Aula 10 - Calculo Numérico

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Cálculo Numérico 
Professora Msc. Rúbia Maria Pereira 
 
35 
 
0 60 75 1 
75−95
60−80
=
20
20
= 1 
112−95
100−80
=
17
20
= 0,85 
 
138−112
120−100
=
26
20
= 1,3 
151 − 138
140 − 120
=
13
20
= 0,65 
-0,00375 0,85 − 1
100 − 60
 
1,3 − 0,85
120 − 80
 
0,65 − 1,3
140 − 100
 
0,00025 0,00001 
1 80 95 0,85 0,01125 -0,00046 - 
2 100 112 1,3 -0,01625 - - 
3 120 138 0,65 - - - 
4 140 151 - - - - 
 
i 0 1 2 3 
𝑥𝑖 60 80 100 120 
𝑥 − 𝑥𝑖 35 15 -5 -25 
∏𝑥− 𝑥𝑖 35 525 -2625 65625 
𝑃(95) = 75 + (1 ∙ 35) + (−0,00375 ∙ 525) + (0,00025 ∙ −2625) + (0,0000
∙ 62562) 
𝑃(95) = 75 + 35 − 1,96875 − 0,065625 + 0,69625 
𝑃(95) = 108,03125 → 𝑃(95) = 108 𝑘𝑚 
 
2) Dado o conjunto de dados, determine F(4,5) usando interpolação de Newton 
x 2 3 4 5 6 7 
F(x) 0,13 0,19 0,27 0,38 0,51 0,67 
 
i 𝑥𝑖 𝑦𝑖 ∆(1)𝑦0 ∆(2)𝑦0 ∆(3)𝑦0 ∆(4)𝑦0 ∆(5)𝑦0 
0 2 0,13 0,06 0,01 0,00167 -0,00084 0,00034 
1 3 0,19 0,08 0,015 -0,00167 0,00084 - 
2 4 0,27 0,11 0,01 0,00167 - - 
3 5 0,38 0,13 0,015 - - - 
4 6 0,51 0,16 - - - - 
5 7 0,67 - - - - - 
 
i 0 1 2 3 4 
𝑥𝑖 2 3 4 5 6 
𝑥 − 𝑥𝑖 2,5 1,5 0,5 -0,5 -1,5 
∏𝑥− 𝑥𝑖 2,5 3,75 1,875 -0,9375 1,40625 
 
𝑃(4,5) = 0,13 + (0,06 ∙ 2,5) + (0,01 ∙ 3,75) + (0,00167 ∙ 1,875)
+ (0,00084 ∙ −0,9375) + (0,00034 ∙ 1,40625) 
𝑃(4,5) = 0,13 + 0,15 + 0,0375 + 0,00313 + 0,00079 + 0,00048 
𝑃(4,5) = 0,3219 → 𝑃(4,5) = 0,32 
 
Pós aula: 
Exercícios: 
1) A velocidade (v) em m/s de um foguete lançado do solo foi medida quatro vezes, 
uma vez por segundo após o lançamento. e os dados foram registrados conforme 
a tabela. Calcular usando o método de Newton a velocidade aproximada do 
foguete após 25 segundo do lançamento. 
Tempo(s) 0 8 20 30 45 
Velocidade(m/s) 0,0000 52,032 160,450 275,961 370,276 
2)Sejam os dados de altitudes e temperaturas. Calcule a temperatura em 5m, pelos 
métodos de Newton e Lagrange 
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Altitude 0 2 4 6 8 10 
Temperatura 32,8 31,1 28,0 23,8 19,1 14,3 
 
 
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Aula 12 
 
5. Integração Numérica 
5.1 Regra dos Trapézios 
 
 
 
𝐴1 =
𝐵 + 𝑏
2
∙ ℎ =
(𝑦1 + 𝑦0)(𝑥1 − 𝑥0)
2
 
𝐴2 =
𝐵 + 𝑏
2
∙ ℎ =
(𝑦1 + 𝑦2)(𝑥2 − 𝑥1)
2
 
𝐴3 =
𝐵 + 𝑏
2
∙ ℎ =
(𝑦3 + 𝑦2)(𝑥3 − 𝑥2)
2
 
𝐴4 =
𝐵 + 𝑏
2
∙ ℎ =
(𝑦4 + 𝑦3)(𝑥4 − 𝑥3)
2
 
Somando as áreas parciais: 
𝐴𝑡 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 + 𝐴4 
Fazendo: (𝑥1 − 𝑥0) = (𝑥2 − 𝑥1) = (𝑥3 − 𝑥2) = (𝑥4 − 𝑥3) = ℎ 
𝐴𝑡 =
(𝑦1 + 𝑦0)ℎ
2
+
(𝑦1 + 𝑦2)ℎ
2
+
(𝑦3 + 𝑦2)ℎ
2
+
(𝑦4 + 𝑦3)ℎ
2
 
𝐴𝑡 =
ℎ
2
(𝑦1 + 𝑦0 + 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 + 𝑦2 + 𝑦4 + 𝑦3) 
𝐴𝑡 =
ℎ
2
(𝑦0 + 2𝑦1 + 2𝑦2 + 2𝑦3 + 𝑦4) 
 
Generalizando: 
𝐴𝑡 =
ℎ
2
(𝑦0 + 2𝑦1 + 2𝑦2 +⋯+ 2𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑛) 
ℎ =
𝑏 − 𝑎
2
 
 
Exemplo 1: Seja a Integral A=∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
3
1
, determine: 
a) O valor da integral pelo cálculo diferencial e integral; 
b) O valor da integral pela regra dos trapézios, n=10 
c) Erros de 𝛿 𝑒 ∆ 
Resposta: 
a) A=∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
3
1
 
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Integral por partes: ∫𝑢 𝑑𝑣 =𝑢 ∙ 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 
 
𝑢 = 𝑥 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 → 𝑣 = ∫𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝑐 
𝐴 = ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =
3
1
𝑥 ∙ (− cos 𝑥) − ∫ −cos 𝑥 𝑑𝑥
3
1
= 𝑥 ∙ (− cos 𝑥) + ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥
3
1
 
𝐴 = −𝑥 cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 |1
3 
𝐴 = 2,8099 𝑢. 𝑎. 
 
b) ℎ =
𝑏−𝑎
𝑛
=
3−1
10
=
2
10
= 0,2 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
𝑦 = 𝑓(𝑥0) = 𝑥0 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥0 
𝑦 = 𝑓(𝑥1) = 𝑥1 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥1 
⋮ 
𝑦 = 𝑓(𝑥10) = 𝑥10 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥10 
 
i xi yi * trapézios 
0 1,0 0,8415 1 0,8415 
1 1,2 1,1184 2 2,2368 
2 1,4 1,3796 2 2,7592 
3 1,6 1,5993 2 3,1986 
4 1,8 1,7529 2 3,5058 
5 2,0 1,8186 2 3,6372 
6 2,2 1,7787 2 3,5574 
7 2,4 1,6211 2 3,2422 
8 2,6 1,3403 2 2,6806 
9 2,8 0,9380 2 1,8760 
10 3,0 0,4234 1 0,4234 
∑ - - - 27,9587 
 
𝐴𝑡 =
ℎ
2
∙∑ →
0,2
2
∙ 27,9587 = 2,7959 
 
c) Erros 
∆= |𝑉 − 𝑣| = |2,8099 − 2,7959| = 0,014 
𝛿 =
∆
|𝑣|
=
0,014
2,8099
∙ 100 = 0,5% 
 
Exemplo 2: Seja a Integral A=∫ 𝑒𝑥
2
 𝑑𝑥
1
0
, determine o valor da integral pela regra dos 
trapézios, n=5 
 
a) ℎ =
𝑏−𝑎
𝑛
=
1−0
5
= 0,2 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
2
 
 
i xi yi * trapézios 
0 0 1 1 1