Matematica avancaçada-99

Prévia do material em texto

235. Encontre a solução para a equação \(8^x = 512\). 
 - Resposta: Podemos reescrever \(512\) como \(8^3\), então a equação se torna \(8^x = 
8^3\). Assim, \(x = 3\). 
 
236. Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 - 6x^2 + 7x)\). 
 - Resposta: Aplicando a regra da cadeia, a derivada é \(f'(x) = \frac{1}{x^3 - 6x^2 + 7x} 
\cdot (3x^2 - 12x + 7)\). 
 
237. Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^5 + y^5}{xy}\). 
 - Resposta: Vamos reescrever a equação como \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^4}{y} + 
\frac{y^4}{x}\). Esta é uma equação diferencial separável. Separando as variáveis, 
obtemos \(\frac{dy}{y^4} = (\frac{x^4}{y} + \frac{y^4}{x}) dx\). Integrando ambos os lados, 
chegamos a \(-\frac{1}{3y^3} = \frac{x^5}{5} + \frac{y^5}{5x} + C\), onde \(C\) é uma 
constante de integração. Portanto, a solução geral é \(3y^3 = -\frac{1}{\frac{x^5}{3} - 
\frac{y^5}{3x} - C}\). 
 
238. Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{5^x}{x^5}\). 
 - Resposta: À medida que \(x\) se aproxima do infinito, \(5^x\) cresce exponencialmente, 
enquanto \(x^5\) cresce apenas quínticamente. Portanto, o limite é \(+\infty\). 
 
239. Calcule a integral indefinida de \(\int \frac{1}{\sin(x) - \cos(x)} \, dx\). 
 - Resposta: Podemos usar a substituição trigonométrica \(u = \tan(\frac{x}{2})\), então 
\(du = \frac{1}{2} \sec^2(\frac{x}{2}) dx\). Reescrevendo \(\sin(x) - \cos(x)\) em termos de 
\(\tan(\frac{x}{2})\), obtemos \(\frac{1}{2} \sec^2(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2} (1 + 
\tan^2(\frac{x}{2})) = \frac{1}{2} (1 + u^2)\). Portanto, a integral se torna \(\int 
\frac{1}{\frac{1}{2} (1 + u^2)} \, du = 2 \int \frac{1}{1 + u^2} \, du = 2 \arctan(u) + C = 2 
\arctan(\tan(\frac{x}{2})) + C = 2 \arctan(\tan(\frac{x}{2})) + C\), onde \(C\) é a constante de 
integração. 
 
240. Encontre a solução para a equação \(9^x = 729\). 
 - Resposta: Podemos reescrever \(729\) como \(9^3\), então a equação se torna \(9^x = 
9^3\). Assim, \(x = 3\). 
 
241. Calcule a derivada de \(f(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\). 
 - Resposta: Aplicando a identidade trigonométrica \(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\), a 
derivada é \(f'(x) = -2\sin(x)\cos(x)\).