Matematica avancaçada-104

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268. Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{8^x}{x^8}\). 
 - Resposta: À medida que \(x\) se aproxima do infinito, \(8^x\) cresce exponencialmente, 
enquanto \(x^8\) cresce apenas octavicamente. Portanto, o limite é \(+\infty\). 
 
269. Calcule a integral indefinida de \(\int \frac{1}{\sin(x) - \cos(x)} \, dx\). 
 - Resposta: Podemos usar a substituição trigonométrica \(u = \tan(\frac{x}{2})\), então 
\(du = \frac{1}{2} \sec^2(\frac{x}{2}) dx\). Reescrevendo \(\sin(x) - \cos(x)\) em termos de 
\(\tan(\frac{x}{2})\), obtemos \(\frac{1}{2} \sec^2(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2} (1 + 
\tan^2(\frac{x}{2})) = \frac{1}{2} (1 + u^2)\). Portanto, a integral se torna \(\int 
\frac{1}{\frac{1}{2} (1 + u^2)} \, du = 2 \int \frac{1}{1 + u^2} \, du = 2 \arctan(u) + C = 2 
\arctan(\tan(\frac{x}{2})) + C = 2 \arctan(\tan(\frac{x}{2})) + C\), onde \(C\) é a constante de 
integração. 
 
270. Encontre a solução para a equação \(15^x = 50625\). 
 - Resposta: Podemos reescrever \(50625\) como \(15^3\), então a equação se torna 
\(15^x = 15^3\). Assim, \(x = 3\). 
 
271. Calcule a derivada de \(f(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\). 
 - Resposta: Aplicando a identidade trigonométrica \(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\), a 
derivada é \(f'(x) = -2\sin(x)\cos(x)\). 
 
272. Resolva a equação diferencial \(y'' + 10y' + 15y = 0\). 
 - Resposta: A equação característica associada é \(r^2 + 10r + 15 = 0\), que fatora para 
\((r + 5)(r + 3) = 0\). Portanto, a solução é \(y(x) = (Ax + B)e^{-5x} + (Cx + D)e^{-3x}\), onde 
\(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) são constantes. 
 
273. Determine a integral indefinida de \(\int \frac{1}{x^2 - 10x + 15} \, dx\). 
 - Resposta: Podemos reescrever o integrando como \(\frac{1}{(x - 5)(x - 3)}\), e então a 
integral torna-se \(\int \frac{1}{(x - 5)(x - 3)} \, dx = \frac{1}{x - 5 - x + 3} + C = \frac{1}{-2} \ln|x 
- 5| - \ln|x - 3| + C\), onde \(C\) é a constante de integração. 
 
274. Calcule o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 10x} - x}{x}\). 
 - Resposta: Podemos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo por 
\(\sqrt{x^2}\), então o limite se torna \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 10x} - x}{x} = 
\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 10x} - x}{x} \cdot \frac{\sqrt{x^2} + x}{\sqrt{x^2} + x} =