Matemática-01-Moderna-Plus-0169-0171

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5 Sabe-se	que,	 sob	 certo	 ângulo	de	 lançamento,	 a	
altura h atingida por uma pedra, em metro, em fun-
ção do tempo t,	em	décimo	de	segundo,	é	dada	por 
 h(t) 5 2 t
2
 ___ 
60
 1 t.
a) Construir o gráfico da altura atingida pela pedra 
em função do tempo.
b) Qual	é	a	altura	máxima	atingida	pela	pedra	em	re-
lação	ao	plano	horizontal	de	onde	foi	lançada?
c) Em quanto tempo, após o lançamento, a pedra 
atinge a altura máxima?
d) Em quanto tempo, após o lançamento, a pedra 
atinge	o	solo,	suposto	no	mesmo	plano	horizon-
tal de onde ela foi lançada?
EXERCÍCIOS RESOlvIdOS
Resolução
a) Inicialmente, obtemos os pontos notáveis da 
parábola.
•	 Intersecção	com	o	eixo	das	abscissas:
 2 t
2
 ___ 
60
 1 t 5 0 ] t @ 2 t ___ 
60
 1 1 # 5 0
 } t 5 0 ou 2 t ___ 
60
 1 1 5 0
 } t 5 0 ou t 5 60
 Logo, a parábola intercepta o eixo das abscissas 
nos pontos (0, 0) e (60, 0). Note, portanto, que 
a parábola intercepta o eixo das ordenadas 
também	no	ponto	(0,	0).
•	 Vértice:
 xV 5 2 b ___ 
2a
 5 2 1 _________ 
2 3 @ 2 1 ___ 
60
 # 
 5 30 e
 yV 5 2 
S
 ___ 
4a
 5 2 
 @ 12 2 4 3 @ 2 
1 ___ 
60
 # 3 0 # 
 ___________________ 
4 3 @ 2 
1 ___ 
60
 # 
 5 15
 Portanto, o gráfico da altura atingida em função 
do	tempo	é:
b)	 A	altura	máxima	atingida	pela	pedra	é	a	orde-
nada	do	vértice	V do arco de parábola do item a, 
ou seja, 15 m.
c) O tempo para que a pedra atinja a altura máxima, 
após	o	lançamento,	é	a	abscissa	do	vértice	V do 
arco de parábola do item a,	ou	seja,	30	décimos	
de segundo.
d)	 A	raiz	positiva	da	função,	obtida	no	item	a, indica 
o tempo em que a pedra atinge o solo após o 
lançamento,	ou	seja,	60	décimos	de	segundo.
30 60
15
t
V
h
a) Se a indústria fabricar 2 kL de óleo em um dia, 
qual será o custo de produção por quilolitro de 
óleo	produzido	nesse	dia?
b) E se a indústria fabricar 7 kL de óleo em um dia?
c) Construir o gráfico da função
 y 5 40x2 2 400x 1 2.600 para 2 < x < 7.
d) Qual deve ser a produção diária para que o custo 
de produção por quilolitro de óleo seja mínimo?
e)	 Qual	é	o	custo	diá	rio	mínimo	por	quilolitro	de	
óleo	produzido?
Resolução
a) Para x 5 2, temos:
 y 5 40 3 22 2 400 3 2 1 2.600 ] y 5 1.960
 Logo,	para	2	kL	de	óleo	produzidos	em	um	dia,	o	
custo de produção por quilolitro será R$ 1.960,00.
b) Para x 5 7, temos:
 y 5 40 3 72 2 400 3 7 1 2.600 ] y 5 1.760
 Logo,	para	7	kL	de	óleo	produzidos	em	um	dia,	o	
custo de produção por quilolitro será R$ 1.760,00.
c) Inicialmente vamos estudar a parábola de equa-
ção y 5 40x2 2 400x 1 2.600, desconsiderando, por 
enquanto, o intervalo 2 < x < 7.
•	 Intersecção	com	o	eixo	das	abscissas:
 40x2 2 400x 1 2.600 5 0
 S 5 (2400)2 2 4 3 40 3 2.600 5 2256.000
 Como S  0, a parábola não intercepta o eixo Ox.
•	 Intersecção	com	o	eixo	das	ordenadas:
 y 5 40 3 02 2 400 3 0 1 2.600 ] y 5 2.600
 Logo, a parábola intercepta o eixo das ordena-
das no ponto (0, 2.600).
•	 Vértice:
 xV 5 2 b ___ 
2a
 5 2 
(2400)
 _______ 
2 3 40
 5 5 e
 xV 5 2 
S
 ___ 
4a
 5 2 
(2256.000)
 ___________ 
4 3 40
 5 1.600
 Finalmente,	 esboçamos	abaixo o gráfico da 
parábola, considerando agora o intervalo 
2 < x < 7:
d) A produção diária para que o custo de produção 
por	quilolitro	de	óleo	seja	mínimo	é	dada	pela	
abscissa	do	vértice	V do arco de parábola do item 
c,	isto	é,	5	kL.
e) O custo diário mínimo, por quilolitro de óleo 
produzido,	é	dado	pela	ordenada	do	vértice	V do 
arco de parábola do item c, ou seja, R$ 1.600,00.
2 5
V
7
1.960
1.760
1.600
x
y
EXERCÍCIOS pROpOStOS
6 Uma	indústria	produz	diariamente	x kL (quilolitro) de 
óleo	de	milho,	com	2	< x < 7. O custo y de produção 
diário,	em	real	por	quilolitro	de	óleo	produzido,	é	
dado pela função y 5 40x2 2 400x 1 2.600.
170
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98
.
CAP 5.indb 170 03.08.10 11:53:28
19 Um teste que avaliou o consumo de gasolina de uma 
nova motocicleta revelou que, quando a velocidade 
está	no	intervalo	de	50	km/h	a	100	km/h,	a	distância	
d,	em	quilômetro,	percorrida	por	litro	de	gasolina,	
em função da velocidade v,	em	quilômetro	por	hora,	
 é	dada	por d(v) 5 2 v2
 ____ 
150
 1 16v ____ 
15
 . Pode-se concluir 
 desse teste que, no intervalo considerado, a maior 
economia de combustível se dá à velocidade de:
a)	 90	km/h c)	 85	km/h	 e)	 80	km/h
b)	 70	km/h	 d)	 75	km/h
14 Determine o valor máximo ou mínimo de cada função a seguir.
a) f (x) 5 x2 1 2x 2 3 c) y 5 x2 1 2x 1 3
b) y 5 2x2 1 2x 1 15 d) g(x) 5 2x2 1 3x 2 3
15 Determine m, com m 9 V, para que a função f (x) 5 2x2 1 x 1 m 1	1	tenha	valor	mínimo	igual 3 __ 
4
 .
16 Para que valores reais de k a função quadrática y 5 kx2 1 2x 1 5 admite valor mínimo positivo?
17 Considere	todos	os	retângulos	com	20	cm	de	perímetro.
a)	 Entre	eles,	qual	é	a	área	do	retângulo	com	8	cm	de	base?
b) Entre eles, indicando por x	a	medida	da	base	de	um	retângulo	qualquer,	construa	o	gráfico	da	
função A(x)	que	expressa	a	área	do	retângulo,	em	centímetro	quadrado,	em	função	da	medida	x, 
em centímetro.
c)	 Qual	é	a	área	máxima	que	um	desses	retângulos	pode	ter?
EXERCÍCIOS pROpOStOS
18 (Unifap) Segundo afirmam os fisiologistas, o número N de batimentos cardíacos por minuto, para 
um indivíduo sadio e em repouso, varia em função da temperatura ambiente T, em grau Celsius, e 
é	dado	pela	função	N(T) 5 (0,1)T2 2 4T 1 90.
a) Essa função possui máximo ou mínimo?
b) A que temperatura o número de batimentos cardíacos por minuto de uma pessoa sadia e em 
repouso será 90?
c) Se uma pessoa sadia estiver dormindo em um quarto com refrigeração de 20 wC, qual será o 
número de seus batimentos cardíacos por minuto?
20 O	gráfico	mostra	a	trajetória	de	uma	pedra	atirada	para	cima,	obliquamente	em	relação	à	hori-
zontal:
21 Com	140	metros	lineares	de	tela	de	arame,	um	fazendeiro	construiu	dois	currais:	um	quadrado	e	
um	retangular,	este	de	comprimento	igual	ao	triplo	da	largura.	Sabendo	que	a	medida	escolhida	
para o lado do quadrado tornou a soma das áreas dos currais a menor possível, calcule a área de 
cada curral.
 Os valores nos eixos Ox e Oy	indicam,	respectivamente,	as	distâncias,	em	metro,	percorridas	pela	
pedra	na	horizontal	e	na	vertical	(altura).	Sabendo	que	essa	trajetória	é	parabólica,	a	altura	máxima	
atingida pela pedra foi:
a) 22,5 m b) 23 m c) 24,8 m d) 25 m e) 25,4 m
80 1000 x
y
16
Resolva os exercícios complementares 13 a 17 e 27 a 33.
171
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CAP 5.indb 171 03.08.10 11:53:29
 Estudo do sinal
Quando a pressão interna de um recipiente fechado é maior que a externa, dizemos que 
a pressão interna no recipiente, em relação à externa, é positiva. Inversamente, quando a 
pressão interna é menor que a externa, dizemos que a pressão interna no recipiente é ne-
gativa em relação à externa. Quando a pressão interna nesse recipiente é igual à externa, 
dizemos que essa pressão é nula em relação à externa. Por exemplo, quando respiramos, a 
pressão interna nos pulmões, em relação à externa, é negativa na expiração do ar e positiva 
na inspiração.
expiração inspiração
pulmão
Definimos pressão relativa no interior de um recipiente fe-
chado como a diferença entre a pressão interna e a pressão 
atmosférica local, nessa ordem.
Suponha que, em uma experiência, a pressão interna de um 
recipiente tenha variado por injeção e exaustão de ar, e que
p(t) 5 2 
t2
 __ 
8
 1 
3t
 ___ 
4
 2 
5
 __ 
8
 cujo gráfico, apresentado a seguir, expressa
a pressão relativa p, interna do recipiente, em atmosfera (atm), 
em função do tempo t, em minuto, durante o tempo que durou a 
experiência.
6531
p
t1
2
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5
8
A interpretação desse gráfico permite concluir que, durante os 6 minutos que a experiência 
durou, a pressão relativa interna do recipiente:
•	 foi	positiva para 1  t  5 (isso significa que, no intervalo aberto de 1 a 5 minutos, a pressão 
interna do recipiente foi maior que a pressão atmosférica local);
•	 anulou-se para t 5 1 ou t 5 5 (isso significa que, 1 minuto depois de iniciada a experiência, a 
pressão interna do recipiente igualou-se à pressão atmosférica local, acontecendo o mesmo 
5 minutos depois de iniciada a experiência);
•	 foi negativa para 0 < t  1 ou 5  t < 6 (isso significa que, nos intervalos descritos, a pressão 
interna do recipiente foi menor que a pressão atmosférica local).
Nesse exemplo, estudamos a variação de sinal de uma função polinomial do 2o grau em um 
domínio limitado (0 < t < 6). Do mesmo modo, podemos estudar a variação de sinal de funções 
quadráticas de domínio real, conforme mostra o exemplo a seguir.
 Barômetro, instrumento 
que indica a pressão 
atmosférica, a altitude 
e possíveis alterações 
meteorológicas.
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