Resoluções de Problemas OBMEP

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OBMEP - Novas Soluções para os Bancos de
Questões e Errata
4
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CONTEÚDO
Banco 2006 7
Banco 2010 9
Banco 2011 11
Banco 2012 13
Banco 2013 15
Banco 2014 17
Banco 2015 21
Banco 2017 23
Banco 2018 29
Banco 2020 31
Errata 33
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BANCO 2006
1 Nível 3, 5a lista, página 80
A figura mostra a marca de uma empresa, formada por dois círculos concêntricos e outros
quatro círculos de mesmo raio, cada um deles tangente a dois dos outros e aos dois círculos
concêntricos. O raio do círculo menor mede 1cm. Qual é, em centímetros, o raio do círculo
maior?
1
Solução Alternativa de Ezequiel Silva Chaves.
Seja r o raio das quatro circunferências iguais. Ligando os centros A, B , C e D dessas circun-
ferências, temos o quadrado ABC D de lado 2r e diagonal 2r
p
2.
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8 OBMEP – Banco de Questões
Daí, obtemos
2r
p
2 = 2+2r
2r
p
2−2r = 2
2r (
p
2−1) = 2
r = 1p
2−1
r = p2+1.
Logo, o raio da circunferência maior é
R = 1+2r
= 1+2(p2+1)
= 1+2p2+2
= 3+2p2
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BANCO 2010
2 Torneio
(Torneio – Questão 27) Sete equipes, divididas em dois grupos, participaram do torneio de
futebol do meu bairro. O Grupo 1 foi formado pelas equipes Avaqui, Botágua e Corinense.
O Grupo 2 foi formado pelas equipes Dinossauros, Esquisitos, Flurinthians e Guaraná. Na
primeira rodada do torneio, cada equipe enfrentou cada uma das equipes do seu grupo exa-
tamente uma vez. Na segunda rodada do torneio, cada equipe enfrentou cada uma das
equipes do outro grupo exatamente uma vez.
a) Quantas partidas foram disputadas na primeira rodada no Grupo 1?
b) Quantas partidas foram disputadas na primeira rodada no Grupo 2?
c) Quantas partidas foram disputadas na segunda rodada?
2 Solução Alternativa de Henrique Assis Silva Rodrigues
a) Podemos fazer usando combinações:
(3
2
)= 3!
2!1!
= 3.
b) Podemos fazer também usando combinações:
(4
2
)= 4!
2!2!
= 6.
c) Unificando os dois grupos e contando o total de jogos entre eles, temos
(7
2
) = 7!
2!5!
= 21
partidas. Agora, retirando-se as partidas contadas nos itens anteriores, obteremos as par-
tidas da segunda rodada, i.e., 21−3−6 = 12.
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10 OBMEP – Banco de Questões
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BANCO 2011
3 Produto 2000 (Problema 68 do Banco)
Quantos números naturais de cinco algarismos têm o produto de seus algarismos igual a
2000 ?
3 Solução Alternativa de Danny José Silva
Fatorando o número 2000, obtemos 2000 = 8×5×5×5×2. Como cada algarismo não pode
exceder 10 e os números procurados possuem 5 algarismos, temos dois casos a considerar:
1. Primeiro caso: Para 2000 = 8×5×5×5×2, o número de inteiros com esses dígitos é
dado por uma permutaçao com repetição P = 5!
3!
= 20 números.
2. Segundo caso: Para 2000 = 5×5×5×4×4, o número de inteiros com esses dígitos é
dado por uma permutaçao com repetição P = 5!
2!×3! = 10 números.
Portanto, existem 20+10 = 30 números.
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BANCO 2012
4 Paula escreve números (Problema 13 do nível 3)
Paula escreveu os números 1,2,3, . . . em uma folha de papel quadriculado de acordo com o
padrão indicado abaixo. Considerando a sequência 1,3,13,31, . . .; qual é o 30◦ termo dessa
sequência?
A) 3301 B) 3303 C) 3307 D) 3309 E) 3313
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14 OBMEP – Banco de Questões
4 Solução Alternativa de Dirceu Borges
A partir da tabela, verificamos que o próximo termo da sequência é o número 57. Assim
temos: f1 = 1, f2 = 3, f3 = 13, f4 = 31 e f5 = 57. Para determinar o valor de f30 precisamos
determinar a lei de formação da referida sequência fn .
Observando a sequência dos números 1,3,13,31,57, . . . percebemos o seguinte padrão:
1
+2−−→ 3 +10−−→ 13 +18−−→ 31 +26−−→ 57.
Notemos ainda que, a sequência (2,10,18,26) é uma Progressão Aritmética de razão 8, cujo
termo geral, an , é dado por: an = 2+ 8(n − 1) = 8n − 6. Dessa forma, a partir do padrão
representado acima, observamos que:
1
+(8·1−6)−−−−−−→ 3 +(8·2−6)−−−−−−→ 13 +(8·3−6)−−−−−−→ 31 +(8·4−6)−−−−−−→ 57. . . +(8·(n−1)−6)−−−−−−−−−→ fn .
Assim, podemos notar dois fatos interessantes:
1. Cada termo da sequência pode ser determinado apartir de seu termo anterior, pela
seguinte fórmula de recorrência: f1 = 1 e fn+1 = fn + (8n −6).
2. Cada termo da sequência pode ser escrito da seguinte maneira:
f1 = 1
f2 = 1+ (8 ·1−6)
f3 = 1+ (8 ·1−6)+ (8 ·2−6)
f4 = 1+ (8 ·1−6)+ (8 ·2−6)+ (8 ·3−6)
. . .
fn = 1+ (8 ·1−6)+ (8 ·2−6)+ (8 ·3−6) . . . (8 · (n −1)−6)︸ ︷︷ ︸
S
A soma indicada por S, representa a soma dos termos de uma PA de razão 8, de (n−1) termos,
em que: a1 = 2 , an = 8(n −1)−6. Escrevendo essa soma de trás para frente,
S = [8 · (n −1)−6]+ [8 · (n −2)−6]+ [8 · (n −3)−6]+ . . .+ (8 ·3−6)+ (8 ·2−6)+ (8 ·1−6).
Daí,
2S = (8n −12)(n −1)
S = (8n −12)(n −1)
2
= (4n −6)(n −1)
Logo, a referida sequência, tem por lei de formação: fn = 4n2 −10n +7. Assim, calculamos
facilmente f30 :
f30 = 4 ·302 −10 ·30+7 = 3307.
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BANCO 2013
5 Conjunto de pesos suspensos
A figura representa um conjunto de pesos suspensos em equilíbrio. Se o círculo pesa 40g ,
quanto pesa o retângulo?
Observação: Você deve desconsiderar o peso das barras horizontais e dos fios.
5 Conjunto suspenso de pesos - Solução
Seja x o peso do retângulo. Como o retângulo e o triângulo estão em equilíbrio, o peso do
triângulo também é x. Analisando o equilíbrio do conjunto que envolve o losango, o retân-
gulo e o triângulo, podemos concluir que o peso do losango é x + x = 2x. Como o peso do
círculo deve ser igual ao peso do conjunto formado pelo losango, o retângulo e o triângulo,
podemos concluir que o seu peso vale x+x+2x = 4x. Finalmente, dado que 4x = 40g , temos
x = 10g .
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BANCO 2014
6 Engrenando (Problema 4 do Nível 1)
a) Na figura abaixo, são mostradas duas engrenagens encaixadas, uma engrenagem A com
6 dentes e outra engrenagem B com 8 dentes. Todos os dentes têm o mesmo tamanho. Se
a engrenagem A der 12 voltas, quantas voltas dará a engrenagem B?
b) Considere 5 engrenagens encaixadas. A primeira tem 10 dentes, e está encaixada com
uma segunda engrenagem com 20 dentes, que por sua vez está encaixada com uma ter-
ceira engrenagem que tem 40 dentes, que está encaixada com uma quarta engrenagem
que tem 80 dentes, que por sua vez está encaixada com uma quinta engrenagem que tem
160 dentes. Quando a engrenagem maior der uma volta, qual a soma de voltas que serão
dadas por todas as engrenagens?
c) Considere três engrenagens C, D e E, sendo que a engrenagem C está encaixada na en-
grenagem D e a engrenagem D está encaixada na engrenagem E. Cada uma delas tem
uma certa quantidade de dentes, todos do mesmo tamanho. Sabe-se que quando a en-
grenagem C deu 160 voltas, a engrenagem D deu 1007 voltas, e a engrenagem E deu 38
voltas. Qual o menor número total de dentes das três engrenagens somadas para que isso
possa acontecer?
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18 OBMEP – Banco de Questões
6 Solução Alternativa de Adhonaldo Lopes Sousa
Uma resposta alternativa para o item a). Como as engrenagens estão na proporção de 6/8 =
3/4, quando a engrenagem de 6 dentes der uma volta, a engrenagem de 8 realizará apenas
3/4 de uma volta. Usando regra de três, temos:
6 Dentes 8 Dentes
1 Volta 3/4 Volta
12 Voltas x Volta
Então, x = 12 · 3
4
= 9.
7 Qual é a Pintura? (Problema 5 do Nível 1)
Seis círculos, pintados de preto ou branco, estão em fila. A cada passo, uma nova linha de
seis círculos é desenhada abaixo e em diagonal. Os novos círculos da nova linha são pinta-
dos com uma certa regra simples, que só depende da linha anterior. Veja a figura abaixo e
descubra qual é essa regra!
1.Como serão pintados os círculos da sétima linha?
2. Em algum momento todos os círculos de uma mesma linha estarão pintados de preto?
3. Como estarão pintados os círculos da linha de número 2014?
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OBMEP – Banco de Questões 19
7 Solução Alternativa de Adhonaldo Lopes Sousa
Uma resposta alternativa para o item c). Observe que as linhas 3,9,15,21,27. . . são iguais,
obedecendo um ciclo a cada 6 linhas. Como 2013 é igual a soma de 3 e um múltiplo de 6,
segue que as linhas 2013 e 3 são iguais. Assim, as linhas 4 e 2014 são iguais.
Correção: Na resolução que está no Banco de Questões, foi escrito que a linha 8 é igual à
linha 3, no entanto, é a linha 9 que é igual à linha 3.
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BANCO 2015
8 Empurrando bloquinhos (Questão 17 do Nível 1)
Um jogo de computador consiste de uma tela em forma de tabuleiro 3×7 no qual há três blo-
quinhos deslizantes 1, 2 e 3, ocupando quadradinhos 1×1. O jogo começa conforme a figura
abaixo e cada jogada consiste em escolher um bloquinho e “empurrá-lo” na linha ou coluna.
Após ser empurrado, um bloquinho irá parar apenas quando encontrar a borda do tabu-
leiro ou outro bloquinho. Por exemplo, se escolhermos o bloquinho 3, poderemos mandá-lo
para o canto inferior direito ou para cima encontrando o bloquinho 2. Dois bloquinhos não
podem ocupar o mesmo quadradinho e quando dois bloquinhos se chocam eles não con-
tinuam a se mover. O objetivo é fazer com que algum dos bloquinhos fique parado sobre a
casinha marcada no centro do tabuleiro. Mostre como isso pode ser feito.
8 Solução Alternativa de Michel Brasil
Mova o bloquinho 2 ao encontro da 1 e o bloquinho 3 para a esquerda do bloquinho 2. Em
seguida, envie o bloquinho 1 para a esquerda do bloquinho 3, como mostra a solução oficial.
Repare que nesse momento o bloquinho 1 esta bem acima do centro do retângulo. Então
podemos mandar o bloquinho 2 para baixo e depois para a esquerda, descer o bloquinho 3
e mandar o 2 ao encontro do 3 e, finalmente, ao encontro do 1. Assim, o bloquinho 2 estará
no centro do tabuleiro com dois movimentos a menos que o descrito na solução oficial.
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BANCO 2017
1 Cubos e cola
a) Um cubo 3×3×3 foi construído com 27 cubos menores 1×1×1. Para cada par de faces
em contato de dois cubos é usado uma gota de cola. Quantas gotas de cola foram usadas
ao todo?
b) Um cubo 10×10×10 foi construído com 1000 cubos menores 1×1×1. Para cada par de
faces em contato de dois cubos é usado uma gota de cola. Quantas gotas de cola foram
usadas ao todo?
1 Solução de Carlos Eduardo Pires da Silva
a) Os 27 cubos de dimensões 1x1x1 possuem um total de 27x6=162 faces, já que cada cubo
possui 6 faces; cada face do cubo 3×3×3 é formada a partir de 9 faces 1×1, essas faces no
entanto não receberam cola, e multiplicando 9 por 6 (quantidade de faces de um cubo)
encontramos 54, que é o número total de faces que não receberam cola; de 162 faces, 54
não receberam cola, o que nos dá um total de 108 faces coladas. Sabemos que uma gota
de cola é usada para colar duas faces, sendo assim o número de gotas de cola utilizada é
108/2 = 54 gotas.
b) Usando o mesmo raciocínio anterior. Os 1000 cubos de dimensões 1×1×1 possuem um
total de 1000x6=6000 faces, já que cada cubo possui 6 faces; cada face do cubo 10x10x10
é formada a partir de 100 faces 1×1, essas faces no entanto não receberam cola, e multi-
plicando 100 por 6 (quantidade de faces de um cubo) encontramos 600, que é o número
total de faces que não receberam cola; de 6000 faces, 600 não receberam cola, o que nos
dá um total de 5400 faces coladas. Sabemos que uma gota de cola é usada para colar duas
faces, sendo assim o número de gotas de cola utilizada é 5400/2 = 2700 gotas.
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24 OBMEP – Banco de Questões
2 O cachorro e o gato
Um cachorro avista um gato que está a 30 m de distância e começa a persegui-lo. Ambos
começam a correr em linha reta, no mesmo sentido e com passadas sincronizadas. O ca-
chorro se desloca 50 cm a cada passada enquanto o gato se desloca apenas 30 cm. Depois
de quantas passadas o cachorro alcançará o gato? Justifique sua resposta.
2 Solução alternativa adaptada de Robson C. de S. Lourenço
Como a distância entre o cachorro e o gato é um múltiplo de 30 cm e 50 cm, o ponto de
encontro que o problema pede também é um múltiplo dessas duas quantidades. A distância
percorrida pelo cachorro será o menor múltiplo de 50 que se escreve como d +30k. Como
M MC (30,50) = 150, os candidatos a distâncias percorridas para o ponto de encontro são
3000,3150,3300, . . .. Além disso, veja que o gato e o cachorro devem atingir a distância de
encontro comm o mesmo número de passadas t . Isso acontece com o elemento 7500 da lista
anterior, pois o cachorro terá dado t = 7500/50 = 150 passadas e o gato t = (7500−3000)/30 =
150. Portanto, o cachorro alcançará o gato após 150 passadas.
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OBMEP – Banco de Questões 25
1 Números Naturais escritos no tabuleiro
Considere o seguinte tabuleiro quadriculado onde todos os números naturais foram escritos
em diagonal.
. . .
10
. . .
6 9
. . .
3 5 8 12
. . .
1 2 4 7 11
. . .
Cada quadradinho possui uma posição denotada por (x, y), em que x representa a coluna,
contada da esquerda para a direita, e y representa a linha, contada debaixo para cima. Por
exemplo, 12 é o número escrito no quadradinho de posição (4,2):
a) Determine o número que está no quadradinho de posição (4,4).
b) Determine o número que está no quadradinho de posição (1,2016).
c) Determine o número que está no quadradinho de posição (2013,2017).
1 Solução Alternativa de Dayvid Geverson Lopes Marques
a) Basta completar o quadrado, observando os padrões, e obtém-se o número 25.
b) Consideremos a sequência
(1,1) = 1
(1,2) = (1,1)+2
(1,3) = (1,2)+3
(1,4) = (1,3)+4
...
(1,n) = (1,n −1)+n
Somando essas igualdades e fazendo os devidos cancelamentos obtemos:
(1,n) = 1+2+ . . .+n
= n(n +1)
2
.
Observe que a sequência (1,n) fornece o número que está no quadradinho de posição
(1,n), ou seja, 1◦ coluna e enésima linha. Portanto, o número que está localizado no
quadradinho de posição (1,2016) é
(1,2016) = 2016 ·2017
2
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26 OBMEP – Banco de Questões
c) Consideremos a sequência
(2,1) = 2
(2,2) = (2,1)+3
(2,3) = (2,2)+4
(2,4) = (2,3)+5
...
(2,n) = (2,n −1)+n +1
Somando essas igualdades e fazendo os devidos cancelamentos obtemos:
(2,n) = 2+3+4+5+ . . .+n +n +1
= n(n +1)
2
+n
Com um raciocínio análogo, obtém-se:
(3,n) = n(n +1)
2
+n +n +1
(4,n) = n(n +1)
2
+n +n +1+n +2
(5,n) = n(n +1)
2
+n +n +1+n +2+n +3
Analisemos a sequência
(1,n) = n(n +1)
2
(2,n) = (1,n)+n
(3,n) = (2,n)+n +1
(4,n) = (3,n)+n +2
(5,n) = (4,n)+n +3
...
(m,n) = (m −1,n)+n +m −2
Somando essas igualdades e fazendo os devidos cancelamentos temos:
(m,n) = n(n +1)
2
+n +n +1+n +2+n +3+ . . .+n +m +2
= n(n +1)
2
+ m(m −1)
2
+ (m −1)(n −1)
Note que (m,n) é uma expressão geral que permite identificar o número dentro do quadrad-
inho localizado na m−ésima coluna e n−ésima linha. Portanto, o número que está no
quadradinho de posição (2013,2017) é
(2013,2017) = 2013 ·2012
2
+ 2017 ·2018
2
+2012 ·2016.
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3 A operação?
Dados dois números reais a e b, defina a operação a ? b por a ? b = a · b + a + b + 6. Por
exemplo, 3?7 = 3 ·7+3+7+6 = 23 e 3?3 = 3 ·3+3+3+6 = 21.
a) Encontre o valor de 9?99.
b) Encontre o número inteiro b tal que 2?b = b.
c) Determine todos os números inteiros positivos a e b, com a < b, tais que a?b = 20.
3 Correção enviada por João Gabriel Machado
No item b) da solução oficial, existe um pequeno erro na última linha. A versão correta é:
b) Temos
b = 2?b
= 2b +2+b +6
= 3b+8.
Daí, 2b =−8 e b =−4.
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BANCO 2018
4 A soma desconhecida
Na soma abaixo, letras iguais representam dígitos iguais e letras diferentes dígitos diferentes.
X
+ X
Y Y
Z Z Z
Qual o dígito representado pela letra X ?
4 Solução Alternativa de Enos Mota
Como X ≤ 9, Y Y ≥ 100−2 ·9 = 82 para que a soma resulte em um número de 3 algarismos.
Temos duas possibilidades: Y Y = 88 ou Y Y = 99. Por outro lado, 100 ≤ Z Z Z ≤ 99+8+8 =
115 e, portanto, só pode ser 111 (já que o algarismo das centenas é 1). Já que 88+2x é par,
devemos descartar a primeira possibilidade. Assim, resta apenas: Y Y = 99, Z Z Z = 111 e
X = 6.
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BANCO 2020
1 Quadrilátero, mas não um Qualquer
Seja ABC D um quadrilátero tal que AC = BC+C D . Se∠BC D = 120◦, C A é bissetriz e AB = x,
qual o valor de BD , em função x?
9 Solução alternativa de Tiago Sandino Machado Bezerra.
Sejam b e c as medidas dos seguimentos BC e C D , respectivamente. Seja o ponto E em AC
tal que EC = b. Consequentemente, AE = c. Note que o triângulo BC E é isósceles (BC =C E)
com ângulo de 60◦ entre os lados de mesma medida, daí BC E é equilátero, o que por sua
vez implica BE = b. Assim, 4BE A ≡ 4BC D , pelo caso L AL (BE = BC , ∠BE A = ∠BC D ,
E A =C D). Logo, BD = x.
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ERRATA
Banco de Questões 2006
Questão 4) Três anos atrás, a população de Pirajussaraí era igual à população que Tucupira
tem hoje. De lá para cá, a população de Pirajussaraí não mudou, mas a população de Tucu-
pira cresceu 50%. Hoje a soma das populações das duas cidades é de 9000 habitantes. Há
três anos, qual era a soma destas duas populações?
A) 3600 B) 4500 C) 5000 D) 7200 E) 7500
Correção na solução apresentada por Christian Grimm
“Como a população de Pirajussaraí não cresceu nesses 3 anos e há 3 anos era igual à de
Tucupira, podemos concluir que a população atual de Pirajussaraí é p.” Está errada esta afir-
mação. Conforme enunciado da questão, a população de Pirajussaraí há três anos atrás é
igual à população de Tucupira HOJE. Logo, a população atual de Pirajussaraí, que é igual à
população de Pirajussaraí há três anos atrás, é 1,5p. Assim sendo, temos que 1,5p +1,5p =
9000, de onde que chegamos que p = 3000. Logo, temos:
Em 2003:
Pirajussaraí: 4500 habitantes
Tucupira: 3000 habitantes
Em 2006:
Pirajussaraí: 4500 habitantes
Tucupira: 4500 habitantes.
Podemos ver que esta distribuição de habitantes é que atende ao enunciado da questão.
Pirajussaraí manteve a população, a população de Tucupira cresceu 50% e a população de
Pirajussaraí em 2003 era igual à população de Tucupira hoje. Desta forma, a soma das duas
populações em 2003 era 7500 habitantes, alternativa E.
Banco de Questões 2018
1. Baralho Colorido - Página 60
Trocar "Portanto, o total de cartas que possui o 1 é 100+7 ·19 = 233." por "Portanto, o
total de cartas que possui o 1 é 100+8 ·19 = 252."
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2. Dados icosaedricos - Página 61
Trocar "Contando o total de possibilidades chegamos a 10." por "Contando o total de
possibilidades chegamos a 5."
3. A cauda do fatorial - Página 141
No final do item e), trocar 80×1+16×2+3×3 = 121 por 80+16+3 = 99.
Agradecemos aos professores Ronaldo Dias, Max Paiva e ao aluno Miguita pelo aviso a
respeito desse erro.
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Banco de Questões 2019
1. O perímetro do retângulo - Páginas 25 e 89.
Há um pequeno erro nas figuras inseridas no problema e na solução. Elas devem ser
trocadas por:
Agradecemos o comentário de Manoela E Te Ferraz em relação a esse erro.
2. SEQUENLADA - Página 83.
No intem a), deveria estar escrito: 246.831 → 124.611 → 11.247 → 7116 → 672 → 213 →
33 → 6.
3. Transformações Multissômicas - Página 114
Na última frase, deveria estar escrito 14 em vez de 13, como já indica a solução.
Agradecemos ao professor Roberto Antonio Vosgerau pelos comentários desses últi-
mos dois erros.
4. Divisibilidade por 7 - Páginas 19 e 74
No enunciado, trocar AB5 por AB7
Agradecemos a Talison Feitosa por essa observação.
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