CALCULO INTEGRAL- AOL04 (10 - 10)

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Cálculo de Integral – AOL 04 
1) O método da integração trigonométrica possui fundamental importância no que diz respeito 
à integração de funções mais complexas do que as habituais, que aparecem em tabelas de 
integração. Esse método consiste em substituir um dos termos por uma função 
trigonométrica, para que se encontre alguma identidade que simplifica a expressão, 
possibilitando a sua integração. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por 
substituições trigonométricas, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre 
elas. 
 
I) A integral de 1/[x²√(x²+4)] é igual a √(x²+4)/4x + C, e pode ser calculada pelo método da 
substituição trigonométrica, por meio da substituição x = 2sec(w). 
 
Porque: 
 
II) Consideramos a regra da integração por substituição trigonométrica e com x = 2sec(w), 
temos que √(x²+4) = √[4sec²(w)+4] = √[4(sec²(w)+1), e como sec²(w) + 1 = tg²(w), 
√(x²+4) = 2tg(w). Substituindo na fórmula inicial e integrando, encontramos a expressão 
dada. 
 
Agora, assinale a alternativa correta: 
 
( ) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
( ) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
( ) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I 
( ) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
( x ) As asserções I e II são proposições falsas. 
 
2) As funções racionais possuem diversas aplicações em diversos estudos de fenômenos 
modelados matematicamente, de forma que o conhecimento da regra de integração de 
funções racionais por frações parciais é essencial para o bom aproveitamento dos 
conceitos estudados. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre regras de integração de 
funções racionais por frações parciais, é correto afirmar que: 
 
I) f(x) = cos(x)/sen(x) é uma função integrável pelo fato de ser possível aplicar o 
método das frações parciais ou fazer alguma outra substituição para sua resolução. 
II) Funções racionais podem ser expressas como a soma de frações mais simples, 
chamadas frações parciais, as quais são mais fáceis de se integrar. 
III) Sendo f a função racional tal que f(x) = P(x)/Q(x), então f pode ser expressa como 
uma soma de frações parciais desde que o grau de Q seja menor que o grau de P. 
IV) g(x) = (x+5)/(x² + x - 2) pode ser reescrita como g(x) = 2/(x-1) – 1/(x+2). 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
( ) III e IV 
( ) II e III 
( ) II e IV 
( x ) I, II e IV 
( ) I e III 
 
3) Os métodos de integração auxiliam na resolução de integrais não triviais, ou seja, auxiliam 
na resolução daqueles que não podem ser facilmente determinada pelo conhecimento de 
algumas derivadas e antiderivadas. Um dos métodos importantes de integração é o 
método conhecido como integral por partes. 
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as 
etapas de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a 
utilização desse método de integração: 
 
( 2 ) Orientar-se pelo LIATE. 
( 4 ) Determinação de du e v. 
( 1 ) Identificar os tipos de funções. 
( 3 ) Substituição do u e dv. 
( 5 ) Substituição na fórmula de integração por partes e resolução da integral. 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
 
( ) 5, 2, 3, 4, 1 
( ) 2, 1, 3, 4, 5 
( ) 2, 4, 1, 5, 3 
( x ) 2, 4, 1, 3, 5 
( ) 3, 4, 2, 1, 5 
 
4) Os conhecimentos acerca dos métodos de integração são essenciais para os estudantes 
de Cálculo Integral. Esses métodos possibilitam a reescrita de algumas integrais que, sem 
eles, não seriam resolvidas. Um dos métodos importantes de integração é o método 
conhecido como frações parciais. 
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as 
etapas de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a 
utilização desse método de integração: 
 
( 5 ) Fragmentar a integral inicial em outras integrais solúveis e efetuar os cálculos dessas 
integrais. 
( 1 ) Reescrever o denominador da função racional em fatoração polinomial. 
( 4 ) Substituir os valores nas integrais. 
( 2 ) Fragmentar a fração racional em outras frações. 
( 3 ) Encontrar os numeradores de cada uma dessas frações 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
 
( ) 5, 2, 3, 4, 1 
( x ) 5, 1, 4, 2, 3 
( ) 3, 4, 2, 1, 5 
( ) 2, 1, 3, 4, 5 
( ) 2, 4, 1, 5, 3 
 
5) A escolha de um método de integração para a resolução de uma determinada integral 
pauta-se na identificação dos integrandos presentes nas integrais, ou seja, identificar se 
eles se tornam mais fáceis de serem resolvidos por um método ou outro. Os métodos mais 
comuns para esse uso são os de substituições trigonométricas, frações parciais, integrais 
por partes e afins. 
Utilizando seus conhecimentos sobre os métodos de integração, analise as afirmativas a 
seguir: 
 
I) ∫ 𝑑𝑥 pode ser resolvida pelo método de frações parciais. 
II) ∫ (x² + 2)³² 2x dx pode ser resolvida pelo método de substituição u du. 
III) ∫
( )
( )
𝑑𝑥 é solúvel pelo método das substituições trigonométricas. 
IV) ∫
√
𝑑𝑥 pode ser resolvida pelo método de substituição trigonométrica. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
( ) II, III e IV 
( ) I, II e III 
( x ) I, II e IV 
( ) II e IV 
( ) III e IV 
6) Algumas funções algébricas requerem substituições especiais para a resolução analítica 
de sua integral. Utiliza-se o recurso de substituição para conseguir evidenciar algum termo 
que possua integração mais simples, e isso ocorre, por exemplo, em integrais de funções 
com raízes, nas quais nos valemos, muitas das vezes, de identidades trigonométricas. 
Dessa forma, considerando as funções f(x) = √(x²-4) e g(x) = 1/√(x²+4) e também seus 
conhecimentos sobre o método da integração por substituições trigonométricas desses 
tipos de funções, é correto afirmar que: 
 
( ) ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente 
restrito no intervalo [0, pi/2[ ou [pi, 3pi/2]. 
( ) ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente 
restrito no intervalo [-pi/2, pi/2]. 
( ) ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais 
( x ) f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = atg(w). 
( ) f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = asen(w). 
 
7) Os métodos de integração buscam auxiliar na resolução das integrais, em geral 
reescrevendo as integrais complexas em integrais mais simples e facilmente solucionáveis. 
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca dos métodos de 
integração, associe os itens a seguir com os significados descritos: 
 
1) Integração por partes. 
2) Integração por substituição trigonométrica. 
3) Integração por frações parciais. 
4) Integração por substituição u du. 
 
( 4 ) Método de substituição mais simples, que pode ser utilizado em inúmeros casos de 
integrais. 
( 1 ) Útil para integração de certos tipos de produtos de funções. 
( 2 ) Útil para a eliminação de tipos específicos de radicais nos integrandos. 
( 3 ) Utilizado para integração de funções racionais. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
( ) 1, 2, 4, 3 
( ) 1, 2, 3, 4 
( ) 3, 4, 2, 1 
( x ) 4, 1, 2, 3 
( ) 2, 1, 3, 4 
 
8) O método da integração de funções racionais por frações parciais possui fundamental 
importância no que diz respeito à integração de funções mais complexas em relação às 
habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em reescrever a 
função como a soma de frações cujos denominadores são fatores do denominador original 
e, apenas após isso, realizar a integração de fato. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por 
frações parciais, analise asasserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I) A integral de f(x) = (x²+x)/(x-1) é igual a x²/2 + 2x + 2ln|x-1| + C, e pode ser 
calculada pelo método da integração de frações parciais. 
 
Porque: 
 
II) Separamos f(x) = (x²+x)/(x-1) como f(x) = x²/(x-1) + x/(x+1), e depois fazemos essas 
divisões polinomiais, obtendo f(x) = x + 1 + 1/(x-1) + 1 + 1/(x-1) = x + 2 + 2/(x-1), 
para então integrar utilizando a regra da integral da soma de vários termos. 
 
Agora, assinale a alternativa correta: 
 
( ) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
( x ) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
( ) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
( ) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
( ) As asserções I e II são proposições falsas. 
 
9) A integral definida possui diversas interpretações geométricas importantes. A mais simples 
é a da integral de uma função definida em um intervalo, que nos dá o valor da área da 
região sob a curva. Os intervalos de integração da integral definida podem ser 
manipulados para a resolução dessas integrais de outras maneiras. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral definida e com seus 
conhecimentos acerca dos diversos métodos de integração, analise as afirmativas a seguir 
e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s). 
 
I) ( V ) A área delimitada pela curva f(x) = 1/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = e² vale 2. 
II) ( F ) Mesmo que a função não seja convergente, é possível calcular sua área 
dividindo o intervalo em subintervalos. 
III) ( F ) A área delimitada pela curva h(x) = 2/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = e² vale 2. 
IV) ( V ) A força em um deslocamento de 100m é dada por f(x) = x - 50. Sabendo que o 
trabalho dessa força é dado pela integral da força vezes o deslocamento, pode-se 
dizer que o trabalho dessa força é nulo para esse deslocamento. 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
 
( ) V, V, F, F 
( ) F, V, F, V 
( ) F, F, V, F 
( x ) V, F, F, V 
( ) V, F, F, F 
 
10) O estudo dos métodos de integração é importante no uso das ferramentas do cálculo por 
nos possibilitar a encontrar uma função primitiva F(x) de uma certa função f(x). Além do 
método da substituição, outra técnica de integração importante é o da integração por 
partes, na qual tomamos uma função e a separamos em duas partes para acharmos sua 
integral indefinida. 
Considerando f(x) = u e g(x) = v, de forma que f’(x)dx = du e g’(x)dx = dv e de acordo com 
seus conhecimentos sobre as técnicas de integração, analise as afirmativas a seguir. 
 
I) A Regra de Substituição para a integração corresponde à Regra da Cadeia para a 
derivação. 
II) Integrar por partes significa fazer a integral de u.dv igual a uv menos a integral de 
v.du. 
III) A técnica da integração por partes corresponde à Regra do Quociente para a 
derivação. 
IV) Assim como na derivação, existem regras que sempre garantem a obtenção da 
integral indefinida de uma função. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
( ) II e III 
( ) I e IV 
( ) I, II e III 
( x ) I e II 
( ) II e IV 
 
 
 
Respostas 
1-E / 2-D / 3-D / 4-B / 5-C / 6-D / 7-D / 8-B / 9-D / 10-D