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Estatística Aplicada à Economia
Medidas de Dispersão
Carlos Alberto Gonçalves Junior
Amplitude, Variância e Desvio Padrão
Consideremos os seguintes conjuntos:
A média aritmética dos elementos do conjunto C é 15, e para todos os demais conjuntos a média aritmética dos seus elementos é 5.
Amplitude, Variância e Desvio Padrão
Com base no simples exame desses conjuntos, podemos fazer as seguintes afirmativas, relativas à dispersão dos valores dos elementos de cada conjunto:
No conjunto A a dispersão é nula;
Os conjuntos B e C apresentam a mesma dispersão, só diferindo quanto a média;
A dispersão de D é maior do que a dispersão de B, ainda, como para o conjunto D a diferença entre dois valores consecutivos é sempre igual a 2 e B igual a 1, parece lícito afirmar que a dispersão de D é o dobro da dispersão em B;
A dispersão de E é maior que a dispersão de A e menor que a dispersão de B;
O conjunto F apresente dispersão igual à de B, pois esses conjuntos só diferem quanto ao número de elementos (F é a duplicação de B).
Amplitude, Variância e Desvio Padrão
Uma medida de dispersão é a “Amplitude Total”, que é a diferença entre o maior e o menor valor observado. A Amplitude Total é zero para o conjunto A, 4 para os conjuntos B, C, E e F, e 8 para o conjunto D.
Nota-se que os valores da amplitude não obedecem à quarta afirmativa, pois eles indicam, erroneamente, que os conjuntos B e E apresentam o mesmo grau de dispersão. 
Isso acontece porque a amplitude só leva em consideração os valores extremos!
Uma boa medida de dispersão deve levar em consideração todos os dados, não apenas o maior e o menor valor observado. 
Amplitude, Variância e Desvio Padrão
Os valores dos desvios em relação à média mostram o grau de dispersão dos dados.
No entanto, não podemos utilizar a soma dos desvios em relação à média como medida de dispersão, pois essa soma será sempre zero. Para resolver esse problema, podemos utilizar a soma dos desvios independente do sinal, o que pode ser obtido elevando os desvios ao quadrado.
Porém, apenas a soma dos quadrados dos desvios pode não ser uma boa medida, pois a dispersão aumentará conforme aumenta o número de observações do conjunto de dados.
Amplitude, Variância e Desvio Padrão
Dividindo-se a soma de quadrados dos desvios pelo número de observações, obtemos a variância dos dados:
Veremos adiante que, se X1, X2,..., Xn são os valores observados em uma amostra, é o “estimador de máxima verossimilhança” da variância de X. Veremos também que o “estimador não-tendencioso da variância de X” é:
Graus de Liberdade
Pode-se considerar que (n-1) é o número de graus de liberdade das observações em uma amostra de tamanho n.
Graus de liberdade são, em estatística, o número de observações independentes (dimensão da amostra) menos o número de parâmetros a serem estimados.
	i	Xi	Xi - 
	1	9	9 – 8 = 1
	2	4	4 – 8 = -4
	3	x	
	i	Xi	Xi - 
	1	9	9 – 5 = 4
	2	4	4 – 5 = -1
	3	2	2-5 = -3
Imagine 3 observações independentes de uma população com média 
 Como são 3 observações independentes e é conhecido a terceira observação pode assumir qualquer valor.
Imagine agora uma situação em que são tirados 3 elementos da população e não se conhece , então utiliza-se para estimar, sabe-se que =5 
 Como sabemos a soma dos desvios é zero, a última observação obrigatoriamente tem que ser 2.
 Isso indica que com 3 observações na amostra temos apenas 2 graus de liberdade, pois uma das observações tem valor definido
 Perdemos um grau de liberdade quando calculamos e utilizamos como estimador de 
Amplitude, Variância e Desvio Padrão
A variância, como medida de dispersão, tem o inconveniente de apresentar unidade de medida igual ao quadrado da unidade de medida dos dados. Assim, por exemplo, se X é medido em kg, a variância é medida em kg2.
O desvio padrão é, por definição, a raiz quadrada, com sinal positivo, da variância. A unidade de medida do desvio padrão é igual à unidade de medida dos dados.
A seguinte igualdade, cuja demonstração deixamos para o leitor, pode ser bastante útil no cálculo da soma dos quadrados dos desvios:
Amplitude, Variância e Desvio Padrão
No caso de os dados estarem agrupados em uma distribuição de frequências, cada valor distinto ou valor central da classe (Xj, com j = 1, 2, ..., k) deve ser ponderado pela respectiva frequência (fj), e as expressões ficam:
O desvio médio e a diferença média
Por definição, o desvio (absoluto) médio de um conjunto de dados (X1, X2,..., Xn ) é a media aritmética dos valores absolutos dos desvios em relação a .
Por definição, a diferença (absoluta) média de um conjunto de dados (X1, X2,..., Xn ) é:
O desvio médio e a diferença média
Admitindo que os dados estão em ordem crescente, podemos escrever os valores de |Xi – Xj| com i = 1,..., n e j = 1,..., n com segue:
O desvio médio e a diferença média
Com algumas transformações algébricas, também pode-se chegar a seguinte equação para calcular a diferença média:
Calcular o desvio médio e a diferença média das duas formas como exemplo, utilizando o conjunto de dados:
B = {3, 4, 5, 6, 7}
O desvio médio e a diferença média
Os resultados desse exemplo e outros exemplos podem ser obtidos na tabela:
Desvio-padrão x Desvio médio
A variância, o desvio-padrão e o desvio médio são todas boas medidas de dispersão, mas não há dúvida que a variância e o desvio-padrão são os mais usuais.
Cabe lembrar que a média é a medida de tendência central que minimiza a soma dos quadrados dos desvios, utilizada no cálculo da variância. 
Uma razão para a preferência pela variância na teoria estatística é a relativa dificuldade de obter derivadas de expressões envolvendo módulo, como ocorre na diferença média e no desvio-médio.
Outra vantagem são algumas características matemáticas da variância que não se aplicam para o desvio-médio e a diferença média como:
 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) (isso pode facilitar muito alguns cálculos)
	EXERCÍCIOS
5.1 a 5.11 (menos 5.6 e 5.8)
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