Introdução à Matemática Financeira

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Módulo 1 Unidade 3
Introdução a Matemática Financeira
Introdução
Um simples conhecimento de porcentagem permite ao cidadão entender o
que seria indicadores estat́ısticos (medida usada para traduzir quantitativa-
mente um conceito social abstrato e informar algo sobre determinado aspecto
da realidade social, para fins de pesquisa). Temos ı́ndices ou taxas para medir
quase tudo: poluição, crescimento demográfico, mortalidade infantil, desem-
prego, inflação, etc. As questões financeiras fazem parte do dia a dia de cada
famı́lia. O consumidor sabe avaliar se é correto o reajuste das mensalidades
pagas ou qual é a taxa de juros cobrada nos financiamentos?
O objeto da Matemática Financeira é o estudo das relações formais que li-
gam quantidades monetárias que são trocadas em distintos pontos no tempo.
Embora historicamente o conceito de que o dinheiro seja produtivo no sentido
que seu empréstimo faça jus a uma certa remuneração, nem sempre tenha
sido aceito, tal prática é quase que universal nas transações corrente. É pois,
o objetivo de Matemática Financeira o de precisamente determinar o valor
das remunerações de empréstimos ou investimento. Em outras palavras, seu
objetivo pode ser descrito como sendo a evolução do dinheiro ao longo do
tempo.
Porcentagem
Freqüentemente, ouvimos expressões como:
O rendimento da caderneta de poupança em julho foi de 0,7%
Desconto de 10% na semana do Natal.
O ı́ndice de reajuste salarial da categoria é de 8%.
A inflação de dezembro foi de 1,2%.
Os preços foram majorados em 5%.
Essas expressões envolvem uma razão especial denominada porcentagem
ou percentagem. A aplicação do estudo da percentagem consiste em compa-
rar duas razões, usando a proporção direta e uma das razões da proporção é
uma fração de denominador 100.
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Exemplos:
1) Numa liquidação, o preço de uma mercadoria que era de R$350,00
sofre um desconto de 15%. Qual será o valor do desconto?
Porcentagem Valor
100% 350
15% x
Veja que temos uma proporção direta, pois se diminui no percentual di-
minui o valor.
100
15
=
350
x
⇒ 100x = 350.15 ⇒ 100x = 5250 ⇒ x =
5250
100
⇒ x = 52, 50
reais
2) Uma loja vendia um determinado produto por R$80,00. O preço foi
reajustado em R$16,00. Qual foi a porcentagem de aumento?
Porcentagem Valor
100% 80
x% 16
100
x
=
80
16
⇒ 80x = 1600⇒ x =
1600
80
⇒ x = 20%.
Juros
Definições:
1) Juro é a quantia que se paga (ou se recebe) a mais pelo empréstimo
ou investimento de um valor em dinheiro, por um determinado peŕıodo de
tempo. O valor emprestado é chamado capital ou principal e o valor no final
do empréstimo de montante.
Usaremos as letras C(ou P ), M e J para representar o Capital (ou prin-
cipal), o montante e o juro, respectivamente.
Então Juros = Montante− Capital ou seja J = M − C.
2) Taxa de juro é a taxa de crescimento do capital, depende do peŕıodo do
empréstimo ou investimemto e é acertada (negociada) entre as partes (credor
e devedor).
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A taxa será representada por: taxa =
Montante− Capital
Capital
ou seja
i =
M − C
C
. Portanto montante = taxa.capital + capital logo temos que
M = Ci + C ⇒M = (1 + i).C
Exemplos:
1) Por um empréstimo de 80 reais paga-se 90 reais. Qual é a taxa de
juros da operação?
Solução:
i =
90− 80
80
= 0, 125 logo a taxa de juro é de 12,5%.
2) Qual é o montante após um mês, de 150 reais emprestados a 15% ao
mês?
Solução: M = (1 + i)C = (1 + 0, 15).150 = 172, 50 reais.
3) Na compra de uma roupa de 50 reais José pagou 25 reais à vista e 30
reais um mês depois. Qual é a taxa de juros da operação?
Solução:
A d́ıvida de José é a diferença entre o valor da roupa e o pagamento feito
à vista, ou seja, 25 reais. Assim, i =
30− 25
25
= 0, 2 logo a taxa de juro é de
20%.
Juros simples e Composto
Exemplo:
Se um banco empresta à taxa de 10% ao mês, quanto se deve pagar ao
banco por um empréstimo de 200 reais por um peŕıodo de dois meses? Temos
dois procedimentos a analisar:
1o) a taxa de juros em cada peŕıodo incide sempre sobre o capital em-
prestado.
Assim, em cada mês a taxa de juros incide sobre os 200 reais e o juro
é 10% de 200 ou seja,
10
100
.200 = 20 e por 2 meses J = 2 × 20. Logo,
M = C + J = 200 + 2× 20 = 240 reais.
2o) A taxa de juro em cada peŕıodo incide sobre o montante do peŕıodo
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anterior. Ora, no final do primeiro mês o principal de 200 reais acrescido do
juro de 20 reais transforma-se em M1 = 200 + 20 = 220 reais. Se a operação
terminasse áı, dispor-se-ia de 220 reais que seria novamente emprestado a
taxa mensal de 10%. O valor do juro cobrado no segundo mês é 10% de 220
e no final do 2o mês o montante é M2 = 220 +
10
100
.220 = 242 reais.
A diferença entre os dois racioćınios é que no primeiro caso (juris simples),
os juros de um determinado peŕıodo não são incorporados ao principal para
que essa soma sirva de base de cálculo dos juros do peŕıodo seguinte, o que
acontece no segundo caso (juros compostos).
Regime de juros simples
No regime de juros simples os juros de cada peŕıodo são calculados sempre
sobre o mesmo principal. Em cada um dos n peŕıodos o juro J é i% de C,
J = C.i e, portanto por n peŕıodos o montante é Mn = C+C.i.n = (1+in).C
e o juro é J = C.i.n.
A aplicação dos juros simples é muito limitada, tem apenas algum sentido
em um contexto não-inflacionário e no curt́ıssimo prazo.
Regime de juros compostos
O regime de juros compostos é o mais comum no dia-a-dia, no sistema
financeiro e no cálculo econômico. Nesse regime os juros gerados a cada
peŕıodo são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do peŕıodo
seguinte. Ou seja, o juro em cada peŕıodo incide sobre o montante do peŕıodo
anterior. Denotando por Mn o montante correspondente a n peŕıodos temos:
M1 = (1 + i).C
M2 = (1 + i).M1 = (1 + i)(1 + i).C = (1 + i)2.C
M3 = (1 + i).M2 = (1 + i)(1 + i)2.C = (1 + i)3.C
.
.
Mn = (1 + i)n.C ⇒ J = [(1 + i)n − 1]C.
Exemplos:
1) Regina toma emprestado 1000 reais à taxa de 10% ao mês, por três
meses. Qual é a divida de Cristina no regime de juro simples e de juro
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composto?
Solução:
Juros Simples: = (1 + 3× 0, 10).1000 = 1300 reais.
Juros Composto: M = (1 + 0, 1)3.1000 = 1, 331.1000 = 1331 reais.
2) Um certo capital é emprestado à taxa de 8% ao mês. Calcule as taxas
de juros correspondentes ao peŕıodo de seis meses nos regimes de juros simples
e compostos.
Solução:
No regime de juro simples: M = (1 + 6 × 0, 08).C como J = M − C ⇒
J = C + 0, 48C − C = 0, 48C, portanto a taxa é 48%.
No regime de juro composto: M = (1 + 0, 08)6.C como J = M − C ⇒
J = 1, 086C − C = 0, 5868C, portanto a taxa é 58,68%.
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