1 - Funções Vetoriais

Prévia do material em texto

DESCRIÇÃO
Aplicação do conceito de funções vetoriais.
PROPÓSITO
Conhecer as funções vetoriais e suas operações, a partir do cálculo do limite, da derivada e da integral dessas funções, para aplicar
tais conceitos em problemas de cálculo vetorial.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Definir as funções vetoriais e suas operações matemáticas básicas
MÓDULO 2
Aplicar as operações do limite, da derivada e da integral nas funções vetoriais
MÓDULO 3
Empregar as funções vetoriais no estudo das curvas no plano e no espaço, bem como no movimento de um objeto
MÓDULO 4
Aplicar o sistema de coordenadas polares ao estudo das curvas polares
MÓDULO 1
 Definir as funções vetoriais e suas operações matemáticas básicas
INTRODUÇÃO
O vetor é um objeto da Matemática de grande aplicação prática em diversas áreas. Assim, é necessário definir funções que tenham
os elementos vetoriais em suas entradas ou saídas.
A função a variáveis reais, a valores vetoriais ou simplesmente função vetorial é aquela que tem domínio no conjunto dos números
reais e vetores que pertencem ao conjunto Rn como imagem.
Neste módulo, estudaremos as funções vetoriais e suas operações matemáticas básicas.
DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES VETORIAIS
No cálculo de uma variável, trabalhamos com funções que têm domínio e imagem no conjunto dos números reais. Elas são
denominadas funções reais à variável real, ou simplesmente funções reais.
Há um elemento matemático de grande aplicação prática: o vetor, definido não apenas por seu valor (módulo), mas também por sua
direção e seu sentido.
Fonte: Peshkova/Shutterstock
UM VETOR É REPRESENTADO POR SUAS COORDENADAS. O NÚMERO DE
COORDENADAS DE UM VETOR DEPENDE DO CONJUNTO AO QUAL
PERTENCE. CONSIDERANDO 
→
V O VETOR PERTENCENTE A RN, 
→
V SERÁ
REPRESENTADO POR N COORDENADAS:
→
V = V1 , V2 , … , VN
No exemplo, v1, v2, ... , vn são números reais que representam a projeção do vetor v na direção e no sentido de cada uma das
dimensões do Rn.
Estamos trabalhando com coordenadas cartesianas. Particularmente, neste tema, nosso interesse está em R2 e R3. Assim, um vetor
→
v , pertencente ao R3, é representado por três coordenadas. Veja a figura 1, em que o vetor 
→
v projetado na direção do eixo x
apresenta um tamanho vx; na direção do eixo y, um tamanho vy; na direção do eixo z, um tamanho vz:
Caso a projeção em relação a um dos eixos seja contrária ao sentido positivo do eixo, o sinal da coordenada será negativo. Portanto,
o vetor 
→
v terá coordenadas (vx, vy , vz), em que vx, vy e vz são números reais. No caso do R2, caso particular do R3, o vetor não terá
a componente vz.
⟨ ⟩
Fonte: Autor
 Figura 1: Representação do vetor no espaço
Assim, precisamos definir funções que tenham elementos vetoriais em seus domínios e/ou em suas imagens. Neste módulo,
iniciaremos com as funções que têm como imagens, isto é, como saídas, elementos vetoriais.
Trabalharemos com a função que tem domínio no conjunto real e tem imagem no conjunto Rn. Assim, sua entrada é um número real,
mas sua saída é um vetor. Esta função é denominada função vetorial ou, de forma mais precisa, função de uma variável real a
valores vetoriais.
Uma função de uma variável real a valores vetoriais em Rn é uma função 
→
F : S⊂R → Rn, com n inteiro e n > 1, em que S é um
subconjunto dos números reais. Assim, para cada valor real, pertencente ao domínio de 
→
F , teremos como resultante uma imagem
que será um vetor pertencente a Rn. Logo:
Im
→
F = t∈S⊂R 
→
F ( t ) = 〈 f1 ( t ) , f2 ( t ) , … , fn t 〉 ∈Rn
Como a imagem da função é um vetor, cada componente desse vetor dependerá da variável de entrada. Portanto, a variável de
entrada pode ser considerada um parâmetro e a função pode ser também representada por uma equação paramétrica.
Observe que a entrada da função vetorial será um número real e a saída será um vetor. Veja o exemplo.
 EXEMPLO
→
F : R → R3, tal que 
→
F ( m ) = ( 2m + 3 , 5m , 2 - m ) , com m real.
Note que cada vetor da imagem dependerá do elemento do domínio, que, neste caso, será o parâmetro m.
Existem funções denominadas campos vetoriais que apresentam, tanto no domínio quanto na imagem, vetores. Assim, seriam
funções 
→
F : Rn → Rm, com m e n inteiros maiores do que 1. Por exemplo:
→
F : R3 → R4, tal que 
→
F ( x , y , z ) = ( 2x + 3y , 2x + 5 , y + 3z , 4x + y )
Perceba que as coordenadas dos elementos vetoriais da saída dependem das coordenadas dos elementos vetoriais da entrada. Aqui,
não abordaremos este tipo de funções.
{ | ( ) }
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
A função vetorial pode ser representada por sua forma vetorial, já exemplificada, ou por sua forma paramétrica.
Seja 
→
F ( t ) : t∈S⊂R →
→
F ( t ) ∈R3. Como já vimos, cada componente do vetor de saída depende da variável de entrada, denominada
parâmetro. Dessa forma, a função pode ser representada por:
→
F ( t ) =
x = f ( t )
y = g ( t )
z = h ( t )
, 
Observe que f(t), g(t) e h(t) são funções reais, que relacionam cada coordenada ao parâmetro t. Este tipo de equação é chamado de
equação paramétrica. Para funções com imagem no Rn, n inteiro maior do que 1, a equação paramétrica terá n equações.
 EXEMPLO
Seja a função 
→
𝐹 𝑡 = 𝑡, 𝑡2 + 5, ln 𝑡, definida para t > 0. Determine o valor de 
→
𝐹1 𝑒 
→
𝐹𝑒
SOLUÇÃO
A função é uma função de variável real a valores vetoriais de R3, 
→𝐹 𝑡 = 𝑓𝑡,𝑔𝑡, ℎ(𝑡)
Onde:
f(t) = t
g(t) = t2 + 5
h(t) = ln t
Logo, temos:
→
𝐹 𝑡 =
𝑥 = 𝑡
𝑦 = 𝑡2 + 5
𝑧 = ln 𝑡
, para t real e t > 0.
Então,
→
𝐹 1 = 𝑓1,𝑔1, ℎ(1) = 1, 1 + 5 , ln 1 = 1,6, 0
Portanto, para uma entrada t = 1, o resultado da função será o vetor 〈1, 6, 0〉
Para t = e:
→
𝐹 𝑒 = 𝑓𝑒,𝑔𝑒, ℎ(𝑒) = 𝑒, 𝑒2 + 5 , ln 𝑒 = 𝑒, 𝑒2 + 5,1
Por fim, para uma entrada t = e, o resultado da função será o vetor ⟨𝑒, 𝑒2 + 5, 1⟩
FUNÇÕES VETORIAIS E TRAÇADOS DE CURVA
Para o caso de R2 e R3, a imagem da função vetorial 
→
𝐹 pode ser analisada como a trajetória de uma curva (lugar geométrico) em R2
ou R3 descrita pela equação paramétrica da função. Em outras palavras, a função vetorial definirá uma curva plana, no caso de sua
imagem em R2, ou uma curva espacial, quando sua imagem estiver no R3.
Se considerarmos que a imagem da função vetorial é um vetor com extremidade inicial na origem, a trajetória da curva será definida
pela extremidade final dos vetores obtidos pela imagem da função vetorial.
{
javascript:void(0)
 EXEMPLO
Exemplo 1 - Considere a função →𝐹 𝑢 = 𝑢,𝑢2 , definida para u ∈ R. Determine a trajetória definida pela imagem da função.
SOLUÇÃO
Trata-se de uma função de variável real a valores vetoriais de R2.
Repare que a componente x do vetor determinado pela imagem de 
→
𝐹 vale u e a componente y vale u2. Então, se 
→
𝐹 𝑢 = 𝑥, 𝑦, temos a
seguinte representação paramétrica:
→
𝐹 𝑢 = 𝑥 = 𝑢
𝑦 = 𝑢2 → 𝑦 = 𝑥2
Esta é a equação de uma parábola vertical. Assim, a imagem da função será a parábola de equação y = x2, representada a seguir:
Fonte: Autor
 Figura 2: Imagem da função 
→
𝐹 𝑢 = 𝑢,𝑢2
Conforme o valor do parâmetro u se altera, a imagem obtida pela função vetorial também muda, traçando uma curva, que, neste
exemplo, será uma parábola vertical de vértice na origem.
 EXEMPLO
Exemplo 2 - Seja a função 
→
𝐹 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡, cos 𝑡, 5. Determine a trajetória definida pela imagem da função.
SOLUÇÃO
Trata-se de uma função de variável real a valores vetoriais de R3.
Seja →𝐹 𝑡 = 𝑥, 𝑦, 𝑧
Repare que:
→
𝐹 𝑡:
𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑦 = cos 𝑡
𝑧 = 5
→ 𝑥2 + 𝑦2 = 1 𝑒 𝑧 = 5
A imagem da função representará uma circunferência pertencente ao plano z = 5. Assim, será uma circunferência de centro em
〈0, 0, 5〉 e raio 1, conforme observamos a seguir:
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Fonte: Adaptado de Guidorizzi (2013)
 Figura 3: Imagem da função 
→
𝐹 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡, cos 𝑡, 5
Se quisermosdar um sentido à trajetória, este pode ser definido como o sentido do crescimento do parâmetro ou do decrescimento do
parâmetro. No caso do exemplo de 
→
𝐹 𝑢 = 𝑢,𝑢2 , a trajetória da parábola é percorrida no sentido da esquerda para direita, quando
cresce o parâmetro u:
Fonte: Autor
 Figura 4: Sentido da trajetória pelo crescimento do parâmetro
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES VETORIAIS
Uma função de uma variável real a valores do Rn, conforme definida, será composta por n funções reais, definindo cada uma de suas
coordenadas. Assim, temos:
→
𝐹 𝑡 = 𝑓1 𝑡, 𝑓2 𝑡, … , 𝑓𝑛 (𝑡) ∈ 𝑅𝑛 , com t real
Tais funções f1, f2, ... , fn são denominadas funções componentes da função 
→
𝐹.
Como a imagem da função 
→
𝐹 𝑡 será um vetor, ela atende todas as propriedades e operações que um vetor possui.
Considerando que →𝐹 , →
𝐺 : 𝑆 ⊂ 𝑅 → 𝑅𝑛 , p(t) uma função real e k uma constante real, é possível definir as seguintes propriedades:
A) SOMA
→
𝐻𝑡 =
→
𝐹 +
→
𝐺 𝑡 =
→
𝐹 𝑡 +
→
𝐺 𝑡
→
𝐻𝑡 = 𝑓1 𝑡 + 𝑔1 𝑡, 𝑓2 𝑡 + 𝑔2 𝑡, … , 𝑓𝑛 𝑡 + 𝑔𝑛 𝑡 ∈ 𝑅
B) PRODUTO POR UM ESCALAR K
→
𝐻𝑡 = (𝑘
→
𝐹 )𝑡 = 𝑘
→
𝐹 𝑡
→
𝐻𝑡 = 𝑘𝑓1 𝑡, 𝑘𝑓2 𝑡, … , 𝑘𝑓𝑛 𝑡 ∈ 𝑅𝑛
C) PRODUTO POR UMA FUNÇÃO REAL P(T)
→
𝐻𝑡 = 𝑝 .
→
𝐹 𝑡 = 𝑝𝑡
→
𝐹 𝑡
→𝐻𝑡 = 𝑝𝑡𝑓1 𝑡,𝑝𝑡𝑓2 𝑡, … , 𝑝𝑡𝑓𝑛 𝑡 ∈ 𝑅𝑛
Cuidado! Não existe produto (multiplicação) entre duas funções vetoriais.
D) PRODUTO ESCALAR ENTRE 
→
𝐹 E 
→
𝐺
𝑚𝑡 =
→
𝐹 .
→
𝐺 𝑡 =
→
𝐹 𝑡 .
→
𝐺 𝑡
𝑚𝑡 = 𝑓1 𝑡 .𝑔
1
𝑡 + 𝑓2 𝑡 .𝑔
2
𝑡 + … + 𝑓𝑛 𝑡 .𝑔
𝑛
𝑡,𝑚(𝑡) ∈ 𝑅
E) PARA N = 3, PRODUTO VETORIAL ENTRE 
→
𝐹 E 
→
𝐺
→
𝐻𝑡 =
→
𝐹 x 
→
𝐺 𝑡 =
→
𝐹 𝑡 x 
→
𝐺 𝑡
→𝐻𝑡 =
 �̂� �̂� 𝑧
 𝑓1 (𝑡) 𝑓2 (𝑡) 𝑓3 (𝑡)
 𝑔
1 (𝑡) 𝑔
2 (𝑡) 𝑔
3 (𝑡)
 EXEMPLO
Exemplo 1 - Considerando as funções 
→
𝐹 𝑢 = 𝑢 + 5, cos 𝑢, 𝑢2 , →
𝐺 𝑢 = 2 - 𝑢2 , sen 𝑢, 3𝑢 e p(u) = 2eu,
determine o valor para t = 0 da função 𝑚𝑡 = (2
→
𝐹 𝑡) . (𝑝𝑡
→
𝐺 𝑡)
SOLUÇÃO
Se →𝐹 𝑢 = 𝑢 + 5, cos 𝑢, 𝑢2 , então 2→𝐹 𝑢 = 2(𝑢 + 5), 2cos 𝑢, 2𝑢2
Se 
→
𝐺 𝑢 = 2 - 𝑢2 , sen 𝑢, 3𝑢 e 𝑝(𝑢) = 2 . 𝑒𝑢 , então: 𝑝(𝑢)
 
→
𝐺𝑢 = 2 . 𝑒𝑢 . (2 - 𝑢2 ), 2 . 𝑒𝑢 . sen 𝑢, 2 . 𝑒𝑢 . 3 . 𝑢
Portanto,
 𝑚𝑢 = 2𝑢 + 5 . 2 . 𝑒𝑢 . 2 - 𝑢2 + 2 𝑐𝑜𝑠 𝑢 . 2 . 𝑒𝑢 . sen 𝑢 + 2 . 𝑢2 . 2 . 𝑒𝑢 . 3 . 𝑢
Assim,
𝑚0 = 2 0 + 5 . 2 . 𝑒0 . 2 - 02 + 2 𝑐𝑜𝑠 0 . 2 . 𝑒0 . sen 0 + 2 . 02 . 2 . 𝑒0 . 3 . 0 = 8 . 5 + 0 + 0 = 40
 EXEMPLO
Exemplo 2 - Considerando as funções →𝐹 𝑢 = 𝑢, cos 𝑢, 3𝑢 e →𝐺 𝑢 = 𝑢2 , sen 𝑢, 𝑢 determine a função →𝐻𝑡 = →
𝐹 𝑡 x →𝐺 𝑡 e seu valor
para t=π.
SOLUÇÃO
→𝐻𝑡 = →𝐹 x →𝐺 𝑡 = →𝐹 𝑡 x →𝐺 𝑡
→
𝐻𝑡 =
 �̂� �̂� 𝑧
 𝑡 cos 𝑡 3𝑡
 𝑡2 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) 𝑡
= 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 �̂� + 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑧 + 3𝑡 𝑡2 �̂� - 𝑡2 cos 𝑡 𝑧 - 3𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 �̂� - 𝑡 . 𝑡 �̂�
javascript:void(0)
javascript:void(0)
→
𝐻𝑡 = 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 - 3𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡�̂� + 3𝑡3 - 𝑡2 �̂� + 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 - 𝑡2 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑧
→𝐻𝑡 = 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 - 3𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡, 3𝑡3 - 𝑡2 , 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 - 𝑡2 𝑐𝑜𝑠𝑡
Assim,
→
𝐻𝜋 = 𝜋 . cos 𝜋 - 3 .𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝜋, 3 𝜋3 - 𝜋2 ,𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝜋 - 𝜋2 𝑐𝑜𝑠𝜋 = -𝜋, 3 𝜋3 - 𝜋2 ,𝜋2
TEORIA NA PRÁTICA
Desejamos traçar, com um computador, uma curva espacial denominada toroide espiral. A função vetorial que define essa curva
espacial é a seguinte:
→
𝐹 𝑡 = 4 + 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡, 4 + 𝑠𝑒𝑛𝑘𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡, cos 𝑘𝑡, com k real e 0 < k <1
2
Sabendo que o módulo de
→
𝐹 𝑡, para t = 4π , vale 5, determine o valor de 
→
𝐹 8𝜋
FUNÇÕES VETORIAIS
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERANDO AS FUNÇÕES →𝐹 𝑢 = 𝑢 + 5, 3 - 𝑢2 , 𝑢3 E →𝐺 𝑡 = 𝑡2 + 1, 𝑡 + 10, 𝑡2 COM U E T REAIS,
SABENDO QUE →𝐻𝑢 = 2 
→
𝐹 𝑢 -
→
𝐺 𝑢, O VALOR DE →𝐻2 É:
A) 〈9,-14,12〉
B) 〈19,-4,2〉
C) 〈8,14,-12〉
D) 〈7,-1,5〉
2. CONSIDERANDO A FUNÇÃO →𝐺 𝑡 = 𝑡 + 2, 3𝑡 - 1 , DEFINIDA PARA T ∈ R, A TRAJETÓRIA DEFINIDA PELA
IMAGEM DA FUNÇÃO É:
A) Circunferência de equação 𝑥2 + 𝑦2 = 1
B) Reta de equação 3𝑥 - 𝑦 - 7 = 0
C) Plano de equação 𝑥 - 3𝑦 + 7 = 0
D) Reta de equação 3𝑥 + 𝑦 + 7 = 0
3. CONSIDERANDO AS FUNÇÕES →𝐹 𝑡 =
𝑥 = 𝑡
𝑦 = 3 - 𝑡
𝑧 = 𝑡2
 E →𝐺 𝑢 = 𝑢2 , 𝑢 , 3 + 𝑢, COM U E T REAIS, SABENDO QUE
→
𝐻𝑢 = 2 
→
𝐹 𝑢 x ( -
→
𝐺 𝑢), O VALOR DE →𝐻 -1 É:
A) 〈-14,6,4〉
B) 〈9,3,-4〉
C) 〈-18,-6,6〉
D) 〈18,6,-8〉
4. CONSIDERANDO A FUNÇÃO →𝐹 𝑢 = 2𝑢cos 𝑢, 2𝑢 𝑠𝑒𝑛 𝑢, 𝑢, DEFINIDA PARA 𝑢 ∈ 𝑅, QUAL É A EQUAÇÃO
DA TRAJETÓRIA DA CURVA ESPACIAL DEFINIDA PELA IMAGEM DA FUNÇÃO?
A) 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑧2 = 1
B) 𝑥2 + 𝑦2 - 4𝑧2 = 0
C) 4𝑥2 + 4𝑦2 + 𝑧2 = 1
D) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 0
5. CONSIDERE A FUNÇÃO VETORIAL →𝐺 𝑣 =
𝑥 = 3𝑣 - 6
𝑦 = 𝑣 + 1
𝑧 = 𝑣2
, COM V REAL, E A FUNÇÃO →𝐻𝑢, CUJA IMAGEM
FORMA UMA PARÁBOLA DE EQUAÇÃO Y = 2X2+ 3, QUE PERTENCE AO PLANO Z = 4.
ASSINALE A ALTERNATIVA VERDADEIRA SOBRE OS PONTOS COMUNS NAS IMAGENS DAS DUAS
FUNÇÕES:
A) Não existem pontos comuns nas imagens das funções.
B) Existem dois pontos comuns nas imagens das funções com z = 4.
C) Existe apenas um ponto comum nas imagens das funções com z = 4.
D) Existem infinitos pontos comuns nas imagens das funções.
6. CONSIDERANDO AS FUNÇÕES →𝐹 𝑢 = u + cos 𝑢, 1, 3𝑢 E →𝐺 𝑡 = 2𝑡
3 , - 1, 2𝑡 - 1
3𝑠𝑒𝑛 𝑡 , DEFINIDAS PARA
𝑢 𝑒 𝑡 ∈ [0,2𝜋], QUAL É A EQUAÇÃO DO LUGAR GEOMÉTRICO FORMADO PELA IMAGEM DA FUNÇÃO →𝐻𝑡
, SENDO →𝐻𝑡 = 2→𝐹 𝑡 - 3→𝐺 𝑡 ?
A) 4𝑥2 - 𝑧2 = 1 e y = 3
B) 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑧2 = 4 e y = 5
C) 𝑥2 + 4𝑧2 = 4 e y = 5
D) 𝑥2 + 4𝑦2 = 1 e z = 5
GABARITO
1. Considerando as funções →𝐹 𝑢 = 𝑢 + 5, 3 - 𝑢2 , 𝑢3 e →𝐺 𝑡 = 𝑡2 + 1, 𝑡 + 10, 𝑡2 com u e t reais, sabendo que →𝐻𝑢 = 2 →𝐹 𝑢 - →
𝐺 𝑢, o
valor de →𝐻2 é:
A alternativa "A " está correta.
Usando as operações básicas da função vetorial, temos:
→
𝐻𝑢 = 2 
→
𝐹 𝑢 -
→
𝐺 𝑢 = 2𝑓1 𝑢 - 𝑔1 𝑢, 2𝑓2 𝑢 - 𝑔2 𝑢, 2𝑓3 𝑢 - 𝑔3 (𝑢)
→
𝐻𝑢 = 2𝑢 + 5 - 𝑢2 + 1, 23 - 𝑢2 - (𝑢 + 10), 2𝑢3 - 𝑢2
→
𝐻𝑢 = 2𝑢 - 𝑢2 + 9, - 2𝑢2 - 𝑢 - 4 , 2𝑢3 - 𝑢2
→
𝐻2 = 4 - 4 + 9, - 8 - 2 - 4 , 16 - 4 = 9, - 14,12
2. Considerando a função →𝐺 𝑡 = 𝑡 + 2, 3𝑡 - 1 , definida para t ∈ R, a trajetória definida pela imagem da função é:
A alternativa "B " está correta.
Usando as definições de função vetorial, encontramos a equação paramétrica de:
→𝐺 𝑡 = 𝑥 = 𝑡 + 2
𝑦 = 3𝑡 - 1, 𝑡 𝑟𝑒𝑎𝑙
Identificando o valor de t em função de x e substituindo na segunda equação, temos:
𝑡 = 𝑥 - 2 → 𝑦 = 3(𝑥 - 2) - 1 = 3𝑥 - 6 - 1 = 3𝑥 - 7
Então, a imagem segue a trajetória 3𝑥 - 𝑦 - 7 = 0. Como a imagem de 
→
𝐺 𝑡 é definida em R2, a curva é plana e, pela equação, será uma
reta.
3. Considerando as funções →𝐹 𝑡 =
𝑥 = 𝑡
𝑦 = 3 - 𝑡
𝑧 = 𝑡2
 e →𝐺 𝑢 = 𝑢2 , 𝑢 , 3 + 𝑢, com u e t reais, sabendo que →𝐻𝑢 = 2 
→
𝐹 𝑢 x ( -
→
𝐺 𝑢), o valor de
→
𝐻 -1 é:
A alternativa "C " está correta.
4. Considerando a função →𝐹 𝑢 = 2𝑢cos 𝑢, 2𝑢 𝑠𝑒𝑛 𝑢, 𝑢, definida para 𝑢 ∈ 𝑅, qual é a equação da trajetória da curva espacial
definida pela imagem da função?
A alternativa "B " está correta.
Usando as definições de função vetorial, encontramos a equação paramétrica de:
→
𝐹 𝑢 = 𝑥 = 2𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝑢
𝑦 = 2𝑢 𝑠𝑒𝑛 𝑢
𝑧 = 𝑢
, 𝑢 𝑟𝑒𝑎𝑙
Eliminando a variável u, temos:
𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑢 cos 𝑢2 + 2𝑢 sen 𝑢2 = 4𝑢2 𝑐𝑜𝑠2 𝑢 + 4𝑢2 𝑠𝑒𝑛2 𝑢 = 4𝑢2 (𝑐𝑜𝑠2 𝑢 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑢) = 4𝑢2
Porém, pela terceira equação z = u, obtemos:
𝑥2 + 𝑦2 = 4𝑢2 = 4𝑧2 → 𝑥2 + 𝑦2 - 4𝑧2 = 0
5. Considere a função vetorial →𝐺 𝑣 =
𝑥 = 3𝑣 - 6
𝑦 = 𝑣 + 1
𝑧 = 𝑣2
, com v real, e a função →𝐻𝑢, cuja imagem forma uma parábola de equação y =
2x2+ 3, que pertence ao plano z = 4.
Assinale a alternativa verdadeira sobre os pontos comuns nas imagens das duas funções:
A alternativa "C " está correta.
Vamos determinar a função 
→
𝐻𝑡. Para isso, escolhemos um parâmetro t real, tal que x = t. Assim: y = 2t2 + 3
Dessa forma, a equação paramétricada função será:
→
𝐻𝑡 =
𝑥 = 𝑡
𝑦 = 2𝑡2 + 3
𝑧 = 4
A imagem comum deve satisfazer às duas equações paramétricas. Logo, temos:
→
𝐺 𝑣 =
→
𝐻𝑡 ↔
3𝑣 - 6 = 𝑡
𝑣 + 1 = 2𝑡2 + 3
𝑣2 = 4
Da terceira equação, tiramos que v = 2 ou v = – 2
Para v = 2, na primeira equação, obtemos: t = 3 . 2 - 6 = 0
Substituindo v = 2 e t = 0 na segunda equação, obtemos: 2 + 1 = 2 . 0 + 3 → 3 = 3
Assim, a imagem obtida para v = 2 na função G ou t = 0 na função H será a mesma com valor:
𝑥 = 0
𝑦 = 2.02 + 3 = 3
𝑧 = 4
 ou 
𝑥 = 3.2 - 6 = 0
𝑦 = 2 + 1 = 3
𝑧 = 22 = 4
→〈0,3,4〉
Para v = – 2, na primeira equação, obtemos: t = 3 . (– 2) – 6 = – 12
Substituindo v = – 2 e t = – 12 na segunda equação, obtemos: – 2 + 1 = 2 . (– 12)2 + 3 → – 1 ≠291
Assim, não existe imagem comum para o caso de v= – 2
6. Considerando as funções 
→
𝐹 𝑢 = u + cos 𝑢, 1, 3𝑢 e 
→
𝐺 𝑡 = 2𝑡
3 , - 1, 2𝑡 - 1
3𝑠𝑒𝑛 𝑡 , definidas para 𝑢 𝑒 𝑡 ∈ [0,2𝜋], qual é a equação do
lugar geométrico formado pela imagem da função →𝐻𝑡, sendo →𝐻𝑡 = 2
→
𝐹 𝑡 - 3
→
𝐺 𝑡?
A alternativa "C " está correta.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJAM AS FUNÇÕES →𝐺 𝑡 = 𝑡2 - 1, 3 - 𝑡, 𝑡 + 3 E →𝐹 𝑢 = 𝑢 + 1, 𝑢2 + 2, 𝑢2 , COM U E T REAIS. ASSINALE A
ALTERNATIVA QUE REPRESENTA O VALOR DA FUNÇÃO M(U)=→
𝐹 𝑢 . →
𝐺 𝑢, PARA U=1:
A) 〈0,6,4〉
B) 〈2,3,1〉
C) 8
D) 10
2. CONSIDERANDO A FUNÇÃO →𝐹 𝑡 = 2𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡, ln 𝑡 , 𝑡cos 𝑡 , DEFINIDA PARA T REAL MAIOR DO QUE 0
(ZERO), ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A EQUAÇÃO DA TRAJETÓRIA DA CURVA
ESPACIAL DEFINIDA PELA IMAGEM DA FUNÇÃO →𝐹 𝑡:
A) 𝑥2 - 4𝑒2 𝑦 + 4𝑧2 = 0
B) 𝑥2 - 𝑒2 𝑦 + 𝑧2 = 0
C) 𝑥2 - 𝑦2 + 4𝑧2 = 0
D) 𝑥2 + 4𝑙𝑛 𝑦 + 4𝑧2 = 1
GABARITO
1. Sejam as funções →𝐺 𝑡 = 𝑡2 - 1, 3 - 𝑡, 𝑡 + 3 e →𝐹 𝑢 = 𝑢 + 1, 𝑢2 + 2, 𝑢2 , com u e t reais. Assinale a alternativa que representa o
valor da função m(u)=→
𝐹 𝑢 .
→
𝐺 𝑢, para u=1:
A alternativa "D " está correta.
A função m(u) é o resultado de um produto escalar de duas funções vetoriais. Assim, ela será uma função real.
Se 𝑚𝑢 = →
𝐹 𝑢 . →
𝐺 𝑢 → 𝑚𝑢 = 𝑓1 𝑢𝑔1 𝑢 + 𝑓2 𝑢𝑔2 𝑢 + 𝑓3 𝑢𝑔3 𝑢
𝑚𝑢 = 𝑢2 - 1𝑢 + 1 + 3 - 𝑢𝑢2 + 2 + 𝑢 + 3𝑢2
𝑚𝑢 = 𝑢3 + 𝑢2 - 𝑢 - 1 + 3𝑢2 + 6 - 𝑢3 - 2𝑢 + 𝑢3 + 3𝑢2 = 𝑢3 + 7𝑢2 - 3𝑢 + 5
𝑚1 = 1 + 7 - 3 + 5 = 10 
2. Considerando a função →𝐹 𝑡 = 2𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡, ln 𝑡 , 𝑡cos 𝑡 , definida para t real maior do que 0 (zero), assinale a alternativa que
apresenta a equação da trajetória da curva espacial definida pela imagem da função →𝐹 𝑡:
A alternativa "A " está correta.
Usando as definições de função vetorial, encontramos a equação paramétrica de:
→
𝐹 𝑡 =
𝑥 = 2𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑦 = 𝑙𝑛 𝑡
𝑧 = 𝑡cos 𝑡
, 𝑡 > 0
Eliminando a variável t na primeira e na terceira equações: 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 = 𝑥
2 e 𝑡 cos 𝑡 = 𝑧, temos:
(𝑥2)
2 + 𝑧2 = (𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡)
2 + (𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡)
2 = 𝑡2 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 𝑡2 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 = 𝑡2 (𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡) = 𝑡2
Porém, pela segunda equação: 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑡 → 𝑡 = 𝑒𝑦 .
Logo:
(𝑥2)
2 + 𝑧2 = 𝑡2 = (𝑒𝑦 )
2 = 𝑒2𝑦
Então:
𝑥2 + 4𝑧2 = 4𝑒2 𝑦 → 𝑥2 - 4𝑒2𝑦 + 4𝑧2 = 0
MÓDULO 2
 Aplicar as operações do limite, da derivada e da integral nas funções
vetoriais
INTRODUÇÃO
Da mesma forma que definimos as operações de limite, derivada e integral para uma função real, também o faremos para as funções
vetoriais.
Neste módulo, definiremos, então, as operações de limite, derivada e integral e as aplicaremos em alguns problemas de cálculo
diferencial e integral. Veremos que essas operações se relacionam com aquelas correspondentes às funções reais, que são
componentes da função vetorial.
LIMITE E CONTINUIDADE
O limite de uma função vetorial é alcançado obtendo-se o limite de cada uma de suas funções componentes.
Assim, seja →𝐹 𝑡 = 𝑓1 𝑡, 𝑓2 𝑡, … , 𝑓𝑛 (𝑡) ∈ 𝑅𝑛 , com t real.
lim
𝑡 → 𝑎
 
→
𝐹 𝑡 = lim
𝑡 → 𝑎
 𝑓1 (𝑡), lim
𝑡 → 𝑎
 𝑓2 𝑡, … , lim
𝑡 → 𝑎
 𝑓𝑛 (𝑡)
O limite existirá se houver o limite de todas as funções componentes.
A existência do limite implica que, toda vez que t se aproximar do valor a, a função vetorial 
→
𝐹 se aproximará do valor do limite. No
caso da função real, a aproximação da função a seu valor do limite ocorre por valores acima ou abaixo. No caso da função vetorial,
essa aproximação acontece por infinitos caminhos. Porém, existindo o limite 
→
𝐿 , a função sempre tenderá ao vetor 
→
𝐿 , quando t tender
ao valor de a.
A definição foi feita para t → a, mas pode ser extrapolada para todos os tipos de limite para t → a+ , t→ a- ou t → ± ∞ .
Observe que o limite de cada função componente é um limite de uma função real, já estudado anteriormente. Assim, todos os
métodos e as propriedades já conhecidas podem ser utilizados. A única diferença, neste caso, é que, para a função vetorial, serão
resolvidos n limites diferentes, cada um relacionado a uma das n funções componentes.
 EXEMPLO
Determine o limite de 
→
𝐹 𝑡 = 2𝑡 + 1, 2𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑡 , 𝑡
3 - 3𝑡 + 2
𝑡 + 2 quando t tende a 0
SOLUÇÃO
lim
𝑡 → 0
 →𝐹 𝑡 = lim
𝑡 → 0
 2𝑡 + 1, lim
𝑡 → 0
 2𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑡 , lim
𝑡 → 0
 𝑡3 - 3𝑡 + 2
𝑡 + 2
Resolvendo os limites das funções componentes, temos:
✓ Por substituição direta: lim
𝑡 → 0
 2𝑡 + 1 = 2 . 0 + 1 = 1
✓ Pelo limite trigonométrico fundamental: lim
𝑡 → 0
 2𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑡 = 2 lim
𝑡 → 0
 𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑡 = 2 . 1 = 2
✓ Pelo teorema de Leibniz: lim
𝑡 → 0
 𝑡3 - 3𝑡 + 2
𝑡 + 2 = 2
2 = 1
Portanto,
lim
𝑡 → 0
 
→
𝐹 𝑡 = 1,2, 1 = �̂� + 2�̂� + 𝑧
TEOREMA DE LEIBNIZ
De acordo com este teorema:
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Todo polinômio é equivalente a seu termo de maior grau, quando sua variável independente tende a mais ou menos infinito
(+∞ ou - ∞).
Todo polinômio é equivalente a seu termo de menor grau, quando sua variável independente tende a 0 (zero).
Algumas propriedades para o limite de funções vetoriais podem ser demonstradas pela definição do limite e pelas operações das
funções vetoriais. Por exemplo:
✓ lim
𝑡 → 𝑎
 (𝑘1
→
𝐹 𝑡 ± 𝑘2
→
𝐺 𝑡) = 𝑘1 lim
𝑡 → 𝑎
 
→
𝐹 𝑡 ± 𝑘2 lim
𝑡 → 𝑎
 
→
𝐺 𝑡, onde k1 e k2 são números reais
✓ lim
𝑡 → 𝑎
 
→
𝐹 𝑡 .
→
𝐺 𝑡 = lim
𝑡 → 𝑎
 
→
𝐹 𝑡 . lim
𝑡 → 𝑎
 
→
𝐺 𝑡
✓ lim
𝑡 → 𝑎
 →
𝐹 𝑡 x →
𝐺 𝑡 = lim
𝑡 → 𝑎
 →
𝐹 𝑡 x lim
𝑡 → 𝑎
 →
𝐺 𝑡
CONTINUIDADE
De forma semelhante à função real, vamos definir a continuidade de uma função vetorial em um ponto do seu domínio t = t0
Considerando 
→
𝐹 𝑡 = 𝑓1 𝑡, 𝑓2 𝑡, … , 𝑓𝑛 (𝑡) ∈ 𝑅𝑛 , com t real, e t0 um ponto do domínio da função, a função 
→
𝐹 𝑡 será contínua em t = t0 se
e somente se: lim
𝑡 → 𝑡0
 →
𝐹 𝑡 = →
𝐹 𝑡0
Em outras palavras, é necessário existir o limite para quando t tende a t0, e esse limite precisa ter o valor da função no ponto t = t0
A função →𝐹 𝑡 só será contínua em um ponto t0 se todas as suas funções componentes forem contínuas no ponto t0
 EXEMPLO
Considerando a função →𝐹 𝑡 = 2𝑡 + 1, 2𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑡 , 𝑡
3 - 3𝑡 + 2
𝑡 + 2 , para t real diferente de 0 (zero) e de – 2, determine o valor de →𝐹 0 e →𝐹 -2 para que a
função seja contínua para todo t real.
SOLUÇÃO
No exemplo anterior, já foi obtido o limite:
lim
𝑡 → 0
 
→
𝐹 𝑡 = 1,2, 1 = �̂� + 2�̂� + 𝑧
O limite existe. Para que seja contínua, a função deve ter valor em t = 0 igual ao valor do limite no ponto. Portanto, temos:
→
𝐹 0 = 1,2, 1 = �̂� + 2�̂� + 𝑧
Para o caso de t = – 2, necessitamos, inicialmente, verificar se o limite existe. Vejamos:
lim
𝑡 → - 2
 
→
𝐹 𝑡 = lim
𝑡 → - 2
 2𝑡 + 1, lim
𝑡 → - 2
 2𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑡 , lim
𝑡 → - 2
 𝑡3 - 3𝑡 + 2
𝑡 + 2
Resolvendo os limites das funções componentes, temos:
✓ Por substituição direta: lim
𝑡 → - 2
 2𝑡 + 1 = 2 . -2 + 1 = - 3
✓ Por substituição direta: lim
𝑡 → - 2
 2𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑛-2
-2 = - 𝑠𝑒𝑛 -2 = 𝑠𝑒𝑛 2
✓ Pelo método da substituição de funções: lim
𝑡 → - 2
 𝑡3 - 3𝑡 + 2
𝑡 + 2 = -8 + 6 + 2
-2 + 2 = 0
0
Porém, 𝑡3 - 3𝑡 + 2 = (𝑡 + 2)(𝑡2 - 2𝑡 + 1)
Logo, lim
𝑡 → -2
 𝑡3 - 3𝑡 + 2
𝑡 + 2 = lim
𝑡 → - 2
 (𝑡 + 2)(𝑡2 - 2𝑡 + 1)
𝑡 + 2 = lim
𝑡 → - 2
 (𝑡2 - 2𝑡 + 1) = 4 + 4 + 1 = 9
javascript:void(0)
Portanto, lim
𝑡 → - 2
 
→
𝐹 𝑡 = -3, 𝑠𝑒𝑛(2), 9 = - 3�̂� + 𝑠𝑒𝑛2�̂� + 9𝑧
O limite existe. Para que seja contínua, a função deve ter valor em t = – 2 igual ao valor do limite no ponto. Assim:
→
𝐹 -2 = -3, 𝑠𝑒𝑛(2), 9 = - 3�̂� + 𝑠𝑒𝑛2�̂� + 9𝑧
DERIVADA DE FUNÇÕES VETORIAIS
A derivada de uma função vetorial será definida de forma similar às funções reais.
Assim, seja 
→
𝐹 𝑡 = 𝑓1 𝑡, 𝑓2 𝑡, … , 𝑓𝑛 (𝑡) ∈ 𝑅𝑛 , com t real:
→
𝐹'𝑡 = 𝑑→𝐹
𝑑𝑡 = lim
ℎ → 0
 
→𝐹 𝑡 + ℎ - →𝐹 𝑡
ℎ
Se o limite existir, a função será derivável ou diferençável, e sua derivada terá o valor fornecido pelo limite. Para ser derivável ou
diferençável em um intervalo, a função deve ser derivável para todos os pontos desse intervalo.
A definição anterior pode ser obtida pela derivada das funções componentes da seguinte forma:
→
𝐹'𝑡 = 𝑓'1 𝑡, 𝑓'2 𝑡, … , 𝑓'𝑛 (𝑡) ∈ 𝑅𝑛 , com t real
Observe, portanto, que devemos empregar todas as formas e regras de derivação aprendidas para as funções reais, com a única
diferença de que derivaremos n funções componentes.
 EXEMPLO
Vamos obter a derivada da função 
→
𝐺 𝑢 = sec 𝑢, 𝑢2 + 1, 3𝑒𝑢 para u=𝜋
4
SOLUÇÃO
→𝐺'𝑢 = 𝑔
1
, 𝑢,𝑔
2
, 𝑢,𝑔
3
, (𝑢)
𝑔1 (𝑢) = 𝑠𝑒𝑐 𝑢 → 𝑔1
, (𝑢) = 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑡𝑔 𝑢
𝑔2 (𝑢) = 𝑢2 + 1 → 𝑔3
, (𝑢) = 2𝑢
𝑔3 (𝑢) = 3𝑒𝑢 → 𝑔3
, (𝑢) = 3𝑒𝑢
Assim,
→𝐺'𝑢 = sec 𝑢 𝑡𝑔 𝑢 , 2𝑢 , 3𝑒2 = 𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑡𝑔 𝑢�̂� + 2𝑢 �̂� + 3 𝑒𝑢 𝑧
→
𝐺'𝜋4 = sec 𝜋
4 𝑡𝑔 𝜋4 , 2𝜋
4 , 3𝑒
𝜋
4 = √2 , 𝜋2, 3𝑒
𝜋
4 = √2�̂� + 𝜋
2 �̂� + 3𝑒
𝜋
4 𝑧
Geometricamente, a derivada de →𝐹 𝑡 representará um vetor que será tangente à trajetória definida pela função vetorial. Esse vetor
será denominado vetor tangente à curva de→
𝐹 𝑡 no ponto analisado. No próximo módulo, estudaremos a aplicação da derivada
no cálculo do vetor e da reta tangente à trajetória definida pela função.
PROPRIEDADES DA DERIVAÇÃO
Por meio da definição da derivada e das operações das funções vetoriais, podemos obter algumas propriedades para a
derivação de uma função vetorial. São elas:
✓ 𝑑𝑑𝑡
→
𝐹 𝑡 + →
𝐺 𝑡 = 𝑑
𝑑𝑡
→
𝐹 𝑡 + 𝑑
𝑑𝑡
→
𝐺 𝑡
✓ 𝑑𝑑𝑡𝑘
→
𝐹 𝑡 = 𝑘 𝑑
𝑑𝑡
→
𝐹 𝑡, k real
javascript:void(0)
✓ 𝑑
𝑑𝑡𝑢𝑡
→
𝐹 𝑡 = 𝑢'𝑡
→
𝐹 𝑡 + 𝑢𝑡𝑑𝑑𝑡
→
𝐹 𝑡,u(t) função real
✓ 𝑑𝑑𝑡
→𝐹 𝑡 . →𝐺 𝑡 = 𝑑
𝑑𝑡
→𝐹 𝑡 . →𝐺 𝑡 + →𝐹 𝑡 . 𝑑
𝑑𝑡
→𝐺 𝑡 
✓ 𝑑𝑑𝑡
→
𝐹 𝑡 x 
→
𝐺 𝑡 = 𝑑
𝑑𝑡
→
𝐹 𝑡 x 
→
𝐺 𝑡 +
→
𝐹 𝑡 x 𝑑𝑑𝑡
→
𝐺 𝑡
✓ 𝑑
𝑑𝑡
→
𝐹 𝑢𝑡 = 𝑑
𝑑𝑡
→
𝐹 𝑢𝑡 𝑢'𝑡 , com u(t) função real – Regra da Cadeia
 EXEMPLO
Exemplo 1 - Considerando uma função vetorial →𝐺 𝑡, tal que, para todo t de seu domínio, a norma (módulo) de →𝐺 𝑡 seja sempre
igual a uma constante k, determine o valor do produto escalar de →𝐺 𝑡 . 𝑑
𝑑𝑡
→𝐺 𝑡
SOLUÇÃO
Como →𝐺 𝑡 é um vetor, então: →𝐺 𝑡
2
= →
𝐺 𝑡 . →
𝐺 𝑡
Pelo enunciado, temos: 
→
𝐺 𝑡
2
=
→
𝐺 𝑡 .
→
𝐺 𝑡 = 𝑘2
Como 
→
𝐺 𝑡 .
→
𝐺 𝑡 é uma constante, então sua derivada é nula. Usando a regra da derivada do produto escalar, temos:
𝑑
𝑑𝑡
→𝐺 𝑡 . →𝐺 𝑡 = 𝑑
𝑑𝑡
→𝐺 𝑡 . →𝐺 𝑡 + →𝐺 𝑡 . 𝑑
𝑑𝑡
→𝐺 𝑡 = 2→𝐺 𝑡 . 𝑑
𝑑𝑡
→𝐺 𝑡 = 0
Logo, →𝐺 𝑡 . 𝑑
𝑑𝑡
→
𝐺 𝑡 = 0
Como o produto escalar será 0 (zero), o vetor →𝐺 𝑡 e o vetor →𝐺'𝑡 serão ortogonais.
Por fim, as derivadas de ordem superior serão definidas de forma semelhante, isto é, a derivada de ordem n da função
vetorial será obtida pelas derivadas de ordem n das funções componentes.
 EXEMPLO
Exemplo 2 - Vamos obter a derivada de segunda ordem da função →𝐺 𝑢 = sec 𝑢, 𝑢2 + 1, 3𝑒𝑢 .
SOLUÇÃO
No exemplo anterior, já foi obtido que: →𝐺'𝑢 = sec 𝑢 𝑡𝑔 𝑢 , 2𝑢 , 3𝑒𝑢
Assim, →𝐺''𝑢 =
→
𝐺'𝑢
,
𝑔1 (𝑢) = sec 𝑢 → 𝑔1
, (𝑢) = sec 𝑢 𝑡𝑔 𝑢 → 𝑔1
, , (𝑢) = sec 𝑢 𝑡𝑔2 𝑢 + sec3 𝑢
𝑔2 (𝑢) = 𝑢2 + 1 → 𝑔3
, (𝑢) = 2𝑢 → 𝑔2
, , (𝑢) = 2
𝑔3 (𝑢) = 3𝑒𝑢 → 𝑔3
, (𝑢) = 3𝑒𝑢 → 𝑔3
, , (𝑢) = 3𝑒𝑢
Portanto,
→
𝐺''𝑢 = sec 𝑢 𝑡𝑔2 𝑢 + 𝑠𝑒𝑐3 𝑢, 2, 3𝑒𝑢 
INTEGRAIS DAS FUNÇÕES VETORIAIS
De forma semelhante à operação do limite e da derivada, a integração de funções vetoriais segue a mesma definição da
integração de uma função real e será calculada por meio da integração de suas funções componentes.
Assim, seja →𝐹 𝑡 = 𝑓1 𝑡, 𝑓2 𝑡, … , 𝑓𝑛 (𝑡) ∈ 𝑅𝑛 , com t real, definida em [a,b]:
javascript:void(0)
javascript:void(0)
∫𝑎
𝑏 →
𝐹 𝑡𝑑𝑡 =
𝑏
∫𝑎 𝑓1 𝑡𝑑𝑡, 
𝑏
∫𝑎 𝑓2 𝑡𝑑𝑡, … , 
𝑏
∫𝑎 𝑓𝑛 𝑡𝑑𝑡 ∈ 𝑅𝑛
Portanto, a integração definida de uma função vetorial terá como resultado um vetor. A função será integrável se existirem
todas as integrais definidas das funções componentes.
Também podemos utilizar o teorema fundamental do cálculo e verificar que:
∫𝑎
𝑏 →
𝐹 𝑡𝑑𝑡 =
→
𝐺 𝑡𝑎
𝑏
=
→
𝐺 𝑏 -
→
𝐺 𝑎
Onde →𝐺 𝑡 é uma primitiva de →𝐹 𝑡, isto é, →𝐺'𝑡 =
→
𝐹 𝑡
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
∫𝑎
𝑏
𝑓𝑥𝑑𝑥 = 𝐹𝑥𝑎
𝑏 = 𝐹𝑏 - 𝐹𝑎
 EXEMPLO
Considerando a função →𝐻𝑢 = 𝑢 �̂� + cos 𝑢 �̂� - 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑧 para u > 0, determine ∫0
𝜋
4 →𝐻𝑢𝑑𝑢.
SOLUÇÃO
∫0
𝜋
4 →
𝐻𝑢𝑑𝑢 = ∫0
𝜋
4 𝑢 �̂� + cos 𝑢 �̂� - 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑧𝑑𝑢 = ∫0
𝜋
4 𝑢 𝑑𝑢 �̂� + ∫0
𝜋
4 cos 𝑢 𝑑𝑢 �̂� - ∫0
𝜋
4 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 𝑧
∫0
𝜋
4 →𝐻𝑢𝑑𝑢 = 𝑢2
2 0
𝜋
4 �̂� + 𝑠𝑒𝑛 𝑢0
𝜋
4 �̂� - tg 𝑢
0
𝜋
4 𝑧
∫0
𝜋
4 →
𝐻𝑢𝑑𝑢 = 1
2
𝜋
4
2 - 0�̂� + 𝑠𝑒𝑛𝜋
4 - 𝑠𝑒𝑛(0)�̂� - 𝑡𝑔𝜋
4 - 𝑡𝑔(0)𝑧
∫0
𝜋
4 →
𝐻𝑢𝑑𝑢 = 𝜋2
32�̂� + √2
2 �̂� - 𝑧
javascript:void(0)
javascript:void(0)
TEORIA NA PRÁTICA
Um objeto se desloca em uma trajetória definida pela função →𝐹 𝑡 =
𝑥 = 𝑡3 - 𝑡2 + 1
𝑦 = 𝑡2 - 8𝑡 + 4
𝑧 = 𝑡 + 8
, com t > 0 e as componentes medidas em
metro.
Considere como sentido positivo da trajetória o sentido do crescimento do parâmetro t. Determine o valor do módulo da
velocidade e da aceleração do objeto para o instante t = 2.
SOLUÇÃO
Como o enunciado informa, a posição do objeto será dada pela imagem da função vetorial.
Como a velocidade será a taxa de variação instantânea da posição, a velocidade será a derivada da posição em relação ao
parâmetro t. Portanto, será derivada da função vetorial.
Assim, temos:
→𝑣 𝑡 = →
𝐹'𝑡 = 𝑡3 - 𝑡2 + 1
,
, 𝑡2 - 8𝑡 + 4
,
, 𝑡 + 8,
→𝑣 𝑡 =
→
𝐹'𝑡 = 3𝑡2 - 2𝑡, 2𝑡 - 8, 1 m/s
Para t = 2→ →𝑣 2 = 3.4 - 2.2, 2.2 - 8, 1 = 8, - 4,1 m/s
→𝑣 (2) = √82 + ( - 4)2 + 12 = √64 + 16 + 1 = √81 = 9 m/s
Como a aceleração será a taxa de variação instantânea da velocidade, a aceleração será a derivada da velocidade em relação
ao parâmetro t. Portanto, será derivada da função vetorial.
Assim, temos:
→𝑎 𝑡 =
→
𝐹''𝑡 = 3𝑡2 - 2𝑡
,
, 2𝑡 - 8, , 1,
→𝑎 𝑡 =
→
𝐹'' 𝑡 = 6𝑡 - 2, 2, 0 m/s2
Para t = 2→ →𝑎 2 = 6.2 - 2, 2, 0 = 10,2, 0 m/s2
→𝑎 (2) = √102 + 22 + 02 = √100 + 4 + 0 = √104 = 2√26 m/s2
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERANDO A FUNÇÃO →𝐹 𝑡 = 𝑒𝑡 - 2 , 𝑡 + 6
𝑡 + 2,
√𝑡 - √2
𝑡 - 2 , CASO EXISTA, QUAL É O LIMITE DE →𝐹 𝑡 QUANDO T
TENDE A 2?
javascript:void(0)
A) O limite não existe.
B) lim
𝑡 → 2
 →𝐹 𝑡 = 1, 2 , √2
4
C) lim
𝑡 → 2
 
→
𝐹 𝑡 = ∞, 2 , √2
4
D) lim
𝑡 → 2
 
→
𝐹 𝑡 = 1, 2 , 0
2. CONSIDERANDO A FUNÇÃO →𝐹 𝑢 = 𝑡𝑔 𝑢,𝑢2 + 3, 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + cos 𝑢, PARA U REAL, ASSINALE A
ALTERNATIVA QUE APRESENTA UM VETOR COM DIREÇÃO PARALELA À DIREÇÃO TANGENTE À
CURVA DEFINIDA PELA IMAGEM DA FUNÇÃO NO PONTO U = π4:
A) 〈4 ,π ,0〉
B) 〈-4 ,2π ,0〉
C) 〈4 ,0 ,8〉
D) 〈0 ,2π ,4〉
3. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR DE ∫0
𝜋 →
𝐺 𝑢𝑑𝑢, SENDO →𝐺 𝑢 = 𝑥 = 𝑢 - 𝑒𝑢
𝑦 = 1 - 𝑢2
𝑧 = sen 𝑢
, U REAL:
A) 𝜋
2
2 + 𝑒𝜋 - 1�̂� + 𝜋 + 𝜋3
3 + 1�̂� + 𝜋 + 2𝑧
B) 𝑒𝜋 + 1�̂� + 𝜋3
3 �̂� + cos 2𝑧
C) 𝜋3 + 1�̂� + 𝜋 + 1�̂� + 2𝑧
D) 𝜋
2
2 - 𝑒𝜋 + 1�̂� + 𝜋 - 𝜋3
3 �̂� + 2𝑧
4. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR DE ∫0
1 (→𝐻𝑡 x 
→
𝐹 𝑡) 𝑑𝑡, SENDO →𝐻𝑡 = 2𝑡, 2 , 1 E
→𝐹 𝑡 =
𝑥 = 3
𝑦 = 𝑡2 + 1
𝑧 = 2𝑡 -1
, T REAL:
A) 〈 - 4
3,
8
3,
9
2〉
B) 〈2
3,
1
3,
7
2〉
C) 〈4
3,
8
3,
9
2〉
D) 〈 - 2
3,
5
3,
1
2〉
5. CONSIDERANDO AS FUNÇÕES →𝐹 𝑢 = 𝑢
2 𝑠𝑒𝑛𝑢,
𝑢2 + 6𝑢 - 1
𝑢 + 1 , 𝑢 + 8
𝑢 + 4 E →𝐺 𝑢 = 𝑢
𝑢 - 12 - 1
, 2𝑢
cos 𝑢, 8, CASO EXISTA, QUAL
SERÁ O LIMITE DE →𝐹 𝑢 x →𝐺 𝑢 QUANDO U TENDE A 0 (ZERO)?
A) 〈 - 8, - 5, - 1
2〉
B) 〈 - 1, 2, 1
2〉
C) O limite não existe.
D) 〈8, 5, 1
2〉
6. CONSIDERANDO AS FUNÇÕES →𝐹 𝑢 = 3𝑢2 + 𝑒𝑢 , 2 𝑠𝑒𝑛 2𝑢, √𝑢 E →𝐺 𝑢 = 4, 𝑢2 + 1, 𝑢 + 1, DEFINIDAS PARA
U > 0 E A FUNÇÃO REAL V(U) = U2, QUAL SERÁ A DERIVADA DA FUNÇÃO 𝑚𝑢 =
→
𝐹 𝑢 .
→
𝐺 𝑣𝑢 PARA M=1?
A) 8 – 2e + 4 cos 2 – 16 sen 2
B) 12 + 2e – 2 sen 2 – 8 cos 2
C) 29 + 4e + 8 cos 2 + 16 sen 2
D) 4e2 + sen 2 – cos 2
GABARITO
1. Considerando a função →𝐹 𝑡 = 𝑒𝑡 - 2 , 𝑡 + 6
𝑡 + 2, √𝑡 - √2
𝑡 - 2 , caso exista, qual é o limite de →𝐹 𝑡 quando t tende a 2?
A alternativa "B " está correta.
lim
𝑡 → 2
 →𝐹 𝑡 = lim
𝑡 → 2
 𝑒𝑡 - 2 , lim
𝑡 → 2
 𝑡 + 6
𝑡 + 2, lim
𝑡 → 2
 √𝑡 - √2
𝑡 - 2
✓ Por substituição direta: lim
𝑡 → 2
𝑒𝑡 - 2 = 𝑒2 - 2 = 𝑒0 = 1
✓ Por substituição direta: lim
𝑡 → 2
𝑡 + 6
𝑡 + 2 = 2 + 6
2 + 2 = 2
✓ Por substituição de função: lim
𝑡 → 2
√𝑡 - √2
𝑡 - 2 = 0
0
Porém, 𝑡 - 2 = (√𝑡 + √2)(√𝑡 - √2)
Logo, lim
𝑡 → 2
√𝑡 - √2
𝑡 - 2 = lim
𝑡 → 2
√𝑡 - √2
(√𝑡 + √2)(√𝑡 - √2)
= lim
𝑡 → 2
1
(√𝑡 + √2)
= 1
2√2
= √2
4
Assim, lim
𝑡 → 2
 →
𝐹 𝑡 = 1, 2 , √2
4
2. Considerando a função →𝐹 𝑢 = 𝑡𝑔 𝑢,𝑢2 + 3, 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + cos 𝑢, para u real, assinale a alternativa que apresenta um vetor com
direção paralela à direção tangente à curva definida pela imagem da função no ponto u = π4:
A alternativa "A " está correta.
A direção tangente à curva em um ponto é dada pela derivada da função vetorial no ponto desejado.
Se 
→
𝐹 𝑢 = 𝑡𝑔 𝑢,𝑢2 + 3, 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + cos 𝑢 →
→
𝐹'𝑢 = (𝑡𝑔 𝑢), ,𝑢2 + 3
,
, (𝑠𝑒𝑛 𝑢 + cos 𝑢),
→
𝐹'𝑢 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑢, 2𝑢 , cos 𝑢 - 𝑠𝑒𝑛 𝑢
→
𝐹'𝜋4 = 𝑠𝑒𝑐2 𝜋
4, 2𝜋
4 , cos 𝜋
4 - 𝑠𝑒𝑛 𝜋4 = 2 , 𝜋2, 0
Qualquer vetor paralelo à direção tangente terá componente dado por:
→𝑤 = 𝑘 →𝐹 '𝜋4 = 𝑘2 , 𝜋2, 0 = 2𝑘 , 𝜋𝑘2 , 0 , 𝑘 𝑟𝑒𝑎𝑙
Se k = 2 → →𝑤 = 〈4 , π , 0〉
3. Assinale a alternativa que apresenta o valor de ∫0
𝜋 →
𝐺 𝑢𝑑𝑢, sendo →𝐺 𝑢 =
𝑥 = 𝑢 - 𝑒𝑢
𝑦 = 1 - 𝑢2
𝑧 = sen 𝑢
, u real:
A alternativa "D " está correta.
∫0
𝜋 →
𝐺 𝑢𝑑𝑢 = ∫0
𝜋
𝑢 - 𝑒𝑢 𝑑𝑢 �̂� + ∫0
𝜋
1 - 𝑢2 𝑑𝑢 �̂� + ∫0
𝜋
sen 𝑢 𝑑𝑢 𝑧
∫0
𝜋 →
𝐺 𝑢𝑑𝑢 = 𝑢2
2 - 𝑒𝑢
0
𝜋
�̂� + 𝑢 - 𝑢3
3 0
𝜋
�̂� + -𝑐𝑜𝑠 𝑢0
𝜋 𝑧
∫0
𝜋 →
𝐺 𝑢𝑑𝑢 = 𝜋2
2 - 𝑒𝜋 - 0 + 𝑒0 �̂� + 𝜋 - 𝜋3
3 - 0 + 0�̂� + -𝑐𝑜𝑠𝜋 + cos 0𝑧
∫0
𝜋 →
𝐺 𝑢𝑑𝑢 = 𝜋2
2 - 𝑒𝜋 + 1�̂� + 𝜋 - 𝜋3
3 �̂� + 2𝑧
4. Assinale a alternativa que apresenta o valor de ∫0
1
(
→
𝐻𝑡 x →𝐹 𝑡) 𝑑𝑡, sendo →𝐻𝑡 = 2𝑡, 2 , 1 e →𝐹 𝑡 =
𝑥 = 3
𝑦 = 𝑡2 + 1
𝑧 = 2𝑡 - 1
, t real:
A alternativa "A " está correta.
5. Considerando as funções →𝐹 𝑢 = 𝑢
2 𝑠𝑒𝑛𝑢,
𝑢2 + 6𝑢 - 1
𝑢 + 1 , 𝑢 + 8
𝑢 + 4 e →𝐺 𝑢 = 𝑢
𝑢 - 12 - 1
, 2𝑢
cos 𝑢, 8, caso exista, qual será o limite de →𝐹 𝑢 x →𝐺 𝑢 quando u
tende a 0 (zero)?
A alternativa "A " está correta.
6. Considerando as funções →𝐹 𝑢 = 3𝑢2 + 𝑒𝑢 , 2 𝑠𝑒𝑛 2𝑢, √𝑢 e →𝐺 𝑢 = 4, 𝑢2 + 1, 𝑢 + 1, definidas para u > 0 e a função real v(u) = u2,
qual será a derivada da função 𝑚𝑢 = →
𝐹 𝑢 . →
𝐺 𝑣𝑢 para m=1?
A alternativa "C " está correta.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SABENDO QUE →𝐺 𝑢 = 2 cos 2𝑢, 𝑢3 + 2, ln 𝑢 , PARA U > 0, QUAL É A DERIVADA DE →𝐺 𝑢 PARA U=𝜋
4?
A) 4, 𝜋
2
16, 2
𝜋 
B) -1, 3𝜋
2
8 , 4 
C) -4, 3𝜋
2
16 , 4
𝜋 
D) 4, 𝜋
2
6 , 1
𝜋 
2. SABENDO QUE →𝐺 𝑢 = 𝑢, 3𝑢
2
4 , 12 , PARA U REAL, QUAL É O MÓDULO DO VETOR →𝑤 , JÁ QUE
→𝑤 =
4
∫
0
→
𝐺 (𝑢)𝑑𝑢?
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
GABARITO
1. Sabendo que →𝐺 𝑢 = 2 cos 2𝑢, 𝑢3 + 2, ln 𝑢 , para u > 0, qual é a derivada de →𝐺 𝑢 para u=𝜋
4?
A alternativa "C " está correta.
De acordo com o conceito da derivada de uma função vetorial:
Se 
→
𝐺 𝑢 = 2 cos 2𝑢, 𝑢3 + 2, ln 𝑢 →
→
𝐺 '𝑢 = 2 cos 2𝑢' , 𝑢3 + 2
'
, ln 𝑢' 
→
𝐺 '𝑢 = -4𝑠𝑒𝑛(2𝑢), 3𝑢2 , 1
𝑢 →
→
𝐺 '𝜋4 = -4𝑠𝑒𝑛(2𝜋
4), 3𝜋
4
2 , 1
𝜋
4
 
→
𝐺 '𝜋4 = -4, 3𝜋
2
16 , 4
𝜋 
2. Sabendo que 
→
𝐺 𝑢 = 𝑢, 3𝑢
2
4 , 12 , para u real, qual é o módulo do vetor →𝑤 , já que →𝑤 =
4
∫
0
→
𝐺 (𝑢)𝑑𝑢?
A alternativa "B " está correta.
De acordo com o conceito da integral de uma função vetorial:
→𝑤 = ∫0
4 →
𝐺 (𝑢)𝑑𝑢 = ∫0
4
𝑢 𝑑𝑢 �̂� + ∫0
4
(3𝑢2
4 )𝑑𝑢 �̂� + ∫0
4 1
2𝑑𝑢 𝑧
→𝑤 = ∫0
4 →
𝐺 𝑢𝑑𝑢 = 𝑢2
2 0
4
�̂� + 𝑢3
4 0
4
�̂� + 1
2𝑢0
4 𝑧
→𝑤 = ∫0
4 →
𝐺 𝑢𝑑𝑢 = 16
2 - 0�̂� + 64
4 - 0�̂� + 2 - 0𝑧
→𝑤 = 8�̂� + 16�̂� + 2𝑧 → |→𝑤 | = √82 + 162 + 22 = √324 = 18
MÓDULO 3
 Empregar as funções vetoriais no estudo das curvas no plano e no espaço,
bem como no movimento de um objeto
INTRODUÇÃO
A imagem de uma função vetorial pode ser analisada como o traçado de uma curva, que é percorrida conforme o parâmetro
varia. Assim, uma aplicação da função vetorial é o estudo de curvas no plano e no espaço.
Os vetores e as retas normais e tangenciais à curva, bem como o comprimento do arco e a curvatura, podem ser obtidos por
meio da função vetorial.
Este módulo apresentará tal estudo e a aplicação do conceito na análise do movimento de um objeto.
VETOR E RETA TANGENTE À CURVA
Como já vimos, a imagem de uma função vetorial pode ser analisada como a trajetória de uma curva no plano ou no espaço.
Como também já analisamos, a derivada da função vetorial terá a direção tangente à trajetória da curva traçada pela função.
Assim, podemos, por meio da função derivada, obter um versor que definirá a direção tangente à curva no ponto →𝐹 𝑡0 .
Como a derivada da função é um vetor tangente à curva no ponto t0, então, conforme se estuda em geometria analítica, o
versor que definirá a direção tangente à curva será dado por:
→
T t0 =
→F't0
→F't0
Para →𝐹' t0 ≠ 0.
Lembre-se de que o versor é um vetor unitário, isto é, de módulo igual a 1.
Se soubermos um ponto da reta e sua direção (vetor diretor), poderemos definir sua equação.
A reta tangente à curva passa pelo ponto →𝐹 𝑡0 e tem vetor diretor dado pelo valor de →𝐹'𝑡0 . Portanto, a equação paramétrica da
reta tangente à curva pode ser obtida por:
→𝑟 𝜆 -
→
𝐹 𝑡0 = 𝜆
→
𝐹 '𝑡0 , λ real
 EXEMPLO
Exemplo 1 - Considerando a função →𝐹 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 2 cos 𝑡, 5, definida para 𝑡 ∈ 0,2𝜋, determine o vetor, de módulo 3, tangente
à curva para t = 𝜋4
SOLUÇÃO
Vamos obter a derivada da função vetorial:
→𝐹'𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡', 2 cos 𝑡', 5' = 2 cos 𝑡, - 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 0
Então,
→
𝐹'𝑡 = √(2 𝑐𝑜𝑠𝑡)2 + ( - 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡)2 + 0 = √4((𝑐𝑜𝑠𝑡)2 + (𝑠𝑒𝑛 𝑡)2 ) = 2
Assim, o versor tangente à curva no ponto t0 será:
→
𝑇 𝑡 =
→𝐹 '𝑡
→𝐹 '𝑡
= 1
22 cos 𝑡, - 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 0 = cos 𝑡, - 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 0
Para t0=𝜋
4→→
𝑇 𝜋
4 = cos 𝜋
4, - 𝑠𝑒𝑛 𝜋4 , 0 = √2
2 , - √2
2 , 0 = √2
2 �̂� - √2
2 �̂�
Como o vetor →𝑢 terá módulo 3, então:
→𝑢 = 3
→
𝑇 𝜋
4 = 3√2
2 , - 3√2
2 , 0
Portanto, no ponto t = 𝜋4, isto é, →𝐹 𝜋
4 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝜋4, 2 cos 𝜋
4, 5 = √2, √2, 5, o versor tangente será →𝑇 𝜋
4 = √2
2 �̂� - √2
2 �̂� e o vetor pedido será
→𝑢 = 3√2
2 �̂� - 3√2
2 �̂�
javascript:void(0)
 EXEMPLO
Exemplo 2 - Considerando a função →𝐹 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 2 cos 𝑡, 5, definida para 𝑡 ∈ 0,2𝜋, determine a reta tangente à curva para t
= 𝜋4
SOLUÇÃO
Vamos obter a derivada da função vetorial:
→
𝐹'𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡', 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡', 5' = 2 cos 𝑡, - 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 0
Obtendo a equação da reta tangente a curva, temos:
→𝑟 𝜆 -
→
𝐹 𝑡0 = 𝜆
→
𝐹'𝑡0 →→𝑟 𝑡 =
→
𝐹 𝑡0 + 𝜆
→
𝐹'𝑡0 , λ real
→𝑟 𝜆 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡0 , 2 cos 𝑡0 , 5+ λ 2 cos 𝑡0 , - 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡0 , 0
Substituindo 𝑡 = 𝜋
4, temos:
→𝑟 (𝜆) = 〈2 𝑠𝑒𝑛 𝜋4, 2 cos 𝜋
4, 5〉 + λ 2 cos 𝜋
4, - 2 𝑠𝑒𝑛 𝜋4 , 0
→𝑟 𝜆 = √2, √2, 5+ λ √2, - √2, 0 = √2 + 𝜆√2, √2 - 𝜆√2, 5
→𝑟 𝜆 =
𝑥 = √2 + 𝜆√2
𝑦 = √2 - 𝜆√2
𝑧 = 5
, 𝜆 𝑟𝑒𝑎𝑙
VETOR NORMAL E BINORMAL À CURVA
Outro vetor que pode ser obtido é o vetor normal à curva no ponto t0.
Qualquer vetor que apresente um produto escalar com o vetor tangente igual a 0 (zero) será normal à curva. Lembre-se de
que, no caso do plano, só existe uma direção normal, mas, no caso do espaço, existem infinitas direções normais.
Vamos usar um conceito que já foi visto em um exemplo anterior. Se o módulo de um vetor for constante para todos os
valores do parâmetro, então o vetor será ortogonal a sua derivada.
Considere o versor tangente à curva →𝑇 𝑡 =
→𝐹'𝑡
→𝐹'𝑡
 Como já é de nosso conhecimento, por ser um versor, →𝑇 𝑡 = 1 para todos os
valores de t; assim, obrigatoriamente: →𝑇 𝑡 . →
𝑇 '𝑡 = 0
Portanto, o vetor →𝑇 '𝑡 será perpendicular ao vetor tangente →𝑇 𝑡 e, então, normal à curva. Basta, agora, transformar o mesmo
em um versor.
Definimos o versor normal principal ou vetor normal principal unitário →𝑁𝑡 como:
→
𝑁𝑡 =
→𝑇 '𝑡
→𝑇 '𝑡
 EXEMPLO
Exemplo 1- Considere a função →𝐹 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 2 cos 𝑡, 5, definida para 𝑡 ∈ 0,2𝜋. Determine o versor normal principal à curva
para t = 𝜋4
SOLUÇÃO
Como calculado nos exemplos anteriores:
→
𝑇 𝑡 =
→𝐹'𝑡
→𝐹'𝑡
= cos 𝑡, - 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 0
javascript:void(0)
javascript:void(0)
→
𝑇 '𝑡 = ( cos 𝑡)', ( - 𝑠𝑒𝑛 𝑡)' , (0)' = - 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , - cos 𝑡 , 0
Observe como →𝑇 𝑡 𝑒 →𝑇, 𝑡 são ortogonais:
→
𝑇 𝑡 .
→
𝑇, 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑡-𝑠𝑒𝑛𝑡 + -𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑡-𝑐𝑜𝑠𝑡 + 0.0 = - 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 0
Isso era o esperado!
Calculando o módulo do vetor →𝑇, 𝑡, temos:
→
𝑇 '𝑡 = √( - 𝑠𝑒𝑛𝑡)2 + ( - 𝑐𝑜𝑠𝑡)2 + 02 = 1
Portanto, o vetor unitário principal será:
→
𝑁𝑡 =
→𝑇 '𝑡
→𝑇 '𝑡
=
→𝑇 '𝑡
1 =- 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , - cos 𝑡 , 0
Para t = 𝜋4 → →𝑁𝑡 = - 𝑠𝑒𝑛 𝜋4 , - cos 𝜋
4 , 0 = -√2
2 , - √2
2 , 0
Outro vetor que pode ser definido para uma curva é o vetor binormal →𝐵 𝑡 =
→
𝑇 𝑡 x 
→
𝑁𝑡
Como o vetor binormal é o resultado de um produto vetorial entre →𝑇 𝑡 e →𝑁𝑡, ele será ortogonal à direção tangente à curva e
ortogonal à direção normal principal da curva. Por isso, ele é denominado binormal. Por ser um produto vetorial entre dois
vetores ortogonais e unitários, o vetor binormal também é um vetor unitário.
 EXEMPLO
Exemplo 2 - Considere a função →𝐹 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 2 cos 𝑡, 5, definida para 𝑡 ∈ 0,2𝜋, e determine o vetor binormal à curva para t =
𝜋
4
SOLUÇÃO
Como calculado nos exemplos anteriores:
→
𝑇 𝑡 =
→𝐹'𝑡
→𝐹'𝑡
= cos 𝑡, - 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 0
→
𝑁𝑡 = - 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , - cos 𝑡 , 0
→
𝐵 𝑡 =
→
𝑇 𝑡 x 
→
𝑁𝑡 = �̂� �̂� 𝑧
cos 𝑡 - 𝑠𝑒𝑛𝑡 0
- 𝑠𝑒𝑛𝑡 - 𝑐𝑜𝑠𝑡 0
→
𝐵 𝑡 = - 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 𝑧 - 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑧 = - 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡𝑧 = - 1 𝑧
→
𝐵 (𝑡) = 〈0,0, - 1〉
COMPRIMENTO E CURVATURA DE UMA CURVA
Considere uma curva em que conhecemos a equação paramétrica da trajetória dada pela função vetorial →𝐹 𝑡:
→
𝐹 𝑡 =
𝑥 = 𝑓𝑡
𝑦 = 𝑔𝑡
𝑧 = ℎ(𝑡)
, t real
Podemos definir uma equação que determina o comprimento da curva entre dois pontos de seu domínio.
Imagine uma curva C descrita pelas equações paramétricas de →𝐹 𝑡 = 𝑓𝑡,𝑔𝑡, ℎ(𝑡), com f’(t), g’(t) e h’(t) contínuas, para a≤t≤b.
Caso a trajetória de C seja percorrida apenas uma vez, quando t varia de a até b, o comprimento da curva C, entre a e b, será
dado por:
𝐿 = ∫𝑎
𝑏 →
𝐹'𝑡𝑑𝑡 = ∫𝑎
𝑏 √ 𝑑
𝑑𝑡𝑥𝑡
2 + 𝑑
𝑑𝑡𝑦𝑡
2 + 𝑑
𝑑𝑡𝑧𝑡
2
𝐿 = ∫𝑎
𝑏 →
𝐹'𝑡𝑑𝑡 = ∫𝑎
𝑏 √𝑓'𝑡2 + 𝑔'𝑡2 + ℎ'𝑡2 𝑑𝑡
javascript:void(0)
Para o caso do plano, não existirá a componente z, e a fórmula se reduzirá a:
𝐿 = ∫𝑎
𝑏 →
𝐹'𝑡𝑑𝑡 = ∫𝑎
𝑏 √ 𝑑
𝑑𝑡𝑥𝑡
2 + 𝑑
𝑑𝑡𝑦𝑡
2 𝑑𝑡= ∫𝑎
𝑏 √𝑓'𝑡2 + 𝑔'𝑡2 𝑑𝑡
Também podemos obter uma função comprimento de arco que mede desde um ponto inicial t = a:
𝑠𝑡 = ∫𝑎
𝑡 →
𝐹'𝑡𝑑𝑡 = ∫𝑎
𝑡 √𝑓'𝑡2 + 𝑔'𝑡2 + ℎ'𝑡2 𝑑𝑡
 EXEMPLO
Exemplo 1 - Considere a função →𝐹 (𝑡) = 〈2 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 2 cos 𝑡, 5〉, definida para 𝑡 ∈ 0,2𝜋, e determine o comprimento da curva
entre t = 0 e t =2π.
SOLUÇÃO
→
𝐹'𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡', 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡', 5' = 2 cos 𝑡, - 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 0
𝐿 = ∫0
2𝜋 →
𝐹'𝑡𝑑𝑡 = ∫0
2𝜋 √2 𝑐𝑜𝑠𝑡2 + -2 𝑠𝑒𝑛𝑡2 + 02 𝑑𝑡
𝐿 = ∫0
2𝜋 √4 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 4𝑠𝑒𝑛2 𝑡𝑑𝑡 = ∫0
2𝜋
2𝑑𝑡 = 2𝑡0
2𝜋 = 4𝜋
 EXEMPLO
Exemplo 2 - Considere a função 
→
𝐹 (𝑡) = 〈2 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 2 cos 𝑡, 5〉, definida para 𝑡 ∈ [0,2𝜋], e determine a função comprimento do
arco que mede o comprimento da curva desde o ponto t = 0.
SOLUÇÃO
→
𝐹'𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡', 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡', 5' = 2 cos 𝑡, - 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 0
𝑠𝑡 = ∫0
𝑡 →
𝐹'𝑡𝑑𝑡 = ∫0
𝑡 √2 𝑐𝑜𝑠𝑡2 + -2 𝑠𝑒𝑛𝑡2 + 02 𝑑𝑡
𝑠𝑡 = ∫0
𝑡 √4 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 4𝑠𝑒𝑛2 𝑡𝑑𝑡 = ∫0
𝑡
2𝑑𝑡 = 2𝑡0
𝑡 = 2𝑡
Uma curva pode ser parametrizada por meio do parâmetro comprimento do(s) arco(s). A vantagem dessa parametrização é
que o comprimento ficará visível na própria imagem obtida pela variação do parâmetro.
As curvas parametrizadas pelo comprimento de arco têm a derivada da função, isto é, sua velocidade com módulo 1, pois, a
cada variação de uma unidade do parâmetro, ocorrerá a variação de uma unidade de comprimento de arco.
 EXEMPLO
Exemplo 3 - Parametrize a curva definida pela função →𝐹 (𝑡) = 〈2 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 2 cos 𝑡, 5〉 para 𝑡 ∈ 0,2𝜋 por meio de seu comprimento
de arco.
SOLUÇÃO
No exemplo anterior, foi obtido que: s(t) = 2t, assim t = s/2
Portanto, com o novo parâmetro, a equação da curva será: →𝐹 𝑠 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑠2 , 2 cos 𝑠
2, 5
Assim, para obtermos dois pontos com uma diferença de comprimento entre eles de 2 unidades, basta obtermos um ponto
com s = s0 e o outro com s = s0 + 2, por exemplo.
Sua derivada será:
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
→
𝐹'𝑠 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑠2
, , 2 𝑐𝑜𝑠 𝑠2
, , 5' = cos 𝑡, - 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 0
→𝐹'𝑠 = √𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + ( - 𝑠𝑒𝑛 𝑡)2 + 0 = √𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 = 1
CURVATURA
A curvatura indica quão rapidamente uma trajetória muda com a variação do parâmetro, ou seja:
𝑘 = 𝑑→𝑇
𝑑𝑠
CURVATURA
Taxa de variação do módulo do versor tangente em relação ao comprimento do arco.
Conhecemos o valor de →𝑇 em relação ao parâmetro t, e não em relação ao comprimento s. Por isso, devemos usar a regra da
cadeia:
𝑑→𝑇
𝑑𝑡 = 𝑑→𝑇
𝑑𝑠
𝑑𝑠
𝑑𝑡 → 𝑑→𝑇
𝑑𝑠 = 𝑑→𝑇 / 𝑑𝑡
𝑑𝑠 / 𝑑𝑡 =
→𝑇 '𝑡
𝑠'𝑡 
No entanto, pelo teorema fundamental do cálculo, aplicado na fórmula da função comprimento de arco, temos:
𝑠𝑡 = ∫𝑎
𝑡 →
𝐹'𝑡𝑑𝑡 → s’(t)=→
𝐹'𝑡
Portanto:
𝑘𝑡 =
→𝑇 '𝑡
→𝐹'𝑡
Caso a curvatura seja diferente de 0 (zero), definimos o raio de curvatura ρ(t) como o inverso da curvatura. Logo:
𝜌𝑡 = 1
𝑘(𝑡), para 𝑘(𝑡) ≠ 0
Existe outra fórmula que pode ser obtida pelas definições apresentadas, a partir da manipulação matemática, que determina
a curvatura apenas em relação à função vetorial que define a curva.
Observe:
𝑘𝑡 = 
→𝐹'𝑡 x →𝐹''𝑡
→𝐹'𝑡
3
 SAIBA MAIS
A demonstração dessa fórmula pode ser estudada pelas referências apresentadas ao final do tema.
 EXEMPLO
Considere a função →𝐹 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 2 cos 𝑡, 5, definida para 𝑡 ∈ 0,2𝜋 Determine a curvatura da curva definida pela função.
SOLUÇÃO
Já foi calculado anteriormente para esta função que:
javascript:void(0)
javascript:void(0)
→
𝑇 ' 𝑡 = ( cos 𝑡)', ( - 𝑠𝑒𝑛 𝑡)' , (0)' = - 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , - cos 𝑡 , 0 
→𝑇 '𝑡 = √( - 𝑠𝑒𝑛𝑡)2 + ( - 𝑐𝑜𝑠𝑡)2 + 02 = 1
Além disso,
→
𝐹, 𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡, , 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡, , 5, = 2 cos 𝑡, - 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 0
→
𝐹 '𝑡 = √2 𝑐𝑜𝑠𝑡2 + -2 𝑠𝑒𝑛𝑡2 + 02 = 2
𝑘𝑡 =
→𝑇 '𝑡
→𝐹 '𝑡
= 1
2
Neste exemplo, por se tratar de uma circunferência, a curvatura não dependeu do parâmetro, isto é, da posição na curva.
MOVIMENTO NO ESPAÇO: VELOCIDADE E ACELERAÇÃO
Os vetores normais e tangenciais definidos no início deste módulo podem ser usados para estudarmos o movimento de
determinado objeto, sua velocidadee aceleração, quando ele estiver percorrendo uma trajetória estipulada por uma curva
plana ou espacial.
Agora, veremos a função→
𝐹 𝑡, que define a trajetória percorrida pelo objeto.
A velocidade é uma grandeza vetorial expressa como a taxa de variação (derivada) da posição com o tempo. A velocidade
tem direção tangencial à curva. Assim:
→𝑣 𝑡 = 𝑑
𝑑𝑡𝑠𝑡 = →
𝐹, 𝑡 = →
𝐹, 𝑡
→
𝑇 𝑡
Da mesma forma, a aceleração é uma grandeza vetorial obtida pela taxa de variação (derivada) da velocidade pelo tempo.
Dessa forma:
→𝑎 𝑡 = →𝑣 '𝑡 = →𝐹'𝑡
Porém,
→𝑣 𝑡 = →𝑣 𝑡
→
𝑇 𝑡
→𝑎 𝑡 = 𝑑
𝑑𝑡
→𝑣 𝑡 = 𝑑
𝑑𝑡
→𝑣 𝑡
→
𝑇 𝑡 =
→
𝑣 '𝑡
→
𝑇 𝑡 + →𝑣 𝑡
→
𝑇 '𝑡
Como pode ser verificado, a aceleração tem uma componente tangencial e uma normal (ortogonal à tangencial).
A aceleração tangencial, →𝑣, 𝑡→𝑇 𝑡, que tem a direção tangencial à curva, é responsável pela mudança do módulo da velocidade.
A aceleração normal, →𝑣 𝑡
→
𝑇 '𝑡, que é ortogonal à curva, é responsável pela mudança da direção do vetor velocidade.
Logo,
→𝑎 𝑡 =
→
𝑣 '𝑡
→
𝑇 𝑡 + →𝑣 𝑡
→
𝑇 '𝑡
Entretanto,
𝑘𝑡 =
→𝑇 '𝑡
→𝐹 '𝑡
→
→𝑇 '𝑡 = →𝐹'𝑡𝑘𝑡
→
𝑁𝑡 =
→𝑇 '𝑡
→𝑇 '𝑡
→
→
𝑇 '𝑡 =
→
𝑇 '𝑡
→
𝑁𝑡 =
→
𝐹 '𝑡𝑘𝑡
→
𝑁𝑡
Como →𝑣 𝑡 = →
𝐹, 𝑡, então a parcela anormal terá valor:
→𝑣 𝑡
→
𝑇 '𝑡 =
→
𝐹 '𝑡
→
𝑇 '𝑡 =
→
𝐹 '𝑡
→
𝐹 '𝑡𝑘𝑡
→
𝑁𝑡 =
→
𝐹 '𝑡
2
𝑘𝑡
→
𝑁𝑡
Assim,
→𝑎 𝑡 = 𝑑
𝑑𝑡
→𝑣 𝑡 =
→
𝑣 '𝑡
→
𝑇 𝑡 +
→
𝐹 '𝑡
2
𝑘𝑡
→
𝑁𝑡
Repare que a aceleração sempre estará contida no plano formado pelos vetores →𝑇 𝑡 e →𝑁𝑡. Esse plano é denominado plano
osculador. Podemos manipular esta fórmula para depender apenas da função vetorial e de suas derivadas.
Substituindo a fórmula da curvatura 𝑘𝑡 = 
→𝐹 '𝑡 x →𝐹 ''𝑡
→𝐹 '𝑡
3
Então,
→
𝐹 '𝑡
2
𝑘𝑡 =
→𝐹 '𝑡 x →𝐹 ''𝑡
→𝐹 '𝑡
 
Seja →𝑣 𝑡 . →𝑎 𝑡 = (
→𝐹 '𝑡→𝑇 𝑡) . (
→𝑣 '𝑡→𝑇 𝑡 + →𝐹 '𝑡
2
𝑘𝑡→𝑁𝑡)=→𝐹 '𝑡 →𝑣 '𝑡
Logo,
→𝑣, 𝑡 = →𝑣 𝑡 . →𝑎 𝑡
 →𝐹, 𝑡
=
→𝐹, 𝑡 . →𝐹, , 𝑡
→𝐹, 𝑡
Portanto,
→𝑎 𝑡 =
→𝐹 '𝑡 . →𝐹 ''𝑡
→𝐹 '𝑡
→
𝑇 𝑡 +
→𝐹 '𝑡 x →𝐹 ''𝑡
→𝐹 '𝑡
→
𝑁𝑡
Consequentemente, temos:
→𝑎 𝑇 𝑡 =
→𝐹 '𝑡 . →𝐹 ''𝑡
→𝐹 '𝑡
→
𝑇 𝑡 e →𝑎 𝑁 𝑡 =
→𝐹 '𝑡 x →𝐹 ''𝑡
→𝐹 '𝑡
→
𝑁𝑡
TEORIA NA PRÁTICA
Um objeto se desloca em uma trajetória definida pela função →𝐹 𝑡 = 4𝑡2 , 4𝑡2 , 4𝑡3 , com t ≥ 0. Determine o módulo da velocidade,
da aceleração tangencial e da aceleração normal para o instante de t = 1.
FUNÇÃO VETORIAL – MOVIMENTO NO ESPAÇO
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERANDO A CURVA C IMAGEM DA FUNÇÃO →𝐺 𝑝 =
𝑥 = 𝑝2 + 2
𝑦 = 𝑝
𝑧 = 1 - 𝑝3
,𝑝 𝑟𝑒𝑎𝑙, ASSINALE A ALTERNATIVA
QUE APRESENTA UM VETOR PARALELO AO VETOR TANGENTE À CURVA C NO PONTO (3,1,0):
A) 1, 3, 5
B) 4, 2, – 6
C) 1 , 2, 6
D) 2, 0, – 3
2. CONSIDERANDO A CURVA DEFINIDA PELA FUNÇÃO →𝐺 𝑡 =
𝑥 = 2cos 𝑡 + 2
𝑦 = 2𝑡
𝑧 = 3 - 2𝑠𝑒𝑛 𝑡
, 𝑡 ∈ 0,2𝜋, ASSINALE A
ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VERSOR NORMAL PRINCIPAL NO PONTO T = 𝜋3:
A) √3
2 , 0, 1
2
B) 12, 1, √2
2
C) -1
2, 0, √3
2
D) 12, 0, - √3
2
3. CONSIDERANDO A CURVA DEFINIDA PELA FUNÇÃO →𝐻𝑡 =
𝑥 = 4
𝑦 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 3
𝑧 = 3 - 3𝑐𝑜𝑠 𝑡
, 𝑡 ∈ 0,2𝜋, ASSINALE A
ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VETOR BINORMAL PRINCIPAL NO PONTO T = 𝜋6:
A) →𝐵 𝑡 = 0, 12 , √3
2
B) →𝐵 𝑡 = 1 , 0 , 1
C) →𝐵 𝑡 = 1 , 0 , 0
D) 
→
𝐵 𝑡 = 1
2 , √3
2 , 0
4. A RETA R É TANGENTE À CURVA, DEFINIDA PELA FUNÇÃO VETORIAL →𝐹 𝑢 = sen 𝑢, 3 + 3𝑡𝑔𝑢, 2𝑢,
PARA O PONTO U = Π. O PONTO DA RETA R QUE TEM ORDENADA NULA É:
A) 1 , 0 , 𝜋
B) -1 , 0 , 2𝜋
C) 1 , 0 , 2𝜋 - 2
D) 2 , 0 , 𝜋 - 2
5. O RAIO DE CURVATURA DA IMAGEM DA FUNÇÃO →𝐹 𝑡 = √2𝑡 , 𝑒𝑡 , 𝑒-𝑡 , PARA T = 0, É:
A) √2
B) 3√2
C) 4√2
D) 2√2
6. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A PARAMETRIZAÇÃO DA CURVA GERADA PELA
FUNÇÃO →𝐹 𝑢 = 4 sen 𝑢 , - 4cos 𝑢 , 3𝑢 POR MEIO DE SEU COMPRIMENTO DE ARCO:
A) →𝐹 𝑠 = 4 sen 𝑠 , - 4cos 𝑠 , 3𝑠
B) →𝐹 (𝑠) = 〈4 sen 𝑠
5 , - 4 cos 𝑠
5, 35𝑠〉
C) →𝐹 𝑠 = 4 cos 𝑠
5 , 4 sen 𝑠
5, 35𝑠
D) →𝐹 𝑠 = sen 𝑠
5 , - cos 𝑠
5, 3𝑠
GABARITO
2
1. Considerando a curva C imagem da função →𝐺 𝑝 =
𝑥 = 𝑝2 + 2
𝑦 = 𝑝
𝑧 = 1 - 𝑝3
,𝑝 𝑟𝑒𝑎𝑙, assinale a alternativa que apresenta um vetor paralelo
ao vetor tangente à curva C no ponto (3,1,0):
A alternativa "B " está correta.
O vetor tangente à função →𝐺 𝑝 será o vetor: 
→
𝐺' 𝑝 = (𝑝2 + 2)', (𝑝)', (1 - 𝑝3 )' = 2𝑝, 1, - 3𝑝2
O ponto (3,1,0) pertence à curva. Necessitamos obter o valor do parâmetro p para obter esse ponto.
Vamos aos cálculos:
{
𝑥 = 𝑝2 + 2 = 3 → 𝑝 = ± 1
𝑦 = 𝑝 = 1 → 𝑝 = 1
𝑧 = 1 - 𝑝3 = 0 → 𝑝 = 1
Assim, o valor do parâmetro será p = 1
O vetor tangente à curva C no ponto onde p = 1 será →𝐺 '(1) = 〈2.1, 1 , - 3 . 12 〉 = 〈2,1, - 3〉
Portanto, todo vetor do tipo 2,1, - 3𝑘 , 𝑘 𝑟𝑒𝑎𝑙 → 2𝑘, 𝑘, - 3𝑘
Analisando as alternativas, apenas a letra B tem um vetor deste tipo, que é obtido para k = 2
Dessa forma, o vetor 〈4,2,– 6〉 é paralelo ao vetor tangente no ponto (3,1,0)
2. Considerando a curva definida pela função →𝐺 𝑡 =
𝑥 = 2cos 𝑡 + 2
𝑦 = 2𝑡
𝑧 = 3 - 2𝑠𝑒𝑛 𝑡
, 𝑡 ∈ 0,2𝜋, assinale a alternativa que apresenta o versor
normal principal no ponto t = 𝜋3:
A alternativa "C " está correta.
O vetor tangente à função →𝐺 𝑡 será o vetor: →𝐺 '𝑡 = 〈(2cos 𝑡 + 2)' , (2𝑡)' , (3 - 2𝑠𝑒𝑛 𝑡)' 〉
→
𝐺 '𝑡=〈 - 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 2, - 2cos 𝑡〉=
→
𝐺 '𝑡 = √-2 𝑠𝑒𝑛 𝑡2 + 22 + -2cos 𝑡2 = √4 + 4𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 4𝑐𝑜𝑠2 𝑡 = √8
→
𝑇 𝑡 =
→𝐺 '𝑡
→𝐺 '𝑡
= 1
√8
-2 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 2, - 2cos 𝑡 = - 1
√2
 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 1
√2
, - 1
√2
cos 𝑡
→
𝑇 𝑡 = -√2
2 𝑠𝑒𝑛 𝑡, √2
2 , - √2
2 cos 𝑡
Portanto, obtemos:
→𝑇 '𝑡 = -√2
2 𝑠𝑒𝑛 𝑡
'
, √2
2
'
, -√2
2 cos 𝑡
'
= -√2
2 cos 𝑡, 0, √2
2 𝑠𝑒𝑛 𝑡
→
𝑇 '𝑡 = √-√2
2 cos 𝑡
2
+ 02 + √2
2 𝑠𝑒𝑛 𝑡
2
= √1
2𝑐𝑜𝑠
2 𝑡 + 1
2𝑠𝑒𝑛
2 𝑡 = 1
√2
= √2
2
Assim,
→
𝑁𝑡 =
→𝑇 '𝑡
→𝑇 '𝑡
= 1
√2 / 2
-√2
2 cos 𝑡, 0, √2
2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 = -cos 𝑡, 0, 𝑠𝑒𝑛 𝑡
→𝑁 𝜋
3 = -cos 𝜋
3, 0, 𝑠𝑒𝑛 𝜋3 = -1
2, 0, √3
2
3. Considerando a curva definida pela função →𝐻𝑡 =
𝑥 = 4
𝑦 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 3
𝑧 = 3 - 3𝑐𝑜𝑠 𝑡
, 𝑡 ∈ 0,2𝜋, assinale a alternativa que apresenta o vetor
binormal principal no ponto t = 𝜋6:
A alternativa "C " está correta.
4. A reta r é tangente à curva, definida pela função vetorial →𝐹 𝑢 = sen 𝑢, 3 + 3𝑡𝑔𝑢, 2𝑢, para o ponto u = π. O ponto da reta r que
tem ordenada nula é:
A alternativa "C " está correta.
Vamos obter a derivada da função vetorial:
→
𝐹'𝑢 = sen 𝑢', 3 + 3 𝑡𝑔 𝑢 ', 2𝑢' = cos u , 3𝑠𝑒𝑐2 𝑢 , 2
Agora, vamos obter a equação da reta tangente a curva:
✓ Ponto de tangência: →𝐹 𝜋 = sen 𝜋, 3 + 3𝑡𝑔 𝜋, 2𝑢 = 0, 3, 2𝜋
✓ Vetor diretor: →𝐹
'
𝜋 = cos π, 3𝑠𝑒𝑐2 𝜋 , 2 = -1, 3 , 2
Assim, a equação da reta será:
→𝑟 𝑡 =
→
𝐹 𝑢0 + 𝜆
→
𝐹 '𝑢0 , λ real
→𝑟 𝜆 = 0, 3,2𝜋 + λ -1, 3 , 2 → →𝑟 𝜆 =
𝑥 = 𝜆( - 1)
𝑦 = 3 + 𝜆 3
𝑧 = 2𝜋 + 𝜆 2
, 𝜆 𝑟𝑒𝑎𝑙
Para y = 0 → 3 + 3λ = 0 → λ = – 1. Logo, temos:
→𝑟 ( - 1) = {
𝑥 = - -1 = 1
𝑦 = 3 - 3 = 0
𝑧 = 2𝜋 - 2
Portanto, o ponto será: (1 ,0 ,2π-2)
5. O raio de curvatura da imagem da função →𝐹 𝑡 = √2𝑡 , 𝑒𝑡 , 𝑒-𝑡 , para t = 0, é:
A alternativa "D " está correta.
𝑘𝑡 = 
→𝐹 '𝑡 x →𝐹 ''𝑡
→𝐹 '𝑡
3
→
𝐹 '𝑡 = √2𝑡
,
, 𝑒𝑡
,
, 𝑒-𝑡 ,
= √2, 𝑒𝑡 , - 𝑒-𝑡
→
𝐹 '𝑡 = √√2
2
+ 𝑒𝑡
2
+ 𝑒-𝑡 2
= √2 + 𝑒2𝑡 + 1
𝑒2𝑡
→
𝐹 '𝑡 = √𝑒4𝑡 + 2𝑒2𝑡 + 1
𝑒2𝑡 = √𝑒2𝑡 + 1
2
𝑒2𝑡 = 𝑒2𝑡 + 1
𝑒𝑡
→
𝐹 ''𝑡 = √2
,
, 𝑒𝑡
,
, -𝑒-𝑡 ,
= 0, 𝑒𝑡 , 𝑒-𝑡 
→
𝐹 '𝑡 x →𝐹 ''𝑡 =
�̂� �̂� 𝑧
√2𝑒𝑡 -𝑒-𝑡
0 𝑒𝑡 𝑒-𝑡 
= �̂� + √2 𝑒𝑡 𝑧 - √2 𝑒-𝑡 �̂� + �̂� = 2�̂� - √2 𝑒-𝑡 �̂� + √2 𝑒𝑡 𝑧
→
𝐹 '𝑡 x 
→
𝐹 ''t = √22 + -√2 𝑒-𝑡 2
+ √2 𝑒
𝑡 2
= √4 + 2 𝑒2𝑡 + 2
𝑒2𝑡
→
𝐹 '𝑡 x 
→
𝐹 ''t = √4𝑒2𝑡 + 2𝑒4𝑡 + 2
𝑒2𝑡 = √2𝑒2𝑡 + 1
2
𝑒2𝑡 = √2𝑒2𝑡 + 1
𝑒𝑡
Assim,
𝑘𝑡 = 
→𝐹 '𝑡 x →𝐹 ''t
→𝐹 '𝑡
3 =
√2𝑒2𝑡 + 1
𝑒𝑡
𝑒2𝑡 + 1
𝑒𝑡
3 = √2 𝑒2𝑡𝑒2𝑡 + 1
2
𝑘0 = √2 𝑒0
𝑒0 + 1
2 = √2
4 → 𝜌0 = 4
√2
= 2√2
6. Assinale a alternativa que apresenta a parametrização da curva gerada pela função →𝐹 𝑢 = 4 sen 𝑢 , - 4cos 𝑢 , 3𝑢 por
meio de seu comprimento de arco:
A alternativa "B " está correta.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE A FUNÇÃO →𝐻𝑢 = - 4cos 𝑢 , 8, 4 𝑠𝑒𝑛 𝑢, DEFINIDA PARA 𝑢 ∈ 0,2𝜋. QUAL É O VERSOR
NORMAL PRINCIPAL À CURVA PARA U =𝜋
6?
A) -1
2, 0, √3
2
B) 12, 0, - √3
2
C) √3
2 , 0, - 1
2
D) -√3
2 , 0, 12
2. CONSIDERE A FUNÇÃO →𝐹 𝑡 = 2𝑡 , cos 2𝑡, 𝑠𝑒𝑛 2𝑡, DEFINIDA PARA 𝑡 ∈ 0,𝜋. QUAL É A CURVATURA
DA CURVA?
A) 𝑡2
B) t
C) 2
D) 12
GABARITO
1. Considere a função 
→
𝐻𝑢 = - 4cos 𝑢 , 8, 4 𝑠𝑒𝑛 𝑢, definida para 𝑢 ∈ 0,2𝜋. Qual é o versor normal principal à curva para u =𝜋
6?
A alternativa "C " está correta.
→
𝐻 '𝑢 = ( - 4cos 𝑢)', 8', 4 𝑠𝑒𝑛 𝑢' = 4 𝑠𝑒𝑛 𝑢, 0, 4cos 𝑢 
Como calculado nos exemplos anteriores:
→
𝐻'𝑢 = √16𝑐𝑜𝑠2 𝑢 + 0 + 16𝑠𝑒𝑛2 𝑢 = 4
Assim:
→𝑇 𝑢 =
→𝐻 '𝑡
→𝐻 '𝑡
= sen u , 0, cos 𝑢
→
𝑇 '𝑢 = ( sen u)', (0)' , (cos 𝑢)' = cos 𝑢 , 0, - 𝑠𝑒𝑛 𝑢
→
𝑇 '𝑢 = √(cos 𝑢)2 + 0 + ( - 𝑠𝑒𝑛 𝑢)2 = 1
Portanto, o vetor unitário principal será: 
→
𝑁𝑢 =
→𝑇 '𝑢
→𝑇 '𝑢
=
→𝑇 '𝑢
1 =cos 𝑢 , 0, - 𝑠𝑒𝑛 𝑢
Para u = 𝜋6→→
𝑁𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋6 , 0, - sen 𝜋
6 = √3
2 , 0, - 1
2
2. Considere a função →𝐹 𝑡 = 2𝑡 , cos 2𝑡, 𝑠𝑒𝑛 2𝑡, definida para 𝑡 ∈ 0,𝜋. Qual é a curvatura da curva?
A alternativa "D " está correta.
𝑘𝑡 = 
→𝐹 '𝑡 x →𝐹 ''𝑡
→𝐹 '𝑡
3
→
𝐹 '𝑡 = 2𝑡', cos 2𝑡', 𝑠𝑒𝑛 2𝑡' = 2, - 2 𝑠𝑒𝑛 2𝑡, 2cos 2𝑡
→
𝐹 '𝑡 = √22 + -2 𝑠𝑒𝑛 2𝑡2 + 2cos 2𝑡2 = √4 + 4𝑠𝑒𝑛2 2𝑡 + 4𝑐𝑜𝑠2 2𝑡 = √4 + 4 = 2√2
→
𝐹 ''𝑡 = 2', -2 𝑠𝑒𝑛 2𝑡', 2cos 2𝑡' = 0, - 4cos 2𝑡, - 4 𝑠𝑒𝑛 2𝑡
→
𝐹 '𝑡 x 
→
𝐹 ''t = �̂� �̂� 𝑧
2 -2 𝑠𝑒𝑛 2𝑡2cos 2𝑡
0-4cos 2𝑡-4 𝑠𝑒𝑛 2𝑡
 
→
𝐹 '𝑡 x →𝐹 ''t = 8 𝑠𝑒𝑛2 2𝑡 �̂� - 8cos 2𝑡 𝑧 + 8 𝑐𝑜𝑠2 2𝑡 �̂� + 8 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 �̂�
→
𝐹 '𝑡 x 
→
𝐹 ''t = 8 �̂� + 8 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 �̂� - 8cos 2𝑡 𝑧 
→
𝐹 '𝑡 x 
→
𝐹 ''t = √82 + 8 𝑠𝑒𝑛 2𝑡2 + -8cos 2𝑡2 = √64 + 64𝑠𝑒𝑛2 2𝑡 + 64𝑐𝑜𝑠2 2𝑡s
= √64 + 64 = 8√2
Assim,
𝑘𝑡 = 
→𝐹 '𝑡 x →𝐹 ''t
→𝐹 '𝑡
3 = 8√2
2√2
3 = 1
2
MÓDULO 4
 Aplicar o sistema de coordenadas polares ao estudo das curvas polares
INTRODUÇÃO
Já estudamos o sistema cartesiano, no qual o ponto é definido pelas coordenadas (x, y).
Este módulo apresentará o sistema polar e sua aplicação ao estudo de comprimento e de área de curvas planas polares.
COORDENADAS E CURVAS POLARES
Um sistema de coordenadas é um sistema de referência para que possamos identificar a posição de um ponto no plano ou
no espaço por meio da definição de suas coordenadas.
Até aqui, trabalhamos com coordenadas cartesianas no R2, em que as coordenadas de um ponto eram definidas por meio de
(x, y), que eram, respectivamente, as distâncias do ponto ao eixo y e ao eixo x.
Outro sistema que pode ser utilizado para as curvas no plano é o sistema de coordenadas polares. Para defini-lo,
precisaremos de um ponto (origem) e de uma semirreta que parta dessa origem, denominada eixo polar.
Usando os eixos cartesianos x e y, colocamos a origem do sistema polar na origem do sistema cartesiano, isto é, no ponto
O, que é a interseção dos dois eixos. O eixo polar será o eixo positivo do eixo x.
As coordenadas polares de um ponto serão:
A distância do ponto à origem do sistema polar, representada por ρ.
O ângulo que a reta OP faz com o eixo polar, representada por θ, medido no sentido anti-horário.
Dessa forma, o ponto P em coordenadas polares será representado por P(ρ, θ), como mostra o gráfico:
Fonte: Autor
 Figura 5: Coordenadas polares
Como ρ é uma distância, ele será um número real não negativo, porém, no sistema polar, também se trabalha com ρ < 0. O
ponto Q (-ρ , θ) será o ponto simétrico ao ponto P (ρ, θ). O ponto Q também poderia ser representado por Q (ρ, θ + π).
Consideraremos θ negativo se ele for medido no sentido horário. Assim, o ponto R(ρ, - θ) poderia ser representado no plano
por R(ρ,2π– θ), como mostra o gráfico:
Fonte: Autor
 Figura 6: Representação dos pontos em coordenadas polares
Conforme observamos, diferentemente do sistema cartesiano, onde cada ponto tem apenas uma representação, o mesmo
ponto pode ser representado de diversas formas no sistema de coordenada polar.
RELAÇÃO ENTRE SISTEMA POLAR E CARTESIANO
Pode ser obtida uma relação entre as coordenadas cartesianas de um ponto P(x,y) e suas coordenadas polares P(ρ,θ). Veja:
Fonte: Autor
 Figura 7: Relação entre sistema cartesiano e polar
Analisando o gráfico, temos:
𝑥 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜃
Além disso,
𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2
𝑡𝑔 𝜃 = 𝑦
𝑥
 EXEMPLO
Exemplo 1 - Determine as coordenadas cartesianas do ponto P, que tem coordenadas polares (1 , 𝜋6).
SOLUÇÃO
𝑥 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 1 𝑐𝑜𝑠𝜋6 = √3
2
𝑦 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 1 𝑠𝑒𝑛𝜋
6 = 1
2
Assim, o ponto P terá coordenadas cartesianas √3
2 , 1
2
 EXEMPLO
Exemplo 2 - Determine as coordenadas polares do ponto P, que tem coordenadas cartesianas (2, – 2).
SOLUÇÃO
𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2 = √22 + 22 = 2√2
𝑡𝑔 𝜃 = 𝑦
𝑥 = -2
2 = - 1 → 𝜃 = 3𝜋
4 𝑜𝑢 𝜃 = 7𝜋
4 
Repare que o ponto P está no quarto quadrante (x positivo e y negativo). Assim, chegamos ao valor do 𝜃 = 7𝜋
4
Dessa forma, 𝑃𝜌,𝜃 = 2√2, 7𝜋
4
Uma questão importante: também poderia ter sido escolhida a coordenada 𝑃𝜌,𝜃 = 2√2, - 𝜋
4
CURVAS POLARES
javascript:void(0)
javascript:void(0)
As curvas no plano R2, que podem ter seu gráfico definido por uma equação cartesiana, também são representadas por uma
equação polar do tipo ρ = f (θ). Com essa representação, tais curvas são denominadas curvas polares.
 EXEMPLO
Exemplo 1 - Considere a curva planar com imagem dada pela função vetorial 
→
𝐹 𝑡 = 2cos 𝑡, 2 𝑠𝑒𝑛𝑡 e determine a equação
polar para essa curva.
SOLUÇÃO
Se observarmos a equação cartesiana da curva, veremos que:
𝑥 = 2cos 𝑡
𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛𝑡 → 𝑥2 + 𝑦2 = 4
Isso representa uma circunferência de centro em (0,0) e raio 2.
Vamos obter, agora, a equação polar:
𝑥2 + 𝑦2 = 4 = (𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 + (𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜃)2 = 𝜌2 → 𝜌 = 2
Portanto, a equação polar será 𝜌 = 2
 EXEMPLO
Exemplo 2 - Determine a equação cartesiana da figura no plano cuja equação polar é dada por 𝜌 = 4 cos 𝜃
SOLUÇÃO
𝑥 = 𝜌cos 𝜃 → 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑥
𝜌
Assim,
𝜌 = 4 cos 𝜃 = 4𝑥
𝜌 → 𝜌2 = 4𝑥
Porém,
𝜌2 = 𝑥2 + 𝑦2 . Então: 𝜌2 = 𝑥2 + 𝑦2 = 4𝑥
𝑥2 + 𝑦2 = 4𝑥 → 𝑥2 - 4𝑥 + 𝑦2 = 0
Completando os quadrados, temos:
𝑥2 - 2.2𝑥 + 4 + 𝑦2 = 4 → 𝑥 - 22 + 𝑦2 = 4
Isso representa uma circunferência de centro (2,0) e raio √4 = 2
Para obtermos a reta tangente a uma curva polar com equação ρ = f(θ), teremos de considerar θ como um parâmetro. Assim:
𝑥 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑓𝜃cos 𝜃
𝑦 = 𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑓𝜃sen 𝜃
O valor do coeficiente angular da reta tangente à curva será dado por 𝑑𝑦𝑑𝑥
Logo,
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝜃
𝑑𝑥
𝑑𝜃
= 𝑓' 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑓𝜃cos 𝜃
𝑓' 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 - 𝑓𝜃sen 𝜃
Se 𝑑𝑦𝑑𝜃 = 0, com 𝑑𝑥𝑑𝜃 ≠ 0, a reta terá 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0, sendo uma reta horizontal.
Se 𝑑𝑥𝑑𝜃 = 0, com 𝑑𝑦𝑑𝜃 ≠ 0, a reta não terá 𝑑𝑦𝑑𝑥, sendo uma reta vertical.
javascript:void(0)
javascript:void(0)
 EXEMPLO
Exemplo 3 - Obtenha a equação da reta tangente à curva polar de equação ρ = 2 + sem θ, no ponto que 𝜃 = 𝜋
SOLUÇÃO
Vamos obter a inclinação da reta.
Se ρ = f(θ) = 2 + senθ → f’(θ) = cos θ:
𝑚 = 𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝜃
𝑑𝑥
𝑑𝜃
= 𝑓' (𝜃) 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑓(𝜃)cos 𝜃
𝑓' (𝜃) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 - 𝑓(𝜃)sen 𝜃
= 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + (2 + sen 𝜃)cos 𝜃
𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 - (2 + sen 𝜃)sen 𝜃
Para 𝜃 = 𝜋, temos:
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝜋 + (2 + sen 𝜋)cos 𝜋
𝑐𝑜𝑠 𝜋 𝑐𝑜𝑠 𝜋 - (2 + sen 𝜋)sen 𝜋 = (2 + 0)( - 1)
( - 1)( - 1) = - 2
O ponto da curva será o ponto:
𝑥 = 𝑓𝜃cos 𝜃 = 2 + senθ𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝑓𝜃sen 𝜃 = 2 + senθsenθ→
𝑥 = 2 + senπ𝑐𝑜𝑠𝜋 = 2 + 0-1 = - 2
𝑦 = 2 + senπ senπ = 2 + 0 . 0 =0
Consequentemente, em coordenadas cartesianas, a equação da reta de inclinação m = – 2, passando no ponto (-2,0), será:
𝑦 - 𝑦0 = 𝑚𝑥 - 𝑥0 → 𝑦 = - 2(𝑥 - -2 = - 2(𝑥 + 2)
𝑦 = - 2𝑥 - 4 → 2𝑥 + 𝑦 + 4 = 0
ÁREA E COMPRIMENTO DE UMA CURVA POLAR
A área de uma curva polar, definida pela equação ρ=f(θ), compreendida entre dois valores de θ, é obtida pela equação:
𝐴 = ∫𝜃0
𝜃1 1
2𝑓(𝜃)2 𝑑𝜃
 SAIBA MAIS
Esta fórmula não será demonstrada neste módulo, pois se baseia na divisão da figura em setores circulares infinitesimal e
monta um somatório semelhante à soma de Riemann. Caso seja de seu interesse, a demonstração pode ser estudada nos
livros que constam na lista de referências ao final deste tema.
SOMA DE RIEMANN
∫𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
∆𝑢𝑚𝑎𝑥 → 0
 ∑𝑖 = 1
𝑛 𝑓(𝑝𝑖 )∆𝑢𝑖
 EXEMPLO
Exemplo 1 - Determine a área da figura definida pela equação ρ=2 sen2θ para o intervalo -𝜋4 < 𝜃 < 𝜋
4
javascript:void(0)
javascript:void(0)
SOLUÇÃO
𝐴 = ∫𝜃0
𝜃1 1
2𝑓(𝜃)2 𝑑𝜃 = ∫-𝜋4
𝜋
4 1
22 𝑠𝑒𝑛 2𝜃2 𝑑𝜃 = 2 ∫-𝜋4
𝜋
4 𝑠𝑒𝑛2 2𝜃𝑑𝜃
Para resolver esta integral, necessitamos usar a relação trigonométrica:
cos 2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 - 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 = 1 - 2𝑠𝑒𝑛2 𝛼 = 2𝑐𝑜𝑠2 𝛼 - 1
𝑠𝑒𝑛2 𝛼 = 1
2 - 1
2cos 2𝛼e𝑐𝑜𝑠2 𝛼 = 1
2cos 2𝛼 + 1
2
Portanto: 𝑠𝑒𝑛2 2𝜃 = 1
2 - 1
2cos 4𝜃
𝐴 = 2 ∫-𝜋4
𝜋
4 𝑠𝑒𝑛2 2𝜃𝑑𝜃 = 2 ∫-𝜋4
𝜋
4 (1
2 - 1
2cos 4𝜃)𝑑𝜃 = ∫-𝜋4
𝜋
4 𝑑𝜃 - ∫-𝜋4
𝜋
4 cos 4𝜃𝑑𝜃
𝐴 = 𝜃|-𝜋4
𝜋
4 - 1
4𝑠𝑒𝑛4𝜃|
-𝜋4
𝜋
4 = (𝜋4 - -𝜋4) - 1
4
(𝑠𝑒𝑛𝜋 - 𝑠𝑒𝑛-𝜋) = 𝜋
2
Em relação ao comprimento da curva dada por uma equação polar, utilizaremos a mesma equação já apresentada em
módulos anteriores:
𝐿(𝑡) = ∫𝑎
𝑏 √ 𝑑
𝑑𝑡𝑥(𝑡)2 + 𝑑
𝑑𝑡𝑦(𝑡)2 𝑑𝑡 
Acontece que, para as curvas polares, o parâmetro será o ângulo θ.
Assim,
𝐿(𝜃) = ∫𝜃0
𝜃1 √( 𝑑
𝑑𝜃𝑥𝜃)2 + ( 𝑑
𝑑𝜃𝑦𝜃)2 𝑑𝜃 = ∫𝜃0
𝜃1 √( 𝑑
𝑑𝜃(𝑓𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃))2 + ( 𝑑
𝑑𝜃(𝑓𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃))2 𝑑𝜃
Mas:
( 𝑑
𝑑𝜃(𝑓𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃))2 + ( 𝑑
𝑑𝜃(𝑓𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃))2 = (𝑓'(𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃 - 𝑓(𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃)2 + (𝑓'(𝜃)𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑓(𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃)2
= (𝑓' 𝜃)
2
𝑐𝑜𝑠2 𝜃 - 2𝑓' 𝜃𝑓𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑓' 𝜃
2
𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝑓𝜃2 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 2𝑓' 𝜃𝑓𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑓𝜃2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 𝑓' 𝜃
2
+ (𝑓𝜃)2
Então,
𝐿𝜃 = ∫𝜃0
𝜃1 √𝑓' 𝜃
2
+ (𝑓𝜃)2 𝑑𝜃
 EXEMPLO
Exemplo 2 - Determine o comprimento da curva definida pela equação ρ=2senθ entre os pontos 𝜃 = - 𝜋
4 e 𝜃 = 𝜋
4
SOLUÇÃO
Se 𝑓𝜃 = 𝜌 = 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝑓' 𝜃 = 2 𝑐𝑜𝑠𝜃
Portanto,
𝐿(𝜃) = ∫-𝜋4
𝜋
4 √(2 𝑠𝑒𝑛 𝜃)2 + (2 𝑐𝑜𝑠 𝜃)2 𝑑𝜃 = ∫-𝜋4
𝜋
4 2 𝑑𝜃 = 2(𝜋4 - -𝜋4) = 2𝜋
2 = 𝜋
javascript:void(0)
javascript:void(0)
TEORIA NA PRÁTICA
Uma rosácea de 4 pétalas é definida por curva polar de equação 𝜌 = 10 𝑐𝑜𝑠2𝜃, com ρ em metros e θ em radianos. Um artista
plástico deseja pintar essa curva em uma parede e necessita saber quantos metros quadrados de tinta será necessário para
isso. Determine a área coberta pela figura para ajudar o levantamento do artista plástico.
ÁREA DE CURVA POLAR
MÃO NA MASSA
1. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE DEMONSTRA UMA POSSÍVEL REPRESENTAÇÃO EM
COORDENADAS POLARES (𝜌,𝜃) PARA O PONTO QUE APRESENTA (-3 , 3√3) EM COORDENADAS
CARTESIANAS:
A) 2, 5𝜋
3 
B) 6, - 𝜋
3 
C) 2, 𝜋3 
D) 6, 5𝜋
3 
2. CONSIDERE A CURVA COM IMAGEM DADA PELA EQUAÇÃO CARTESIANA 𝑥2 + (𝑦 - 4)2 = 16, QUE É
UMA CIRCUNFERÊNCIA CENTRADA EM (0,4) E COM RAIO 4. QUAL É A EQUAÇÃO POLAR PARA A
CURVA?
A) 𝜌 = 2 𝑐𝑜𝑠𝜃
B) 𝜌 = 8
C) 𝜌 = 8 𝑠𝑒𝑛𝜃
D) 𝜌 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃
3. QUAL É A EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE À CURVA POLAR DE EQUAÇÃO Ρ = 1 – COS Θ NO PONTO
EM QUE 𝜃 = 𝜋
2 ?
A) 𝑥 + 2𝑦 - 1 = 0
B) 𝑥 - 𝑦 + 1 = 0
C) 𝑥 + 𝑦 - 1 = 0
D) 𝑥 - 𝑦 - 1 = 0
4. QUAL É O COMPRIMENTO DA CURVA DEFINIDA PELA EQUAÇÃO POLAR 𝜌 = 𝑒-𝜃 ENTRE OS PONTOS
𝜃 = 0 E Θ=Π?
A) (1 - 𝑒𝜋 )
B) √2(1 - 𝑒-𝜋 )
C) (1 + 𝑒-𝜋 )
D) √2(1 + 𝑒𝜋 )
5. QUAL É A ÁREA DA FIGURA DEFINIDA PELA EQUAÇÃO 𝜌 = 3 - 𝑠𝑒𝑛𝜃 PARA O INTERVALO 0 < 𝜃 < 𝜋?
A) 19𝜋
4 + 4
B) 𝜋4 - 1
C) 9𝜋4 + 5
D) 19𝜋
4 - 6
6. O COMPRIMENTO DA CURVA DEFINIDA PELA EQUAÇÃO POLAR 𝜌 = 𝜃 ENTRE OS PONTOS
𝜃 = 0 𝑒 𝜃 = 2𝜋 VALE:
A) 2𝜋√4𝜋2 + 1 - 𝑙𝑛(2𝜋 + √4𝜋2 + 1)
B) 𝜋√4𝜋2 + 1 + 𝑙𝑛(2𝜋 - √4𝜋2 + 1)
C) 𝜋√4𝜋2 + 1 + 1
2𝑙𝑛(2𝜋 + √4𝜋2 + 1)
D) 2𝜋√𝜋2 + 1 - 1
2𝑙𝑛(2𝜋 + √4𝜋2 + 1)
GABARITO
1. Assinale a alternativa que demonstra uma possível representação em coordenadas polares (𝜌,𝜃) para o ponto que
apresenta (-3 , 3√3) em coordenadas cartesianas:
A alternativa "D " está correta.
𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2 = √( - 3)2 + (3√3)
2
= 6
𝑡𝑔 𝜃 = 𝑦
𝑥 = - 3√3
3 = - √3
Como x é negativo e y é positivo, o ponto está no segundo quadrante e:
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔-√3 = 𝜋 - 𝜋
3 = 5𝜋
3
Portanto, o ponto 𝜌,𝜃 = 6, 5𝜋
3
2. Considere a curva com imagem dada pela equação cartesiana 𝑥2 + (𝑦 - 4)2 = 16, que é uma circunferência centrada em (0,4)
e com raio 4. Qual é a equação polar para a curva?
A alternativa "C " está correta.
Sabemos que {𝑥 = ρ cos 𝜃
𝑦 = ρ sen 𝜃 
Como 𝑥2 + (𝑦 - 4)2 = 16 → 𝑥2 + 𝑦2 - 8𝑦 + 16 - 16 = 0 → 𝑥2 + 𝑦2 - 8𝑦 = 0
Então, (𝑥2 + 𝑦2 ) - 8𝑦 = 0 → 𝜌2 - 8𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 → 𝜌 = 8 𝑠𝑒𝑛𝜃
3. Qual é a equação da reta tangente à curva polar de equação ρ = 1 – cos θ no ponto em que 𝜃 = 𝜋
2 ?
A alternativa "C " está correta.
4. Qual é o comprimento da curva definida pela equação polar 𝜌 = 𝑒-𝜃 entre os pontos 𝜃 = 0 e θ=π?
A alternativa "B " está correta.
Se 𝑓𝜃 = 𝜌 = 𝑒-𝜃 → 𝑓' 𝜃 = - 𝑒-𝜃 :
Sabemos que 𝐿(𝜃) = ∫𝜃0
𝜃1 √(𝑓' 𝜃)
2
+ (𝑓(𝜃))2 𝑑𝜃
Assim,
𝐿𝜃 = ∫0
𝜋 √𝑒-𝜃 2
+ ( - 𝑒-𝜃 )
2
𝑑𝜃 = ∫0
𝜋 √2𝑒-2𝜃 𝑑𝜃 = ∫0
𝜋
√2 𝑒-𝜃 𝑑𝜃 = -√2𝑒-𝜃
0
𝜋
= √21 - 𝑒-𝜋
5. Qual é a área da figura definida pela equação 𝜌 = 3 - 𝑠𝑒𝑛𝜃 para o intervalo 0 < 𝜃 < 𝜋?
A alternativa "D " está correta.
𝐴 = ∫𝜃0
𝜃1 1
2𝑓(𝜃)2 𝑑𝜃 = ∫0
𝜋 1
23 - 𝑠𝑒𝑛𝜃2 𝑑𝜃 = ∫0
𝜋 1
29 - 6𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑𝜃
𝐴 = ∫0
𝜋 9
2𝑑𝜃 - ∫0
𝜋
3 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 + ∫0
𝜋 1
2 𝑠𝑒𝑛
2 𝜃 𝑑𝜃
Para resolver esta integral, necessitamos usar a relação trigonométrica:
𝑠𝑒𝑛2 𝛼 = 1
2 - 1
2cos 2𝛼
Portanto, 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 1
2 - 1
2cos 2𝜃
𝐴 = ∫0
𝜋 9
2𝑑𝜃 - ∫0
𝜋
3 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 + ∫0
𝜋 1
2 (
1
2 - 1
2cos 2𝜃) 𝑑𝜃
𝐴 = 9
2 𝜃|
0
𝜋 + 3𝑐𝑜𝑠 𝜃|0
𝜋 + 1
4 𝜃|
0
𝜋 - 1
8 𝑠𝑒𝑛2𝜃|
0
𝜋 = 9𝜋
2 - 0 + ( - 3) - 3 + 𝜋
4 - 0 - 0 + 0 = 19𝜋
4 - 6
6. O comprimento da curva definida pela equação polar 𝜌 = 𝜃 entre os pontos 𝜃 = 0 𝑒 𝜃 = 2𝜋 vale:
A alternativa "C " está correta.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE A CURVA COM TRAJETÓRIA ELÍPTICA DEFINIDA PELA EQUAÇÃO 4𝑥2 + 𝑦2 = 1 .
ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A EQUAÇÃO POLAR PARA ESSA CURVA:
A) 𝜌 = √ 1
1 + 3𝑐𝑜𝑠2 𝜃
B) 𝜌 = √ 1
1 + 𝑐𝑜𝑠2 𝜃
C) 𝜌 = √ 1
1 + 3𝑠𝑒𝑛𝜃
D) 𝜌 = √ 1
1 + 3𝑠𝑒𝑛2 𝜃
2. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O COMPRIMENTO DA CURVA DEFINIDA PELA
EQUAÇÃO POLAR 𝜌 = sec 𝜃 ENTRE OS PONTOS 𝜃 = 0 E 𝜃 = 𝜋
6
A) √3
B) √3
3
C) 23
D) 1
GABARITO
1. Considere a curva com trajetória elíptica definida pela equação 4𝑥2 + 𝑦2 = 1 . Assinale a alternativa que apresenta a
equação polar para essa curva:
A alternativa "A " está correta.
Sabemos que {𝑥 = ρ cos 𝜃
𝑦 = ρ sen 𝜃 
Como 4𝑥2 + 𝑦2 = 1 → (𝑥2 + 𝑦2 ) + 3𝑥2 = 1:
𝜌2 + 3𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃2 = 1 → 𝜌2 (1 + 3𝑐𝑜𝑠2 𝜃) = 1 → 𝜌2 = 1
1 + 3𝑐𝑜𝑠2 𝜃
→ 𝜌 = √ 1
1 + 3𝑐𝑜𝑠2 𝜃
2. Assinale a alternativa que apresenta o comprimento da curva definida pela equação polar 𝜌 = sec 𝜃 entre os pontos 𝜃 = 0
e 𝜃 = 𝜋
6
A alternativa "B " está correta.
Se 𝑓𝜃 = 𝜌 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 → 𝑓' 𝜃 = 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑔𝜃
Sabemos que: 𝐿(𝜃) = ∫𝜃0
𝜃1 √(𝑓' 𝜃)
2
+ (𝑓(𝜃))2 𝑑𝜃
Assim,
𝐿(𝜃) = ∫0
𝜋
6 √(sec 𝜃)2 + (sec 𝜃tg 𝜃)2 𝑑𝜃 = ∫0
𝜋
6 √𝑠𝑒𝑐2 𝜃(1 + 𝑡𝑔2 𝜃) 𝑑𝜃
𝐿(𝜃) = ∫0
𝜋
6 √𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃 = ∫0
𝜋
6 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 𝑑𝜃 = 𝑡𝑔 𝜃|0
𝜋
6 = 𝑡𝑔𝜋
6 - 𝑡𝑔0 = √3
3
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este tema apresentou e aplicou o conceito de função vetorial e de coordenadas polares.
No primeiro módulo,definimos a função vetorial, que apresenta como domínio um número real, porém, como imagem, um
vetor que pertence ao Rn. Também apresentamos as operações básicas das funções vetoriais.
No segundo e no terceiro módulos, definimos as operações de limite, derivada e integral para uma função vetorial e suas
aplicações ao estudo de curvas planas e espaciais, bem como no movimento de um objeto.
Por fim, no quarto módulo, apresentamos o sistema de coordenadas polares, que pode ser utilizado para representar curvas
planas e determinar o comprimento de seus arcos e suas áreas.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
APOSTOL, T. M. Cálculo. 1. ed. Barcelona: Editorial Reverte SA, 1985. v. 1, cap. 14, p. 597-640.
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013. v. 1, cap. 13, p. 422-432.
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013. v. 2, cap. 7, p. 104-132.
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008. v. 2, cap. 10, p. 665-679; cap. 13, p. 847-883.
EXPLORE+
Pesquise mais sobre funções vetoriais na internet e nas referências bibliográficas.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
javascript:void(0);