C1 Lista Semanal 6 - 2023_4 (Com Gabarito)

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CÁLCULO I
Prof. Emerson Veiga e Prof. Raimundo Leão
2023 - 2º Semestre
Lista de Exercícios 06
Questão 1. Determine a equação da reta, na forma y = ax+ b, dado que:
a) Ela passa pelos pontos (-1,1) e (2,7).
b) Ela tem coeficiente angular a = −3 e intercepta o eixo x em x = 6.
Solução:
a) Sabendo que a reta tem equação: y = ax+b, para determinar o coeficiente angular
dessa reta, basta:
a =
y − y0
x− x0
=
7− 1
2− (−1)
= 2 .
Assim, y = 2x + b, agora para determinar o valor de b, basta substituir qualquer
ponto conhecido na equação. Utilizando o ponto (-1,1), temos que:
1 = 2(−1) + b → b = 3 .
Portanto, a equação da reta é:
y = 2x+ 3 .
b) Sabendo que a reta tem equação: y = ax+ b, como a = −3, então y = −3x+ b.
Sabendo que a reta intercepta o eixo x em x = 6, podemos equacionar da seguinte
forma:
0 = −3 · 6 + b
0 = −18 + b
b = 18 .
Portanto, a equação da reta é:
y = −3x+ 18 .
Questão 2. Encontre a função inversa de
1
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a) f(x) = πx+ e .
R → R .
b) f(x) = x2 + x− 2 .
[−1
2
,+∞[→ [−9
4
,+∞[.
Solução:
a) Equacionando a função f e isolando a variável x, temos que:
y = πx+ e
y − e = πx
y − e
π
= x .
Portanto,
f−1(x) =
x− e
π
.
b) Equacionando a função f e isolando a variável x, temos que:
y = x2 + x− 2
0 = x2 + x− 2− y .
Resolvendo essa equação do segundo grau:
∆ = 12 − 4 · 1 · (−2− y)
∆ = 1 + 8 + 4y
∆ = 4y + 9 .
Assim, podemos determinar a variável x da seguinte forma:
x =
−1±
√
∆
2
x =
−1
2
±
√
4y + 9
2
x =
−1
2
±
√
4y + 9√
4
x = −1
2
±
√
y +
9
4
.
Como a função está f definida [−1
2
,+∞] → [−9
4
,+∞], o sinal fora da raiz que
deve ser tomado fora da raiz é positivo. Portanto,
f−1(x) = −1
2
+
√
x+
9
4
.
Questão 3. Calcule a derivada da função g sabendo que: [f−1(x)]′ =
1
f ′(f−1(x))
a) g(x) = arccos(x) .
Dica: sen(x) =
√
1− cos2(x) .
b) g(x) = arctanh(x) .
Dica: sech2(x) = 1− tanh2(x) .
Lembre-se: f(f−1(x)) = x .
Solução:
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a) Considerando que f(x) = cos(x), f ′(x) = − sen(x) e f−1(x) = g(x) = arccos(x),
sen(x) =
√
1− cos2(x), temos que:
g′(x) =
1
f ′(arccos(x))
g′(x) =
1
− sen(arccos(x))
g′(x) = − 1√
1− cos2(arccos(x))
g′(x) = − 1√
1− x2
.
b) Considerando que f(x) = tanh(x), f ′(x) = sech2(x) e f−1(x) = g(x) = arctanh(x),
sech2(x) = 1− tanh2(x), temos que:
g′(x) =
1
f ′(arctanh(x))
g′(x) =
1
sech2(arctanh(x))
g′(x) =
1
1− tanh2(arctanh(x))
g′(x) =
1
1− x2
.
Questão 4. Utilize aproximações lineares locais para encontrar aproximações dos
seguintes valores:
a) y = tan(0, 95π). b) y =
√
50.
Dica: Para usar aproximação linear precisamos definir uma função onde os itens
acima pertençam ao conjunto imagem e estejam próximo deles.
Solução:
a) Veja que podemos usar f(x) = tan(x) pois tan(0, 95π) é imagem de x = 0, 95π
que pertence ao domínio da função. Note também que tan(π) é próximo de
tan(0, 95π), logo, faremos uma aproximação linear em torno de x = π.
Como
f ′(x) = sec2(x) ⇒ f ′(π) = sec2(π) =
1
cos2(π)
=
1
(−1)2
= 1
então
L(x) = f(π) + f ′(π)(x− π)
L(0, 95π) = tan(π) + (0, 95π − π)
L(0, 95π) = 0 + (−0, 05π)
L(0, 95π) = − 5π
100
≈ tan(0, 95π)
b) Veja que podemos usar f(x) =
√
x pois
√
50 é imagem de x = 50 que pertence
ao domínio da função. Note também que
√
49 é conhecida (exata) e próxima de√
50, logo, faremos uma aproximação linear em torno de x = 49.
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Como
f ′(x) =
1
2
√
x
⇒ f ′(49) =
1
14
então
L(x) = f(49) + f ′(49)(x− 49)
L(50) = 7 +
1
14
(50− 49)
L(50) = 7 +
1
14
L(50) =
99
14
≈
√
50 .
Questão 5. Um balão esférico está sendo inflado com um certo gás. É conhecido que,
em um certo instante do tempo, a taxa de variação do raio r da esfera com relação ao
tempo é igual a 2m/s. Além disso, nesse instante, o raio é igual a 5 metros. Calcule,
nesse instante, as taxas de variação com relação ao tempo das seguintes medidas da
esfera: o volume V ; a área de superfície As; a área At da maior seção transversal; e a
circunferência C.
Solução: Sabe-se que o volume da esfera é V =
4
3
πr3, a área da superfície da esfera
é As = 4πr2, a área da seção transversal da esfera é At = πr2 e a circunferência da
esfera é C = 2πr. Sendo assim, a taxa de variação do volume da esfera
dV
dt
=
d
dt
(
4
3
πr3
)
dV
dt
= 4πr2
dr
dt
dV
dt
∣∣∣∣
r=5
= 4π · 52 · 2
dV
dt
∣∣∣∣
r=5
= 200π m3 .
a taxa de variação da área da superfície da esfera
dAs
dt
=
d
dt
(
4πr2
)
dAs
dt
= 8πr
dr
dt
dAs
dt
∣∣∣∣
r=5
= 8π · 5 · 2
dAs
dt
∣∣∣∣
r=5
= 80π m2 .
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a taxa de varição da área da maior seção transversal da esfera
dAt
dt
=
d
dt
(
πr2
)
dAt
dt
= 2πr
dr
dt
dAt
dt
∣∣∣∣
r=5
= 2π · 5 · 2
dAt
dt
∣∣∣∣
r=5
= 20π m2 .
e taxa de variação da circunferência da esfera
dC
dt
=
d
dt
(
2πr
)
dC
dt
= 2π
dr
dt
dC
dt
∣∣∣∣
r=5
= 2π · 2
dC
dt
∣∣∣∣
r=5
= 4π m .
Questão 6. O volume V (x) de um sólido peculiar é determinado por meio da expressão
V (x) = x3 + e
x
10 . Determine o erro no cálculo do volume V de x = 100 metros para
um erro de medida dx = 0, 1 metros.
Solução:
V ′(x) = 3x2 +
e
x
10
10
.
Sendo assim
∆V ≈ dV
dV = V ′(100)dx
=
[
3 · 1002 + e
100
10 · 1
10
]
· 0, 1
=
[
30000 +
e10
10
]
· 0, 1
= [30000 + 2202, 6466] · 0, 1
= 3220, 26466 m3 .
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