Matematica avancaçada-147

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\begin{align*} 
 xy &= 3 \\ 
 x^2 + y^2 &= 10 
 \end{align*} 
 \] 
 Resposta: \(x = \sqrt{2}\) e \(y = \frac{3}{\sqrt{2}}\). Explicação: Podemos resolver este 
sistema combinando as duas equações para eliminar uma variável. 
 
421. Calcule a derivada de \(f(x) = \log_{15}(x^2)\). 
 - Resposta: Utilizando a regra da cadeia e a derivada do logaritmo, a derivada é \(f'(x) = 
\frac{2}{x \ln(15)}\). 
 
422. Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^{16} + y^{16}}{xy}\). 
 - Resposta: Podemos reescrever a equação como \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^{16}}{xy} + 
\frac{y^{16}}{xy} = \frac{x^{15}}{y} + \frac{y^{15}}{x}\). Esta é uma equação diferencial 
separável. Separando as variáveis, obtemos \(y \, dy = x^{15} \, dx + y^{15} \, dx\). 
Integrando ambos os lados, chegamos a \(\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{16}x^{16} + 
\frac{1}{16}y^{16} + C\), onde \(C\) é uma constante de integração. Portanto, a solução 
geral é \(y^2 = \frac{1}{32}x^{16} + \frac{1}{32}y^{16} + C\). 
 
423. Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^{16} + 15x^{14} + 14}{14x^{16} - 13x^3 + 
11}\). 
 - Resposta: Dividindo todos os termos por \(x^{16}\) para encontrar o limite, obtemos 
\(\lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{15}{x^2} + \frac{14}{x^{16}}}{14 - \frac{13}{x^{13}} + 
\frac{11}{x^{16}}}\). À medida que \(x\) se aproxima do infinito, os termos com 
\(\frac{1}{x^2}\) e \(\frac{1}{x^{16}}\) se aproximam de zero, então o limite se torna \(\frac{1 
+ 0 + 0}{14 - 0 + 0} = \frac{1}{14}\). 
 
424. Calcule a integral indefinida de \(\int \frac{x}{x^2 - 256} \, dx\). 
 - Resposta: Podemos fazer a substituição \(u = x^2 - 256\), então \(du = 2x \, dx\). A 
integral se torna \(\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln|x^2 - 
256| + C\), onde \(C\) é a constante de integração. 
 
425. Encontre a solução para a equação \(16^x = 65536\). 
 - Resposta: Podemos reescrever \(65536\) como \(16^4\), então a equação se torna 
\(16^x = 16^4\), implicando que \(x = 4\).