Matemática Financeira: Conceitos Básicos

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Conceitos Básicos
EAC 0217 – Matemática Financeira
Material elaborado pela Professora Samantha Telles
1
Conceito de Finanças
• Finanças = É a ciência de administrar dinheiro.
• Estudo de como as pessoas tomam decisões sobre a
alocação de recursos ao longo do tempo e como
lidam com o risco.
2
Principal conceito da Matemática Financeira:
Equivalência de valores no TEMPO!
Equivalência de Valores no Tempo
Hoje Em um ano
R$ 1.000,00 R$ 1.000,00
Equivalência de Valores no Tempo
O que você prefere: receber R$ 1.000,00 hoje ou R$ 
1.000,00 em um ano?
Equivalência de Valores no Tempo
Devo aceitar pagar uma dívida antecipadamente 
(antes do vencimento) sem ter um “desconto” por 
isso?
Equivalência de Valores no Tempo
• Princípio básico: A disponibilidade de um recurso
financeiro hoje proporciona uma oportunidade de uso,
e isso possui algum valor para quem possui esse
recurso.
• Consequência: Uma pessoa só irá abrir mão de um
recurso por um tempo se receber algo em troca desta
oportunidade de uso de que deixou de aproveitar.
Algo em troca = Juro
Juro
• Juro = remuneração exigida para se dispor de um
determinado recurso durante um período de tempo.
• Forma de apresentação do juro:
• Taxa de juros = é um coeficiente expresso para uma unidade de
tempo que, quando multiplicado pelo valor
investido/disponibilizado, produz o valor dos juros:
.
J = i x C
J = Juro
C = Capital, Valor Presente (ou Present Value), Valor
aplicado, Valor Atual, Valor descontado, Principal, Valor
à Vista; e
i = interest rate ou taxa de juros.
Juro
Forma de apresentação
• O Juro é, normalmente, expresso em unidades monetárias (Real, Dólar,
etc.).
• As taxas de juros são expressas, normalmente, em percentual e se referem
a uma unidade de tempo (dia, mês e ano). Assim, elas estão,
normalmente, acompanhadas de um intervalo de tempo. Exemplos:
• 5% a.d. (ao dia)
• 3% a.m. (ao mês)
• 2% a.t. (ao trimestre)
• 4 % a.q. (ao quadrimestre)
• 1% a.a. (ao ano)
Taxas de juros
• As taxas de juros devem remunerar:
• Risco: envolvido na operação, representando, de certa
forma, a incerteza sobre o futuro;
• Inflação: perda do poder de compra, que corrói capital,
ou seja, cada vez mais você consegue comprar mesmo
com a mesma “quantidade” de dinheiro;
• Capital emprestado: devem gerar um lucro ao dono do
capital como compensação pela não utilização com
outra coisa (custo de oportunidade).
Juro X Capital X Montante
• O juro é a figura que irá fazer que o valor presente
investido hoje seja diferente, em termos nominais,
do valor futuro, que teremos em algum período no
futuro.
M = C + J
M = Montante, Valor Futuro (ou Future Value),
Valor de resgate, Valor nominal, Valor de face,
Valor capitalizado;
C = Capital, Valor Presente (ou Present Value),
Valor aplicado, Valor Atual, Valor descontado,
Principal, Valor à Vista; e
J = Juro
Capital X Montante
• Dessa forma, Capital e Montante são valores
equivalentes, ou seja, são diferentes em termos
nominais, mas oferecem à pessoa o mesmo grau de
satisfação em momentos diferentes.
Momento Inicial: n = 0
Capital Montante
Momento Final: n = ?
Problema
• Encontre o erro:
Uma loja de departamentos está com uma promoção: quem 
pagar à vista (dinheiro ou no cartão de débito) ganha 
desconto de 10% do valor do produto. Ela informa também 
que as compras parceladas não têm juros.
Diagrama do Fluxo de Caixa
• É uma representação gráfica das entradas e saídas
de dinheiro que ocorrem ao longo do tempo.
Entradas de Caixa (+)
Saídas de Caixa (-)
Tempo
Juro X Capital X Montante
J = C x i
M = C + J
M = C + (C x i)
M = C + (i x C)
M = C x (1 + i)
Juro X Capital X Montante
J = C x i
M = C + J
M = C + (C x i)
M = C + (i x C)
M1 = C x (1 + i)
Isso serve para
apenas um período
(dia, mês, ano, etc)
Formas de cálculo dos juros para mais de 
um período
• Quando fazemos o cálculo do juro para mais de um
período, devemos definir o regime de capitalização:
• Juros Simples: Incide apenas sobre o valor investido.
• Juros Compostos: Incide sobre o valor investido e sobre
juros anteriores.
Formas de cálculo dos juros para dois 
períodos
• Capitalização Simples
M2 = C + J1 + J2
M2 = C + (C x i) + (C x i)
M2 = C + (2 x C x i)
M2 = C x (1+ i x 2)
• Capitalização Composta
M2 = C + J1 + J2
M2 = C + (C x i) + (M1 x i)
➔ M1 = C x (1 + i)
M2 = C + (C x i) + [C x (1 + i)] x i
M2 = C x [1 + i + (1+i) x i]
M2 = C x [1 + i + i+i2]
M2 = C x [1 + 2i + i2]
M2 = C x (1+ i)2
Equações para qualquer número de 
períodos
• Equação Genérica:
Mn = C+ J1 + J2 + J3 + ... + Jn
• Juros Simples:
• Juros Compostos:
M = C + (i x C)
Mn = C x (1 + i x n)
M = C + (i x C)
Mn = C x (1 + i)n
Para cálculo 
utilizando as 
fórmulas ao lado, a 
taxa de juros (i) 
deve estar em 
termos decimais.
Equações para qualquer número de 
períodos
• As equações possuem 4 variáveis, conhecendo 3
delas, conseguimos encontrar a quarta:
Montante
Taxa
Nº 
Períodos
Capital
Capital
Montante
Taxa
Nº 
Períodos
Número de Períodos
Capital
Montante
Taxa
Taxa
Nº 
Períodos
Capital
Montante
Unidades de Tempo
• O prazo e a taxa devem estar SEMPRE na mesma unidade
de tempo.
• Exemplos:
• Prazo de 8 meses ➔ taxa ao mês
• Prazo de 3 trimestres ➔ taxa ao trimestre
• Prazo de 5 dias ➔ taxa ao dia
• Prazo de 4 anos ➔ taxa ao ano
• Exemplo 1: Uma pessoa aplicou R$ 12.000,00 em um título pelo
prazo de 8 meses. Considerando uma taxa de 3,5% a.m., qual
seria o valor de resgate caso o regime de capitalização fosse:
• a) Juros Simples
• b) Juros Compostos
Exemplo Prático
C = 12.000,00
M = ?
i = 3,5% a.m.
n = 8 meses
• Exemplo 1: a) Juros Simples:
• Usamos a fórmula do montante:
Mn = C x (1 + i x n)
M8 = 12.000,00 x (1 + 0,035 x 8)
M8 = 12.000,00 x 1,28 
M8 = 15.360,00
Exemplo Prático
• Exemplo 1: b) Juros Compostos:
• Usamos a fórmula do montante:
Mn = C x (1 + i)n
M8 = 12.000,00 x (1 + 0,035)8
M8 = 12.000,00 x 1,3168 
M8 = 15.801,71
Exemplo Prático
Crescimento exponencial
(média geométrica)
 -
 50,000.00
 100,000.00
 150,000.00
 200,000.00
 250,000.00
 300,000.00
 350,000.00
 400,000.00
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96
 Juros Simples Juros Compostos
Exemplo Prático
Crescimento linear
(média aritmética)
Resolvendo na HP12C
• Juros Simples: Não há
uma forma direta de
fazer o cálculo.
Aplicamos a fórmula e
usamos a calculadora
apenas para ajudar no
cálculo.
• Juros compostos: Há
comandos na HP para o
cálculo.
Utilização do Excel®
• =VP(taxa;per;pgto;[vf ];[tipo])
Valor Presente
• =VF(taxa;nper;pgto;[vp];[tipo])
Valor Futuro
• =TAXA(nper;pgto;vp;[vf ];[tipo])
Taxa de Juros
• =NPER(taxa;pgto;vp;[vf ];[tipo])
Prazo
Pgto = correspondente ao PMT da HP12C; está
relacionado ao valor de parcelas de séries
uniformes e será explicado mais a frente no
curso. Por enquanto, não colocamos qualquer
valor.
Tipo = Para definir se o pagamento foi no
início ou no fim do período. O default é no fim
e, por enquanto, não é necessário defini-lo.
Para cálculo da Taxa de juros e do Prazo é
necessário colocar o VP e o VF com sinais
opostos.
• Exemplo 1: Uma pessoa aplicou R$ 12.000,00 em um título pelo
prazo de 8 meses. Considerando uma taxa de 3,5% a.m., qual
seria o valor de resgate caso o regime de capitalização fosse:
• a) Juros Simples
• b) Juros Compostos
Exemplo Prático na HP12C e no Excel
C = 12.000,00
M = ?
i = 3,5% a.m.
n = 8 meses
• Exemplo 1: a) Juros Simples:
Exemplo Prático na HP12C e no Excel
0.035
8
= 0,28
1
= 1,28
12000
= 15.360,00
HP12C Excel
=((0,035*8)+1)*12000
= 15.360,00
Exemplo Prático na HP12C e no Excel
• n = Número de
períodos;
• i = Taxa;
• PV = Valor presente;
• PMT = Pagamentos
(não vamos usar, por
enquanto); e
• FV = Valor futuro.
• Exemplo 1: b) Juros Compostos:
Exemplo Prático
8
3.5
12000
0
= 15.801,71
HP12C
Excel
=VF(3,5%;8;;-12000)
= 15.801,71
Conversão de Taxa de Juros – Juros 
Simples
• Equação matemática paraconverter uma taxa de
juros de uma unidade de tempo para outra unidade
de tempo, em capitalização SIMPLES é:
M = C + (i x C)
𝑖1 =
𝑖2
𝑛2
× 𝑛1
• i1 = taxa de juros a ser
determinada;
• i2 = taxa de juros conhecida;
• n1 = período de tempo da
taxa de juros a ser
determinada;
• n2 = período de tempo da
taxa de juros conhecida.
Se uma taxa efetiva de juros é de 3,5% a.m., quais as taxas 
equivalentes ao trimestre, semestre e anual, se o regime de 
capitalização é Juros Simples?
Exemplo Prático
• Se uma taxa efetiva de juros é de 3,5% a.m., quais as taxas
equivalentes ao trimestre, semestre e anual, se o regime de
capitalização é Juros Simples?
𝑖1 =
𝑖2
𝑛2
× 𝑛1
𝑖1 =
0,035
1
× 3
𝒊𝟏 = 𝟎, 𝟏𝟎𝟓 = 𝟏𝟎, 𝟓% a.t.
Exemplo Prático
i1 = taxa de juros a ser
determinada;
i2 = taxa de juros conhecida;
n1 = período de tempo da taxa de
juros a ser determinada;
n2 = período de tempo da taxa de
juros conhecida.
Ao trimestre
• Se uma taxa efetiva de juros é de 3,5% a.m., quais as taxas
equivalentes ao trimestre, semestre e anual, se o regime de
capitalização é Juros Simples?
𝑖1 =
𝑖2
𝑛2
× 𝑛1
𝑖1 =
0,035
1
× 6
𝒊𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟏 = 𝟐𝟏% a.s.
Exemplo Prático
i1 = taxa de juros a ser
determinada;
i2 = taxa de juros conhecida;
n1 = período de tempo da taxa de
juros a ser determinada;
n2 = período de tempo da taxa de
juros conhecida.
Ao semestre
• Se uma taxa efetiva de juros é de 3,5% a.m., quais as taxas
equivalentes ao trimestre, semestre e anual, se o regime de
capitalização é Juros Simples?
𝑖1 =
𝑖2
𝑛2
× 𝑛1
𝑖1 =
0,035
1
× 12
𝒊𝟏 = 𝟎, 𝟒𝟐 = 𝟒𝟐% a.a.
Exemplo Prático
i1 = taxa de juros a ser
determinada;
i2 = taxa de juros conhecida;
n1 = período de tempo da taxa de
juros a ser determinada;
n2 = período de tempo da taxa de
juros conhecida.
Ao ano
Conversão de Taxa de Juros – Juros 
Compostos
• Equação matemática para converter uma taxa de
juros de uma unidade de tempo para outra unidade
de tempo, em capitalização COMPOSTA é:
M = C + (i x C
• i1 = taxa de juros a ser
determinada;
• i2 = taxa de juros conhecida;
• n1 = período de tempo da
taxa de juros a ser
determinada;
• n2 = período de tempo da
taxa de juros conhecida.
𝑖1 = 1 + 𝑖2
𝑛1
𝑛2 − 1 × 100
Se uma taxa efetiva de juros é de 3,5% a.m., quais as taxas 
equivalentes ao trimestre, semestre e anual, se o regime de 
capitalização é Juros Compostos?
Exemplo Prático
• Se uma taxa efetiva de juros é de 3,5% a.m., quais as taxas equivalentes
ao trimestre, semestre e anual, se o regime de capitalização é Juros
Simples?
𝑖1 = 1 + 𝑖2
𝑛1
𝑛2 − 1 × 100
𝑖1 = 1 + 0,035
3
1 − 1 × 100
𝑖1 = 1,035 3 − 1 × 100
𝑖1 = 1,1087 − 1 × 100
𝑖1 = 0,1087 × 100
𝒊𝟏 = 𝟏𝟎, 𝟖𝟕% a.t.
Exemplo Prático
i1 = taxa de juros a ser
determinada;
i2 = taxa de juros conhecida;
n1 = período de tempo da taxa de
juros a ser determinada;
n2 = período de tempo da taxa de
juros conhecida.
Ao trimestre
• Se uma taxa efetiva de juros é de 3,5% a.m., quais as taxas equivalentes
ao trimestre, semestre e anual, se o regime de capitalização é Juros
Simples?
𝑖1 = 1 + 𝑖2
𝑛1
𝑛2 − 1 × 100
𝑖1 = 1 + 0,035
6
1 − 1 × 100
𝑖1 = 1,035 6 − 1 × 100
𝑖1 = 1,2293 − 1 × 100
𝑖1 = 0,2293 × 100
𝒊𝟏 = 𝟐𝟐, 𝟗𝟑% a.s.
Exemplo Prático
i1 = taxa de juros a ser
determinada;
i2 = taxa de juros conhecida;
n1 = período de tempo da taxa de
juros a ser determinada;
n2 = período de tempo da taxa de
juros conhecida.
Ao semestre
• Se uma taxa efetiva de juros é de 3,5% a.m., quais as taxas equivalentes
ao trimestre, semestre e anual, se o regime de capitalização é Juros
Simples?
𝑖1 = 1 + 𝑖2
𝑛1
𝑛2 − 1 × 100
𝑖1 = 1 + 0,035
12
1 − 1 × 100
𝑖1 = 1,035 12 − 1 × 100
𝑖1 = 1,5111 − 1 × 100
𝑖1 = 0,5111 × 100
𝒊𝟏 = 𝟓𝟏, 𝟏𝟏% a.a.
Exemplo Prático
i1 = taxa de juros a ser
determinada;
i2 = taxa de juros conhecida;
n1 = período de tempo da taxa
de juros a ser determinada;
n2 = período de tempo da taxa
de juros conhecida.
Ao ano
1 mês 30 dias (convenção)
1 bimestre 60 dias ou 2 meses
1 trimestre 90 dias ou 3 meses
1 quadrimestre 120 dias, 4 meses ou 2 bimestres
1 semestre 180 dias, 6 meses, 3 bimestres ou 2 trimestres
1 ano 360 dias, 12 meses, 6 bimestres, 4 trimestres, 3 quadrimestres e 2 
semestres.
Equivalências
Vamos praticar?
46
Lista de Exercícios – Parte 3
	Slide 1: Conceitos Básicos
	Slide 2: Conceito de Finanças
	Slide 3: Equivalência de Valores no Tempo
	Slide 4
	Slide 5: Equivalência de Valores no Tempo
	Slide 6: Equivalência de Valores no Tempo
	Slide 7: Juro
	Slide 8: Juro
	Slide 9: Forma de apresentação
	Slide 10: Taxas de juros
	Slide 11: Juro X Capital X Montante
	Slide 12: Capital X Montante
	Slide 13: Problema
	Slide 14: Diagrama do Fluxo de Caixa
	Slide 15: Juro X Capital X Montante
	Slide 16: Juro X Capital X Montante
	Slide 17: Formas de cálculo dos juros para mais de um período
	Slide 19: Formas de cálculo dos juros para dois períodos
	Slide 20: Equações para qualquer número de períodos
	Slide 21: Equações para qualquer número de períodos
	Slide 22: Unidades de Tempo
	Slide 23
	Slide 24
	Slide 25
	Slide 26
	Slide 28: Resolvendo na HP12C
	Slide 29
	Slide 30
	Slide 31
	Slide 32: Exemplo Prático na HP12C e no Excel
	Slide 33
	Slide 35: Conversão de Taxa de Juros – Juros Simples
	Slide 36
	Slide 37
	Slide 38
	Slide 39
	Slide 40: Conversão de Taxa de Juros – Juros Compostos
	Slide 41
	Slide 42
	Slide 43
	Slide 44
	Slide 45
	Slide 46: Vamos praticar?