Matematica avancaçada-53

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Resposta: A integral indefinida é \( \frac{1}{2} \ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C \), onde \( 
C \) é uma constante de integração. 
 
225. Determine o valor de \( \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} \). 
 
 Resposta: O limite é \( \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x^2 + 
2x + 4)}{(x - 2)( 
 
x + 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2} = 3 \). 
 
226. Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = 0 \). 
 
 Resposta: A solução geral é \( y = (c_1 + c_2x)e^{2x} \), onde \( c_1 \) e \( c_2 \) são 
constantes. 
 
227. Encontre a matriz inversa de \( A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \). 
 
 Resposta: A matriz inversa de \( A \) é \( A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 
\end{bmatrix} \). 
 
228. Determine a solução para o sistema de equações lineares: 
 \[ x + y = 4 \] 
 \[ 2x - y = 1 \] 
 
 Resposta: A solução é \( x = 1 \) e \( y = 3 \). 
 
229. Encontre as coordenadas do ponto de interseção das retas \( y = 3x - 1 \) e \( y = -
\frac{1}{3}x + 2 \). 
 
 Resposta: O ponto de interseção das retas é \( (\frac{4}{3}, 3) \). 
 
230. Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 1}{2x^2 - 3x + 5} \).