Coordenadas cilindricas e esféricas

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Coordenadas Cilíndricas e Esféricas: 
Os problemas de alta simétrica em eletromagnetismo comumente envolvem simetrias cilíndricas e esféricas. Para fazer 
integrais do tipo teoremas de Green, 
V S
F dV F n da    , e de Stokes, 
A C
F n dA F d     , é necessário saber 
calcular d , d , ndA , dA e dV . Por isso, vale a pena estabelecer como calcular esses vetores nas coordenadas cilíndricas 
e esféricas. Apresentamos, antes do desenvolvimento, uma síntese dos resultados para consulta e utilização imediata. 
Síntese dos resultados: Coordenadas cilíndricas  , ,  z 
Transformação: cos ; sin ;     x y z z 
Vetores unitários: 
cos sin ; sin cos ;r x y x y z z                 
Produtos vetoriais: ; ;z z z                   
Elementos de caminho: 
 ; ; z zd d d d d dz          
Elementos de área: 
 ; ; z zndA d dz ndA d dz ndA d d             
Elemento de volume: dV d d dz   
 
 
Casos especiais [integrais não dependem de  ]: 2 ; 2 ; 2zdA dz dA d dV d dz        
 
Síntese dos resultados: Coordenadas esféricas  , , r 
Transformação: sin cos ; sin sin ; cosx r y r z r       
Vetores unitários: 
sin cos sin sin cos
cos cos cos sin sin
sin cos
r x y z
x y z
x y


     
     
  
  
  
  
 
Produtos vetoriais: ; ;r r r                   
Elementos de caminho: 
 ; ; sinr rd dr d rd d r d         
Elementos de área: 
 
2 sin ; sinr rndA r d d ndA r drd ndA rdrd           
Elemento de volume: 
2 sindV r drd d   
 
 
Casos especiais [simetria em  ]: 22 sin ; 2 sinrdA r d dA r dr      
Casos especiais [simetria em  ]: 22 sindV r drd   [simetria em  e ] 24dV r dr 
 
Propriedade dos gradientes: 
Suponha uma curva de nível, ou seja,  , , of x y z f constante. Na curva de nível 0df  , mas: 
0
f f f
df dx dy dz f dr f dr
x y z
  
         
  
 
Ou seja, o gradiente é perpendicular às curvas de nível. Além disso, para mudar da curva de nível  , , of x y z f para 
 , ,  of x y z f df temos que: 
cos
cos


       

df
f dr df f d df d
f
 
Portanto min0   

df
d
f
, ou seja, o menor caminho para salta da curva    of r f para    of r f df é ao 
longo do gradiente. Com a propriedade do gradiente ser perpendicular às curvas de nível podemos calcular os vetores 
tangenciais e normais a superfícies, elementos de área e elementos de volume. 
Coordenadas cilíndricas: 
 
 
 
 
 
Da figura ao lado vemos que: 
 
cos
sin
x
y
z z
 
 



 
 
Vetor normal da superfície   o :  
2 2 2, ,    of x y z x y 
     
 2 2 cos sin 022 2 0 2 0 2
2
f x y x y x y n
    

  
          
logo   2 2 2cos sin 0 cos sin 0 1 1             
Vetor normal da superfície: 
o  :  , , tan o
y
f x y z
x
  
     
   
 
 
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
1 1 1 1
0 0 sin cos 0 sin cos 0
cos cos
1 1 1
sin cos 0 sin cos 0
cos cos cos
1
sin cos 0
cos
sin cos 0
1
cos
y y
f y x
x x x x
f f
f
n
f

     
   
   
     
 
 
  
 
 
           
 
         


    

 
logo:  sin cos 0    
Vetor normal da superfície oz z :  , , of x y z z z  logo  0 0 1zf    
 0 0 1z  
Os 3 vetores unitários são: 
 
 
 
cos sin 0 cos sin cos sin
sin cos 0 sin cos sin cos
0 0 1
x y
x y
z
i j
i j
k


        
        

    
       
 
 
 
Os vetores unitários são ortogonais entre si: 
   
   
   
cos sin 0 sin cos 0 sin cos sin cos 0
cos sin 0 0 0 1 0
sin cos 0 0 0 1 0
z
z
 


         
   
   
       
   
    
 
logo 
0
0
0
z z
z z
   
 
 
   
   
   
   
   
   
 
 
 
 
 
Produtos vetoriais: 
   
     
     
2 2 2 2
cos sin sin cos
cos sin cos sin
cos sin cos sin
sin cos
sin co
x y x y
x y y x z z
z z x y z x z y
x y
z x
xyz zxy yzx z z z
 



   
         
         
            
    
   
   
      
      
        
   
        s sin cos
cos sin
y z x z y z
x y 
        
    
      
  
 
 
 
 
  
  
  
 
 
 
z
z
z
 
 
 
Elementos de caminho: 
 
Ao longo do raio com 
o oe z z   
 
cos sin
cos ; sin ; 0 cos sinx y
x y z z
dx d dy d dz d d d 
   
        
  
      
 
d d d d       
Ao longo do cilindro com cte e z cte   
 
cos sin
sin ; cos ; 0 sin cosx y
x y z z
dx d dy d dz d d d 
   
           
  
        
 
d d d d
 
      
Nas bordas cte e cte   
0; 0; z zdx dy dz dz d dz     
z z zd dz d dz   
Síntese: 
 
 
 z z z
d d d d
d d d d
d dz d dz

  
 
  
    

  
  
  
 
Elementos de área: 
    
    
  
z z z
z z
z z
d d d d d d ndA d d
d d d dz d dz ndA d dz
d d dz d d dz ndA d dz
   
    
    
            
         
      
     
     
     
 
Elemento de volume: 
     z zd d d d d dz d d dz d d dz                          
dV d d dz   
Comprimentos: 
2 2 2
0 0 0
0 0
0
2
R R
L
z
d d d
d d R
dz L
  
 
 
    

   
  
 
  
 

 
Áreas: 
2 2 2
2
0 0 0 0
2 2
0 0 0 0
0 0 0 0
2 área do círculo
2
2 2 área do cilindro
área do retângulo
o
o
R R
z z
L L
R
R L R L
R
A d d d d R
A Rd dz R dz d RL R
A d dz d dz RL
 
 

 
       
   
 



    
    
   
   
   
   
 
Volume do cilindro: 
2 2 2
2
0 0 0 0 0 0 0
2 2
2
R L R L R
R
V d d dz d d dz L d L R L
 
                     
Síntese: 
; ;
; ;
z z
z z
d d d d d dz
ndA d dz ndA d dz ndA d d
dV d d dz
   
   
    
       
  
  
  

 
Coordenadas esféricas: 
 
 
 
 
Da figura ao lado vemos que: 
 
sin cos
sin sin
cos
x r
y r
z r
 
 




 
 
Vetor normal a superfície r R :   2 2 2 2, ,f x y z x y z R    
   
 
2 2 2 2 2
sin cos sin sin cos2
2
f x y z x y z r
r r rr r
n
r r r
    
   
  
 
logo  sin cos sin sin cosr      
Vetor normal a superfície o  :  
2 2
, , tan o
x y
f x y z
z


  
  
  
 
 
 
2 2
2 2
22 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
3 2 2
1 2 1 2 1
2 2
sin cos cos sin cos sin sin cos sin
cos sin cos sin
sin cos cos cos sin sin 1
cos cos cos sin sin
cos sin cos
x yx y
f xz yz x y
zz x y z x y z x y
r r r
r r
r
r r
        
   
     
    
  
 
      
    
 
 


  
 
 2
1
cos cos cos sin sin
cos
f
r
    

   
 2 2 2 22 2 2 2 2
2 2
2 2
2
2
cos cos sin sincos cos cos sin sin
cos cos
cos sin
cos
1
cos
f
r r
f
r
f
r
       
 
 


  
  

 
 
 
logo  cos cos cos sin sin       
Vetor normal a superfície 
o  :  , , tan o
y
f x y z
x
  
     2 2 2 2
1 1 1 sin
0 0 sin sin sin cos 0 sin cos 0
y r
f y x r r
x x x x x

     
 
         
 
 
logo:  sin cos 0    
 
Síntese: 
 
 
 
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
sin cos sin sin cos sin cos sin sin cos 1
cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin 1
sincos 0 sin cos 1
r r
 
 
           
           
     
     
      
     
 
 
 
 
sin cos sin sin cos
cos cos cos sin sin
sin cos


     
     
  
  
  
  
r x y z
x y z
x y
 
 
Produtos escalares: esses vetores são perpendiculares entre si: 
 
 
 
2 2sin cos cos sin cos sin sin cos 0
sin sin cos sin sin cos 0
cos sin cos cos sin cos 0
r
r


 
         
       
       
    
    
    
 
Produtos vetoriais: 
r   : 
   
       
   
  2
sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin
sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin
cos cos cos cos sin
sin cos sin cos sin
           
         
    
      
       
      
   
  
r x y z x x x
x y z y x z
z x y
x y    
     2 2 2
cos sin cos sin cos
sin sin cos cos cos sin
        
           
   
     
x z y x
y z z x z y
 
2
2
2 2
sin cos sin cos sin cos
sin cos sin cos sin sin
cos cos cos sin
       
     
   
   
  
 
r z y
z x
y x
 
   2 2 2 2cos sin sin cos sin cos
sin cos sin cos sin cos sin cos
       
       
      
 
r x y
z z
 
sin cos      r x y 
    r 
   
       
       
2 2
2 2
cos cos cos sin sin sin cos
cos cos cos sin sin sin sin cos
cos cos cos sin sin sin sin cos
sin cos sin sin
x y z x y
x y y x z x z y
z z y x
x
         
               
           
   
       
        
      
   2 2cos cos siny z    
 
sin cos sin sin cosx y z           
r     
 
r   : 
   
       
 
2 2
2 2
sin cos sin cos sin sin cos
sin sin cos sin sin cos cos cos
cos cos cos sin sin cos sin
r x y x y z
x y x z y x y z
x y z
        
               
       
       
         
   
 
cos cos cos sin sinr x y z          
r     
 
 
 
 
  
  
  
 
 
 
r
r
r
 
 
 
 
 
 
Elementos de caminho: 
Ao longo do raio com variável,r cte e cte    
 
sin cos ; sin sin ; cos
sin cos sin sin cosr x y z r
dx dr dy dr dz dr
d dr dr
    
     
  
   
 
r r rd dr d dr   
Ao longo do cilindro com variável; r cte e cte    
 
cos cos ; cos sin ; sin
cos cos cos sin sinx y z
dx r d dy r d dz r d
d rd rd 
       
      
   
   
 
d rd d rd      
No caminho variável; r cte e cte    
 
sin sin ; sin cos ; 0
sin sin cos sinx y
dx r d dy r d dz
d r d r d 
     
     
   
   
 
sin sind r d d r d        
Em síntese: 
sin sin
r r rd dr d dr
d rd d rd
d r d d r d
  
  

 
   
  
  
  
 
Caminhos: 
0
0
2
0
segmento de reta
semi-círculo de raio 
sin 2 sin círculo de raio sin




 
    
  
  
  



R
r dr R
R d R R
d R d R R
 
Elementos de área: 
2 2 2sin sin sin
sin sin sin
r r
r r r
r r
d d rdrd rdrd ndA rdrd
d d r d d r d d ndA r d d
d d r drd r drd ndA r drd
    
   
    
     
           
      
     
     
     
 
 
 
 
Áreas: 
2
2
0 0
2
2 2 2
0 0 0
2
2
0 0
1
área do semi-círculo
2 2
sin 2 sin 4 área da esfera
sin sin área do cone
o
o
R
r R
R
R
A rdrd R
A R d d R d R
A rdrd R

 
  

 
  
      
   



   
   
  
 
  
 
 
 
 
Área do cone 
 
2 22 sin sin
2
 
  

 lateral
R
A R R
R
 
 
 
 
 
Áreas de superfícies Figura da superfície 
 
 
Semi-círculo de raio R 
 
21
2
   oA R 
 
Semi-círculo porque o  só varia até  
 
 
 
 
Esfera 
 
24 r RA R 
 
 
 
 
 
Cone 
 
2 sin    oA R 
 
 
Elemento de volume:      2 2sin sinr r r rdV d d d r drd d r drd d                    então: 
2 sindV r drd d   
Elemento de volume com simetria em  : 22 sindV r drd   
Elemento de volume com simetria em e  : 24dV r dr 
Volume esfera: 
2 2 3
2 2
0 0 0 0 0 0
sin sin 2 2
3
R R
R
V r drd d r dr d d
   
                então 
34
3
V R 
Síntese: 
2
2
; ; sin
sin ; sin ;
sin
r r
r r
d dr d rd d r d
ndA r d d ndA r drd ndA rdrd
dV r drd d
   
   
   
     
  
  
  
