C2 Lista de Monitoria 10 - 2023_4

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Cálculo II - 2023-4 
Prática de Exercícios 10 - Derivadas Parciais
Lista de Monitoria
1
Universidade Federal do Pará
10. Calcular as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
a) f(x, y) = xy3 − x2y
b) f(x, y) =
xy
x2 + y2
c) f(x, y) = sen(x2) sen(
√
y)
d) f(x, y) = sen(8x) cos(x2 + y2)
e) f(x, y) =
√
sen(x2 + y2)
f) f(x, y) = cos(x2 + xy + y2)
g) f(x, y) = e−(x2+y2)
h) f(x, y) = ln(x+ y2)
a) Solução Para calcularmos a derivada parcial em relação a x, tratamos y como uma
constante. Temos, então:
∂f
∂x
=
∂
∂x
(xy3)− ∂
∂x
(x2y) = y3 − 2xy.
Agora, calculamos a derivada parcial em relação a y, tratando x como constante:
∂f
∂y
=
∂
∂y
(xy3)− ∂
∂y
(x2y) = 3xy2 − x2
Verificação: A veracidade da resposta pode ser comprovada realizando
a operação inversa da derivação, ou seja, a integração. Ao integrar in-
definidamente em x, a derivada parcial em relação a x, voltamos a regra
da função a menos de uma constante arbitrária. Do mesmo modo, ao
integrar em y, a derivada parcial em relação a y, também obtemos o
mesmo resultado xy3 − x2y + C.
g) f(x, y) = e−(x2+y2)
A fx = −e−x2−y2 ; fy = −2e−x2−y2 B fx = −2e−x2−y2 ; fy = −2ye−x2−y2
C fx = −2xe−x2−y2 ; fy = −2ye−x2−y2 D fx = −2ye−x2−y2 ; fy = −2xe−x2−y2
E fx = −2xe−x2−y2 ; fy = −2e−x2−y2
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Atividade de Monitoria 10Cálculo II - 2023-4
h) f(x, y) = ln(x+ y2)
A fx =
1
x+ 2y
; fy =
1
x+ y2
B fx =
1
x+ y2
; fy =
2y
x+ y2
C fx =
2y
x+ y2
; fy =
x
x+ y2
D fx =
y
x+ y2
; fy =
2y
x+ y2
E fx =
1
x+ y2
; fy =
y
x+ y2
11. Calcule as derivadas parciais de cada função.
a) f(x, y) =
sen
(√
x2 + y2
)
√
x2 + y2
1
se (x, y) ̸= (0, 0)
se (x, y) = (0, 0)
b) f(x, y) =


xy2
x2 + y2
0
c) f(x, y) =
 y2 cos
(
1
y
se (x, y) ̸= (0, 0)
se (x, y) = (0, 0))
0
se (x, y) ̸= (0, 0)
se (x, y) = (0, 0)
d) f(x, y) =

x2y
x2 + y2
0
se (x, y) ̸= (0, 0)
se (x, y) = (0, 0)
12. Encontre uma função f(x, y) que satisfaça
∂f
∂x
= 8x3y2 − ex sen y − 1
3
√
3 x2
∂f
∂y
= 4x4y − ex cos y − 2
y3
A f(x, y) = 4x4y2 + ex sen y +
1
y3
B f(x, y) = 2x4y2 − ex cos y −
√
x
3
√
C f(x, y) = 4x4y2 − ex sen y + 2y2 − x D f(x, y) = 2x4y2 − ex sen y +
1
y2
3
√
− x
y
1 √
E f(x, y) = 2x4y2 + ex cos y −
3
+ x
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Cálculo II - 2023-4 Atividade de Monitoria 10
13. A equação de van de Waals para n mols de um gás é(
P +
n2a
V 2
)
(V − nb) = nRT
onde P é a pressão, V volume e T é a temperatura do gás. A constante R é a constante universal
de gás e a e b são constantes positivas que são características de um gás em particular. Calcule
∂T/∂P e ∂P/∂V
Solução Seja T = T (V, P ) uma função definida implicitamente pela equação dada. Resol-
vendo essa equação em T , obtemos explicitamente a regra da função T (V, P )
T =
(P +
n2a
V 2
)(V − nb)
T (V, P ) =
nR
(PV 2 + n2a)(V − nb)
V 2nR
.
Agora, derivamos T parcialmente em relação a P :
∂T
∂P
=
∂
∂P
(V − nb)
V 2nR
· (PV 2 + n2a)
=
(V − nb)
V��2nR
· (V��2)
=
(V − nb)
nR
.
A equação dada também define implicitamente uma função P = P (V, T ). Resolvendo a
equação para P , temos:
(
P +
n2a
V 2
)
(V − nb) = nRT(
P +
n2a
V 2
)
=
nRT
(V − nb)
P =
nRT
(V − nb)
− n2a
V 2
.
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Cálculo II - 2023-4 Atividade de Monitoria 10
Assim,
P (V, T ) =
nRT
(V − nb)
− n2a
V 2
Derivando-a parcialmente em relação a V , temos
∂P
∂V
= nRT · ∂
∂V
(
1
V−nb
)
− n2a · ∂
∂V
(
1
V 2
)
= nRT · −1
(V − nb)2
− n2a · −
3
2
V
=
−nRT
(V − nb)2
+
2n2a
V 3
.
Portanto,
∂T
∂P
=
(V − nb)
nR
e
∂P
∂V
=
−nRT
(V − nb)2
+
2n2a
V 3
.
14. A lei dos gases para uma massa fixa m de um gás ideal à temperatura absoluta T , pressão
P e volume V é PV = mRT , onde R é a constante do gás. Mostre que:
∂P
∂V
∂V
∂T
∂T
∂P
= −1.