.A.) – é toda sequência numérica em que cada 
termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo precedente (anterior) com 
uma constante r. O número r é chamado de “razão da progressão aritmética”. 
 
Exemplos: 
 
a) (4, 7, 10, 13, 16, 19) é uma P.A. finita e crescente (r = 3 > 0). 
 
b) (10, 8, 6, 4, 2, 0, -2, ...) é uma P.A. infinita e decrescente (r = -2 < 0). 
 
c) (5, 5, 5, 5, 5, ...) é uma P.A. infinita e constante (r = 0). 
 
Cálculo da razão de uma progressão aritmética 
 
 A razão r de uma P.A. ( )...,,, 321 aaa é dada por: 
.,, *1 INnnaar nn −= + 
 
Exemplos: 
 
a) Calcular a razão da P.A. *)( INnna  , sabendo .2
1
3
1
87 == aea 
 
 
 
 
b) Verificar se a sequência ( ) *INnna  tal que 83 += nan é ou não 
P.A. 
 
 
 
 
 
 
Teorema 
( )1 2 3 1
*
, , , ... ( tan ),
, , . .
n nSe a a a é tal que a a r r cons te
n n IN então a sequência é P A
+ − =
 
 
Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética 
 
 Numa P.A. ( ),...,...,,, 321 naaaa de razão r tem-se: 
.,,).1( *1 INnnrnaan −+= 
Essa sentença é chamada de fórmula do termo geral da P.A. 
 
Exemplos: 
 
a) Determinar o 61º termo da P.A. (9, 13, 17, 21,...). 
 
 
 
 
 
b) Determinar a razão da P.A. em que .32 81 == aea 
 
 
 
 
c) Determinar o número de termos da P.A. (4, 7, 10, ... ,136). 
 
 
 
 
 
 
d) Determinar a razão da P.A. ( )
*INnn
a

 tal que 1241 =+ aa e 
1853 =+ aa . 
 
 
 
 
 
 
 
Interpolação aritmética 
 
Interpolar (ou inserir) k meios aritméticos entre dois números a e b, nessa 
ordem, significa determinar a P.A. de k + 2 termos, em que a representa o 
primeiro termo e b o último. 
Exemplo: Interpolar cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem. 
 
 
 
 
 
Propriedades de uma P.A. 
 
1. Numa P.A. finita a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual 
à soma dos extremos. 
 
 
2. A sequência (a, b, c) é P.A. se, e somente se, o termo médio é igual à 
média aritmética entre a e c, isto é: 
2
ca
b
+
= . 
 
3. Numa P.A. com número ímpar de termos, o termo médio é igual à média 
aritmética entre os extremos. 
 
 
 
Representação genérica de uma P.A. 
 
É de grande utilidade, para a resolução de certos problemas, sabermos 
representar genericamente uma P.A.. Como exemplos: 
 
* P.A. de três termos: 
(x, x + r, x + 2r) ou (x – r, x, x + r), em que a razão é r. 
 
Exemplo: Determinar a P.A. crescente de três termos, sabendo que a soma 
desses termos é 3 e que o produto deles é -8. 
 
 
 
 
 
 
Soma dos n primeiros termos de uma P.A. 
 
A soma nS dos n primeiros termos da P.A. ( )...,...,,,, 321 naaaa é 
dada por: 
 
( )
2
1 naaS nn
+
= 
Exemplos: 
 
a) Calcular a soma dos trinta primeiros termos da P.A. (4, 9, 14, 19, ...). 
 
 
 
 
b) Calcular a soma dos termos da P.A. finita (5, 8, 11, ..., 122). 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
 
 
1. (Upf 2019) De uma progressão aritmética na de razão r, sabe-se que 
8a 16= e 14a 4.= Seja nS a soma dos n primeiros termos de na , o 
menor valor de n, de modo que nS 220,= é 
a) 12 b) 11 c) 14 d) 16 e) 18 
 
2. (Uerj 2018) A sequência n(a ) é definida do seguinte modo: 
 
1
n 1 n
a 5
a a 3+
=
= +
 
 
Determine a média aritmética dos 51 primeiros termos dessa sequência. 
 
3. (Espm 2018) O vigésimo termo da PA (x, 3 x, 2x 1, )+ + é igual a: 
a) 56 b) 62 c) 69 d) 74 e) 81 
 
4. (Enem 2018) A prefeitura de um pequeno município do interior decide 
colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia 
em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça já 
possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça, o 
segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim 
sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de vinte metros entre os 
postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1.380 
metros da praça. 
 
Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$ 8.000,00 por poste colocado, 
o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes é 
a) R$ 512.000,00. b) R$ 520.000,00. c) R$ 528.000,00. 
d) R$ 552.000,00. e) R$ 584.000,00. 
 
5. (Unesp 2018) A figura mostra cinco retângulos justapostos de uma 
sequência. Todos os retângulos possuem mesma altura, igual a 1cm. 
 
 
Sabendo que 
21m equivale a 210.000 cm e que a sequência é 
constituída por 100 retângulos, a figura formada tem área igual a 
a) 
22,5 m . b) 24 m . c) 25 m . d) 22 m . e) 24,5 m . 
 
6. (Fgv 2018) Os termos de uma sequência são definidos recursivamente por 
1
n n 1
a 5
a 2 a −
=

= +
 para todo n , n 2. Sendo assim, a soma dos n 
primeiros termos dessa sequência será dada pela expressão 
 
a) 7n 2.− b) 23,5n 3,5n 5.− + c) 2n 17n 60.− + 
d) 
2n 4n.+ e) 2n 3.+ 
 
7. (Uerj simulado 2018) Um leão avista uma presa a 38 metros. No instante 
em que o leão inicia a perseguição, a presa inicia a fuga. Na mesma linha reta 
e no mesmo sentido, ambos percorrem as seguintes distâncias, em metros: 
 
 1º segundo 2º segundo 3º segundo 4º segundo 
Leão 2,0 2,3 2,6 2,9 
Presa 2,0 2,1 2,2 2,3 
 
Admitindo que o padrão de aumento das distâncias percorridas a cada 
segundo não se altera e desprezando as dimensões dos dois animais, o leão 
alcança a presa em n segundos. 
 
O valor de n é igual a: 
a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 
 
8. (Pucrj 2018) Sabendo que os números da sequência (y, 7, z,15) estão 
em progressão aritmética, quanto vale a soma y z?+ 
a) 20 b) 14 c) 7 d) 3,5 e) 2 
 
9. (Upe-ssa 2 2017) As medidas dos lados AB, BC e CA de um 
triângulo ABC formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. 
 
 
 
Qual é a medida do perímetro desse triângulo? 
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 
 
10. (Pucrj 2017) Os termos da soma S 4 6 8 96= + + + + estão em 
progressão aritmética. 
 
Assinale o valor de S. 
a) 2.000 
b) 2.150 
c) 2.300 
d) 2.350 
e) 2.400 
 
11. (Ufrgs 2017) Quadrados iguais de lado 1 são justapostos, segundo 
padrão representado nas figuras das etapas abaixo. 
 
 
 
Mantido esse padrão de construção, o número de quadrados de lado 1, 
existentes na figura da etapa 100, é 
a) 1.331. b) 3.050. c) 5.050. d) 5.100. e) 5.151. 
 
12. (Pucrj 2017) Os números 10, x, y, z, 70 estão em progressão 
aritmética (nesta ordem). Quanto vale a soma x y z?+ + 
a) 80 b) 90 c) 100 d) 110 e) 120 
 
13. (Enem (Libras) 2017) A figura ilustra uma sequência de formas 
geométricas formadas por palitos, segundo uma certa regra. 
 
 
 
Continuando a sequência, segundo essa mesma regra, quantos palitos serão 
necessários para construir o décimo termo da sequência? 
a) 30 b) 39 c) 40 d) 43 e) 57 
 
 
 
 3 
 
 
 
 
 
14. (Fgv 2017) Na tabela de 8 colunas e infinitas linhas numeradas, indicada 
na figura, podemos formar infinitos quadrados coloridos 3 3, como mostra 
um exemplo. 
 
Nessa tabela, o quadrado colorido 3 3 cuja soma dos 9 elementos é igual 
a 4.806 ocupa três linhas, sendo uma delas a linha 
a) 71. b) 67. c) 53. d) 49. e) 41. 
 
15. (Uece 2017) As medidas, em metro, dos comprimentos dos lados de um 
triângulo formam uma progressão aritmética cuja razão é igual a 1. Se a 
medida de um dos ângulos internos deste triângulo é 120 , então, seu 
perímetro é 
a) 5,5.b) 6,5. c) 7,5. d) 8,5. 
 
16. (Uerj 2017) Considere a matriz n 9A  de nove colunas com números 
inteiros consecutivos, escrita a seguir. 
 
n 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18
A 19 20 21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31 32 33 34 35 36

 
 
 
 =
 
 
 
 
 
 
Se o número 18.109 é um elemento da última linha, linha de ordem n, o 
número de linhas dessa matriz é: 
a) 2.011 b) 2.012 c) 2.013 d) 2.014 
 
17. (Unesp 2017) A figura indica o empilhamento de três cadeiras idênticas e 
perfeitamente encaixadas umas nas outras, sendo h a altura da pilha em 
relação ao chão. 
 
A altura, em relação ao chão, de uma pilha de n cadeiras perfeitamente 
encaixadas umas nas outras, será igual a 1,4 m se n for igual a 
a) 14. b) 17. c) 13. d) 15. e) 18. 
 
18. (Uerj 2017) Um fisioterapeuta elaborou o seguinte plano de treinos diários 
para o condicionamento de um maratonista que se recupera de uma contusão: 
 
- primeiro dia – corrida de 6 km; 
- dias subsequentes - acréscimo de 2 km à corrida de cada dia 
imediatamente anterior. 
 
O último dia de treino será aquele em que o atleta correr 42 km. 
O total percorrido pelo atleta nesse treinamento, do primeiro ao último dia, em 
quilômetros, corresponde a: 
a) 414 b) 438 c) 456 d) 484 
 
19. (Fgv 2016) Uma progressão aritmética (PA) é constituída de 15 números 
inteiros com razão igual a 2. Sabendo que a média aritmética dos quinze 
números é 46, podemos concluir que o maior deles é 
a) 60 b) 63 c) 62 d) 64 e) 61 
 
 
20. (Enem 2016) Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro 
trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte 
hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois 
andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7,10, e assim 
sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus 
trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras 
informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao 
longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados 
reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro. 
 
Qual é o número de andares desse edifício? 
a) 40 b) 60 c) 100 d) 115 e) 120 
 
 
21. (Pucrj 2016) Seja a sequência 1
1
x ,
1
= 2
1 1
x ,
2 2
+
=
+
 
3
1 1 1
x ,
3 3 3
+ +
=
+ +
 4
1 1 1 1
x , .
4 4 4 4
+ + +
=
+ + +
 
 
Tem-se que nx é igual a: 
a) 
1
n
 b) 
2
1
n
 c) 1 d) 
1
n log(n)
 e) 
1
2
 
 
 
22. (Enem 2ª aplicação 2016) Com o objetivo de trabalhar a concentração e a 
sincronia de movimentos dos alunos de uma de suas turmas, um professor de 
educação física dividiu essa turma em três grupos (A, B e C) e estipulou a 
seguinte atividade: os alunos do grupo A deveriam bater palmas a cada 
2 s, os alunos do grupo B deveriam bater palmas a cada 3 s e os alunos 
do grupo C deveriam bater palmas a cada 4 s. 
O professor zerou o cronômetro e os três grupos começaram a bater palmas 
quando ele registrou 1s. Os movimentos prosseguiram até o cronômetro 
registrar 60 s. 
Um estagiário anotou no papel a sequência formada pelos instantes em que 
os três grupos bateram palmas simultaneamente. 
 
Qual é o termo geral da sequência anotada? 
 
a) 12 n, com n um número natural, tal que 1 n 5.  
b) 24 n, com n um número natural, tal que 1 n 2.  
c) 12 (n 1),− com n um número natural, tal que 1 n 6.  
d) 12 (n 1) 1,− + com n um número natural, tal que 1 n 5.  
e) 24 (n 1) 1,− + com n um número natural, tal que 1 n 3.  
 
23. (Pucrj 2016) Considere a PA: 0 1 na 1, a 3, , a 2n 1,= = = − 
 
Quanto vale a soma: 
 
0 1 8 9a a a a ?+ + + + 
 
a) 9 b) 10 c) 19 d) 81 e) 100 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
 
 
24. (Puccamp 2016) Um jogo de boliche é jogado com 10 pinos dispostos 
em quatro linhas, como mostra a figura abaixo. 
 
Se fosse inventado um outro jogo, semelhante ao boliche, no qual houvesse 
um número maior de pinos, dispostos da mesma forma, e ao todo com 50 
linhas, o número de pinos necessários seria igual a 
a) 1.125. b) 2.525. c) 2.550. d) 1.625. e) 1.275. 
 
25. (Uerj 2016) Admita a seguinte sequência numérica para o número natural 
n : 
1
1
a
3
= e n n 1a a 3−= + 
Sendo 2 n 10,  os dez elementos dessa sequência, em que 1
1
a
3
= e 
10
82
a ,
3
= são: 
6 7 8 9
1 10 19 28 37 82
, , , , , a , a , a , a ,
3 3 3 3 3 3
 
 
 
 
A média aritmética dos quatro últimos elementos da sequência é igual a: 
a) 
238
12
 b) 
137
6
 c) 
219
4
 d) 
657
9
 
 
26. (Espm 2016) Dada a função f(x) 2x 1,= + sabe-se que 
nf(0) f(1) f(2) f(99) a 10 .+ + + + =  Os valores de a e n podem 
ser, respectivamente: 
a) 2 e 3 b) 1 e 5 c) 2 e 4 d) 1 e 4 e) 3 e 4 
 
27. (Enem 2ª aplicação 2016) Em um trabalho escolar, João foi convidado a 
calcular as áreas de vários quadrados diferentes, dispostos em sequência, da 
esquerda para a direita, como mostra a figura. 
 
 
O primeiro quadrado da sequência tem lado medindo 1cm, o segundo 
quadrado tem lado medindo 2 cm, o terceiro 3 cm e assim por diante. O 
objetivo do trabalho é identificar em quanto a área de cada quadrado da 
sequência excede a área do quadrado anterior. A área do quadrado que 
ocupa a posição n, na sequência, foi representada por nA . 
Para n 2, o valor da diferença n n 1A A ,−− em centímetro quadrado, é 
igual a 
a) 2n 1− b) 2n 1+ c) 2n 1− + d) 2(n 1)− e) 2n 1− 
 
28. (Pucrj 2015) Os números 1a 5x 5,= − 2a x 14= + e 
3a 6x 3= − estão em PA. 
A soma dos 3 números é igual a: 
 
a) 48 b) 54 c) 72 d) 125 e) 130 
 
29. (Pucrj 2015) a) Quantos múltiplos de 13 há entre 100 e 200? 
 
b) Quantos múltiplos de 17 há entre 1000 e 2000? 
 30. (Uerj 2015) 
 
Na situação apresentada nos quadrinhos, as distâncias, em quilômetros, dAB, 
dBC e dCD formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. 
O vigésimo termo dessa progressão corresponde a: 
a) −50 b) −40 c) −30 d) −20 
 
31. (Pucrj 2015) A soma dos números inteiros compreendidos entre 100 e 
400, que possuem o algarismo das unidades igual a 4, é: 
a) 1200 b) 2560 c) 4980 d) 6420 e) 7470 
 
32. (Uerj 2014) Admita a realização de um campeonato de futebol no qual as 
advertências recebidas pelos atletas são representadas apenas por cartões 
amarelos. Esses cartões são convertidos em multas, de acordo com os 
seguintes critérios: 
 
- os dois primeiros cartões recebidos não geram multas; 
- o terceiro cartão gera multa de R$ 500,00; 
- os cartões seguintes geram multas cujos valores são sempre acrescidos de 
R$ 500,00 em relação ao valor da multa anterior. 
 
Na tabela, indicam-se as multas relacionadas aos cinco primeiros cartões 
aplicados a um atleta. 
 
Cartão amarelo 
recebido 
Valor da multa (R$) 
1º – 
2º – 
3º 500 
4º 1.000 
5º 1.500 
 
Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos durante o 
campeonato. 
O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses cartões equivale 
a: 
a) 30.000 b) 33.000 c) 36.000 d) 39.000 
 
33. (Uerj 2014) Uma farmácia recebeu 15 frascos de um remédio. De 
acordo com os rótulos, cada frasco contém 200 comprimidos, e cada 
comprimido tem massa igual a 20mg. 
Admita que um dos frascos contenha a quantidade indicada de comprimidos, 
mas que cada um destes comprimidos tenha 30mg. Para identificar esse 
frasco, cujo rótulo está errado, são utilizados os seguintes procedimentos: 
 
- numeram-se os frascos de 1 a 15; 
- retira-se de cada frasco a quantidade de comprimidos correspondente à sua 
numeração; 
- verifica-se, usando uma balança, que a massa total dos comprimidos 
retirados é igual a 2540mg. 
 
A numeração do frasco que contém os comprimidos maispesados é: 
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 
 
 
 
 
 5 
 
 
 
 
 
34. (Pucrj 2014) A soma de todos os números naturais pares de três 
algarismos é: 
a) 244888 b) 100000 c) 247050 d) 204040 e) 204000 
 
35. (Uerj 2013) Na figura, está representada uma torre de quatro andares 
construída com cubos congruentes empilhados, sendo sua base formada por 
dez cubos. 
 
Calcule o número de cubos que formam a base de outra torre, com 100 
andares, construída com cubos iguais e procedimento idêntico. 
 
36. (Pucrj 2013) Se a soma dos quatro primeiros termos de uma progressão 
aritmética é 42, e a razão é 5, então o primeiro termo é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
37. (Enem 2013) As projeções para a produção de arroz no período de 2012–
2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva 
de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a 
quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos 
desse período, de acordo com essa projeção. 
 
Ano Projeção da produção (t) 
2012 50,25 
2013 51,50 
2014 52,75 
2015 54,00 
 
A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no 
período de 2012 a 2021 será de 
a) 497,25. b) 500,85. c) 502,87. d) 558,75. e) 563,25. 
 
38. (Fgvrj 2012) Um triângulo ABC isósceles tem os lados AB e AC 
congruentes. As medidas da projeção ortogonal do lado AC sobre a base 
BC , da altura relativa à base e a do lado AC formam, nessa ordem, uma 
progressão aritmética. Se o perímetro do triângulo ABC for 32, a medida do 
lado AC será igual a: 
a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 12 
 
39. (Uerj) Maurren Maggi foi a primeira brasileira a ganhar uma medalha 
olímpica de ouro na modalidade salto em distância. Em um treino, no qual 
saltou n vezes, a atleta obteve o seguinte desempenho: 
 
- todos os saltos de ordem ímpar foram válidos e os de ordem par inválidos; 
- o primeiro salto atingiu a marca de 7,04 m, o terceiro a marca de 7,07 m, e 
assim sucessivamente cada salto válido aumentou sua medida em 3 cm; 
- o último salto foi de ordem ímpar e atingiu a marca de 7,22 m. 
Calcule o valor de n. 
40. (Pucrj) Numa progressão aritmética de razão r e primeiro termo 3, a soma 
dos primeiros n termos é 3n2, logo, a razão é: 
a) 2 b) 3 c) 6 d) 7 e) 9 
 
41. (Uerj) Moedas idênticas de 10 centavos de real foram arrumadas sobre 
uma mesa, obedecendo à disposição apresentada no desenho: uma moeda 
no centro e as demais formando camadas tangentes. 
 
Considerando que a última camada é composta por 84 moedas, calcule a 
quantia, em reais, do total de moedas usadas nessa arrumação. 
 
42. (Uerj) 
 
A figura acima apresenta 25 retângulos. Observe que quatro desses 
retângulos contêm números e um deles, a letra n. 
Podem ser escritos, em todos os outros retângulos, números inteiros positivos, 
de modo que, em cada linha e em cada coluna, sejam formadas progressões 
aritméticas de cinco termos. 
 
Calcule: 
a) a soma dos elementos da quarta linha da figura; 
 
b) o número que deve ser escrito no lugar de n. 
 
 
43. (Uff) A soma dos n primeiros termos da sequência de números reais a1, 
a2, ..., an, ... é n
2/3, para todo inteiro positivo n. 
 
a) Verifique se a sequência é uma progressão geométrica ou uma progressão 
aritmética ou nenhuma das duas. Justifique sua resposta. 
 
b) Calcule o milésimo termo da sequência. 
 
 
44. (Uerj) Dois corredores vão se preparar para participar de uma maratona. 
Um deles começará correndo 8 km no primeiro dia e aumentará, a cada dia, 
essa distância em 2 km; o outro correrá 17 km no primeiro dia e aumentará, a 
cada dia, essa distância em 1 km. A preparação será encerrada no dia em que 
eles percorrerem, em quilômetros, a mesma distância. 
 
Calcule a soma, em quilômetros, das distâncias que serão percorridas pelos 
dois corredores durante todos os dias do período de preparação. 
 
 
45. (Ufrj) Os números reais a, b, c e d formam, nesta ordem, uma progressão 
aritmética. Calcule o determinante da matriz 
 
Justifique. 
 
46. (Uerj) Observe a tabela de Pitágoras. 
 
Calcule a soma de todos os números desta tabela até a vigésima linha. 
 
47. (Ufrj) Mister MM, o Mágico da Matemática, apresentou-se diante de uma 
plateia com 50 fichas, cada uma contendo um número. Ele pediu a uma 
espectadora que ordenasse as fichas de forma que o número de cada uma, 
excetuando-se a primeira e a última, fosse a média aritmética do número da 
anterior com o da posterior. Mister MM solicitou a seguir à espectadora que 
lhe informasse o valor da décima sexta e da trigésima primeira ficha, obtendo 
como resposta 103 e 58 respectivamente. Para delírio da plateia, Mister MM 
adivinhou então o valor da última ficha. 
 
Determine você também este valor. 
 
 
 
 6 
 
 
 
 
 
48. (Uff) Determine o terceiro termo negativo da sequência 198, 187, 176, ... 
 
 
49. (Ufrj) Num Ka Kay, o oriental famoso por sua inabalável paciência, deseja 
bater o recorde mundial de construção de castelo de cartas. 
Ele vai montar um castelo na forma de um prisma triangular no qual cada par 
de cartas inclinadas que se tocam deve estar apoiado em uma carta 
horizontal, excetuando-se as cartas da base, que estão apoiadas em uma 
mesa. A figura a seguir apresenta um castelo com três níveis. 
 
Num Ka Kay quer construir um castelo com 40 níveis. 
Determine o número de cartas que ele vai utilizar. 
 
50. (Unirio) Um agricultor estava perdendo a sua plantação, em virtude da 
ação de uma praga. Ao consultar um especialista, foi orientado para que 
pulverizasse, uma vez ao dia, uma determinada quantidade de um certo 
produto, todos os dias, da seguinte maneira: 
 
primeiro dia: 1,0 litro; 
segundo dia: 1,2 litros; 
terceiro dia: 1,4 litros; 
... e assim sucessivamente. 
 
Sabendo-se que o total de produto pulverizado foi de 63 litros, o número de 
dias de duração deste tratamento nesta plantação foi de: 
a) 21 b) 22 c) 25 d) 27 e) 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
1: [B] 2: 80 3: [B] 4: [C] 5: [D] 6: [D] 7: [C] 8: [B] 9: [A] 10: [D] 11: [E] 
 
12: [E] 13: [B] 14: [B] 15: [C] 16: [C] 17: [B] 18: [C] 19: [A] 20: [D] 
 
21: [A] 22: [D] 23: [E] 24: [E] 25: [B] 26: [D] 27: [A] 28: [B] 
 
29: a) 8 múltiplos de 13 entre 100 e 200. 
 
 b) 59 múltiplos de 17 entre 1000 e 2000. 
 
 
30: [A] 31: [E] 32: [B] 33: [C] 34: [C] 35: 5050 36: [C] 37: [D] 38: [A] 
 
39: n = 13 40: [C] 41: R$ 63,10 42: a) 375. b) n = 105 
 
43: a) Seja Sn a soma dos n primeiros termos da sequência. Temos: 
 an = Sn - Sn-1 = (n
2/3) - [(n - 1)2/3] = 
 
 = (2n - 1)/3. 
Logo 
 an = (2n - 1)/3 e an-1 = (2n - 3)/3, ∀ n ∈ Z+. 
 E como 
 an - an-1 = (2n - 1)/3 - (2n - 3)/3 = 2/3, 
 
podemos concluir que a sequência é uma progressão aritmética de razão 2/3. 
 
b) a1000 = 1999/3 
 
44: 385 km 45: detA = 0. 46: 2520 47: x50 = 1 
 
48: O 3o termo negativo é o A22 = -33 49: 2420 cartas 50: [A] 
 
 
 
 
 7 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [B] 
 
Calculando: 
( )
( ) ( ) ( )
8 1
14 1
1 1
n
n 2
n
2
2
a a 7r 16
a a 13r 4
6r 12 r 2
a 14 16 a 30
a 30 2 n 1 31 2n
30 a n 30 32 2n n 62 2n n
S 220 220 220 62n 2n 440 0
2 2 2
n 31n 220 0
31 4 ( 1) ( 220) 81
n 20
31 81
n ou
2 ( 1)
n 11
= + =

= + =
= − → = −
− =  =
= −  − = −
+  + −  − 
= = → = → = → − − =
− + − =
 = −  −  − =
=
− 
= =
 −
=
 
 
Assim, o menor valor de n será igual a 11. 
 
 
Resposta da questão 2: 
 Como se trata de uma PA de razão 3, então a média de seus termos será 
igual a soma do primeiro e do último divididos por 2. Calculando: 
( )
1
51
a 5
a 5 51 1 3 155
5 155 160
Média 80
2 2
=
= + −  =
+
= = =
 
 
 
Resposta da questão 3: [B] 
 
Da PA ()x, x 3, 2x 1, ... ,+ + temos: 
( )2 3 x x 2x 1
6 2x 3x 1
x 5
 + = + +
+ = +
=
 
 
Assim, temos: 
PA (5, 8,11, ); razão: r 3.= 
20
20
a 5 19 3
a 62
= + 
=
 
 
 
Resposta da questão 4: [C] 
 
As distâncias dos postes até a praça constituem uma progressão aritmética de 
primeiro termo 80 e razão 20. Desse modo, o número, n, de postes é 
dado por 
1300
1380 80 (n 1) 20 n 1
20
n 66.
= + −   = +
 =
 
 
A resposta é 66 8000 R$ 528.000,00. = 
 
 
Resposta da questão 5: [D] 
 
As áreas dos retângulos constituem a sequência (2, 6,10,14, ), ou seja, 
uma progressão aritmética de primeiro termo 2 e razão igual a 4. Por 
conseguinte, a resposta é 
 
2 22 2 99 4 100 20000cm 2 m .
2
 +  
 = = 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 6: [D] 
 
Calculando: 
( )
( ) ( )
1
n n 1
5
2
2
a 5
a 2 a
r 2
a 5 n 1 2 2n 3
5 2n 3 n 2n 8 n 2n 8n
S n 4n
2 2 2
−
=

= +
=
= + −  = +
+ +  +  +
= = = = +
 
 
Resposta da questão 7: [C] 
 
A diferença entre os espaços percorridos pelo leão e pela presa, a cada 
segundo, aumenta segundo uma progressão aritmética de primeiro termo 0 e 
razão 0,2. Portanto, sendo n um inteiro positivo, temos 
− 
 =   − =  =
(n 1) 0,2
n 38 n (n 1) 380 n 20.
2
 
 
Resposta da questão 8: [B] 
 
Considerando a sequência como uma progressão aritmética, temos: 
14zy7
2
zy
=+=
+
 
 
Resposta da questão 9: [A] 
 
(2x, x 1, 3x)+ é uma P.A., então: 
2x 3x 2
x 1 2x 2 5x 3x 3 x
2 3
+
+ =  + =  =  = 
Portanto, o perímetro P será dado por: 
P 2x x 1 3x 6x 1
2
P 6 1
3
P 5
= + + + = +
=  +
=
 
 
Resposta da questão 10: [D] 
 
Da PA ( )4,6,8,...,96 , temos: 
( )
( )
( )
96 4 n 1 2
96 4 2 n 1
92 2 n 1
92
n 1
2
46 n 1
n 47
= + − 
− =  −
=  −
= −
= −
=
 
 
Assim, 
( )4 96 47
S
2
S 2350
+ 
=
=
 
 
Resposta da questão 11: [E] 
 
Na etapa 1 temos: (1 2)+ quadrados. 
Na etapa 2 temos: (1 2 3)+ + quadrados. 
Na etapa 3 temos: (1 2 3 4)+ + + quadrados. 
 
Na etapa 100 temos: 
(1 101) 101
1 2 3 4 100 101 5.151
2
+ 
+ + + + + + = = quadrados. 
 
 
 
 
 
 8 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 12: [E] 
 
Calculando: 
1
5 1
PA 10, x, y, z, 70
a 10
a a 4r 70 10 4r 70 r 15
x 10 r 25
y x r 40 x y z 120
z y r 55
=
=
= + =  + =  =
= + =
= + = = + + =
= + =
 
 
Resposta da questão 13: [B] 
 
O número de palitos em cada figura constitui uma progressão aritmética de 
primeiro termo 3 e razão 4. Portanto, o décimo termo da sequência possui 
3 9 4 39+  = palitos. 
 
Resposta da questão 14: [B] 
 
Seja o quadrado colorido 
k k 1 k 2
k 8 k 9 k 10 ,
k 16 k 17 k 18
+ +
+ + +
+ + +
 
com k . Logo, sabendo que a soma dos nove elementos desse 
quadrado é igual a 4.806, temos 
3k 24 3k 27 3k 30 4806 9k 81 4806
k 525.
+ + + + + =  + =
 =
 
Portanto, escrevendo 525 como 
525 8 65 5
8 65 8 8 3
8 66 5,
=  +
=  + − +
=  −
 
e observando que todo elemento da coluna 3 é da forma 8n 5,− com n 
sendo o número da linha a que pertence tal elemento, podemos concluir que 
as linhas ocupadas pelo quadrado colorido dado são 66, 67 e 68. 
 
Resposta da questão 15: [C] 
 
Sabemos que o maior lado de um triângulo é oposto ao seu maior ângulo. 
Podemos, então aplicar o teorema dos cossenos no triângulo considerado no 
enunciado: 
 
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
(x 1) x (x 1) 2 x (x 1) cos120
1
x 2x 1 x x 2x 1 2 x (x 1)
2
x 2x 1 x x 2x 1 x x
5
2x 5x 0 x 0 (não convém) ou x
2
+ = + − −   −  
 
+ + = + − + −   −  − 
 
+ + = + − + + −
− =  = =
 
 
Portanto, o perímetro P do triângulo será dado por: 
5
P x x 1 x 1 3x 3 7,5.
2
= + − + + = =  = 
 
Resposta da questão 16: [C] 
 
Tem-se que os elementos de uma mesma coluna estão em progressão 
aritmética de razão 9. Logo, sendo 18109 9 2013 8,=  − podemos 
concluir que tal número está situado na primeira coluna e na linha 
n 2013.= 
 
Resposta da questão 17: [B] 
 
Tem-se que a altura h, em centímetros, de uma pilha de n cadeiras, n 1, 
em relação ao chão, é dada por 
 
h 48 3(n 1) 44 3n 89.= + − + = + 
 
Portanto, se h 140 cm,= então 140 3n 89 n 17.= +  = 
 
Resposta da questão 18: [C] 
 
Sendo a quilometragem percorrida uma PA, pode-se escrever: 
1
n
a 6
a 42
n número de dias
r 2
42 6 (n 1) 2 18 n 1 n 19
(6 42) 19 48 19
S S 456 km
2 2
=
=
=
=
= + −  → = − → =
+  
= = → =
 
 
Resposta da questão 19: [A] 
 
Do enunciado, consideremos a PA abaixo, 
( )1 2 3 15a , a , a , , a 
 
Sem perda de generalidade, consideremos 15a como o maior dos 15 
números. 
Sendo 46 a média aritmética dos quinze números da PA, 
( )
1 2 3 15
1 15
1 15
1 15
a a a ... a
46
15
a a 15 1
46
2 15
a a
46
2
a a 92
+ + + +
=
+ 
= 
+
=
+ =
 
 
Como a PA possui razão igual a 2, 
15 1
15 1
1 15
a a 14 2
a a 28
a a 28
= + 
= +
= −
 
 
Substituindo 1 15a a 28= − na equação 1 15a a 92,+ = 
15 15
15
15
a 28 a 92
2a 120
a 60
− + =
=
=
 
 
Resposta da questão 20: [D] 
 
É fácil ver que os andares 201, 7,13,19, , a , com 20a sendo o último 
andar do edifício, foram aqueles que receberam reparos de João e Pedro. 
Portanto, como tal sequência é uma progressão aritmética de razão 6 e 
primeiro termo 1, temos 20a 1 19 6 115.= +  = 
 
 
 
 
 9 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 21: [A] 
 
Tem-se que 
n
1 1
n
12
x ,
n n n
n
2
+ 
 
 
= =
+ 
 
 
 
para todo n . 
 
Resposta da questão 22: [D] 
 
Os grupos batem palmas simultaneamente a cada mmc(2, 3, 4) 12= 
segundos. Logo, se o primeiro registro corresponde a 1s, então o termo 
geral da sequência anotada é 1 (n 1) 12,+ −  com n sendo um número 
natural e  1 n 5. 
 
Resposta da questão 23: [E] 
 
Calculando: 
( )
0
9
a 1
a 2 10 1 19
1 19 10
S 100
2
=
=  − =
+ 
= =
 
 
Resposta da questão 24: [E] 
 
As quantidades de pinos de boliche em cada linha representam uma 
progressão aritmética de razão 1, escrita abaixo: 
(1, 2, 3, 4, , 48, 49, 50) 
Calculando a soma dos 50 primeiros termos desta P.A., temos: 
( )
50
1 50 50
S 1.275
2
+ 
= = 
 
Resposta da questão 25: [B] 
 
9
8
7
82 9 73
a
3 3 3
73 9 64
a
3 3 3
64 9 55
a
3 3 3
= − =
= − =
= − =
 
 
Portanto, a média aritmética dos 4 últimos termos será dada por: 
82 73 64 55
274 1373 3 3 3M
4 12 6
+ + +
= = = 
 
Resposta da questão 26: [D] 
 
Tem-se que 
n n
n
4 n
f(0) f(1) f(2) f(99) a 10 1 3 5 199 a 10
1 199
100 a 10
2
1 10 a 10
+ + ++ =   + + + + = 
+ 
  =  
 
  = 
 
 
Em consequência, uma possibilidade é a 1= e n 4.= 
 
Resposta da questão 27: [A] 
Desde que 
2
kA k ,= temos 
2 2
n n 1A A n (n 1) 2n 1,−− = − − = − 
para todo n natural, com n 2. 
 
Resposta da questão 28: [B] 
 
Considerando a P.A. na ordem dada, temos: 
P.A. (5x 5, x 14, 6x 3)− + − 
 
Utilizando a propriedade de uma P.A, temos: 
5x 5 6x 3
x 14 2x 28 11x 8 9x 36 x 4
2
− + −
+ =  + = −  − = −  = 
 
Logo, a P.A. será (15, 18, 21). 
Portanto, a soma do três números será: 
1 2 3a a a 15 18 21 54.+ + = + + = 
 
Resposta da questão 29: 
 
 a) Sabemos que 100 13 7 9.=  + 
Portanto, o maior múltiplo de 13 menor que 100 é 91. 
O menor múltiplo de 13 maior que 100 será 91 13 104.+ = 
 
200 15 13 5.=  + 
Portanto, o maior múltiplo de 13 menor que 200 é 200 5 195.− = 
 
Temos então a P.A. (104,117, ,195) dos n múltiplos de 13 que 
estão entre 100 e 200. 
 
Determinando o valor de n, temos: 
195 104 (n 1) 13 15 8 n 1 n 8.= + −   = + −  = 
 
Temos então 8 múltiplos de 13 entre 100 e 200. 
 
b) Procedendo da mesma maneira que no item acima, temos: 
1000 58 17 14
1000 14 986
986 17 1003
=  +
− =
+ =
 
 
2000 117 17 11
2000 11 1989
=  +
− =
 
 
PA. (1003,1020, ,1989) de n termos. 
 
Determinando o valor de n, temos: 
1989 1003 (n 1) 17 117 59 n 1 n 59.= + −   = + −  = 
 
Temos então 59 múltiplos de17 entre 1000 e 2000. 
 
Resposta da questão 30: [A] 
 
 
 
x 10 x x 10 390
3x 390
x 130
+ + + − =
=
=
 
 
A P.A. então será determinada por: (140,130,120, ) 
E seu vigésimo termo será dado por: 
20a 140 19 ( 10) 50.= +  − = − 
 
 
Resposta da questão 31: [E] 
 
O números inteiros compreendidos entre 100 e 400, que possuem o algarismo 
das unidades igual a 4, formam uma P.A de razão 10. 
(104,114,124,134, , 384, 394) 
 
 
 
 10 
 
 
 
 
 
Determinando o número n de termos dessa P.A., temos: 
394 104 (n 1) 10 n 30= + −   = 
Calculando, agora, a soma destes 30 termos, temos: 
( )104 394 30
7470
2
+ 
= 
 
Resposta da questão 32: [B] 
As multas relacionadas formarão uma P.A. de 11 termos e de razão 500 (500, 
1000, 1500, ... , a11). 
 
Onde, a11 = 500 + 10 . 500 = 5500 
 
Calculando a soma dos 11 primeiros termos dessa P.A., temos: 
(500 5500) 11
S 33000
2
+ 
= = 
 
Resposta da questão 33: [C] 
Supondo que todos os comprimidos tivessem massa igual a 20mg, a 
massa total retirada dos frascos seria igual a 
+
 + + + + =  
=
(1 15)
20 (1 2 3 15) 20 15
2
2400mg.
 
Daí, como a diferença entre a massa dos comprimidos é de 
30 20 10mg,− = segue que o número do frasco que contém os 
comprimidos mais pesados é 
2540 2400
14.
10
−
= 
 
Resposta da questão 34: [C] 
 
O resultado pedido corresponde à soma dos termos da progressão aritmética 
(100,102, , 998), ou seja, 
100 998
450 247050.
2
+ 
 = 
 
 
 
Resposta da questão 35: 
 
 O número de cubos que formam a base de uma torre de 100 andares é dado 
por 
1 100
1 2 3 100 100
2
101 50
5050.
+
+ + + + = 
= 
=
 
 
Resposta da questão 36: [C] 
 
Seja (a, a 5, a 10, a 15, )+ + + a progressão aritmética cujo primeiro 
termo (a) queremos calcular. Como 4S 42,= segue que 
 
 4a 30 42 a 3.+ =  = 
 
Resposta da questão 37: [D] 
 
Como 51,50 50,25 52,75 51,50 54 52,75 1,25,− = − = − = 
podemos concluir que a sequência 50,25; 51,50; 52,75; 54,00; é 
uma progressão aritmética de primeiro termo 1a 50,25= e razão 
r 1,25.= Portanto, queremos calcular a soma dos 10 primeiros termos 
dessa progressão aritmética, ou seja, 
 
1
10
2a 9r
S 10
2
2 50,25 9 1,25
10
2
558,75.
+ 
=  
 
 +  
=  
 
=
 
 
Resposta da questão 38: [A] 
 
 
x é a medida dos lados congruentes 
n é a medida da projeção ortogonal do lado AC sobre BC 
h é a medida da altura relativa ao lado BC 
 
( )
2x 2m 32 x m 16 ( 1)
m,h,x é uma P.A. m x 2h ( 2 )
+ =  + =
 + =
 
 
Substituindo ( 2 ) em (1) temos: 
 
2h 16 h 8=  = 
 
No triângulo retângulo da figura, temos: 
( ) ( )2 2 2 2 2x 8 m x m 64 x m x m 64 ( 3 )= +  − =  −  + = 
Substituindo ( 1 ) em ( 3 ), temos: 
( )x m 16 64 x m 4 ( 4 )−  =  − = 
Resolvendo o sistema com ( 1 ) e ( 4 ), temos: 
x m 16
x m 4
x 10 e m 6
+ =

− =
= =
 
 
Portanto, AC = 10. 
 
39: n = 13 40: [C] 41: R$ 63,10 42: a) 375. b) n = 105 
 
Resposta da questão 43: 
 
 a) Seja Sn a soma dos n primeiros termos da sequência. Temos: 
 an = Sn - Sn-1 = (n
2/3) - [(n - 1)2/3] = 
 
 = (2n - 1)/3. 
Logo 
 an = (2n - 1)/3 e an-1 = (2n - 3)/3, ∀ n ∈ Z+. 
 E como 
 an - an-1 = (2n - 1)/3 - (2n - 3)/3 = 2/3, 
 
podemos concluir que a sequência é uma progressão aritmética de razão 2/3. 
 
b) a1000 = 1999/3 
 
Resposta da questão 44: 385 km 
 
Resposta da questão 45: 
 
Como a, b, c, d estão em PA, então, para algum número real n, temos b = a + 
n, c = a + 2n, d = a + 3n. 
Portanto, detA = e2a+3n - e2a+3n = 0. 
 
46: 2520 47: x50 = 1 48: O 3
o termo negativo é -33 49: 2420 cartas 50: [A]