3 Estágio de Termodinâmica I com Manzi

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Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e Tecnologia
Unidade Acadêmica de Engenharia Química
Termodinâmica I
3º ESTÁGIO
Aluna: Ranna Theresa dos Santos Cajá
Matrícula: 121111162
Campina Grande - PBCampina Grande - PB
2024
Questão 1
Demonstrar a 1ª Lei da termodinâmica para sistemas abertos.
RESOLUÇÃO:
Na entrada (seta rosa) tem-se:𝑀
𝑡
𝑀
𝑡 + 𝑑𝑡
.𝐸
𝑡
𝐸
𝑡 + 𝑑𝑡
𝑃, 𝑇, ρ
𝑒
, 𝑑𝑚
𝑒
Na saída (seta roxa) tem-se:
.𝑃, 𝑇, ρ, 𝑑𝑚
A seta verde representa o Q e W.
A seta azul está representando o dt.
𝐴𝑠 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑠ã𝑜: 𝑁𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑚 𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜:
𝐸 = 𝑈 + 𝐸
𝑐
+ 𝐸
𝑝
 (1) 𝐸
𝑡
(𝑡) = 𝑒
𝑒
𝑑𝑚
𝑒
+ 𝐸
𝑡
 (4)
𝐸
𝑐
= 1
2 𝑚𝑣2 →
𝐸
𝑐
𝑚 = 𝑣2
2 → 𝑒
𝑐
= 𝑣2
2 (2) 𝐸 𝑛𝑎 𝑠𝑎í𝑑𝑎:
𝐸
𝑝
= 𝑚𝑔𝑧 →
𝐸
𝑐
𝑚 = 𝑔𝑧 → 𝑒
𝑝
= 𝑔𝑧 (3) 𝐸
𝑡
(𝑡 + 𝑑𝑡) = 𝑒𝑑𝑚 + 𝐸
𝑡 + 𝑑𝑡
 (5)
𝑒
𝑐
 𝑒 𝑒
𝑝
 𝑠ã𝑜 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎𝑠.
Utiliza-se essa equação:
𝑑𝐸 = δ𝑄 − δ𝑊 (6)
Onde:
● é a variação da energia do sistema.𝑑𝐸
● Q é o calor transferido para o sistema.
● W é o trabalho realizado pelo sistema.
𝑑𝐸 = 𝐸
𝑡
(𝑡 + 𝑑𝑡) − 𝐸
𝑡
(𝑡) (7)
Utilizando a equação e substituindo em , utilizando também as equações e ,(7) (6) (4) (5)
tem:
𝐸
𝑡
(𝑡 + 𝑑𝑡) − 𝐸
𝑡
(𝑡) = 𝑒𝑑𝑚 + 𝐸
𝑡 + 𝑑𝑡
− 𝑒
𝑒
𝑑𝑚
𝑒
− 𝐸
𝑡
= δ𝑄 − δ𝑊 (8)
𝐸
𝑡
(𝑡+𝑑𝑡)−𝐸
𝑡
(𝑡)
𝑑𝑡 =
𝑒
𝑒
𝑑𝑚
𝑒
𝑑𝑡 − 𝑒𝑑𝑚
𝑑𝑡 + δ𝑄
𝑑𝑡 − δ𝑊
𝑑𝑡 (9)
𝑑𝐸
𝑑𝑡 = 𝑒
𝑒
ṁ
𝑒
− 𝑒ṁ + 𝑄 + 𝑊 (10)
ρ = 𝑑𝑚
𝑑𝑉 → 𝑑𝑉 = 𝑑𝑚
ρ (11)
𝑑𝑊 = 𝑃𝑑𝑉 = 𝑃 𝑑𝑚
ρ = 𝑃 · 𝑣 · 𝑑𝑚 (12)
Logo, tem-se:
δ𝑊 = δ𝑊
𝑒𝑖𝑥𝑜
+ 𝑑𝑊 (13)
Utilizando a equação em ,tem:(12) (13)
δ𝑊 = δ𝑊
𝑒𝑖𝑥𝑜
+ 𝑃 · 𝑣 · 𝑑𝑚 − 𝑃
𝑒
· 𝑣
𝑒
· 𝑑𝑚
𝑒
 (14)
Dividindo a equação por , tem:(13) 𝑑𝑡
δ𝑊
𝑑𝑡 =
δ𝑊
𝑒𝑖𝑥𝑜
𝑑𝑡 + 𝑃·𝑣·𝑑𝑚
𝑑𝑡 −
𝑃
𝑒
·𝑣
𝑒
·𝑑𝑚
𝑒
𝑑𝑡 (15)
𝑑𝐸
𝑑𝑡 = 𝑒
𝑒
ṁ
𝑒
− 𝑒ṁ + 𝑄 + 𝑃
𝑒
· 𝑣
𝑒
· ṁ
𝑒
− 𝑃𝑣ṁ − 𝑊
𝑒𝑖𝑥𝑜
 (16)
𝑑𝐸
𝑑𝑡 = ṁ
𝑒
𝑒
𝑒
+ 𝑃
𝑒
· 𝑣
𝑒( ) − ṁ 𝑒 + 𝑃𝑣( ) + 𝑄 − 𝑊
𝑒𝑖𝑥𝑜
 (17)
𝑒 = 𝑢 + 𝑒
𝑐
+ 𝑒
𝑝
+ 𝑃𝑣 (18)
ℎ = 𝑢 + 𝑃𝑣 (19)
𝑑𝐸
𝑑𝑡 = ṁ
𝑒
ℎ
𝑒
+ 𝑒
𝑐𝑒
+ 𝑒
𝑝𝑒( ) − ṁ ℎ + 𝑒
𝑐
+ 𝑒
𝑝( ) + 𝑄 − 𝑊
𝑒𝑖𝑥𝑜
 (20)
Para fins de organização,
A equação da 1ª Lei da termodinâmica para sistemas abertos com:
𝑑𝐸
𝑑𝑡 = Σ
𝑖𝑛
(ℎ + 𝑒
𝑐
+ 𝑒
𝑝
) · ṁ − Σ
𝑜𝑢𝑡
(ℎ + 𝑒
𝑐
+ 𝑒
𝑝
) · ṁ ± 𝑄 ± 𝑊 (21)
Questão 2
Demonstrar a equação de Bernoulli aplicada a mecânica dos fluidos.
RESOLUÇÃO
● Pode ser um fluido
qualquer dentro do tubo.
Figura 1 - Fluido dentro de um tubo
Para chegar na equação de Bernoulli, usa-se a 1ª Lei da Termodinâmica para sistemas abertos
∆𝐸
∆𝑡 = Σ
𝑖𝑛
(ℎ + 𝑒
𝑐
+ 𝑒
𝑝
) · ṁ − Σ
𝑜𝑢𝑡
(ℎ + 𝑒
𝑐
+ 𝑒
𝑝
) · ṁ ± 𝑄 ± 𝑊 (22)
● , porque o sistema é estacionário∆𝐸
∆𝑡 = 0
● Não tem trabalho (Ẇ) sendo gerado dentro do tubo.
Logo, utilizando informações dadas na equação , tem-se:(22)
0 = Σ
𝑖𝑛
(ℎ + 𝑒
𝑐
+ 𝑒
𝑝
) · ṁ − Σ
𝑜𝑢𝑡
(ℎ + 𝑒
𝑐
+ 𝑒
𝑝
) · ṁ ± 𝑄 ± 0 (23)
(ℎ
𝑒
+ 𝑒
𝑐𝑒
+ 𝑒
𝑝𝑒
) · ṁ ± 𝑄 = (ℎ + 𝑒
𝑐
+ 𝑒
𝑝
) · ṁ (24)
● Dividindo a expressão por , tem-se:(24) ṁ
ℎ
𝑒
+ 𝑒
𝑐𝑒
+ 𝑒
𝑝𝑒
± 𝑞 = ℎ + 𝑒
𝑐
+ 𝑒
𝑝
 (25)
𝑞 = ℎ − ℎ
𝑒( ) + 𝑒
𝑐
− 𝑒
𝑐𝑒( ) + 𝑒
𝑝
− 𝑒
𝑝𝑒( ) (26)
𝑑𝑞 = 𝑑ℎ + 𝑣𝑑𝑣 + 𝑔𝑑𝑧 (27)
ℎ = 𝑢 + 𝑃𝑉 (28)
𝑑ℎ = 𝑑𝑢 + 𝑃𝑑𝑉 + 𝑉𝑑𝑃 (29)
𝑑ℎ = 𝑑𝑞 + 𝑉𝑑𝑃 (𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠í𝑣𝑒𝑙) (30)
● substituindo a equação em , tem-se:(30) (27)
𝑑𝑞 = 𝑑𝑞 + 𝑉𝑑𝑃 + 𝑣𝑑𝑣 + 𝑔𝑑𝑧 (31)
● por fim, chega-se na equação de Bernoulli:
𝑉𝑑𝑃 + 𝑣𝑑𝑣 + 𝑔𝑑𝑧 = 0 (32)
Para fins de organização, foi-se usado o “v” mi-
núsculo para velocidade o “V” maiúsculo para
o volume.
Questão 3
Qual o conceito de perdas de carga do ponto de vista termodinâmico?
RESOLUÇÃO
As perdas de carga (ou perda de energia por atrito) em um sistema de escoamento
podem ser consideradas do ponto de vista termodinâmico como uma transformação de
energia útil em energia térmica ou dissipada. Este fenômeno ocorre devido à resistência ao
escoamento, como atrito, turbulência e obstáculos que o fluido encontra enquanto flui através
de uma tubulação ou canal.
● Conceito de Perdas de Carga:
Conversão de Energia: Quando um fluido flui através de uma tubulação, a energia
mecânica (em termos de pressão, velocidade ou altura) é dissipada por meio de atrito com as
paredes da tubulação ou outras partes do sistema, resultando em conversão de energia
mecânica em energia térmica (calor).
Irreversibilidade: As perdas de carga representam uma forma de irreversibilidade em
um sistema de escoamento. Em um escoamento ideal, não haveria perdas de energia, mas em
um escoamento real, há sempre alguma quantidade de energia que é dissipada. Essa
dissipação ocorre como um aumento de entropia no sistema.
Variação de Entropia: Do ponto de vista termodinâmico, as perdas de carga estão
associadas a um aumento de entropia no sistema. O fluido perde energia útil enquanto flui, e
essa energia perdida é convertida em um aumento de entropia.
Causas: As principais causas das perdas de carga em um sistema de escoamento são a
resistência ao escoamento e a turbulência. Isso pode ser causado por rugosidade nas paredes
da tubulação, mudanças na direção ou na área de seção transversal da tubulação, ou
obstáculos na trajetória do fluido.
Análise Termodinâmica: Em um sistema de escoamento, as perdas de carga podem
ser analisadas com base em uma variação de entalpia e de energia cinética. Um escoamento
com perda de carga terá uma redução na energia mecânica total ao longo do sistema. Isso é
quantificado através de diferenças nas pressões ou alturas e diminuições na energia cinética.
● Equações para Analisar as Perdas de Carga:
As perdas de carga podem ser calculadas usando a fórmula de Darcy-Weisbach:
ℎ
𝑓
= 𝑓
𝐷
· 𝐿
𝐷 · 𝑣2
2𝑔 (33)
Onde:
● é a perda de carga em metros de coluna d'água.ℎ
𝑓
● é o fator de atrito de Darcy.𝑓
𝐷
● é o diâmetro interno da tubulação.𝐷
● é o comprimento da tubulação.𝐿
● é a velocidade do fluido.𝑣
● é a aceleração devido à gravidade.𝑔
Pode-se escrever a fórmula substituindo o fator de Darcy pelo fator de Fanning :𝑓
𝐷( ) 𝑓
𝑓( )
ℎ
𝑓
= 2𝑓
𝑓
· 𝐿
𝐷 · 𝑣2
𝑔 (34)
● 𝑓
𝐷
= 4𝑓
𝑓
Questão 4
Considere a seguinte instalação hidráulica:
A instalação foi construída para transportar de água entre os dois tanques0, 09 𝑚3/𝑚𝑖𝑛
distantes um do outro através de uma tubulação de de diâmetro de acordo100 𝑚 100 𝑚𝑚
com a figura acima.
Nas condições do sistema, o fator de atrito de Darcy correspondente ao escoamento pode ser
estimado como . Considerando a aceleração da gravidade como a relação0, 02 9, 8 𝑚/𝑠2
entre comprimento e diâmetro da circunferência como e desprezando-se as perdas3
localizadas, calcular a potência mínima de uma bomba com eficiência de necessária75%
para tal instalação é de ????
RESOLUÇÃO
Vamos estabelecer os dados fornecidos:
● Taxa de fluxo volumétrico (Q̇): .0, 09 𝑚3/𝑚𝑖𝑛 𝑜𝑢 0, 0015 𝑚3/𝑠
● Distância entre os tanques : .𝐿( ) 100 𝑚
● Diâmetro interno da tubulação : .𝐷( ) 100 𝑚𝑚 𝑜𝑢 0, 1 𝑚
● Fator de atrito de Darcy : .𝑓
𝐷( ) 0, 02
● Aceleração da gravidade : .𝑔( ) 9, 8 𝑚/𝑠2
● Eficiência da bomba : 75%.η( )
Partindo da seguinte equação:
𝑑𝐸
𝑑𝑡 = ṁ
𝑒
ℎ
𝑒
+ 𝑒
𝑐𝑒
+ 𝑒
𝑝𝑒( ) − ṁ ℎ + 𝑒
𝑐
+ 𝑒
𝑝( ) + 𝑄 − 𝑊
𝑒𝑖𝑥𝑜
 (35)
Como o sistema é estacionário , reorganizando a equação e dividindo a mesma𝑑𝐸
𝑑𝑡 = 0 (32)
por , tem:ṁ
ṁ
𝑒
ℎ
𝑒
+ 𝑒
𝑐𝑒
+ 𝑒
𝑝𝑒( ) · 1
ṁ + 𝑄
ṁ −
𝑊
𝑒𝑖𝑥𝑜
ṁ = ṁ ℎ + 𝑒
𝑐
+ 𝑒
𝑝( ) · 1
ṁ (36)
𝑄
ṁ = 𝑞 (37)
-𝑛𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑛ã𝑜 𝑡𝑒𝑚 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟
𝑔𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙.
ℎ
𝑒
+ 𝑞 −
𝑊
𝑒𝑖𝑥𝑜
ṁ = ℎ (38)
𝑊
𝑒𝑖𝑥𝑜
ṁ = ℎ
𝑒
− ℎ + 𝑞 (39)
𝑊
𝑒𝑖𝑥𝑜
ṁ = 𝑑ℎ + 𝑞 (40)
Como:
𝐻 = 𝑈 + 𝑃𝑉 (41)
𝑑𝐻 = 𝑑𝑈 + 𝑃𝑑𝑉 + 𝑉𝑑𝑃 (42)
Sendo:
𝑑𝑈 = δ𝑄 − δ𝑊 (43)
δ𝑄 = 𝑑𝑈 + δ𝑊 (44)
δ𝑄 = 𝑑𝑈 + 𝑃𝑑𝑉 (45)
Logo,
𝑑𝐻 = δ𝑄 + 𝑉𝑑𝑃 (46)
𝑑𝐻 = δ𝑔 + 𝑉𝑑𝑃 (47)
Portanto, 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 é 𝑖𝑠𝑜𝑏á𝑟𝑖𝑐𝑜
δ𝑔
𝑟𝑒𝑣
− δ𝑞 + 𝑉𝑑𝑃 =
𝑊
𝑒𝑖𝑥𝑜
ṁ (48)
δ𝑞 − δ𝑞
𝑟𝑒𝑣
= ℎ
𝑓
 (49)
ℎ
𝑓
+ 0 =
𝑊
𝑒𝑖𝑥𝑜
ṁ (50)
Para achar utiliza a seguinte fórmula de perda de carga de Darcy-Weisbach:ℎ
𝑓
ℎ
𝑓
= 𝑓
𝐷
· 𝐿
𝐷 · 𝑣2
2𝑔 (51)
Calcula-se termo desconhecidos, como a velocidade da água dentro da tubulação, para isso
utiliza a seguinte fórmula:
𝑣 = 𝑄̇
𝐴 (52)
Primeiro calcula a área da seção transversal da tubulação:
𝐴 = π 𝐷
2( )2
(53)
𝐴 = π 0,1
2( )2
(54)
𝐴 = 0, 007853981634 𝑚2 (55)
Voltando para a equação :(52)
𝑣 = 0,0015
0,007853981634 (56)
𝑣 = 0, 1909859317 𝑚/𝑠 (57)
Substituindo termos conhecidos na equação :(51)
ℎ
𝑓
= 0, 02 · 100
0,1 · 0,19098593172
2 · 9,8 (58)
ℎ
𝑓
= 0, 02 · 100
0,1 · 0,19098593172
2 · 9,8 (59)
ℎ
𝑓
= 20 · 0, 001861001332 (60)
ℎ
𝑓
= 0, 03722002664 𝑚 (61)
Calculando a vazão mássica:
ṁ = 𝑄 · ρ (62)
ṁ = 0, 0015 · 1000 (63)
ṁ = 1, 5 𝑘𝑔/𝑠 (64)
Voltando para a equação e reorganizando a mesma:(50)
𝑊
𝑒𝑖𝑥𝑜
= ℎ
𝑓
· ṁ (65)
𝑊
𝑒𝑖𝑥𝑜
= 0, 03722002664 · 1, 5 (66)
𝑊
𝑒𝑖𝑥𝑜
= 0, 05583003996 𝑚𝐾𝑔
𝑠 (67)
Como:
η =
𝑊
𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑊
𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙
 (68)
𝑊
𝑟𝑒𝑎𝑙
= 0, 75 · 0, 05583003996 (69)
𝑊
𝑟𝑒𝑎𝑙
= 0, 04187232997 𝑊 ≃ 0, 042 𝑊 (70)
Questão 5
Máxima velocidade na tubulação.
Calcular a velocidade máxima dentro de uma tubulação.
Sugestão: aplicar a1ª Lei da termodinâmica para sistemas abertos junto com a equação da
continuidade e fazer uma análise da variação de entropia do sistema
RESOLUÇÃO
Como não foi dado nenhum dado para fins de cálculos, então utilizaremos o tubo de Venturi.
Figura 2 - Tubo de Venturi
A base teórica para o tubo de Venturi vem da equação de Bernoulli.
𝑣2
2𝑔 + 𝑃
ρ + ℎ =
𝑣
0
2
2𝑔 +
𝑃
0
ρ
0
+ ℎ
0
 (71)
Ela nos permite expressar a velocidade do fluido em função da diferença de pressão medida
em dois pontos ao longo do fluxo, contanto que os demais parâmetros (densidade, altura, etc.)
sejam conhecidos. Esse tipo de instrumento é normalmente colocado numa tubulação
horizontal de área transversal conhecida , e possui uma forma tal que provoque um𝐴
0( )
estreitamento, de forma que a área transversal se altera para , a partir da variação do𝐴 < 𝐴
0
diâmetro da tubulação. Considerando a equação de continuidade e um fluido incompressível
, a velocidade pode então ser expressa como:ρ = ρ
0( ) 𝑣
0
𝑣
0
= 𝑣 ρ
ρ
0
𝐴
𝐴
0
= 𝑣 𝐴
𝐴
0
 (72)
Assim, como , podemos expressar a velocidade como:ℎ = ℎ
0
𝑣
𝑣2
2 −
𝑣
0
2
2 =
𝑝
0
ρ
0
− 𝑝
ρ + 𝑔 ℎ − ℎ
0
 ( ) (73)
𝑣2 − 𝑣 𝐴
𝐴
0
( )2
= 2
𝑝
0
 − 𝑝
ρ + 0( ) (74)
Fazendo a equação da velocidade pode ser dada por:β = 𝐴
𝐴
0
𝑣2 1 − β4( ) = 2 ∆𝑝
ρ( ) (75)
𝑣 =
2 ∆𝑝
ρ( )
1−β4 (76)