Cálculo I - Exercícios e Soluções

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CÁLCULO I
Prof. Emerson Veiga e Prof. Raimundo Leão
2023 - 2º Semestre
Lista de Exercícios 04
Questão 1. Dadas as funções f(x) = 24x
2−2 e g(x) = 8x
2−x, encontre o(s) valor(es)
de x que satisfaz(em) f(x) = g(x).
Solução: Podemos reescrever g(x) = (23)x
2−x = 23x
2−3x. Assim,
f(x) = g(x)
24x
2−2 = 23x
2−3x
4x2 − 2 = 3x2 − 3x
x2 + 3x− 2 = 0.
As raízes dessa equação polinomial do segundo grau são x1 =
−3 +
√
17
2
e x2 =
−3−
√
17
2
, portanto os valores para x que satisfazem f(x) = g(x) são{
−3−
√
17
2
,
−3 +
√
17
2
}
.
Questão 2. Sabendo que o gráfico abaixo representa uma função do tipo f(x) =
logb x, determine b.
Solução: Pelo gráfico podemos ver que f(9) = −2, assim
f(9) = −2 ⇒ logb 9 = −2
⇒ b−2 = 9
⇒ 1
9
= b2
⇒ 1
3
= b.
1
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Questão 3. Encontre os limites abaixo.
a) lim
x→0
x2 · cos
(
1
x
)
. b) lim
x→−1
sen(x+ 1)
x2 − 1
.
Solução:
a) Como já sabemos,
−1 ≤ cos(x) ≤ 1.
Portanto, pelo Teorema do Confronto
−x2 ≤ x2 · cos
(
1
x
)
≤ x2
lim
x→0
−x2 ≤ lim
x→0
x2 · cos
(
1
x
)
≤ lim
x→0
x2
0 ≤ lim
x→0
x2 · cos
(
1
x
)
≤ 0
Portanto
lim
x→0
x2 · cos
(
1
x
)
= 0.
b) Veja que no denominador temos um produto notável, Assim
sen(x+ 1)
x2 − 1
=
sen(x+ 1)
(x− 1)(x+ 1)
=
1
(1− x)
· sen(x+ 1)
(x+ 1)
.
Agora tome u = x+ 1. Note que quando x → −1, u → 0, portanto
lim
x→−1
sen(x+ 1)
x2 − 1
=
���
����*
−1
2
lim
x→−1
1
(x− 1)
·
�
���
��*1
lim
u→0
sen(u)
u
lim
x→−1
sen(x+ 1)
x2 − 1
= −1
2
· 1 = −1
2
.
Questão 4. Considere:
h(x) =
{
x+ 2 se x ≤ −4
−x− 6 se x > −4
Determine:
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a) se h é contínua em x = −4 b) se h é derivável em x = −4
Solução:
a) Sabendo que o h(−4) = −2.
lim
x→−4−
h(x) = lim
x→−4−
x+ 2
= lim
x→−4−
−4 + 2
= −2
e
lim
x→−4+
h(x) = lim
x→−4+
−x− 6
= lim
x→−4+
−(−4) +−6
= −2
então
lim
x→−4
h(x) = −2 = h(−4) .
Logo, h é contínua em x = −4 .
b)
lim
x→−4+
h(x)− h(−4)
x− (−4)
= lim
x→−4+
−x− 6− (−2)
x+ 4
= lim
x→−4+
−x− 4
x+ 4
= lim
x→−4+
−1����(x+ 4)
���x+ 4
= −1 .
e
lim
x→−4−
h(x)− h(−4)
x− (−4)
= lim
x→−4−
x+ 2− (−2)
x+ 4
= lim
x→−4−
���x+ 4
���x+ 4
= 1 .
Logo, como as derivadas laterais são diferentes, h não é derivável em x = −4.
Questão 5. Sabendo que f(x) = 3x2 + π. Calcule:
a) lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
. b) lim
x→2
f(x)− f(2)
x− 2
.
Solução:
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a)
lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
= lim
∆x→0
3(x+∆x)2 + π − (3x2 + π)
∆x
= lim
∆x→0
3(x2 + 2x∆x+∆x2) + π − 3x2 − π
∆x
= lim
∆x→0
3(x2 + 2x∆x+∆x2) +�π − 3x2 −�π
∆x
= lim
∆x→0
��3x2 + 6x∆x+ 3∆x2 −��3x2
∆x
= lim
∆x→0
6x∆x+ 3∆x2
∆x
= lim
∆x→0
��∆x(6x+ 3∆x)
��∆x
= lim
∆x→0
6x+���:0
3∆x
= 6x .
b)
lim
x→2
f(x)− f(2)
x− 2
= lim
x→2
3x2 + π − (3 · 22 + π)
x− 2
= lim
x→2
3x2 + π − (12 + π)
x− 2
= lim
x→2
3x2 +�π − 12−�π
x− 2
= lim
x→2
3(x2 − 4)
x− 2
= lim
x→2
3(x− 2)(x+ 2)
x− 2
= lim
x→2
3����(x− 2)(x+ 2)
���x− 2
= lim
x→2
3(x+ 2)
= 12 .
Questão 6. Ache uma equação para a reta tangente à curva y = x2 − 4x + 5 no
ponto (-2,17). Faça um esboço da curva com a reta tangente.
Solução:
y = x2 − 4x+ 5
dy
dx
= 2x− 4
dy
dx
∣∣∣∣
x=−2
= 2(−2)− 4
dy
dx
∣∣∣∣
x=−2
= −8 .
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Logo, a equação da reta tangente será:
y − 17 = −8 · (x− (−2))
y − 17 = −8(x+ 2)
y − 17 = −8x− 16
y = −8x+ 1 .
Figure 1: Gráfico da função f e a reta tangente em x = −2.
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