Gabaritos, lista 2

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2a Lista de Exercícios - Séries
Disciplina: Cálculo II
Questão 1 Calcule a soma da série
n∑
i=1
an cujas somas parciais são dadas
(a) sn = 2− 3(0, 8)n (b) sn =
n2 − 1
4n2 + 1
Questão 2 Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
(a)
∞∑
n=1
6(0, 9)n−1
(c)
∞∑
n=1
(−3)n−1
4n
(b)
∞∑
n=1
10n
(−9)n−1
(d)
∞∑
n=1
en
3n−1
Questão 3 Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
(a)
∞∑
n=1
1 + 2n
3n
(d)
∞∑
n=1
1
1 + ( 23 )
n
(b)
∞∑
n=1
[(0, 8)n−1 − (0, 3)n]
(e)
∞∑
n=1
arctg(n)
(c)
∞∑
n=1
ln
(
n2 + 1
2n2 + 1
)
(f)
∞∑
n=1
(
1
en
+
1
n(n+ 1)
)
Questão 4 Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x.
(a)
∞∑
n=1
(−5)nxn
(c)
∞∑
n=0
2n
xn
(b)
∞∑
n=1
(x+ 2)n
(d)
∞∑
n=0
sennx
3n
Questão 5 Se a n-ésima soma parcial de uma série
∞∑
n=1
an é sn = 3− n2−n encontre an e
∞∑
n=1
an.
Questão 6 Suponha que
∑∞
n=1 an (an 6= 0) seja uma série convergente. Demonstre que
∞∑
n=1
1
an
é uma série divergente.
Questão 7 Suponha que uma série
∑
an = a1+a2+a3+ · · · tenha todos os termos ai, i = 1, · · · , n, positivos e suas somas
parciais sn satisfaçam a desigualdade sn ≤ 1000 para todo n. Explique porque
∑
an deve ser convergente.