Matemática - Teórico_VOLUME2

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VIVENCIANDO
APLICAÇÃO DO CONTEÚDO 
INCIDÊNCIA DO TEMA 
NAS PRINCIPAIS PROVAS
ÁREAS DE 
CONHECiMENTO DO ENEM
TEORIA
MULTiMÍDiA
CONEXÃO ENTRE DiSCiPLiNAS
DiAGRAMA DE iDEiAS
HERLAN FELLiNi
Caro aluno 
Ao elaborar o seu material inovador, completo e moderno, o Hexag considerou como principal diferencial sua exclusiva 
metodologia em período integral, com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado. O material 
didático é composto por 6 cadernos de aula e 107 livros, totalizando uma coleção com 113 exemplares. O conteúdo dos 
livros é organizado por aulas temáticas. Cada assunto contém uma rica teoria que contempla, de forma objetiva e trans-
versal, as reais necessidades dos alunos, dispensando qualquer tipo de material alternativo complementar. Para melhorar 
a aprendizagem, as aulas possuem seções específicas com determinadas finalidades. A seguir, apresentamos cada seção:
No decorrer das teorias apresentadas, oferecemos uma cuidado-
sa seleção de conteúdos multimídia para complementar o reper-
tório do aluno, apresentada em boxes para facilitar a compreen-
são, com indicação de vídeos, sites, filmes, músicas, livros, etc. 
Tudo isso é encontrado em subcategorias que facilitam o apro-
fundamento nos temas estudados – há obras de arte, poemas, 
imagens, artigos e até sugestões de aplicativos que facilitam os 
estudos, com conteúdos essenciais para ampliar as habilidades 
de análise e reflexão crítica, em uma seleção realizada com finos 
critérios para apurar ainda mais o conhecimento do nosso aluno.
Um dos grandes problemas do conhecimento acadêmico é o seu 
distanciamento da realidade cotidiana, o que dificulta a compreen-
são de determinados conceitos e impede o aprofundamento nos 
temas para além da superficial memorização de fórmulas ou regras. 
Para evitar bloqueios na aprendizagem dos conteúdos, foi desenvol-
vida a seção “Vivenciando“. Como o próprio nome já aponta, há 
uma preocupação em levar aos nossos alunos a clareza das relações 
entre aquilo que eles aprendem e aquilo com que eles têm contato 
em seu dia a dia.
Sabendo que o Enem tem o objetivo de avaliar o desempenho ao 
fim da escolaridade básica, organizamos essa seção para que o 
aluno conheça as diversas habilidades e competências abordadas 
na prova. Os livros da “Coleção Vestibulares de Medicina” contêm, 
a cada aula, algumas dessas habilidades. No compilado “Áreas de 
Conhecimento do Enem” há modelos de exercícios que não são 
apenas resolvidos, mas também analisados de maneira expositiva 
e descritos passo a passo à luz das habilidades estudadas no dia. 
Esse recurso constrói para o estudante um roteiro para ajudá-lo a 
apurar as questões na prática, a identificá-las na prova e a resol-
vê-las com tranquilidade.
Cada pessoa tem sua própria forma de aprendizado. Por isso, cria-
mos para os nossos alunos o máximo de recursos para orientá-los em 
suas trajetórias. Um deles é o ”Diagrama de Ideias”, para aqueles 
que aprendem visualmente os conteúdos e processos por meio de 
esquemas cognitivos, mapas mentais e fluxogramas.
Além disso, esse compilado é um resumo de todo o conteúdo da 
aula. Por meio dele, pode-se fazer uma rápida consulta aos princi-
pais conteúdos ensinados no dia, o que facilita a organização dos 
estudos e até a resolução dos exercícios.
Atento às constantes mudanças dos grandes vestibulares, é ela-
borada, a cada aula e sempre que possível, uma seção que trata 
de interdisciplinaridade. As questões dos vestibulares atuais não 
exigem mais dos candidatos apenas o puro conhecimento dos 
conteúdos de cada área, de cada disciplina.
Atualmente há muitas perguntas interdisciplinares que abran-
gem conteúdos de diferentes áreas em uma mesma questão, 
como Biologia e Química, História e Geografia, Biologia e Mate-
mática, entre outras. Nesse espaço, o aluno inicia o contato com 
essa realidade por meio de explicações que relacionam a aula do 
dia com aulas de outras disciplinas e conteúdos de outros livros, 
sempre utilizando temas da atualidade. Assim, o aluno consegue 
entender que cada disciplina não existe de forma isolada, mas faz 
parte de uma grande engrenagem no mundo em que ele vive.
De forma simples, resumida e dinâmica, essa seção foi desenvol-
vida para sinalizar os assuntos mais abordados no Enem e nos 
principais vestibulares voltados para o curso de Medicina em todo 
o território nacional.
Todo o desenvolvimento dos conteúdos teóricos de cada coleção 
tem como principal objetivo apoiar o aluno na resolução das ques-
tões propostas. Os textos dos livros são de fácil compreensão, com-
pletos e organizados. Além disso, contam com imagens ilustrativas 
que complementam as explicações dadas em sala de aula. Qua-
dros, mapas e organogramas, em cores nítidas, também são usados 
e compõem um conjunto abrangente de informações para o aluno 
que vai se dedicar à rotina intensa de estudos.
Essa seção foi desenvolvida com foco nas disciplinas que fazem 
parte das Ciências da Natureza e da Matemática. Nos compila-
dos, deparamos-nos com modelos de exercícios resolvidos e co-
mentados, fazendo com que aquilo que pareça abstrato e de difí-
cil compreensão torne-se mais acessível e de bom entendimento 
aos olhos do aluno. Por meio dessas resoluções, é possível rever, 
a qualquer momento, as explicações dadas em sala de aula.
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Herlan Fellini
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MATEMÁTICA
ÁLGEBRA
ARITMÉTICA
GEOMETRIA PLANA
Aulas 9 e 10: Operações com intervalos 6
Aulas 11 e 12: Inequações do primeiro e segundo graus 8
Aulas 13 e 14: Relações, funções e definições 17
Aulas 15 e 16: Funções do primeiro grau 25
Aulas 9 e 10: Razão, proporção e grandezas proporcionais 34
Aulas 11 e 12: Teorema fundamental da aritmética, M.M.C. e M.D.C. 45
Aulas 13 e 14: Porcentagem 54
Aulas 15 e 16: Acréscimos e descontos 57
Aulas 9 e 10: Semelhança de triângulos 66
Aulas 11 e 12: Relações métricas no triângulo retângulo 70
Aulas 13 e 14: Trigonometria num triângulo qualquer 76
Aulas 15 e 16: Áreas dos triângulos 82
SUMÁRIO
UFMG
A VUNESP apresentou inúmeras questões 
de funções nas suas últimas provas, tanto na 
primeira quanto na segunda fase. 
As aulas deste caderno devem ser analisadas 
e estudadas para a prova da UNIFESP. Por 
apresentar questões mais elaboradas nas 
grandes áreas da Matemática, a prova 
pode exigir do candidato conceitos mais 
específicos.
Operações com intervalos e relações com 
função são temas importantes para a prova 
da Unicamp, pois eles podem serabordados 
inicialmente na questão para serem aprofun-
dados dentro dela. Função de primeiro grau 
tem alta incidência também. 
A prova do Albert Einstein apresenta questões 
com os temas das aulas do caderno 1 como 
base. Em seu desenvolvimento, o aluno terá 
que ser eficiente ao saber do domínio e 
imagem de uma função e como resolver uma 
raiz de funções do primeiro grau. 
A FMABC apresenta questões que exigem 
uma boa interpretação de texto na parte de 
função de primeiro grau. Intervalos dos reais 
também será exigido ao final de uma questão 
de inequações do 1.º ou 2.º grau. 
A PUC de Campinas apresenta alta 
incidência de questões de inequação do 1.º 
e 2.º grau, mesclando as duas em divisões 
ou multiplicações. Saber realizar o gráfico 
de uma função do primeiro grau e ler suas 
incógnitas também é essencial. 
A prova da Santa Casa possui questões de 
elevado grau na matemática. As aulas deste 
caderno devem ser estudadas com excelência 
para um bom aproveitamento nessa prova. 
A prova do Enem tem alta incidência em ques-
tões de função de primeiro grau com questões 
mais medianas ou até mesmo de grau elevado. 
O texto sempre deve ser analisado para uma boa 
interpretação da questão. Saber as relações e 
definições de uma função torna-se 
básico para essa 
prova. 
No vestibular da FUVEST são encontradas 
questões de inequações, relações de função 
e função de primeiro grau. Além disso, esses 
temas são essenciais para a continuação da 
matéria até chegar em pontos mais avançados, 
como Polinômios. 
A UERJ vai aproveitar a operação de intervalos 
em alguma de suas questões; além disso 
possui elevada recorrência de questões de 
função de primeiro grau. 
A UNIGRANRIO trará uma prova de 
Matemática diferente da prova do Enem, com 
questões de pouco texto e mais objetividade. 
É fundamental saber o domínio e imagem de 
uma função. 
A Souza Marques abordará em suas questões 
as matérias deste caderno junto com outras 
grandes matérias da Matemática. Operações 
com intervalos reais e definições de uma 
função são essenciais para sua prova. 
A Faculdade de Ciências Médicas apresenta 
uma prova com poucas questões, porém abor-
dando vários temas da matemática dentro 
delas. O aluno deve estudar detidamente as 
aulas deste livro para alcançar um resultado 
satisfatório.
A federal do Paraná apresenta uma prova de 
Matemática muito bem elaborada, e as aulas 
deste caderno são totalmente necessárias para 
a resolução das questões. Inequações e função 
do primeiro grau têm alta incidência em seu 
vestibular. 
A prova de Londrina apresenta questões bem 
elaboradas nas áreas da Aritmética. Exercícios 
com inequação e função de primeiro grau não 
faltarão em sua prova. 
INCIDÊNCIA DO TEMA NAS PRINCIPAIS PROVAS
ÁLGEBRA
 6
1. Introdução
Dados dois números reais a e b, com a < b, define-se como 
intervalo fechado [a, b] o seguinte conjunto:
[a, b] = {x [ R | a ≤ x ≤ b}
Nesse caso, os elementos a e b pertencem ao interva-
lo, assim como todos os números reais maiores que a e 
menores que b.
Do mesmo modo, define-se como intervalo aberto ]a, b[ 
o conjunto:
]a, b[ = {x [ R | a < x < b}
Perceba que, diferentemente do intervalo fechado, nesse 
conjunto os elementos a e b não pertencem ao intervalo.
Caso o número real a (denominado extremo inferior do 
intervalo) pertença ao intervalo, e o número b (denomi-
nado extremo superior do intervalo) não pertença, 
denomina-se esse intervalo como fechado à esquerda 
(ou aberto à direita), definido pelo conjunto:
[a, b[ = {x [ R | a ≤ x < b}
Da mesma maneira, caso a não pertença ao intervalo, e 
b pertença, denomina-se esse intervalo como fechado à 
direita (ou aberto à esquerda), definido por:
]a, b] = {x [ R | a < x ≤ b}
Também é possível representar intervalos “infinitos”:
[a, +Ü[ = {x [ R | x ≥ a}
]–Ü, a] = {x [ R | x ≤ a}
Como intervalos são, por definição, conjuntos, pode-se 
realizar as operações entre conjuntos, como união, in-
terseção e diferença em intervalos também.
2. Representação geométrica 
de intervalos na reta real
É possível representar intervalos na reta real, o que facilita 
a realização de operações entre intervalos. Veja o exemplo:
a) [–1, 2]
b) [1, 4[
c) ]–2, 2[
d) [–3, +Ü[
A notação [a, b] se refere necessariamente a um conjunto 
de números reais. Assim, o intervalo [1, 2], por exemp-
lo, representa o conjunto de todos os números reais 
maiores ou iguais a 1 e menores ou iguais a 2, possuindo 
infinitos elementos.
2.1. Operações com intervalos
Aplicação do conteúdo
1. Se A = {x [ R | 2 < x < 5} e B = {x [ R | 3 ≤ x ≤ 8}, 
determine A > B.
Resolução:
3 é elemento de A e também de B.
5 é elemento de B e não é elemento de A.
Os elementos de 3 até o 5, excluído esse último, pertencem 
a A e a B simultaneamente.
OPERAÇÕES COM 
INTERVALOS
HABILIDADES: 19, 20, 21 e 22
COMPETÊNCIA: 5
AULAS 9 e 10
 7
Assim, A > B = {x [ R | 3 ≤ x < 5}.
 § Dados A = {x [ R | –2 ≤ x ≤ 0} e 
B = {x [ R | 2 ≤ x < 3}, determine A > B.
Não há elementos que pertençam aos dois conjuntos ao 
mesmo tempo.
A interseção é o conjunto vazio: A > B = Ø.
 § Dados A = {x [ R | –2 ≤ x ≤ 3} e 
B = {x [ R | 1 < x ≤ 4}, determine A < B.
união pedida
Assim, A < B = {x [ R | –2 ≤ x ≤ 4}.
 § Dados A = {x [ R | –3 < x ≤ 4} e 
B = {x [ R | 1 < x < 7}, calcule A – B.
O conjunto A – B é formado pelos elementos que perten-
cem a A e não pertencem a B.
Assim, A – B = {x [ R | –3 < x ≤ 1}.
2. Se –4 < x < –1 e 1 < y < 2, então x _ y e x ∙ y estão no 
intervalo:
a) ] – 8, –1[
b) ] –2, – 1 __ 
2
 [ 
c) ] – 2, –1[
d) ] – 8, – 1 __ 
2
 [ 
e) ] –1, 1 __ 
2
 [ 
Resolução:
Analisando os valores possíveis para x _ y e xy nos extremos, 
tem-se:
I) x _ y 
x = – 4, y = 1⇒ x _ y = –4 
x = –1, y = 1 ⇒ x _ y = –1
x = – 4, y = 2⇒ x _ y = –2 
x = –1, y = 2 ⇒ x _ y = –1 __ 
2
 
II) xy
x = – 4, y = 1 ⇒ x ∙ y = – 4 
x = –1, y = 1 ⇒ x ∙ y = –1
x = – 4, y = 2 ⇒ x ∙ y = – 8 
x = –1, y = 2 ⇒ x ∙ y = –2
O menor valor encontrado é – 8, e o maior é –1/2. Assim, o 
intervalo pedido é ]– 8, –1/2[, lembrando que os extremos 
são abertos, uma vez que os extremos de x e y também 
são abertos.
Alternativa D
 8
1. Inequações
Dadas duas funções f(x) e g(x), sendo seus domínios conti-
dos no conjunto dos números reais, uma inequação é dada 
pelas sentenças abertas a seguir:
 § f(x) > g(x): f(x) é maior que g(x) ou g(x) é menor que 
f(x);
 § f(x) > g(x): f(x) é maior ou igual a g(x) ou g(x) é menor 
ou igual a f(x);
 § f(x) < g(x): f(x) é menor que g(x) ou g(x) é maior que 
f(x);
 § f(x) < g(x): f(x) é menor ou igual a g(x) ou g(x) é maior 
ou igual a f(x).
1.1. Conjunto solução
O conjunto solução de uma inequação é dado pelo con-
junto S de valores que tornam a inequação verdadeira.
Aplicação do conteúdo
1. O conjunto solução da inequação x + 1 > 2 é dado por 
S = {x [ R | x > 1}. Note que x = 1 não torna a inequa-
ção verdadeira:
1 + 1 > 2
2 > 2 (falso)
2. A inequação x > x + 2 não possui valores reais que a 
tornam verdadeira (x + 2 sempre será maior que x para 
qualquer valor real de x), logo S = \.
Para encontrar o conjunto solução de uma inequação, é 
preciso simplificá-la de modo a obter uma inequação equi-
valente (em que o conjunto solução é o mesmo), de ma-
neira semelhante à resolução de equações. Para isso, são 
utilizadas duas propriedades das inequações:
 § P1: Dada a inequação a > b, com a [ R e b [ R, 
pode-se somar um valor c [ R em ambos os lados da 
inequação e obter uma inequação equivalente:
a > b e a + c > b + c possuem 
o mesmo conjunto solução
3. Encontrar o conjunto solução da inequação 2x – 1 < 
x + 4.
Somando –x em ambos os lados da inequação, tem-se:
2x – 1 – x < x + 4 – x
x – 1 < 4
Agora, somando 1:
x – 1 + 1 < 4 + 1
x < 5
Assim, o conjunto solução é S = {x [ R | x < 5}.
 § P2: Dada a inequação a > b, com a [ R e b [ R e um 
valor c [ R, segue que:
i) se c > 0, a > b e a ∙ c > b ∙ c são equivalentes;
ii) se c < 0, a > b e a ∙ c< b · c são equivalentes.
Ou seja, pode-se multiplicar ambos os lados de uma ine-
quação e obter uma inequação equivalente; no entanto, 
se o valor multiplicado for negativo, o símbolo da desi-
gualdade inverte.
Observe a desigualdade a seguir:
2 < 5 (2 é menor que 5)
Se ambos os lados forem multiplicados por –3, tem-se:
–6 > –15 (Note que –6 é maior que –15)
Devido à troca do sentido da desigualdade, ao serem 
multiplicados ambos os membros por um valor negativo, 
na inequação:
 1 __ x < 1 __ 
2
 
Não é possível multiplicar ambos os membros por x, trans-
pondo o termo x para o outro membro, como seria feito na 
resolução da equação:
 1 __ x = 1 __ 
2
 ⇒ 1 = x __ 
2
 
Isso se deve ao fato de que podem existir valores de x 
negativos que satisfaçam a inequação, e para x < 0, ao 
transpor para o outro membro, deve-se inverter o sentido 
INEQUAÇÕES 
DO PRIMEIRO E 
SEGUNDO GRAUS
HABILIDADE: 21
COMPETÊNCIA: 5
AULAS 11 e 12
 9
da desigualdade. Para resolver essa e outras inequações, é 
preciso utilizar apenas as propriedades apresentadas, ou seja:
 1 __ x < 1 __ 
2
 
 1 __ x – 1 __ 
2
 < 0
Reduzindo a um denominador comum, tem-se:
 2 – x ____ 
2x
 < 0
Essa inequação equivalente encontrada é denominada 
inequação-quociente. Mais adiante será analisado o 
método para encontrar seu conjunto solução.
2. Inequações do 1.º grau
É chamada de inequação do 1.º grau na variável x toda 
desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas:
ax + b > 0
ax + b > 0
ax + b < 0
ax + b < 0
Por exemplo, a inequação 4(x –1) – x2 > 3x – x(x + 1) 
pode ser reduzida à forma ax + b > 0, sendo, assim, uma 
inequação do 1.º grau:
4x – 4 – x2 > 3x – x2 – x
4x – 4 – x2 – 3x + x2 + x > 0
2x – 4 > 0
polinômio do 1.° grau
Em algumas situações, é necessário obter os valores de x 
que satisfazem duas ou mais inequações.
Duas ou mais inequações consideradas ao mesmo tempo 
constituem o que é denominado sistema de inequações.
2x – 1 > 0
x – 5 < 0
SiStema de inequaçõeS do 1.º grau.
2.1. Resolução de inequações do 1.º grau
Aplicação do conteúdo
1. Resolva a inequação –2x + 4 > 10.
–2x > 10 – 4
–2x > 6
Agora, multiplicando ambos os membros da inequação por 
– 1 __ 
2
 (o que é equivalente a dividir ambos os membros por –2):
 ( – 1 __ 
2
 ) (–2x) < 6 ( – 1 __ 
2
 ) (Note que o sentido da desigualdade 
deve ser trocado.)
(com a, b [ R e a Þ 0)
x < –3
Assim, o conjunto solução é S = {x [ R I x < –3}.
2. Encontre o conjunto solução da inequação x __ 
2
 – 1 – x ____ 
4
 > 5 __ 
6
 .
Reduzindo ambos os membros a um denominador comum, 
tem-se:
 6 · x ____ 
12
 – 3 · (1 – x) ________ 
12
 > 2 · 5 ____ 
12
 
Multiplicando ambos os membros por 12, simplifica-se 
a expressão:
6x – 3(1 – x) > 2 · 5
6x – 3 + 3x > 10
9x > 13
x > 13 ___ 
9
 
Assim, o conjunto solução é:
 S = { x [ R | x > 13 ___ 
9
 } .
2.2. Sistemas de inequações do 1.º grau
O conjunto solução de um sistema de inequações é de-
terminado pela interseção dos conjuntos soluções de cada 
inequação do sistema.
Aplicação do conteúdo
1. Resolver a inequação –1 < 2x – 3 < x.
Com efeito, resolver essa inequação simultânea equivale a 
resolver o sistema:
–1 < 2x – 3 (I)
2x – 3 < x (II)
(I)
–1 < 2x – 3
–2x < – 3 + 1
–2x < – 2
x > 1
x1
(II)
2x – 3 ≤ x
2x – x ≤ 3
x ≤ 3
x3
 10
Fazendo a interseção:
1
1
(i)
(i) > (ii)
(ii)
3
3
S = {x [ R I 1 < x < 3}
 § Encontre o conjunto solução da inequação 2 < 3x – 1 < 8.
Em alguns casos, não é preciso montar um sistema de ine-
quações para resolver uma inequação simultânea. Nesse 
exemplo, é possível somar 1 nos três membros:
2 + 1 < 3x – 1 + 1 < 8 + 1
3 < 3x < 9
Agora, dividindo todos os membros por 3, tem-se:
1 < x < 3
Assim, o conjunto solução é dado por:
1 < x (I)
x < 3 (II)
Realizando a interseção dos dois intervalos, tem-se:
1
(i)
(i) > (ii)
(ii)
3
S = {x [ R I 1 < x < 3}
3. Inequações do 2.º grau
É denominada inequação do 2.º grau na variável x toda 
desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas:
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c < 0
Modelos:
x2 – 3x + 1 > 0
polinômio do 2.º grau polinômio do 2.º grau
2x2 – 5x < 0
3.1. Resolvendo inequações do 2º grau
Resolver uma inequação do 2.º grau significa determinar 
os valores reais de x que satisfazem a inequação dada. 
(com a, b e c [ R e a Þ 0)
Um modo simples de encontrar o conjunto solução de uma 
inequação do segundo grau é simplificar a inequação até 
se obter uma expressão do tipo f(x) > 0, f(x) > 0, f(x) < 0 
ou f(x) < 0, em que f(x) é uma função do segundo grau; e 
o sinal da função f(x) é analisado por meio de seu gráfico.
Aplicação do conteúdo
1. Encontrar o conjunto solução da inequação 
2x² + 6x – 1 > x² + 11x – 5.
Transpondo todos os fatores para um membro da inequa-
ção, tem-se:
2x² + 6x – 1– x² – 11x + 5 > 0
x² – 5x + 4 > 0
Agora, é preciso simplesmente analisar o sinal da função 
f(x) = x² – 5x + 4. Para isso, deve-se construir seu gráfico:
 § Calculando as raízes
f(x) = 0
x² – 5x + 4 = 0
x1 = 1 e x2 = 4
 § Concavidade da parábola
Como a = 1 (positivo), resulta que a parábola possui con-
cavidade para cima; portanto, seu gráfico é:
y
1 4
f(x)
x
Pelo gráfico, nota-se que:
Para x < 1 ou x > 4 ⇒ f(x) > 0
Para 1 < x < 4 ⇒ f(x) < 0
Agora, são analisados os intervalos em que se tem f(x) > 0:
y
1 4
f(x)
x
Assim, o conjunto solução é S = {x [ R | x < 1 ou x > 4}.
 11
No dia a dia ocorre uma variação nas medidas de temperatura. Na prática, essa variação é registrada ao se indicar 
uma temperatura mínima e uma máxima, construindo, assim, a ideia de intervalo. Imagine a cidade de São Paulo 
em um dia chuvoso, com a temperatura mínima de 18º e a máxima de 24º. A temperatura será representada por 
T, e os símbolos de maior ou igual (≥) e de menor ou igual (≤) serão utilizados para escrever a frase que expresse 
essa temperatura:
18º ≤ T ≤ 24º
A inequação é mais um recurso da linguagem matemática que permite a organização de problemas, uma vez que 
as medidas sempre serão variáveis, por mais precisos que sejam os instrumentos de medição. Ao comparar duas 
quantidades, tentando concluir qual delas é maior ou menor, você estará utilizando o princípio da inequação.
VIVENCIANDO
3.2. Sistemas de inequações do 2.º grau
Alguns sistemas de inequação apresentam uma ou mais 
inequações do 2.º grau. Para resolver esses sistemas, cada 
inequação deve ser resolvida separadamente, e, em segui-
da, encontra-se a interseção das soluções.
Aplicação do conteúdo
1. Resolver o sistema de inequações:
2x2 + 8 > x2 – 6x (I)
 x + 5 < 0 (II)
Resolvendo (I): 
2x2 + 8 > x2 – 6x ⇒ x2 + 6x + 8 > 0
 § a = 1 > 0
 § x2 + 6x + 8 = 0
D = 4
x = – 6 ± 2 ______ 
2
 
x' = − 8 ___ 
2
 = − 4
x'' = − 4 ___ 
2
 = − 2
x–4 –2
Resolvendo (II): x + 5 < 0 ⇒ x < –5
x
x
–5
–5
Fazendo a interseção entre as soluções de (I) e (II):
(i)
(i) > (ii)
(ii)
–4 –2
–5
–5
S = {x [ R | x < – 5}
4. Inequações-produto e 
inequações-quociente
4.1. Inequações-produto
Consideradas duas funções f(x) e g(x), uma inequação-pro-
duto é uma inequação da forma:
f(x) ⋅ g(x) > 0
f(x) ⋅ g(x) > 0
f(x) ⋅ g(x) < 0
f(x) ⋅ g(x) < 0
 12
Deve-se proceder da seguinte maneira para resolver ine-
quações desse tipo:
1.ª Realiza-se o estudo dos sinais de cada função separadamente.
2.ª Os resultados são colocados em um quadro de sinais.
3.ª O sinal do produto das funções é analisado, levando em 
conta as regras dos sinais da multiplicação de números reais.
Aplicação do conteúdo
1. Resolva a inequação (x – 3)(1 – x) > 0.
O sinal de cada função será analisado separadamente:
f(x) = x – 3
g(x) = 1 – x
f(x) g(x)
3 1
Assim:
Para x > 3, f(x) é positiva, e para x < 3, f(x) é negativa.
Para x > 1, g(x) é negativa, e para x < 1, g(x) é positiva.
O quadro de sinais é elaborado:
f(x)
g(x)
f(x)g(x)
31
A terceira linha do quadro representa o sinal da função 
f(x)g(x).
 § Se x < 1, a função f(x) é negativa,e g(x), positiva; por-
tanto, o produto entre elas é negativo.
 § Se 1 < x < 3, ambas as funções, f(x) e g(x), são negati-
vas; portanto, seu produto é positivo.
 § Se x > 3, a função f(x) é positiva, e g(x), negativa; por-
tanto, o produto entre elas é negativo.
Como se quer (x – 3)(1 – x) > 0, ou seja, não se procuram 
os valores de x que anulam o produto (x – 3)(1 – x), as 
raízes 1 e 3 não são incluídas no conjunto solução:
S = {x [ R | 1 < x < 3}
Note que, ao procurar o conjunto solução de (x – 3)(1 – x) > 0, 
seria possível também realizar o produto do primeiro mem-
bro e obter –x² + 4x – 3 > 0, resolver a inequação do 
segundo grau e obter o mesmo conjunto solução.
2. Encontre o conjunto solução da inequação (x2 – 2x)
(x2 – 5x + 4) < 0.
Caso seja efetuada a multiplicação entre x² – 2x e x² – 5x + 4, 
será encontrado um polinômio de 4.º grau. Assim, o sinal de 
cada função será analisado separadamente, e o quadro de 
sinais será construído:
f(x) = x² – 2x
g(x) = x² – 5x + 4
Encontrando as raízes de cada função e considerando suas 
concavidades, ambos os gráficos são elaborados:
0 2 1 4
f(x) g(x)
x x
Construindo o quadro de sinais:
f(x)
g(x)
f(x)g(x)
0 1 2 4
Como são procurados os valores de x que tornam o pro-
duto (x² – 2x)(x² – 5x + 4) negativo ou nulo, nota-se que o 
conjunto solução é:
S = {x [ R | 2 < x < 4 ou 0 < x < 1}
3. Resolva a inequação x³ – 2x² < 3x.
Transpondo o termo 3x para o outro membro da inequa-
ção, tem-se:
x³ – 2x² – 3x < 0
Fatorando o primeiro membro:
x(x² – 2x – 3) < 0
Tem-se, agora, uma inequação-produto na forma 
f(x) g(x) < 0, na qual:
f(x) = x
g(x) = x² – 2x – 3 
Novamente, construindo o gráfico de cada uma das fun-
ções para realizar a análise de sinal, tem-se:
 § f(x) = x
f(x) = x é uma função de primeiro grau, portanto, seu grá-
fico é uma reta. Sua raiz é dada por:
f(x) = 0
x = 0
A função é crescente, pois a > 0.
 13
 § g(x) = x² – 2x – 3
Calculando suas raízes, tem-se:
g(x) = 0
x² – 2x – 3 = 0
x1 = –1 e x2 = 3
Sua concavidade é para cima, pois a > 0.
f(x)
0 –1 3
g(x)
Quadro de sinais:
f(x)
g(x)
f(x)g(x)
–1 0 3
Assim, segue que f(x)g(x) é negativo para x < –1 e para x 
entre 0 e 3; logo:
S = { x [ R | x < – 1 ou 0 < x < 3}
4.2. Inequações-quociente
Dadas duas funções f(x) e g(x), uma inequação-quociente é 
uma inequação da forma:
 f(x) ___ 
g(x)
 > 0
 f(x) ___ 
g(x)
 > 0
 f(x) ___ 
g(x)
 < 0
 f(x) ___ 
g(x)
 < 0
A resolução de inequações-quociente é semelhante à reso-
lução de inequações-produto, isto é, o sinal de cada função é 
analisado separadamente, e, em seguida, para cada intervalo 
de x em que há mudança no sinal de alguma das funções, 
verifica-se o sinal do quociente f(x) ___ 
g(x)
 , levando em conta a re-
gra de sinais para divisão de dois números reais.
A principal diferença na resolução de uma inequação-quo-
ciente em relação à inequação-produto é que, agora, há 
uma condição de existência, pois no quociente f(x) ___ 
g(x)
 tem-
-se que g(x) Þ 0 para não se anular o denominador.
A tabela abaixo ilustra os valores normais dos lipídios sanguíneos para um adulto. O perfil lipídico é o resultado de 
uma série de exames laboratoriais para determinar dosagens dos quatro tipos principais de gordura. Você consegue 
observar uma inequação na tabela?
Indicador Valores Normais
CT (colesterol total) Até 200 mg/dL
LDL (“bom” colesterol) Até 130 mg/dL
HDL (“mau” colesterol) Entre 40 e 60 mg/dL
TG (triglicérides) Até 150 mg/dL
É possível escrever 40 < HDL < 60 no indicador HDL. Note que a inequação está envolvida quando há a necessidade 
de se comparar um conjunto de medidas.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
 14
Fonte: youtube
Número 23
multimídia: vídeo
Aplicação do conteúdo
1. Resolva a inequação 1 __ x ≤ 1 __ 
2
 dada no item 1.1.
Transpondo o termo 1 __ 
2
 para o outro membro da inequação:
 1 __ x – 1 __ 
2
 ≤ 0
Reduzindo a um denominador comum:
 2 – x ____ 
2x
 ≤ 0
Tem-se, agora, uma inequação-quociente na forma f(x) ___ 
g(x)
 < 0, 
em que:
f(x) = 2 – x
g(x) = 2x
Ambas são funções de primeiro grau.
f(x) = 2 – x 
Sua raiz é dada por:
f(x) = 0
2 – x = 0
x = 2
Como a = –1, a função é decrescente.
g(x) = 2x
Sua raiz é dada por:
g(x) = 0
2x = 0
x = 0
Como a = 2, a função é crescente.
g(x)
2 0
f(x)
x x
Quadro de sinais:
f(x)
g(x)
0 2
f(x)
g(x) 0 2
Atenção ao resolver inequações-quociente, pois elas pos-
suem uma condição de existência. Como a inequação é do 
tipo f(x) ___ 
g(x)
 < 0, segue que g(x) Þ 0. Ou seja, não é incluída 
no conjunto solução a raiz de g(x), pois ela torna o de-
nominador nulo. Entretanto, o 2 é incluído, pois ele anula 
apenas f(x), satisfazendo a inequação.
S = {x [ R | x < 0 ou x > 2}
pt.khanacademy.org/math/algebra/one-variable-linear-ine-
qualities/alg1-one-step-inequalities/v/inequalities-using-
-multiplication-and-division 
multimídia: site
2. Encontrar o conjunto solução da inequação x
2 – x – 7 ________ 
x + 1
 > 1.
Novamente, não é possível transpor apenas o denomina-
dor x + 1 multiplicando no segundo membro. Procede-se 
deslocando todos os termos para o mesmo membro e re-
duzindo a um mesmo denominador comum:
 x
2 – x – 7 ________ 
x + 1
 – 1 > 0
 x
2 – x – 7 ________ 
x + 1
 – 1(x + 1) _______ 
x + 1
 > 0
 x
2 – 2x – 8 _________ 
x + 1
 > 0
Agora, a inequação-quociente é resolvida na forma f(x) ___ 
g(x)
 > 0, 
em que:
f(x) = x² – 2x – 8 
g(x) = x + 1
Construindo os gráficos das funções, tem-se:
g(x)
–1
f(x)
–2 4
 15
Quadro de sinais:
–2 –1 4
f(x)
g(x)
–2 –1 4
f(x)
g(x)
Como são procurados os valores de x que satisfazem f(x) ___ 
g(x)
 > 0, tem-se os intervalos [–2, –1[ e [4, +`[ que tornam a função maior ou 
igual a zero. Perceba novamente que –1 não pertence ao conjunto solução, pois é raiz da função g(x). Portanto:
S = {x [ R | –2 < x < –1 ou x > 4}
HABILIDADE 21
Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a habilidade 21 exige do aluno a capacidade de resolver uma situ-
ação proposta a partir de conhecimentos algébricos adquiridos.
MODELO 1
(Enem) Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais por dia e arrecada com essas vendas, em média, 
R$ 300,00. Constatou-se que a quantidade de pães especiais vendidos diariamente aumenta, caso o preço 
seja reduzido, de acordo com a equação q = 400 – 100p, na qual q representa a quantidade de pães especiais 
vendidos diariamente e p, o seu preço em reais.
A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu fazer uma promoção. Para tanto, modifi-
cará o preço do pão especial de modo que a quantidade a ser vendida diariamente seja a maior possível, sem 
diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto.
O preço p, em reais, do pão especial nessa promoção deverá estar no intervalo:
a) R$ 0,50 ≤ p < R$ 1,50
b) R$ 1,50 ≤ p < R$ 2,50
c) R$ 2,50 ≤ p < R$ 3,50
d) R$ 3,50 ≤ p < R$ 4,50
e) R$ 4,50 ≤ p < R$ 5,50
ANÁLISE EXPOSITIVA
A arrecadação é dada pelo preço p de cada pão multiplicado pela quantidade q de pães vendidos, dado por 
q = 400 − 100p; sendo que essa arrecadação não pode ser menor do que arrecadação atual, ou seja, deve ser 
maior ou igual a R$ 300,00. Assim, tem-se:
p . (400 – 100p) > 300
400p − 100p2 > 300
p2 − 4p + 3 < 0
Resolvendo essa equação do segundo grau, resulta que 1 < p < 3. Mas como queremos a maior quan-
tidade possível de pães vendidos, ou seja, q máximo, precisamos que p seja mínimo. Logo, o pão deverá 
ter seu preço p reduzido para R$ 1,00, valor que está compreendido apenas no intervalo da alternativa A.
RESPOSTA Alternativa A
ÁREAS DO CONHECIMENTO DO ENEM
 16
DESIGUALDADE
FUNÇÃO
QUADRO DE SINAL
ANÁLISE MONTAGEMESTUDO
INEQUAÇÕES- 
-PRODUTO
F(X) · G(X) < 0
F(X) · G(X) ≤ 0
F(X) · G(X) ≥ 0
F(X) · G(X) > 0
1.º GRAU
AX + B < 0
AX + B ≤ 0
AX + B ≥ 0
AX + B > 0
2.º GRAU
AX2 + BX + C < 0
AX2 + BX + C ≤ 0
AX2 + BX + C ≥ 0AX2 + BX + C > 0
INEQUAÇÕES- 
-QUOCIENTE
<
MENOR
≤
MENOR
OU
IGUAL
≥
MAIOR
OU
IGUAL
>
MAIOR
DIAGRAMA DE IDEIAS
 17
1. Relações
 § Produto cartesiano: dados dois conjuntos não vazios A e 
B, chama-se de produto cartesiano de A por B (indica-se: A × 
B) o conjunto constituído pelos pares ordenados, nos quais o 
primeiro elemento pertence a A, e o segundo pertence a B.
A × B = {(x, y) | x [ A e y [ B}
 § Relação: dados dois conjuntos A e B, denomina-se re-
lação R de A em B qualquer subconjunto de A × B.
R é relação de A em B à R , A × B.
Modelo:
Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} 
e a relação R de A em B, tal que y = 2x, x [ A e y [ B. 
Escrever os elementos dessa relação R.
Como x [ A: x = 0 ä y = 2 · 0 = 0 par (0, 0)
 x = 1 ä y = 2 · 1 = 2 par (1, 2)
 x = 2 ä y = 2 · 2 = 4 par (2, 4)
 x = 3 ä y = 2 · 3 = 6 par (3, 6)
Assim: R = {(0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6)}.
É possível representar essa relação por meio de um diagra-
ma ou de um sistema cartesiano ortogonal.
x
Pode-se observar que, numa relação R de A em B, o con-
junto R é formado pelos pares (x, y), em que o elemento 
x [ A é associado ao elemento y [ B mediante uma lei 
de associação.
A função pode ser definida como um tipo de relação:
 § Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação 
de A em B.
Essa relação f é uma função de A em B quando a 
cada elemento x do conjunto A está associado um 
e apenas um elemento y do conjunto B.
A definição acima afirma que, para uma relação f 
de A em B ser considerada uma função, ela neces-
sita satisfazer duas condições:
 § Todo elemento de A deve estar associado a algum ele-
mento de B.
 § A um dado elemento de A deve estar associado um 
único elemento de B.
Modelos:
1. Dados os conjuntos A = {0, 5, 15} e B = {0, 5, 10, 15, 20, 25}, 
seja a relação de A em B determinada pela fórmula y = x + 5, 
com x [ A e y [ B.
Observe que:
Todos os elementos de A estão associados a elementos 
de B.
A um dado elemento de A está associado um único ele-
mento de B.
Assim, a relação de A em B expressa pela fórmula y = x + 5 
é uma função de A em B.
2. Dados os conjuntos A = {–2, 0, 2, 5} e B = {0, 2, 5, 10, 20}, seja 
a relação de A em B dada pela fórmula y = x, com x [ A e y [ B.
HABILIDADES: 13, 15, 20 e 25
COMPETÊNCIAS: 3, 4, 5 e 6
AULAS 13 e 14
RELAÇÕES, FUNÇÕES 
E DEFINIÇÕES
 18
Esse exemplo não expressa uma função de A em B, uma 
vez que o elemento –2 do conjunto A não está associado a 
algum elemento de B.
3. Dados os conjuntos A = { –3, –1, 1, 3} e B = {1, 3, 6, 9}, seja a 
relação de A em B dada pela fórmula y = x2, com x [ A e y [ B.
A relação determinada pela fórmula y = x2, nesse caso, re-
presenta uma função de A em B, pois:
A todos os elementos de A estão associados elementos 
de B.
A um dado elemento de A está associado um único ele-
mento de B.
4. Dados os conjuntos A = {16, 81} e B = {–2, 2, 3}, seja a re-
lação de A em B dada pela fórmula y4 = x, com x [ A e y [ B.
Esse exemplo não representa uma função de A em B, pois 
o elemento 16 do conjunto A está associado a dois ele-
mentos (–2 e 2) do conjunto B.
Quando ocorre uma função de A em B, pode-se represen-
tá-la da seguinte forma:
f: A é B (função f de A em B)
x é y (a cada valor de x [ A associa-se um só valor y [ B)
As letras x e y são muito utilizadas para representar as va-
riáveis de uma função.
A letra f, em geral, dá o nome às funções, mas podemos 
ter também a função g, h, etc. Por exemplo, escreve-se 
g: A é B para designar a função g de A em B.
Se y = x + 5 é a fórmula de uma relação, pode-se escrevê-
-la também como f(x) = x + 5.
O símbolo f(x), lê-se f de x, possui o mesmo significado do y 
e pode simplificar a linguagem. Por exemplo, em vez de se 
dizer: “Qual o valor de y quando x = 2?”, simplesmente se 
utiliza: “Qual o valor de f(2)?”. Assim, f(2) indica o valor de 
y quando x é 2.
1.1. Domínio, contradomínio 
e imagem de uma função
Já foi visto que, numa função, o domínio é constituído por 
todos os valores que podem ser atribuídos à variável inde-
pendente. A imagem da função, por sua vez, é formada por 
todos os valores correspondentes da variável dependente.
Uma função f com domínio A e contradomínio B será deno-
tada por:
f: A é B (função que relaciona valores do conjunto A a 
valores do conjunto B)
x é y = f(x) (a cada elemento x [ A corresponde um 
único y [ B)
O conjunto A é denominado domínio da função, que 
será indicado por D. O domínio da função, também cha-
mado campo de definição ou campo de existência 
da função, serve para definir em qual conjunto se está 
trabalhando, ou seja, os valores possíveis para a variável x.
O conjunto B é denominado contradomínio da função, 
que será indicado por CD. É no contradomínio que estão 
os elementos que podem corresponder aos elementos 
do domínio.
Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no 
contradomínio. Esse valor de y é chamado de imagem de x 
pela função f. O conjunto de todos os valores de y que são 
imagens de valores de x forma o conjunto imagem da 
função, que será indicado por Im. Observe que o conjunto 
imagem da função é um subconjunto do contradomínio 
da mesma.
f: A é B
x é y = f(x)
D = A, CD = B, Im = {y [ CD | y é correspondente de 
algum valor de x}
Aplicação do conteúdo
1. Dados os conjuntos A = {–3, –1, 0, 2} e B = {–1, 0, 1, 2, 
3, 4}, determinar o conjunto imagem da função f: A é B 
definida por f(x) = x + 2.
 19
f(–3) = (–3) + 2 = –1
f(–1) = (–1) + 2 = 1
f(0) = 0 + 2 = 2
f(2) = 2 + 2 = 4
Observando o diagrama:
Im = {–1, 1, 2, 4}
2. Seja a função f: R é R definida por f(x) = x2 – 10x + 8. 
Calcular os valores reais de x para que se tenha f(x) = –1, 
isto é, imagem –1 pela função f dada.
f(x) = –1 ä x2 – 10x + 8 = –1
x2 – 10x + 9 = 0
D = b2 – 4ac = 100 – 36 = 64
x = 10 ± 8 ______ 
2
 
x = 9 ou x = 1
3. Dada a função f: R é R definida por f(x) = ax + b, com 
a, b [ R, calcular a e b, sabendo que f(1) = 4 e f(–1) = –2.
A lei de formação da função é
f(x) = ax + b ou y = ax + b.
f(1) = 4 ä x = 1 e y = 4 ä 4 = a · 1 + b (I)
f(–1) = –2 ä x = –1 e y = –2 ä
ä –2 = a · (–1) + b (II)
De (I) e (II), tem-se: 
a + b = 4 
–a + b = –2
Resolvendo o sistema:
a = 3 e b = 1
Pelo que foi visto, uma função fica bem definida quando se 
sabe qual o seu domínio, o seu contradomínio e a regra de 
associação. Essa regra de associação (também denomina-
da lei de formação ou lei de associação) geralmente é dada 
por uma fórmula matemática.
pt.khanacademy.org/math/algebra/algebra-functions
multimídia: site
Nem sempre é possível perceber, mas as funções estão presentes a todo momento no cotidiano. Ao ler um 
jornal ou ao assistir a um noticiário, é comum a ocorrência de um gráfico, que nada mais é do que uma relação 
de comparação entre grandezas. Um exemplo prático de função é o valor no final do mês da conta de água 
ou energia das residências, pois ele depende do quanto se gasta de m³ de água e de quantos KW de energia 
foram consumidos durante o mês. Outros exemplos podem ser citados, como o tempo de duração de uma 
viagem, que depende da velocidade média de um automóvel, e o imposto de renda a ser pago, que depende 
do valor do salário recebido.
VIVENCIANDO
 20
2. O domínio de uma função
É importante conhecer o domínio de uma função, pois 
é ele que vai determinar os valores possíveis para a 
variável independente.
Em muitas funções, o domínio vem explicitado:
 § A função f: R é R, dada por f(x) = 3x2 – 1, possui 
domínio D = R.
 § A função g: Z é R, dada por g(x) = – x __ 
2
 + 5, possui 
domínio D = Z.
 § Na função h(x) = 2x + 3, com –2 ≤ x < 5, deve-se 
tomar os valores reais de x no intervalo considerado, 
isto é, D = {x [ R | –2 ≤ x < 5}.
Entretanto, em muitos casos, o domínio e o contradomínio 
da função não vêm explicitados. Deve-se, então, considerar 
como domínio o conjunto de todos os números reais que 
podem ser colocados no lugar de x na fórmula da função, 
obtendo, depois dos cálculos, um número real. O contrado-mínio será o conjunto R.
Numa função f, sendo dada por f(x) = x3 – 2x2 + 7, x pode 
ser qualquer número real, isto é, D = R e CD = R.
Ao considerar o domínio de uma função, é preciso tomar 
certo cuidado, pois existe o risco de atribuir certos valores 
para a variável x que não possuem imagem real e, portan-
to, descaracterizam a função.
Em geral, é necessário observar com atenção as funções 
que possuem variáveis no denominador ou no radicando 
de raiz com índice par, no momento de definir seu domínio.
Aplicação do conteúdo
1. Determinar o domínio da função f dada por f(x) = 2x – 1 __________ 
x² – 9
 .
O valor numérico de 2x – 1 _____ 
x2 – 9
 só existe em R, se x2 – 9 ≠ 0.
x2 – 9 ≠ 0 ä x2 ≠ 9 ä x ≠ 3 e x ≠ –3
Ou seja, x = –3 e x = 3 não podem estar no domínio 
da função.
D = {x [ R | x ≠ 3 e x ≠ –3} ou D = R – {3, –3}
2. Determinar o domínio da função f(x) = dXXXXX x – 4 + 1 _____ 
 dXXXXX x – 2 
 .
 dXXXXX x – 4 só é possível se x – 4 ≥ 0 ä x ≥ 4 (I)
 dXXXXX x – 2 só é possível se x – 2 > 0 ä x > 2 (II)
obServe que a raiz eStá no denominador; aSSim, além 
de não poder Ser negativo (condição da raiz), 
também não pode Ser nulo (condição do denominador).
Representando as condições (I) e (II) na reta e determinan-
do a interseção dos respectivos intervalos, tem-se:
D = {x [ R | x ≥ 4}
O GeoGebra é um programa de matemática que permite 
realizar construções geométricas com a utilização de 
pontos, retas, segmentos de reta, polígonos, etc., assim 
como permite inserir funções e alterar todos esses 
objetos dinamicamente depois de a construção estar 
finalizada. Equações e coordenadas também podem ser 
diretamente inseridas.
multimídia: site
3. Função injetora
Considere os diagramas:
Os diagramas (I) e (II) são os únicos que representam fun-
ções injetoras ou injetivas.
Definição: uma função f de A em B é injetora se, a todo x1 ≠ x2 
do domínio (D), ocorrer f(x1) ≠ f(x2) no contradomínio (CD).
Resumindo: não pode haver duas flechas convergindo 
para uma mesma imagem (cada x do domínio tem seu y 
no contradomínio).
Nota: Entenda-se por imagem o elemento que “recebe” 
a flecha.
 21
Considere os gráficos:
 § Os gráficos (I) e (II) são os únicos que representam uma 
função injetora ou injetiva.
 § Para identificar graficamente uma função injetora, são tra-
çadas retas horizontais. Se as retas tocarem em um único 
ponto em toda a extensão do domínio ou simplesmente 
não tocarem o gráfico, tem-se uma função injetora.
Conclusão: se existir reta horizontal que intercepte o grá-
fico em mais de um ponto, a função não será injetora.
3.1. Exemplos de identificação 
pela lei de formação
1. Mostrar que a função, cuja lei de formação é f(x) = 2x, 
é injetora.
Solução: x1 ≠ x2 ä 2x1 ≠ 2x2 ä f(x1) ≠ f(x2), assim, f 
é injetora.
2. Mostrar que f(x) = 1 __ x é injetora.
Solução: x1 ≠ x2 ä 1 __ x1
 ≠ 1 __ x2
 ä f(x1) ≠ f(x2), assim, f é injetora.
3. Mostrar que f(x) = x2 não é injetora.
Solução: basta ver que se x1 = 2 e x2 = –2, então:
Ou seja, existem x1 e x2 diferentes, tais que f(x1) = f(x2) 
e f não é injetora.
4. Função sobrejetora
Considere os diagramas:
 
Os diagramas (I) e (III) são os únicos que representam fun-
ções sobrejetoras ou sobrejetivas.
Definição: uma função f de A em B é sobrejetora se o 
contradomínio (CD) for igual ao conjunto imagem (Im).
Resumindo: não podem “sobrar” elementos no contra-
domínio (CD).
Considere os gráficos:
Analisando apenas o gráfico de uma função, não é possível 
caracterizá-la como sobrejetora, pois, como já foi visto, o 
gráfico não indica o contradomínio de uma função, mas 
seu domínio e sua imagem.
Dessa forma, para qualificar uma função como sobrejetora, 
é preciso que seja fornecido o contradomínio de todas as 
3 funções dadas. Se os contradomínios forem considerados 
como o conjunto dos reais (R), então apenas o gráfico (II) 
é uma função sobrejetora.
Se o contradomínio da função (I) for considerado o intervalo 
[a, +Ü[, o contradomínio da função (II) for considerado R 
e o contradomínio da função (III) for considerado R – {a}, 
então todos os gráficos representarão funções sobrejetoras.
Lembre-se!
Toda função pode ser sobrejetora, basta que seja es-
colhido um contradomínio conveniente.
Para identificar graficamente uma função sobrejetora, tra-
ça-se uma reta horizontal em cada elemento do contrado-
mínio. Se cada uma das retas cortar o gráfico da função em 
um ou mais pontos, a função será sobrejetora.
5. Função bijetora
Considere os diagramas:
 22
O diagrama (I) é o único que representa função bijetora.
Definição: uma função f de A em B é bijetora se for inje-
tora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Resumindo:
1. Cada x do domínio tem seu único y no contradomínio.
2. Não “sobra” ninguém no contradomínio (CD = Im).
O plano cartesiano é muito utilizado na construção de gráficos de funções, em que os valores relacionados a x 
constituem o domínio, e os valores de y, a imagem da função. Pode-se associar o plano cartesiano à localização de 
lugares e/ou fenômenos que ocorrem sobre a superfície terrestre, a trabalhos relacionados à cartografia, a pontos 
estratégicos de bases militares e a localizações no espaço aéreo, terrestre e marítimo.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
Importante
O diagrama (II) é de uma função que não é injetora 
(pois b e c possuem a mesma imagem) e nem so-
brejetora (pois “sobram” os elementos i e j no CD).
O diagrama (III) não representa função por duas razões:
1. Está sobrando o elemento V no domínio.
2. O elemento x possui duas imagens: k e m.
Aplicação do conteúdo
1. Qual o domínio da função real dada por f(x) = √
________
 x2
 ________ 
–x2 + 4x
 ?
Resolução:
A condição inicial para a função é que o radicando seja não 
negativo, e o denominador seja diferente de zero. 
Analisando cada parte separadamente, tem-se:
I) No numerador: x2. Será zero se x = 0.
0+ + + + + + + +x2
II) Denominador: –x2 + 4x = x(–x + 4). Será nulo se x = 0 
ou x = 4.
- - - - + + + +x
0
+ + +- x + 4 + + + +
+
- -4
+ + + - -4
-x2 + 4x - - - - 0
–x
Relacionando as informações:
+ + + +x2
0
+ + +-x2 + 4
+
- -4
+ + + - -4x2
-x2 + 4x
- - - - 0
+ + + +
- - - - 0
-
Assim:
D(f) = ]0, 4[ ou, D(f) = {x ∈ ℝ | 0 < x < 4} 
2. A figura a seguir representa o gráfico de uma função 
real a valores reais, y = f(x). Sabendo-se que g(x) = f(x – 3), 
encontre o valor de g(1) + g(4) + g(7).
-2
-1
2
3 5
4
y
x
Pela lei de formação da função g(x), tem-se:
g(1) = f(1 – 3) = f(–2) = 0
g(4) = f(4 – 3) = f(1) = –1
g(7) = f(7 – 3) = f(4) = 2
Assim:
g(1) + g(4) + g(7) = 0 – 1 + 2 = 1
3. Seja f(x) = x + 1 _____ 
–x + 1
 
a) Calcule f(2)
f(2) = 2 + 1 _____ 
–2 + 1
 = 3 __ 
–1
 = –3
b) Qual o valor de f(f(2))?
f ( f(2) ) = f(–3) = –3 + 1 ________ 
–(–3) + 1
 = –2 __ 
4
 = –1 __ 
2
 
 23
HABILIDADE 25
Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
A habilidade 25 exige do aluno a capacidade de resolver uma situação proposta a partir da análise de gráficos e 
tabelas.
MODELO 1
(Enem) Os congestionamentos de trânsito constituem um problema que aflige, todos os dias, milhares de mo-
toristas brasileiros. O gráfico ilustra a situação, representando, ao longo de um intervalo definido de tempo, a 
variação da velocidade de um veículo durante um congestionamento.
Quantos minutos o veículo permaneceu imóvel ao longo do intervalo de tempo total analisado?
a) 4.
b) 3.
c) 2.
d) 1.
e) 0.
ANÁLISE EXPOSITIVA
A questão exige que o aluno seja capaz de interpretar os dados fornecidos pelo gráfico.
Nos instantes em que tem velocidade igual a zero, o móvel está em repouso. Analisando o gráfico, per-
cebe-se que a velocidade atinge valor igual a zero entre os minutos 6 e 8. Assim, o carro permaneceu 
imóvel por 2 minutos.
RESPOSTA Alternativa C
ÁREAS DO CONHECIMENTO DO ENEM
 24
DIAGRAMA DE IDEIAS
FUNÇÃO
(D) F: A ⟶ B
X ⟶ Y = F(X)
(IM)
DOMÍNIO TIPO DE RELAÇÃO
(CD)
CONTRADOMÍNIO IMAGEM
INJETORA SOBREJETORABIJETORA
 25
1. Introdução
Como foi visto em aulas anteriores, a função é do 1.º grau quan-
do a sua representação matemática é um polinômio de grau 1.
De modo geral, é possível representar a função polinomial 
de 1.º grau na forma f(x) = ax + b com a e b sendo os 
números reais e a ≠ 0 (caso a = 0, tem-se f(x) = b, que 
representa uma função constante). Os números represen-
tados por a e b são denominados coeficientes, enquanto x 
é a variável independente.
Portanto, são funções polinomiais do 1.º grau:
f(x) = 2x – 1 é coeficientes: a = 2 e b = –1
f(x) = –3x + 4 é coeficientes: a = –3 e b = 4
f(x) = 5 __ 
3
 – x é coeficientes: a = –1 e b = 5 __ 
3
 
Em geral, o domínio da função polinomial do 1.º grau é R. 
Entretanto, quando a função está relacionada ao cotidiano, 
é preciso verificar o que representa a variável independente 
(x) para determinar seu domínio.
Chama-se função do 1.º grau toda função definida de R 
em R por f(x) = ax + b, onde a, b [ R e a ≠ 0.
a é denominado coeficiente angular.
b é denominado coeficiente linear.
O gráfico de uma função do 1.º grau é uma reta, que 
corta o eixo x no ponto ( –b ___ a , 0 ) e o eixo y no ponto (0, b).
Uma função do 1.º grau é crescente se a > 0 e decrescente 
se a < 0; assim, tem-se que:
a > 0 ä f é crescente
2. Função linear
Considere a função polinomial do 1.º grau f(x) = ax + b. 
No caso de b = 0, tem-se f(x) = ax, e ela recebe o nome 
especial de função linear.
Uma característica da função linear é que, se for atribuído 
para x o número zero, sua imagem f(0) também será 0, pois 
se x = 0, então f(0) = a · 0 = 0.
Utiliza-se, ainda, um nome especial para a função li-
near f(x) = ax, em que a = 1. Essa função, dada por 
f(x) = x (ou y = x), é denominada função identidade.
O gráfico da função linear y = ax (sendo a ≠ 0) é sempre 
uma reta que passa pela origem do sistema cartesiano.
O gráfico da função polinomial do 1.º grau y = ax + b (sen-
do a ≠ 0) intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, b).
3. Variantes da função do 1.º grau
1. Se a = 0 e b ≠ 0 ä y = b (função constante)
2. Se a ≠ 0 e b = 0 ä y = ax (função linear)
3. Se a = 1 e b = 0 ä y = x (função identidade – bissetriz 
dos quadrantes ímpares)
HABILIDADES: 13, 15, 19, 20 e 25
COMPETÊNCIAS: 3, 4, 5 e 6
AULAS 15 e 16
FUNÇÕES DO 
PRIMEIRO GRAU
 26
4. Se a = –1 e b = 0 ä y = –x (bissetriz dos quadrantes pares)
Um dos mais importantes da Matemática e das ciências em geral, o conceito de função é utilizado na representa-
ção cotidiana de situações que envolvem grandezas variáveis, sempre colocando um valor em função do outro. Ao 
abastecer o automóvel no posto de combustível, por exemplo, o preço a ser pago depende da quantidade de litros 
de combustível colocada no tanque. Outro exemplo prático que se pode destacar é uma simples corrida de táxi. 
Considere a seguinte situação:
Um motorista de táxi cobra R$ 4,50 de bandeirada mais R$ 2,75 por quilômetro rodado. Sabe-se que o preço a 
pagar é dado em função do número de quilômetros rodados. Qual o preço a ser pago se a distância percorrida for 
de 16 quilômetros?
A função que define o valor a ser cobrado por uma corrida de x quilômetros é: 
ƒ(x) = 2,75x + 4,50
Assim:
ƒ(16) = 2,75 ∙ 16 + 4,50
ƒ(16) = 48,50
VIVENCIANDO
4. Proporção na função do 1.º grau
tg a = 
y2 – y1 _____ x2 – x1
 = 
y3 – y2 _____ x3 – x2
 
proporção (igualdade de FraçõeS)
Nota:
a = tg a (coeficiente angular)
b = coeficiente linear
Aplicação do conteúdo
1. Construa o gráfico da função do primeiro grau 
f(x) = 2x – 6.
Como o gráfico de uma função do primeiro grau é uma 
reta, são necessários apenas dois pontos para a constru-
ção do gráfico. Para isso, é preciso encontrar os pontos de 
interseção da reta com os eixos coordenados.
Como o coeficiente linear é –6, já se sabe que a reta passa 
pelo ponto –6 no eixo y:
 27
A importância do estudo das funções não se restringe aos interesses da Matemática. O estudo das funções também 
é colocado em prática em áreas como Física, Química e Economia. No estudo da cinemática, por exemplo, que é a 
parte da Física que estuda os movimentos relacionando-os por meio dos conceitos de posição, velocidade e acelera-
ção, o uso de funções de 1.º grau é muito comum. Um dos exemplos mais famosos é o que relaciona a posição (S) de 
um móvel em movimento uniforme com o tempo (t). O modelo matemático que define essa função é:
S = S0 + v ∙ t
Em que: 
S0 → é o espaço inicial do móvel (lugar que ele ocupa no instante t = 0) 
v → é sua velocidade escalar. 
Observe uma comparação entre a expressão acima e a expressão que define uma função afim: 
S = S0 + v ∙ t 
y = b + a ∙ x
A comparação entre as expressões deixa bem claro que a fórmula definida como espaço em função do tempo é uma 
função do 1.º grau.
Em qualquer ponto no eixo x, o valor da ordenada é zero; 
portanto: f(x) = 0:
2x – 6 = 0
x = 3
Assim, o ponto (3, 0) pertence à reta. Como já existem dois 
pontos pelos quais passa a reta da função f(x), é possível 
construir o gráfico:
2. Dado o gráfico a seguir de uma função polinomial do 
1.º grau, encontre sua lei de formação.
Como a função é de primeiro grau, sabe-se que sua forma 
é do tipo y = ax + b. Em primeiro lugar, deve-se encontrar 
o coeficiente angular a:
a = 
y2 – y1 _____ x2 – x1
 = 5 – 4 ____ 
3 – 1
 = 1 __ 
2
 
Substituindo na função, tem-se:
y = 1 __ 
2
 x + b
Agora é possível substituir qualquer um dos dois pontos 
dados, (1, 4) ou (3, 5), na função a fim de encontrar o coe-
ficiente linear b. Substituindo o ponto (1, 4):
y = 1 __ 
2
 x + b
4 = 1 __ 
2
 1 + b
4 – 1 __ 
2
 = b ⇒ b = 7 __ 
2
 
Assim, a função pedida é y = 1 __ 
2
 x + 7 __ 
2
 .
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
 28
5. Estudo do sinal da função 
polinomial do 1.º grau
Estudar o sinal de uma função y = f(x) significa analisar 
para quais valores de x do domínio da função a imagem 
será positiva, negativa ou nula.
Ou seja, realizar o estudo de sinal significa determinar para 
quais valores de x temos f(x) > 0, f(x) < 0 ou f(x) = 0.
É possível realizar o estudo de sinal facilmente ao construir 
o gráfico da função.
Aplicação do conteúdo
1. Faça o estudo do sinal da função f(x) = 10 – 5x.
Construindo o gráfico da função, tem-se:
Do gráfico, segue que:
 § Para todo x > 2, a função possui valores de f(x) negativos.
 § Para todo x < 2, a função possui valores de f(x) positivos.
 § Para x = 2, a função f(x) é nula, sendo x = 2, portanto, 
a raiz da função.
6. Zero de uma função 
polinomial do 1.º grau
Agora será estudado o que significa “zero” ou “raiz” de 
uma função f(x) = ax + b, com a ≠ 0.
Observe o problema:
 § Dada a função f(x) = x – 2, calcule o valor de x para 
que f(x) = 0.
⇒
O número 2, para o qual f(x) = 0, é denominado zero ou 
raiz dessa função.
Denomina-se zero ou raiz da função f(x) = ax + b o valor de 
x que anula a função, ou seja, torna f(x) = 0.
Geometricamente, o zero da função polinomial do 1.º grau 
f(x) = ax + b, a ≠ 0 é a abscissa do ponto em que a reta corta 
o eixo x.
O Homem que Calculava - Malba Tahan
As proezas matemáticas do calculista persa Beremiz 
Samir – o homem que calculava – tornaram-se lendá-
rias na antiga Arábia, encantando reis, poetas, xeques e 
sábios. Nesse livro, Malba Tahan relata as incríveis aven-
turas desse homem singular e suas soluções fantásticas 
para problemas aparentemente insolúveis. 
multimídia: livro
Aplicação do conteúdo
1. Dois líquidos diferentes encontram-se em recipien-
tes idênticos e têm taxas de evaporação constantes. 
O líquido I encontra-se inicialmente em um nível de 
100 mm e evapora-se completamente no quadragési-
mo dia. O líquido II, inicialmente com nível de 80 mm, 
evapora-se completamente no quadragésimo oitavo 
dia. Antes da evaporação completa de ambos, ao final 
de qual dia os líquidos terão o mesmo nível (em mm) 
nesses mesmos recipientes?
Resolução:
De acordo com as informações, tem-se:
I) Líquido I: f(0) = 100 e f(40) = 0
II) LíquidoII: g(0) = 80 e g(48) = 0
O mesmo nível será encontrado com o ponto comum a 
ambas as retas, f(x) = g(x).
I) { f(0) = a(0) + b 
f(40) = a (40) + b
 
 
 ⇒ { b = 100 
40 a + b = 0
 
 
 ⇒ 
⇒ 40 a + 100 = 0 ⇒ a = –100 ___ 
40
 = – 5 __ 
2
 ⇒ 
⇒ f(x) = – 5 __ 
2
 x + 100 
II) { g(0) = a(0) + b
 
g(48) = a (48) + b
 
 
 ⇒ { b = 80 
48 a + b = 0
 
 
 ⇒
⇒ 48 a + 80 = 0 ⇒ a = –80 ___ 
48
 = – 5 __ 
3
 ⇒
⇒ g(x) = – 5 __ 
3
 x + 80 
 29
III) f(x) = g(x) ⇒ - 5 __ 
2
 x + 100 = – 5 __ 
3
 x + 80 ⇒
⇒ - 5 __ 
2
 x + 5 __ 
3
 x = –100 + 80 ⇒
⇒ –15x + 10x _________ 
6
 = –20 ⇒ –5x = –120 ⇒
⇒ x = –120 ____ 
–5
 = 24
Ao final do 24º dia estarão no mesmo nível.
2. O valor de um carro novo é de R$ 9.000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$ 4.000,00. Supondo que o preço caia com 
o tempo, segundo uma linha reta, calcule o valor de um carro com 1 ano de uso.
Resolução:
O gráfico passa por (0, 9000) e (4, 4000). Encontrando a lei da função e a imagem para t = 1, tem-se:
I) 9000 = a · (0) + b ⇒ b = 9000
4000 = a · (4) + b ⇒ 4a + 9000 = 4000 ⇒
⇒ a = 4000 – 9000 ___________ 
4
 = –5000 _____ 
4
 = – 1250
II) f(t) = –1250t + 9000 ⇒ 
f(1) = –1250 ∙ (1) + 9000 = –1250 + 9000 = 7750
 30
HABILIDADE 25
Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
A habilidade 25 exige do aluno a capacidade de resolver uma situação proposta a partir da análise de gráficos e 
tabelas.
MODELO 1
(Enem) Um dos grandes desafios do Brasil é o gerenciamento dos seus recursos naturais, sobretudo os recursos 
hídricos. Existe uma demanda crescente por água e o risco de racionamento não pode ser descartado. O nível 
de água de um reservatório foi monitorado por um período, sendo o resultado mostrado no gráfico. Suponha 
que essa tendência linear observada no monitoramento se prolongue pelos próximos meses.
Nas condições dadas, qual o tempo mínimo, após o sexto mês, para que o reservatório atinja o nível zero de 
sua capacidade?
a) 2 meses e meio.
b) 3 meses e meio.
c) 1 mês e meio.
d) 4 meses.
e) 1 mês.
ANÁLISE EXPOSITIVA
A questão exige que o aluno seja capaz de interpretar os dados fornecidos pelo gráfico para que, a partir 
deles, possa encontrar a resposta correta da questão.
Do gráfico é possível perceber que ocorre uma variação de 20% (30% − 10%) no percentual da capaci-
dade máxima do reservatório em 6 – 1 = 5 meses. Assim, para que haja uma redução de 10% do nível 
de capacidade, deve-se passar (5/20). 10 = 2,5 meses.
RESPOSTA Alternativa A
ÁREAS DO CONHECIMENTO DO ENEM
 31
DIAGRAMA DE IDEIAS
FUNÇÃO DO 1.º GRAU
Y = AX + B
↳↲ COEFICIENTE LINEARCOEFICIENTE ANGULAR
PONTO EM QUE A 
RETA CORTA O EIXO Y
Δx
Δy
α
α
y2
.y1
x1 x2
↓
A > 0 → CRESCENTE
A < 0 → DECRESCENTE
A = 0 → CONSTANTE
A = TG α = =
Y2 − Y1
X2 − X1
ΔY
ΔX
y
x
UFMG
A UNESP, tanto na primeira fase como na sua 
segunda fase, irá apresentar questões com 
porcentagens. A incidência de questões sobre 
proporcionalidade é grande. 
Na UNIFESP não faltará uma questão sobre 
porcentagem, seja na parte de Matemática, 
da Física ou da Química. Questões com 
problemas de grandezas diretamente ou 
inversamente proporcionais também devem 
aparecer nesse vestibular.
A Comissão para o Vestibular da Unicamp 
trará questões com proporcionalidade tanto 
na parte da aritmética como na geometria 
plana. Cálculo de porcentagens também são 
de grande importância para essa prova. 
A prova da Albert Einstein tem uma boa 
incidência de questões sobre porcentagens, 
com problemas de médio e elevado grau de 
dificuldade. 
A FMABC apresenta questões com baixo 
índice de grandezas proporcionais, M.M.C. e 
M.D.C.; no entanto, as aulas de porcentagem 
deste caderno são fundamentais. Com 
isso diversos problemas das exatas serão 
resolvidos. 
A PUC de Campinas tem um bom índice de 
questões sobre grandezas proporcionais e 
porcentagens. Na segunda fase, os itens de 
aumento e desconto são fortemente apresen-
tados em problemas de elevado grau. 
 A Santa Casa apresenta uma baixa incidência 
em questões sobre os teoremas fundamentais 
da aritmética e grandezas proporcionais. Em 
contrapartida, saber definir uma porcentagem 
e resolver questões dessa matéria é essencial 
para essa prova.
No Enem não faltará uma questão de porcen-
tagem, também aparecendo cálculos sobre 
aumento ou decréscimo de um valor. Calcular 
um M.M.C. e um M.D.C. é essencial para esse 
vestibular, junto com uma boa interpretação 
da questão. 
Os temas das aulas deste livro são essenciais 
para a prova da FUVEST e de grande impor-
tância para Química e Física. Saber realizar 
uma porcentagem e um cálculo de M.M.C. e 
M.D.C. é de grande vantagem para resolver as 
questões dessa prova. 
A UERJ apresenta uma boa incidência de 
questões de grandezas proporcionais e os 
teoremas da aritmética. As aulas sobre por-
centagem deste livro são as mais importantes 
para esse vestibular. 
A UNIGRANRIO apresenta uma prova objetiva 
com poucas informações e mais desenvolvi-
mento. Questões sobre grandeza proporcional 
e porcentagem são de alta incidência em seu 
vestibular. 
A faculdade Souza Marques apresenta ques-
tões objetivas na sua prova de matemática. As 
aulas de porcentagem são as mais importantes 
deste livro para esse vestibular. 
Para a Faculdade de Ciências Médicas é 
essencial calcular porcentagem com excelên-
cia. Já questões de grandezas proporcionais 
e os teoremas da aritmética são de baixa 
incidência. 
Na UFPR não faltará uma questão de porcen-
tagem, também aparecendo cálculos sobre 
porcentagem em todos os seus aspectos. 
Calcular um M.M.C. e um M.D.C. é essencial 
para esse vestibular junto com uma boa 
interpretação da questão.
A prova da UEL apresenta, junto a uma 
análise de texto, os conceitos da porcentagem 
de uma forma diferenciada. As questões 
são elaboradas de modo a exigir a máxima 
atenção do candidato. 
INCIDÊNCIA DO TEMA NAS PRINCIPAIS PROVAS
 33
ARITMÉTICA
 34
1. Razão
A razão entre duas grandezas é o quociente entre elas. 
Considere a situação em que 20 homens e 30 mulheres 
compareceram a uma festa. Nesse sentido, afirma-se que:
I. A razão entre o número de homens e o de mulheres na 
festa é:
 n° Homens __________ 
n° Mulheres
 = 20 ___ 
30
 = 2 __ 
3
 
Isso significa que, para cada 2 homens, existem 3 mulheres.
II. A razão entre o número de mulheres e o total de pessoas 
na festa é:
 n° Mulheres _______________ 
n° Total de Pessoas
 = 30 _______ 
20 + 30
 = 30 ___ 
50
 = 3 __ 
5
 
Isso significa que, para cada 5 pessoas na festa, 3 
são mulheres.
As grandezas envolvidas em uma razão podem ser de es-
pécies diferentes. Por exemplo, se, na festa citada, as mu-
lheres consumiram 120 salgadinhos, e os homens consu-
miram 100, afirma-se que:
III. A razão entre o número consumido pelos homens e o 
número de homens foi de:
 
n° Salgados
 __________ 
n° Homens
 = 100 ____ 
20
 = 
5 salgados
 ________ 
1 homem
 
Isto significa que, em média, cada homem consumiu 5 salgados.
IV. A razão entre o número de salgados consumidos e o 
número de pessoas foi de:
 
n° de salgados
 ___________ 
n° de pessoas
 = 
(120 + 100) salgados
 ________________ 
(30 + 20) pessoas
 = 
4,4 salgados
 __________ pessoa 
Ou seja, em média, cada pessoa consumiu 4,4 salgados.
Em geral, dados dois números reais a e b, com b ≠ 0, usa-se a __ 
b
 
ou a : b para indicar a razão entre a e b, respectivamente.
Na razão (lê-se: a para b), o número a é denominado an-
tecedente, e o número b, consequente.
Razão entre a e b = a __ 
b
 
2. Proporção
Proporção é uma igualdade entre duas razões. Quando se 
diz que os números reais a, b, c e d, não nulos, formam, 
nessa ordem, uma proporção, significa que se tem a se-
guinte igualdade:
 a __ 
b
 = c __ 
d
 ou a · d = c · b (lê-se: a está para b, assimcomo c está para d)
Note, na última igualdade acima, que os termos a e d fica-
ram nas extremidades (a e d são chamados de extremos da 
proporção), já os termos b e c ficaram no meio (b e c são 
chamados de meios da proporção).
2.1. Propriedades da proporção
Se a __ 
b
 = c __ 
d
 , com a, b, c e d, reais não nulos, tem-se a __ 
b
 = c __ 
d
 = k, 
em que k é denominado constante de proporcionalidade. 
Essa constante k é o número de vezes que cada anteceden-
te é maior que seu respectivo consequente. Observe:
 a __ 
b
 = c __ 
d
 = k ä { a = k · b 
c = k · d
 
 
 
Assim, tem-se as seguintes propriedades:
P1: 
a __ 
b
 = c __ 
d
 ä ad = bc (propriedade fundamental)
“Numa proporção, o produto dos meios 
é igual ao produto dos extremos.”
Veja:
 { a · d = (kb) · d = kbd 
b · c = b · (kd) = kbd
 
 
 ä a · d = b · c
P2: 
a __ 
b
 = c __ 
d
 ä = a + c _____ 
b + d
 
Veja:
 a + c _____ 
b + d
 = kb + kd ______ 
b + d
 ä
ä a + c _____ 
b + d
 = k(b + d) _______ 
b + d
 ä
ä a + c _____ 
b + d
 = k = a __ 
b
 = c __ 
d
 
RAZÃO, PROPORÇÃO 
E GRANDEZAS 
PROPORCIONAIS
HABILIDADES:
10, 11, 12, 13, 14, 15, 
16, 17 e 18
COMPETÊNCIAS: 3 e 4
AULAS 9 e 10
 35
P3: 
a __ 
b
 = c __ 
d
 ä a _____ 
a + b
 = c ____ 
c + d
 
Veja:
 a _____ 
a + b
 = c ____ 
c + d
 ä bk _____ 
bk + b
 = dk _____ 
dk + d
 ä
ä bk _______ 
b(k + 1)
 = dk _______ 
d(k + 1)
 (verdade).
No seu futuro cotidiano como estudante de medicina, aluno Hexag, você terá de lidar com dosagens de medicamen-
tos para seus pacientes. Observe um exemplo prático na seguinte questão:
1. A heparina é um medicamento de ação anticoagulante prescrito em diversas patologias. De acordo com a indicação 
médica, um paciente de 72 kg deverá receber 100 unidades de heparina por quilograma por hora (via intravenosa).
No rótulo da solução de heparina a ser ministrada consta a informação 10.000 unidades/50 mL.
a) Calcule a quantidade de heparina, em mL, que esse paciente deverá receber por hora.
b) Sabendo que 20 gotas equivalem a 1 mL, esse paciente deverá receber 1 gota a cada x segundos. Calcule x.
Resolução:
a) O paciente deverá receber 7.200 unidades de heparina em uma hora. Sabendo que existem 10.000 unidades de hepa-
rina a cada 50 mL da solução, pode-se escrever:
 7200 · 50 ________ 
10000
 = 36 mL 
Esse paciente deverá receber 36 mL de heparina por hora.
b) Transformando mililitros em gotas, pode-se escrever:
36∙20 = 720 gotas
Sabendo que uma hora corresponde a 3.600 segundos, pode-se escrever:
 720 ____ 
3600
 = 
1 gota
 _________ 
5 segundos
 
Ou seja, esse paciente deverá receber uma gota a cada 5 segundos. 
VIVENCIANDO
Aplicação do conteúdo
1. Duas jarras idênticas contêm poupa de fruta e água 
nas proporções: 3:7 na primeira e 3:5 na segunda. Jul-
gando o suco da primeira “muito fraco” e o da segunda 
“muito forte”, Dona Benta resolveu juntar os conteúdos 
das duas jarras numa vasilha maior, obtendo, a seu ver, 
um suco na proporção ideal de poupa de fruta e água. 
Considerando J o volume de uma jarra, é possível desco-
brir essa proporção ideal utilizando as propriedades das 
proporções. Observe:
I. Na primeira jarra:
 
poupa
 _____ 
água
 = 3 __ 
7
 ä 
poupa
 ____________ 
(poupa + água)
 = 3 _____ 
3 + 7
 ä 
poupa = 3 ___ 
10
 · J e água = 7 ___ 
10
 · J
Note: poupa + água = J (volume da jarra)
II. Na segunda jarra:
 
poupa
 _____ 
água
 = 3 __ 
5
 ä 
poupa
 ____________ 
(poupa + água)
 = 3 _____ 
3 + 5
 ä
poupa = 3 __ 
8
 · J e água = 5 __ 
8
 · J
III. Juntando-se as duas jarras, obtém-se:
 
poupa
 _____ 
água
 = 
 3 ___ 
10
 · J + 3 __ 
8
 · J
 __________ 
 7 ___ 
10
 · J + 5 __ 
8
 · J
 ä
ä 
 12J + 15J ________ 
40
 
 ________ 
 28J + 25J ______ 
40
 
 = 27 ___ 
53
 = 27:53
 36
A proporção ideal consiste em 27 partes de poupa de fruta 
para 53 partes de água.
2. Um bar vende suco e refresco de tangerina. Ambos 
são fabricados diluindo em água um concentrado dessa 
fruta. As proporções são de uma parte de concentrado 
para três de água, no caso do suco, e de uma parte de 
concentrado para seis de água, no caso do refresco. Fal-
tando refresco e sobrando suco, o chefe de cozinha do 
bar poderá transformar o suco em refresco. Mas, para 
isso, ele deverá saber quantas partes de suco (x partes) 
ele deverá diluir em y partes de água. A relação entre x 
poderá ser obtida através das proporções. Observe:
I. Para o suco:
 concentrado __________ 
água
 = 1 __ 
3
 
 concentrado ________________ 
(concentrado + água)
 = 1 _____ 
1 + 3
 
Concentrado = 1 __ 
4
 do suco e 
água = 3 __ 
4
 do suco
Note: concentrado + água = suco (todo)
II. Para o refresco, obtido a partir do suco:
 concentrado __________ 
água
 = 1 __ 
6
 ä 
 1 __ 
4
 x
 _____ 
y + 3 __ 
4
 x
 = 1 __ 
6
 
ä 6 __ 
4
 x = y + 3 __ 
4
 x ä 3 __ 
4
 x = y 
ä 3x = 4y ä x _ y = 4 __ 
3
 
Observe que, ao adicionar x copos de suco, tem-se 1 __ 
3
 x de 
concentrado, e de água se tem os 3 __ 
4
 x do suco mais y copos 
de água.
Assim, conhecendo a quantidade de copos de suco dispo-
níveis, o chefe saberá quantos copos de água deverá acres-
centar para obter o refresco. Por exemplo, se sobrarem 8 
copos de suco (x = 8), deverão ser adicionados 6 copos de 
água (y = 6), pois 8 __ 
6
 = 4 __ 
3
 .
3. Um carpinteiro fabrica portas retangulares maciças, 
feitas de um mesmo material. Por ter recebido de seus 
clientes pedidos de portas mais altas, aumentou sua altura 
em 1 __ 
8
 , preservando suas espessuras. A fim de manter o cus-
to com o material de cada porta, precisou reduzir a largura.
Qual a razão entre a largura da nova porta e a largura 
da porta anterior?
Resolução:
Sejam x, y e z, respectivamente, a altura, a espessura e a 
largura da porta original. Assim, segue que o volume da 
porta original é igual a x · y · z.
Aumentando-se em 1 __ 
8
 a altura da porta e preservando sua 
espessura, deve-se ter, a fim de manter o custo com o ma-
terial, 9x __ 
8
 ∙ y · z1 = x ∙ y ∙ z ⇔ z1 = 8z __ 
9
 , sendo a largura da 
nova porta.
Assim, a razão pedida é 
z1 __ z = 8 __ 
9
 
4. Por um terminal de ônibus passam dez linhas diferentes. 
A mais movimentada delas é a linha 1: quatro em cada 
sete usuários do terminal viajam nessa linha. Cada uma 
das demais linhas transporta cerca de 1.300 usuários do 
terminal por dia. Considerando que cada passageiro utili-
za uma única linha, a linha 1 transporta, por dia, cerca de 
a) 5.200 usuários do terminal. 
b) 9.100 usuários do terminal. 
c) 13.000 usuários do terminal. 
d) 15.600 usuários do terminal. 
e) 18.200 usuários do terminal. 
Resolução:
Seja T o total de usuários do terminal. Sabendo que 9 
linhas transportam 1.300 usuários por dia, e que 4 __ 
7
 dos 
usuários do terminal utilizam a linha 1, tem-se 3 __ 
7
 ∙ 
3 __ 
7
 T = 9 ∙ 1.300 ⇒ T = 3 ∙ 7 ∙ 1.300
Assim, o resultado pedido é 4 __ 
7
 ∙ T = 4 __ 
7
 ∙ 3 ∙ 7 · 1.300 ⇒ 
T = 15.600
Alternativa D
5. Uma empresa fabricante de suco que envasava o pro-
duto em frascos de vidro passou a fazer o envasamento 
em um novo vasilhame plástico com 2 __ 
3
 da capacidade do 
frasco anterior. 
A lanchonete revendedora enche de suco um copo com 
capacidade de 1 __ 
5
 do frasco de vidro. 
A quantidade de copos de suco (inteiro + fração) que a 
lanchonete obtém com um frasco do novo vasilhame é 
igual a:
a) 1 copo e 2/3 
b) 2 copos e 1/3
c) 2 copos e 2/3
d) 3 copos e 1/3 
e) 3 copos e 2/3 
Resolução:
Volume do frasco de vidro: v
Volume do frasco de plástico: 2v __ 
3
 
Volume do copo: v __ 
5
 
Número de copos: 
 2v __ 
3
 
 ___ 
 v __ 
5
 
 = 2v __ 
3
 ∙ 5 __ v = 10 ___ 
3
 
Ou seja, 3 copose 1 __ 
3
 
Alternativa D
 37
6. As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 
proporcionais aos números 1, 2 e 3, e sua área total é 
igual a 198 cm2. Sobre esse paralelepípedo, assinale o 
que for correto. 
a) Seu volume vale 162 cm3.
b) As suas dimensões formam uma progressão aritmética. 
c) A soma das medidas de todas as suas arestas é 72 cm. 
d) Sua diagonal é maior que 11 cm. 
Resolução:
Sejam a, b e c as dimensões do paralelepípedo retângulo. 
Tem-se que:
 a __ 
1
 = b __ 
2
 = c __ 
3
 = k ⇔ { a = k
 
 
 b = 2k 
c = 3k
 
 
 Com k sendo um número real positivo.
Dado que a área total é igual a 198 cm2, tem-se:
2(ab + ac + bc) = 198 ⇔ 
k ∙ 2k + k ∙ 3k + 2k ∙ 3k = 99 ⇔ k2 = 9 ⇒ k = 3
Assim, a = 3 cm, b = 6 cm e c = 9 cm
a) Correto. O volume do paralelepípedo vale 
a · b · c = 3 · 6 · 9 = 162 cm3
b) Correto. As dimensões formam uma progressão arit-
mética com primeiro termo igual a 3 e razão igual a 3.
c) Correto. A soma das medidas de todas arestas é 
igual a 4(a + b + c) = 4(3 + 6 + 9) = 72 cm
d) Correto. A diagonal do paralelepípedo mede
d = √
_________
 a2 + b2 + c2 = √
__________
 32 + 62 + 92 = √
____
 126 cm
Assim, tem-se √
____
 126 cm > √
____
 121 cm = 11 cm. 
3. Números diretamente 
proporcionais
Considere as seguintes sequências numéricas:
1.ª sequência: (2, 6, 4, 10).
2.ª sequência: (6, 18, 12, 30).
Observe que as sequências crescem ou decrescem na mesma 
razão inversa, ou seja, se um dado elemento de uma delas 
triplica, o correspondente desse elemento na outra sequência 
também triplica. Em outras palavras, os elementos correspon-
dentes nas duas sequências estão na mesma razão.
Em geral, é possível dizer que os números da sucessão 
numérica (a1, a2, a3,..., an) são diretamente proporcionais 
(ou simplesmente proporcionais) aos números da sucessão 
(b1, b2, b3, ..., bn) quando as razões entre seus respectivos 
correspondentes forem iguais, isto é:
Essa razão constante k é denominada fator ou coeficiente 
de proporcionalidade e indica quantas vezes cada antece-
dente é maior que o respectivo consequente.
Aplicação do conteúdo
1. Se (a, b, 20) e ( 3, 2 __ 
3
 , 5 ) são proporcionais, determine o 
coeficiente de proporcionalidade e os valores de a e b.
 a __ 
3
 = b __ 
 2 __ 
3
 
 = 20 ___ 
5
 ä a __ 
3
 = 3b ___ 
2
 = 4
Coeficiente de proporcionalidade:
2. Os irmãos João Victor, Gabriela e Matheus têm 16 anos, 
14 anos e 10 anos, respectivamente. Se o pai deles dis-
tribuir R$ 240,00 reais entre eles, em partes diretamente 
proporcionais às idades, quanto receberá cada um?
Sendo k a constante de proporcionalidade, a parte de cada 
um será k vezes a respectiva idade, ou seja, as partes serão 
16 k (João Victor), 14 k (Gabriela) e 10 k (Matheus).
João Victor, Gabriela e Matheus receberam, respectivamen-
te, R$ 96,00, R$84,00 e R$60,00.
Nota: O mais velho recebe mais, pois as partes são diretamen-
te proporcionais às idades. Quanto mais velho, mais recebe.
4. Números inversamente 
proporcionais
Considere as seguintes sequências numéricas:
1.ª sequência: ( 1 __ 
2
 , 1 __ 
6
 , 1 __ 
4
 , 1 ___ 
10
 ) formada pelos respectivos 
inversos de (2, 6, 4, 10).
2.ª sequência: (6, 18, 12, 30).
 38
Observe que as sequências crescem ou decrescem na razão 
inversa, ou seja, se dado elemento de uma delas triplica, o 
correspondente desse elemento na outra sequência reduz-
-se a sua terça parte.
Observe que os inversos dos números da 1.ª sequên-
cia são diretamente proporcionais aos números da 
2.ª sequência.
4.1. Inversos da 1.ª 
sequência (2, 6, 4, 10)
Em geral, diz-se que os números da sequência (a1, a2, a3, 
..., an) são inversamente proporcionais aos números da se-
quência (b1, b2, b3, ..., bn) quando os números de uma delas 
forem, respectivamente, diretamente proporcionais aos in-
versos da outra, isto é:
 
a1 __ 
 1 __ 
b1
 
 = 
a2 __ 
 1 __ 
b2
 
 = 
a3 __ 
 1 __ 
b3
 
 = ... = 
an __ 
 1 __ 
bn
 
 = k
Ou de outra forma:
a1b1 = a2b2 = a3b3 = ... = anbn = k
Nesse caso, a constante k também é chamada de fa-
tor ou coeficiente de proporcionalidade e indica o 
produto entre os respectivos elementos das sequên-
cias inversamente proporcionais.
Em resumo, considerando as sequências (a1, a2, ..., an) e (b1, 
b2, ..., bn), tem-se:
Se elas são diretamente proporcionais, as razões entre os 
respectivos elementos são iguais:
Se elas são inversamente proporcionais, os produtos entre 
os respectivos elementos são iguais:
Aplicação do conteúdo
1. Se (a, 8, b) e (3, c, 5) são inversamente proporcionais 
e têm coeficiente de proporcionalidade igual a 120, cal-
cule a, b e c.
Os produtos dos respectivos elementos devem ser iguais 
ao coeficiente de proporcionalidade.
Assim:
2. Os funcionários de uma fábrica, Lucas, Raquel e 
Elias, no mês de maio, faltaram ao serviço 8 dias, 5 
dias e 2 dias, respectivamente. Se o diretor financeiro 
dessa fábrica dividir R$ 396,00 entre os citados fun-
cionários, em partes inversamente proporcionais às 
faltas, quanto receberá cada um?
As partes procuradas devem ser diretamente proporcionais 
aos inversos dos números de falta ( 1 __ 
8
 , 1 __ 
5
 e 1 __ 
2
 ) , respectiva-
mente. Sendo k a constante de proporcionalidade, as par-
tes são, então, 1 __ 
8
 · k (Lucas), 1 __ 
5
 · k (Raquel) e 1 __ 
2
 · k (Elias).
Daí:
Lucas, Raquel e Elias receberão R$ 60,00, R$ 96,00 e 
R$ 240,00, respectivamente.
Nota: Quem faltou mais recebe menos, pois as partes são in-
versamente proporcionais. Quanto mais falta, menos recebe.
5. Sequências proporcionais 
a várias outras
Caso os números de uma sequência sejam proporcionais 
aos respectivos números de várias outras sequências, eles 
serão números proporcionais.
Aplicação do conteúdo
1. Usando a constante de proporcionalidade k, repre-
sente quantidades:
a. Diretamente proporcionais a 2, 5 e 3 __ 
8
 
Se a 1.º quantidade é k vezes maior que o 1.º número (2), 
a 2.º e a 3.º quantidades devem ser também k vezes 5 e k 
vezes 3 __ 
8
 , respectivamente. Assim:
 39
1.ª quantidade = 2 · k
2.ª quantidade = 5 · k
3.ª quantidade = 3 __ 
8
 k
b. Inversamente proporcionais a 1 __ 
3
 , 1 __ 
6
 e 21
As quantidades devem ser diretamente proporcionais a 3, 
6 e 1 __ 
21
 (inversos dos números dados), respectivamente.
Assim:
1.ª quantidade = 3 · k
2.ª quantidade = 6 · k
3.ª quantidade = 1 ___ 
21
 · k
c. Diretamente proporcionais a 2, 3 __ 
5
 e 9 inversamente pro-
porcionais a 3 __ 
2
 , 6 e 1 __ 
8
 .
As quantidades devem ser diretamente proporcionais a 
( 2, 3 __ 
5
 , 9 ) e ( 2 __ 
3
 , 1 __ 
6
 e 8 ) , os inversos ( 3 __ 
2
 , 6, 1 __ 
8
 ) .
Desse modo, as quantidades serão proporcionais aos pro-
dutos 2 · 2 __ 
3
 ; 3 __ 
5
 · 1 __ 
6
 e 9 · 8
Assim:
1.ª quantidade = 2 · 2 __ 
3
 · k = 4 __ 
3
 k
2.ª quantidade = 3 __ 
5
 · 1 __ 
6
 · k = k ___ 
10
 
3.ª quantidade = 9 · 8 · k = 72 k
2. Rafaela, Augusto e Moacir têm 14,12 e 9 anos e tira-
ram notas iguais a 7, 9 e 6, respectivamente, na prova de 
Português. Se o pai deles repartir 92 reais em partes in-
versamente proporcionais às idades e diretamente pro-
porcionais às notas entre eles, quanto receberá cada um?
Sendo k o coeficiente de proporcionalidade, as partes de-
vem ser:
 § Rafaela = 1 ___ 
14
 · 7 · k = k __ 
2
 
 § Augusto = 1 ___ 
12
 · 9 · k = 3k __ 
4
 
 § Moacir = 1 __ 
9
 · 6 · k = 2k __ 
3
 
Assim: 
 k __ 
2
 + 3k __ 
4
 + 2k __ 
3
 = 92 ä 
ä 6k + 9k + 8k = 92 · 12 
⇒ k = 92 · 12 ______ 
23
 ä k = 48
Assim:
 k __ 
2
 = 48 ___ 
2
 = 24; 3k __ 
4
 = 3 · 48 _____ 
4
 = 36 e 2k __ 
3
 = 2 · 48 _____ 
3
 = 32
Rafaela deve receber 24 reais; Augusto, 36 reais; e Moacir, 
32 reais.
6. Grandezas diretamente 
proporcionais
Veja na tabela seguinte as quantidades