UNID 4 CALCULO DIFERENCIAL

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42245 . 7 - Cálculo Integral - 20211.B 
Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - Questionário 
Conteúdo do teste Detalhes e informações 
Pergunta 1 1 ponto 
Data de entrega da avaliação 
04/06/21 23:59 (BRT) 
Os métodos de integração auxiliam na resolução de integrais não triviais, ou seja, auxiliam na resolução daqueles que não podem 
ser facilmente determinada pelo conhecimento de algumas derivadas e antiderivadas. Um dos métodos importantes de integração 
Tentativas 
é o método conhecido como integral por partes. 
1 tentativa restante 
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as etapas de acordo com a sequência na qual 
devem ser efetuados os passos para a utilização desse método de integração: 
( ) Orientar-se pelo LIATE. 
Avaliação 
( ) Determinação de du e v. 
( ) Identificar os tipos de funções. 
Pontos máximos 10 pontos 
( ) Substituição do u e dv. 
( ) Substituição na fórmula de integração por partes e resolução da integral. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
5, 2, 3, 4, 1. 
2, 1, 3, 4, 5. 
3, 4, 2, 1, 5. 
2, 4, 1, 3, 5. 
2, 4, 1, 5, 3. 
Pergunta 2 1 ponto 
A integral definida possui diversas interpretações geométricas importantes. A mais simples é a da integral de uma função definida 
em um intervalo, que nos dá o valor da área da região sob a curva. Os intervalos de integração da integral definida podem ser 
manipulados para a resolução dessas integrais de outras maneiras. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral definida e com seus conhecimentos acerca dos diversos 
métodos de integração, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A área delimitada pela curva f(x) = 1/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = e² vale 2. 
II. ( ) Mesmo que a função não seja convergente, é possível calcular sua área dividindo o intervalo em subintervalos. 
III. ( ) A área delimitada pela curva h(x) = 2/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = e² vale 2. 
IV. ( ) A força em um deslocamento de 100m é dada por f(x) = x - 50. Sabendo que o trabalho dessa força é dado pela integral da 
força vezes o deslocamento, pode-se dizer que o trabalho dessa força é nulo para esse deslocamento. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
F, V, F, V. 
V, V, F, F. 
V, F, F, V. 
V, F, F, F. 
F, F, V, F. 
Pergunta 3 1 ponto 
O conhecimento acerca dos métodos de integração é essencial, de forma que a integração por substituições trigonométricas possui 
diversas aplicações no escopo do cálculo e da física, já que, muitas vezes, essas substituições são as únicas saídas para resolver 
uma integral definida cujo valor numérico equivale, por exemplo, à área sob uma curva, a um volume de rotação ou translação, ao 
comprimento de um arco, etc. 
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre as técnicas de integração, analise as afirmativas a seguir: 
I. O cálculo da área de elipses, da forma x²/a² + y²/b² = 1, pode ser feito substituições trigonométricas em integrais, pois isolando y 
encontramos a raiz de a² – x². 
II. Expressões que envolvem a raiz quadrada de a² - x² podem ser integradas fazendo a substituição x = asen(w), devido ao fato de 
recorrerem na identidade 1-sen²w = cos²w. 
III. As substituições trigonométricas consistem na aplicação da regra da substituição para integração em casos específicos, nos 
quais pode-se recorrer a certas substituições, baseando-se nas identidades trigonométricas, para chegar a expressões integráveis. 
IV. Ao realizar o cálculo da integral indefinida de uma função por meio de substituições trigonométricas, nem sempre é preciso 
retornar à variável x original. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
II e IV. 
I, II e IV. 
I e III. 
I, II e III. 
II e III. 
Pergunta 4 1 ponto 
As funções racionais possuem diversas aplicações em diversos estudos de fenômenos modelados matematicamente, de forma que 
o conhecimento da regra de integração de funções racionais por frações parciais é essencial para o bom aproveitamento dos 
conceitos estudados. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre regras de integração de funções racionais por frações parciais, é 
correto afirmar que: 
I. f(x) = cos(x)/sen(x) é uma função integrável pelo fato de ser possível aplicar o método das frações parciais ou fazer alguma outra 
substituição para sua resolução. 
II. Funções racionais podem ser expressas como a soma de frações mais simples, chamadas frações parciais, as quais são mais 
fáceis de se integrar. 
III. Sendo f a função racional tal que f(x) = P(x)/Q(x), então f pode ser expressa como uma soma de frações parciais desde que o grau 
de Q seja menor que o grau de P. 
IV. g(x) = (x+5)/(x² + x - 2) pode ser reescrita como g(x) = 2/(x-1) – 1/(x+2). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
II e IV. 
II e III. 
I, II e IV. 
III e IV. 
I e III. 
Pergunta 5 1 ponto 
As substituições trigonométricas são úteis para facilitar a resolução de inúmeras integrais com integrandos que são compostos de 
raízes específicas. Busca-se substituir os argumentos dessas raízes por algumas funções trigonométricas, tais como sen(x), sec(x) e 
tg(x). 
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica do método de substituições trigonométricas e dos 
conceitos estudados em Cálculo Diferencial e integral, associe os itens a seguir com os processos de substituição descritos: 
1) x²/√(4 – x²). 
2) 1/√(16 + x²). 
3) (x² -16)/ √(x² + 8x + 16). 
4) (x² – 16). 
( ) Substituição x = 2sen(w). 
( ) Substituição x = 4sec(w). 
( ) Substituição x = 4tg(w). 
( ) Não é necessário realizar substituição trigonométrica. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
1, 4, 2, 3. 
1, 3, 2, 4. 
1, 4, 3, 2. 
2, 3, 1, 4. 
2, 1, 3, 4. 
Pergunta 6 1 ponto 
O método da integração por partes possui fundamental importância no que diz respeito à integração de funções mais complexas 
em relação às habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em separar a função em duas partes, de 
preferência de forma que uma das expressões seja mais fácil de se derivar, e a outra, mais fácil de se integrar. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por partes, analise as asserções a seguir e a 
relação proposta entre elas. 
I. A integral indefinida da função f(x) = (e^x)cos(x) é igual a (e^x)[sen(x)+cos(x)]/2 + C. 
Porque: 
II. Consideramos a regra da integração por partes e tomando inicialmente u = e^x e dv = cos(x)dx, de forma que du = (e^x)dx e v = 
sen(x), ao integrar a função dada por partes, obtém-se outra expressão com uma integral parecida, e novamente é realizada a 
técnica de integração por partes. Após isso, se isola a integral cujo cálculo é desejado para encontrar a primitiva F(x) da função f(x). 
Agora, assinale a alternativa correta: 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
Pergunta 7 1 ponto 
A matemática pauta sua construção de conhecimento com base em seus axiomas, que são premissas assumidas como 
verdadeiras, isto é, proposições inquestionáveis. A partir dessas proposições, outros conhecimentos são gerados, tais como 
teoremas, propriedades, corolários e afins. Esses conhecimentos vão gerando outros, e assim sucessivamente. 
Considerando essas informações, pode-se afirmar que a propriedade da derivada do produto de duas funções é relevante para a 
integração por partes porque: 
a propriedade derivativa é utilizada para a resolução de problemas que envolvem integral por partes. 
funciona como uma premissa verdadeira que servecomo base para a dedução do método de integração por partes. 
deve-se derivar as funções antes de integrá-las 
as derivadas do produto são equivalentes as integrais dos produtos. 
ambas são axiomas da matemática. 
Pergunta 8 1 ponto 
O método de integração por substituições trigonométricas é um dos mais trabalhosos e complexos métodos. Busca-se, com ele, a 
realização de uma substituição a partir de funções trigonométricas específicas para a eliminação de uma estrutura determinada do 
integrando. 
Com base no seu conhecimento acerca desse método de integração, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) O método trabalha com a eliminação de radicais específicos do integrando. 
II. ( ) x= asen( ) é uma das substituições possíveis. 
III. ( ) O conhecimento acerca das relações trigonométricas é dispensável para resolução desse método. 
IV. ( ) Há ligação entre o círculo trigonométrico e esse método de integração. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
F, F, V, V. 
V, V, F, V. 
V, F, F, F. 
V, V, F, F. 
V, V, V, F. 
Pergunta 9 1 ponto 
O método da integração trigonométrica possui fundamental importância no que diz respeito à integração de funções mais 
complexas do que as habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em substituir um dos termos por 
uma função trigonométrica, para que se encontre alguma identidade que simplifica a expressão, possibilitando a sua integração. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por substituições trigonométricas, analise as 
asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. A integral de 1/[x²√(x²+4)] é igual a √(x²+4)/4x + C, e pode ser calculada pelo método da substituição trigonométrica, por meio da 
substituição x = 2sec(w). 
Porque: 
II. Consideramos a regra da integração por substituição trigonométrica e com x = 2sec(w), temos que √(x²+4) = √[4sec²(w)+4] = 
√[4(sec²(w)+1), e como sec²(w) + 1 = tg²(w), √(x²+4) = 2tg(w). Substituindo na fórmula inicial e integrando, encontramos a expressão 
dada. 
Agora, assinale a alternativa correta: 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I 
Pergunta 10 1 ponto 
Algumas funções algébricas requerem substituições especiais para a resolução analítica de sua integral. Utiliza-se o recurso de 
substituição para conseguir evidenciar algum termo que possua integração mais simples, e isso ocorre, por exemplo, em integrais 
de funções com raízes, nas quais nos valemos, muitas das vezes, de identidades trigonométricas. 
Dessa forma, considerando as funções f(x) = √(x²-4) e g(x) = 1/√(x²+4) e também seus conhecimentos sobre o método da integração 
por substituições trigonométricas desses tipos de funções, é correto afirmar que: 
f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = asen(w). 
f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = atg(w). 
ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais 
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente restrito no intervalo [0, 
pi/2[ ou [pi, 3pi/2]. 
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente restrito no intervalo [-pi/2, 
pi/2]. 
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