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Inversão de funções
Um encanador trabalhou em uma empreitada e co-
brou por seu serviço uma parcela fixa de R$ 50,00 mais
R$ 10,00 por hora trabalhada. Para seu controle, registrou
em uma tabela os números inteiros de horas trabalhadas
e os respectivos valores acumulados, em real. Assim:
D(f) 5 Im(f 21) 5 {1, 2, 3, 4, 5}
D(f 21) 5 Im(f ) 5 {60, 70, 80, 90, 100}
Observe que:
• o gráfico 1 representa uma função de domínio A 5 {1, 2, 3, 4, 5} e conjunto imagem
B 5 {60, 70, 80, 90, 100};
• o gráfico 2 representa uma função de domínio B 5 {60, 70, 80, 90, 100} e conjunto imagem
A 5 {1, 2, 3, 4, 5};
• se um número b é imagem de um número a em um dos gráficos, então a é imagem de b no
outro; por exemplo, no gráfico 1, o número 70 é imagem do número 2 e, no gráfico 2, o número
2 é imagem do número 70.
Por isso, dizemos que as funções representadas pelos gráficos 1 e 2 são inversas uma da
outra. Se indicarmos por f a função representada pelo gráfico 1, a função inversa de f, represen-
tada pelo gráfico 2, será indicada por f 21.
Considerando apenas os números inteiros de horas trabalhadas, o gráfico 1, abaixo, descreve
o montante acumulado (m) em função do número de horas trabalhadas (h); e o gráfico 2 descreve
o número de horas trabalhadas (h) em função do montante acumulado (m):
60
70
80
90
100
52 3
Grá�co 1
40 1
Grá�co 2
60 70 80 90 100
5
2
3
4
1
m
h
mh
f
1
2
3
4
5
A
60
70
80
90
100
B
f�1
1
2
3
4
5
A
60
70
80
90
100
B
Número de horas trabalhadas Valores acumulados (R$)
1 60
2 70
3 80
4 90
5 100
É importante destacar que f é uma bijeção de A em B e, por isso, a relação f 21 também é uma função.
Lemos f 21 como “inversa da função f ”.
119
R
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CAP 3.indb 119 03.08.10 11:34:36
RR
AP
AM PA
MA
RN
CE
PI
PB
PE
AL
TO
AC
SERO
BAMT
MG
GO
DF
MS ES
RJSP
PR
SC
RS
A inversa de uma função bijetora f : A P B é a função f 21: B P A tal que:
f (x) 5 y [ f 21(y) 5 x
para quaisquer x e y, com x 9 A e y 9 B.
f
x
A
y
B
x
A
y
B
f�1
Se uma função f admite função inversa, dizemos que f é invertível. Assim:
• Para que uma função f seja invertível, ela deve ser bijetora;
• Se uma função f é invertível, então D(f ) 5 Im(f 21) e D(f 21) 5 Im(f ).
A inversa de uma relação
Também podemos definir a inversa de uma relação R da seguinte maneira:
Sejam A e B conjuntos não vazios, R uma relação de A em B, e S uma relação de B em A
tal que:
(x, y) 9 R [ (y, x) 9 S
nessas condições, e somente nessas condições, R e S são relações inversas entre si.
Definimos:
Fonte: FERREIRA, Graça Maria Lemos.
Atlas geográfico. São Paulo: Moderna, 2003.
Exemplo
O nome de cada unidade da federação do
Brasil é identificado por uma sigla. Isso
significa que, para cada unidade, está
associada uma única sigla e que, para
cada uma dessas siglas, está associa-
da uma única unidade da federação,
por exemplo: AC (Acre), BA (Bahia)
e DF (Distrito Federal). A função f
que associa cada uma dessas si-
glas a uma unidade da federação é
portanto bijetora, e sua inversa é a
função f 21, que associa cada unidade
à sua sigla.
490 km
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Funções não invertíveis
Se uma função g: C P D não é uma bijeção de C em D, então, ou há pelo menos dois elementos
em C com a mesma imagem, ou há elemento em D que não é imagem de nenhum elemento de C;
portanto, a relação inversa g21: D P C não é função. Nesse caso, dizemos que a função g não é
invertível ou que g não admite função inversa.
Note que g21 não é função, pois o elemento 7 tem mais de um correspondente no contradomínio C.
Exemplo
Seja R a relação de A 5 {1, 3, 5, 7, 9} em B 5 {0, 2, 4, 6, 8}, representada pelo diagrama de
flechas abaixo.
R�1
1
3
5
7
9
A
0
2
6
4
8
B
Exemplos
a) Seja g: C P D a função representada pelo diagrama de flechas abaixo:
g
0
1
2
8
C
3
4
7
D
Essa função é sobrejetora, mas não é injetora; logo, não é bijetora. Sua relação inversa é:
g�1
0
1
2
8
C
3
4
7
D
R
1
3
5
7
9
A
0
2
6
4
8
B
Assim, R 5 {(1, 0), (1, 2), (5, 6), (7, 6)}. A inversa de R é a relação R21 de B em A cujos elementos
são os pares ordenados que se obtêm invertendo-se a ordem dos elementos de cada par orde-
nado de R; isto é: R21 5 {(0, 1), (2, 1), (6, 5), (6, 7)}.
Representando R21 por um diagrama de flechas, temos:
b) Seja h: M P N a função representada pelo diagrama de flechas abaixo:
h
4
5
6
7
M
0
4
9
8
10
N
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