Arbitrage Pricing Theory - Teoria do apreçamento por arbitragem

Economia I

•
USP-RP

floraarodriguess
17/05/2024
Prévia do material em texto
Arbitrage Pricing Theory
Teoria do apreçamento por arbitragem
Sérgio Kannebley Jr.
USP - Ribeirão Preto
October 26, 2023
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 1 / 56
Sumário
1. Introdução
2. Modelos de Fatores
3. Teoria de Precificação por Arbitragem
4. Carteiras bem diversificadas
5. Retorno esperados em carteiras diversificadas
6. Carteiras de Acompanhamento de fatores (Tracking Portfolio)
7. APT para Valores Mobiliários individuais
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 2 / 56
Introdução
Apreçamento por Arbitragem
Definição: Negociação de ativos com desequiĺıbrios temporários de
preços por meio da compra e venda simultâneas de ativos
equivalentes com o objetivo de obter lucro sem risco
Prinćıpio básico da teoria do mercado de capitais: mercados de ativos
satisfazem a “condição de não arbitpreços de equiĺıbrio de mercado
são racionais, no sentido queragem”
Modelos Multifatores ideia multifacetada da natureza do risco
sistemático
descrever e quantificar os diferentes fatores que afetam a taxa de
retorno de um ativo durante um peŕıodo de tempo
Modelos multifatores são úteis para gestão de riscos:
▶ medem a exposição a vários riscos macroeconômicos (Fatores de
Riscos)
▶ permitem que carteiras de hedge sejam formadas para cada um dos
riscos identificados
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 4 / 56
Introdução
No modelo de fatores o risco pode ser decomposto em dois
componentes:
▶ Riscos sistemáticos(comum para muitos ativos);
▶ Riscos não-sistemáticos(espećıfico para ativos individuais).
A diversificação elimina o risco não sistemático
Em carteiras diversificadas o retorno, r̄p depende apenas de fatores
sistemáticos(arbitragem, caso contrário).
As carteiras advém de ativos de risco → Para ”quase todos” os ativos
arriscados.
▶ Retorno esperado r̄i depende somente de fatores sistemáticos.
Resultado final: Modelo para precificar ativos pela sua exposição a
riscos.
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 5 / 56
Introdução
A incerteza no retorno de ativos tem duas origens: Fatores comuns e
choques espećıficos de firma.
Fatores comuns:
▶ Proxy para condições econômicas ou eventos que afetam todas as
empresas e investidores.
⋆ Tais fatores podem incluir taxas de juros, preço do petróleo, choques
de poĺıticas governamentais, etc.
▶ Exemplo: Se o retorno em um ativo aumenta quando a inflação
aumenta, esse ativo pode ser usado para proteger (hedge) da incerteza
na taxa de inflação futura → menor prêmio de risco como um
resultado da demanda extra dos investidores sobre esse ativo.
▶ Representar riscos sistemáticos que não podem ser diversificados.
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 6 / 56
Introdução
Eventos espećıficos de firma:
▶ Tais eventos podem incluir inovações de novos produtos, ações
judiciais, mudanças na administração, greves de trabalho...
▶ Esses riscos espećıficos de firma ou idiossincráticos podem ser
diversificados.
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 7 / 56
Modelo de único fator
Um grande número de ativos de risco, i = 1, 2, 3, ...
▶ ri é o retorno (aleatório).
▶ E (ri ) = r̄i é o retorno esperado do ativo i.
Os retornos são dirigidos por um fator comum, sistemático e choques
idiossincráticos.
F̃ é um fator sistemático que afeta a maioria dos retornos de
ativos(e.g., retorno na carteira de mercado).
f̃ é o componente de eventos não antecipados (inovações) deste fator
comum: f̃ = F̃ − F̄.
Choque idiossincrático ao ativo i : ϵi com média zero , E[ϵi] = 0.
Uma suposição chave: ϵi são espećıficos de ativos, i. e., ϵi não são
correlacionados entre os ativos:
Cov(ϵiϵj) = 0 para i ̸= j (1)
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 9 / 56
Modelo de único fator
Descreva os retornos de ativos como
ri = r̄i︸︷︷︸
retorno esperado
+ βi f̃ + ϵi︸ ︷︷ ︸
risco
(2)
Variância de retorno
σ2
i = β2
i σ2
f︸︷︷︸
risco sistemático
+ Var(ϵi )︸ ︷︷ ︸
risco idiossincrático
(3)
Covariância de retorno
Cov(ri, rj) = Cov(r̄i + βi f̃ + ϵi, r̄j + β j f̃ + ϵj) = βiβ jσ
2
f (4)
pois Cov( f̃ , ϵi) = Cov(ϵi, ϵj) = 0.
A exposição de fator determina quantos retornos de ativos se
co-movimentam.
O risco idiossincrático afeta a variância de retorno individual.
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 10 / 56
Exemplo - Modelo de Fator Único
Considere um modelo de Fator Único: a incerteza do retorno dos
ativos tem duas fontes:
1 fator comum (fator macroeconômico) com valor esperado zero →
mede a nova informação sobre o mercado.
2 eventos espećıficos do ativo.
Assim, o modelo de Fator Único é dado por:
ri = E (ri ) + βi f̃ + ϵi (5)
f̃ = desvio do fator comum do seu valor esperado (média zero)
O retorno observado do ativo i é igual ao seu valor esperado E (ri ),
mais um valor aleatório (com média zero) atribúıdo a eventos
econômicos não antecipados, somado a um valor aleatório (com
média zero) atribúıdo a eventos espećıficos
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 11 / 56
Modelos Multifatores
Modelos Multifatores
Permitem descrever e quantificar os diferentes fatores que afetam a
taxa de retorno de um ativo durante um peŕıodo de tempo
Modelos multifatores são úteis para gestão de riscos: medem a
exposição a vários riscos macroeconômicos e permitem que carteiras
de hedge sejam formadas para cada um dos riscos identificados
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 12 / 56
Modelos Multifatoriais
Um modelo multifatorial especifica que
rp = r̄p + βp,1 f̃1 + βp,2 f̃2 + ...+ βp,K f̃K︸ ︷︷ ︸
componente sistemático
+ϵ̃p (6)
Os f̃1, f̃2, ..., f̃K são fatores comuns.
▶ Fatores comuns podem ser correlacionados entre si.
▶ Os βi,1, βi,2, . . . , βi,K são as sensibilidades fatoriais do ativo (também
conhecidas como factor loadings(cargas fatoriais) ou betas
fatoriais.
Os erros são espećıficos de firma:
Cov(ϵ̃i, ϵ̃j) = 0 para todo i ̸= j (7)
Assumimos que todos os choques de fator têm média zero,
E[ f̃k] = 0, k = 1, 2, ...,K.
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 13 / 56
Exemplo: um modelo de 2 fatores
Suponha que as únicas duas fontes sistemáticas de risco são:
▶ Mudanças imprevistas no crescimento econômico; e
▶ Mudanças imprevistas nos preços de energia.
O retorno em qualquer ação responde a ambas fontes de choques
macro e a choques espećıficos de firma:
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 14 / 56
Exemplo: um modelo de 2 fatores
ri = r̄i + βi,GR f̃GR + βi,EN f̃EN + ϵi (8)
Um instalador de painel solar:
▶ Fluxos de caixa têm exposição moderada ao crescimento econômico →
βGR é positivo.
▶ Beneficia-se de aumentos no custo da energia → βEN é provavelmente
positivo e grande.
Uma empresa rodoviária de longas distâncias.
▶ Fluxos de caixa são muito senśıveis à atividade econômica → βGR é
provavelmente positiva e grande.
▶ Senśıvel a custos de energia → βEN é negativo e grande.
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 15 / 56
Teoria do Precificação por Arbitragem (APT)
Proposições do APT:
Os retornos de um ativo podem ser descritos pelo modelo de fatores;
Há ativos suficientes para diversificar o risco idiossincrático; e
Mercados de ativos com bom funcionamento não permitem a
persistência de oportunidades de arbitragem
Uma oportunidade de arbitragem surge quando um investidor pode
ganhar lucros sem risco, sem fazer um investimento ĺıquido no ativo
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 17 / 56
Teoria do Precificação por Arbitragem (APT)
Lei do Preço Único: se dois ativos são equivalentes em todos os
aspectos economicamente relevantes, então eles devem ter o mesmo
preço de mercado
Arbitradores: investidores que aproveitam as oportunidades de
arbitragem: compram o ativo no mercado em que está mais barato e,
simultaneamente, vendem o no mercado onde está mais caro →
ganham a diferençade preço sem risco e sem fazer investimento
ĺıquido
Ao comprar o ativo no mercado de menor preço: aumentam o preço
Ao vender o ativo no mercado de maior preço: reduzem o preço
Operação de arbitragem se repete até que o preço se iguale e a opor-
tunidade de arbitragem deixe de existir
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 18 / 56
Teoria do Precificação por Arbitragem (APT)
A ideia de que os preços de mercado se movem até extinguir as
oportunidades de arbitragem é um dos conceitos mais
fundamentais da teoria do mercado de capitais;
▶ Sua violação indicaria a forma mais ”grosseira” de não racionalidade
dos mercados.
A propriedade cŕıtica de um portfólio de arbitragem livre de risco é
que qualquer investidor, independentemente de sua aversão ao risco
ou riqueza, desejará ter uma posição infinita dele;
▶ Em razão dessa posição extrema os ativos ou subirão, ou descerão de
preços até a que as oportunidades de arbitragem desapareçam →
ativos satisfazem a condição de não-arbitragem.
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 19 / 56
Teoria de Precificação por Arbitragem (APT)
O CAPM é um modelo de argumento por dominância:
▶ Quando o equiĺıbrio é violado muitos investidores são necessários para
restabelecer o equiĺıbrio.
▶ A suposição de que os investidores são otimizadores de média-variância
é fundamental.
▶ Os ajustes são limitados de acordo com o grau de aversão ao risco dos
investidores.
▶ A agregação desses ajustes limitados de portfólio produz o retorno ao
equiĺıbrio.
O argumento de preço de equiĺıbrio por não arbitragem diz que
poucos investidores são necessários para restabelecer o equiĺıbrio:
▶ identificam a oportunidade de arbitragem e mobilizam elevados
montantes para alocar nos ativos, de forma a restabelecer o equiĺıbrio
rapidamente
▶ implicações para os preços dos argumentos de não arbitragem são mais
fortes do que os argumentos de dominância do risco-retorno
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 20 / 56
Carteiras bem diversificadas - Retorno da carteira
O processo de retorno de uma carteira é
rp = r̄p + βp,1 f̃1 + βp,2 f̃2 + ...+ βp,K f̃K + ϵp (9)
onde
r̄p =
N
∑
i=1
wi r̄i, βp,k =
N
∑
i=1
wiβi,k, ϵp =
N
∑
i=1
wiϵi (10)
Pelo fato dos ϵi não serem correlacionados, a variância não
sistemática de uma carteira é
Var(ϵp) = Var
( N
∑
i=1
wiϵi
)
=
N
∑
i=1
w2
i Var(ϵi) (11)
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 22 / 56
Carteiras bem diversificadas
Considere uma carteira igualmente ponderada com wi = 1/N
Seja σ2
i a variância média não sistemática:
σ2
i =
1
N
N
∑
i=1
Var(ϵi ) (12)
Logo, a variância idiossincrática da carteira é
Var(ϵp) =
1
N
σ2
i (13)
Quando N vai a infinito → variância não sistemática vai a zero!
Esse resultado não exige que as carteiras tenham pesos iguais. A
conclusão é válida enquanto os pesos das carteiras sejam
relativamente uniformemente distribúıdos pelos ativos.
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 23 / 56
Carteiras bem diversificadas
O risco espećıfico de ativo não é correlacionado entre os ativos,
podendo ser diversificado ao manter grandes carteiras diversificadas.
Assim, em uma carteira bem diversificada a variância não
sistemática, Var(ϵp) será insignificante.
Em uma carteira bem diversificada, os efeitos espećıficos de firma
tendem a se anular na média:
ϵp ≈ 0 (14)
Com isso, apenas o risco sistemático(de fator) estará presente:
rp = r̄p + βp,1 f̃1 + βp,2 f̃2 + ...+ βp,K f̃K (15)
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 24 / 56
Carteiras bem diversificadas
Vamos considerar por simplicidade um modelo com um único fator
em que ϵp ≈ 0, então:
rp = E (rp) + βp f̃ (16)
Supondo βp > 0
▶ Se f̃ = 0: o investidor não tem risco sistemático → valor esperado do
portfolio é dado pelo seu retorno (intercepto da reta do retorno)
▶ Se f̃ > 0: retorno do portfolio excede seu valor esperado
Se f̃ < 0: retorno do portfolio é menor do que seu valor esperado
▶ Logo: o retorno do portfolio é função do fator sistemático e pode ser
representado pela reta descrita pela equação acima
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 25 / 56
Carteiras bem diversificadas
Em um mundo de um fator único, todos os pares de portfólios são
perfeitamente correlacionados.
Considere um segundo portfólio q, com rq = E (rq) + βq f̃ . Então:
σp = βpσf ; σq = βqσq (17)
cov(rp, rq) = cov(βp f̃ , βq f̃ ) = βpβq f̃
2 (18)
ρpq =
cov(rp, rq)
σpσq
= 1 (19)
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 26 / 56
Carteiras bem diversificadas
Considere duas carteiras:
▶ Retornos anuais, começando em 1926. Fonte: Kenneth R. French’s
Data Library.
▶ P1 contém as maiores ações americanas, mais de 30% em relação às
ações da NYSE por tamanho( 500 valores mobiliários nos últimos
anos).
▶ P2 possui ações mid-cap (de média capitalização) dos EUA, quase 40%
em relação às ações da NYSE em tamanho( 1000, recentemente).
Estas carteiras são bem diversificadas, e não se sobrepõem em
holdings.
Se a distribuição de retorno fosse descrita por um modelo de fator
único, iriamos observar uma relação linear aproximada entre as duas
carteiras
rP,i = r̄P,i + βP,i f̃ , i = 1, 2 (20)
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 27 / 56
Carteiras bem diversificadas
Exemplo: retornos de carteiras classificadas por tamanho
Ambas as carteiras são expostas ao choques ao longo de todo o
mercado, que representam a maior parte da variação de retorno para
cada carteira.
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 28 / 56
Executando arbitragem
Suponha um mercado de um único fator, em que um portfólio bem
diversificado, M, represente o fator de mercado, F; na equação:
Ri = E (Ri ) + βiF + ϵi
O excesso de retorno de qualquer ativo é dado por:
Ri = αi + βiRM + ϵi (21)
Um portfólio bem diversificado, P, com ϵp ≈ 0, tem o excesso de
retorno dado por:
RP = αP + βPRM (22)
E (RP) = αP + βPE (RM) (23)
Agora suponha que uma análise fundamentalista indique que o
portfólio P tenha um afa positivo (αP > 0) e que o prêmio de risco
do portfólio de mercado também tenha sido estimado.
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 29 / 56
Executando a Arbitragem
Dado que ϵp ≈ 0 e ϵM ≈ 0 resta apenas o risco sistemático, que vem
de M e dos β´s (note que βM = 1).
Então é posśıvel eliminar o risco sistemático por meio da construção
de um portfólio zero-beta, Z, a partir dos portfólios M e P. Para isso:
1 Selecione pesos wP e wM = 1− wP , tal que βZ = 0. Isto é:
βZ = wPβP + (1− wP )βM = 0
βM = 1
wP =
1
1− βP
; wM = 1− wP =
−βP
1− βP
2 Dado que αM = 0, então αZ = wPαP = 1
1−βP
αP ;
3 Como βZ = 0, então E (RZ ) =
1
1−βP
αP
4 Se βP < 1 então E (RZ ) > 0 → toma emprestado a rf e investe em Z;
5 Se βP > 1, então E (RZ ) < 0 → vende Z e investe a rf .
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 30 / 56
Exemplo de Arbitragem
Exemplo: fator sistemático único, duas carteiras bem diversificadas.
Estratégia de arbitragem:
▶ βZ = wAβA + (1− wA)βB = 0.
▶ Pegar emprestado $1;
▶ Vender a descoberto(short) $1 da carteira B;
▶ Investir $2 da carteira A;
▶ Sem risco(zero carga de fator), zero investimento e payoff positivo.
Há arbitragem nesse mercado! Payoff=
−(1 + r f ) × $1 − (1 + r f + 8%+ 2.0 f̃ )
×$1 + (1 + r f + 5%+ 1.0 f̃ ) × $2 = $0.02
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 32 / 56
Relação de precificação do APT
Retornos excedentes esperados e carga fatorial devem ser linearmente
relacionados.
Para um modelo de único fator, retornos excedentes esperados em
carteiras diversificadas devem ser proporcionais à carga de fator:
r̄p − r f = λbp (24)
Suponha que esse não seja o caso:
r̄q − r f = λ′bq, λ′ ̸= λ, bq ̸= 0 (25)
Crie uma negociação de arbitragem:
▶ Venda a descoberto $1 da carteira p;
▶ Compre $(bp/bq) da carteira q;
▶ Pegue emprestado $(bp/bq− 1)
Payoff = −(1+ rf + λbp + bp f̃ )× 1+ (1+ rf + λ′bp + bp f̃ )×
(bp/bq)− (1+ rf )× (bp/bq − 1) = (λ′ − λ)bp ̸= 0
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 33 / 56
Relação de precificação do APT
As oportunidades de arbitragem não podem existir em um mercado
sem fricção
Para evitar arbitragem, os retornos excedentes esperados (prêmios de
risco) em todas as carteiras bem diversificadas devem satisfazer
r̄p − rf = λ x bp (26)
Prêmio de risco = Preço do risco x Quantidade de risco
λ nos diz quanto de compensação cada um ganha no mercado por
uma unidade de exposição ao fator de risco.
λ é chamado de preço de mercado do risco do fator, ou do prêmio
de risco de fator.
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 34 / 56
APT e Diversificação de Carteiras
O gráfico abaixo mostra o retorno de um portfolio bem diversificado
(portfolio A), com bA = 1
O portfolio A tem retorno esperado igual a 10%, sendo sua equação
dada por:
rA = 0, 10+ 1f̃ (27)
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 35 / 56
A equação de não arbitragem do APT
Considere agora que outro portfolio bem diversificado está dispońıvel
(portfolio B), com retorno esperado de 8% e seu fator beta também é
igual a 1
rA = 0, 08+ 1f̃ (28)
Comparando as retas dos retornos de A e de B podemos perceber que
os retornos de A sempre serão superiores a B, independentemente do
que aconteça com os fatores sistemáticos
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 36 / 56
Carteiras bem diversificadas
Nessa situação, há oportunidade de arbitragem:
▶ Vender $1 milhão de B; e
▶ Comprar $1 milhão de A → investimento ĺıquido igual a zero com
lucro, sem risco, de 20.000:
Essa estratégia será feita infinitas vezes até que a discrepância entre
os dois portfolios desapareça
Portfolios bem diversificados com betas iguais devem ter os mesmos
retornos esperados quando o mercado está em equiĺıbrio, ou abre-se
oportunidade de arbitragem
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 37 / 56
Executando Arbitragem
A equação do retorno do portfolio nos mostra o prêmio de risco do
portfolio bem diversificado é proporcional ao beta do fator
sistemático:
rP = E (rP) + βP .f̃ (29)
Considere que o ativo livre de risco tenha retorno de 4% e portfolios
bem diversificados com diferentes betas:
▶ Portfolio C: βC = 0, 5 e E (rC ) = 6%
▶ Portfolio D: composto por 50% portfolio A e 50% do ativo livre de
risco, forma que βD = 0, 5× 0+ 0, 5× 1 = 0, 5 e
E (rD) = 0, 5× 4%+ 0, 5× 10% = 7%
Portfolio D tem mesmo beta de C, mas retorno esperado maior,
abrindo espaço para operação de arbitragem!
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 38 / 56
Carteiras bem diversificadas
Para não haver oportunidades de arbitragem, o retorno esperado dos
portfolios bem diversificados devem estar sobre a reta da equação do
retorno esperado em função do beta do fator sistemático F
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 39 / 56
APT, CAPM e Modelo de Índices
A SML para um fator pode ser vista no gráfico abaixo
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 40 / 56
APT, CAPM e Modelo de Índices
Utilizando as condições de não arbitragem, chegamos ao mesmo
resultado do retorno esperado – beta do CAPM, sem os pressupostos
restritivos do CAPM
Esse resultado depende de três pressupostos:
▶ A existência de um Modelo de Fatores para descrever os retornos dos
ativos;
▶ Um número suficiente de ativos para formar portfolios bem
diversificados; e
▶ Ausência de oportunidades de arbitragem.
Diferentemente do CAPM, o APT não exige que o portfolio de
mercado na relação SML seja o verdadeiro portfolio de mercado
▶ Qualquer portfolio de mercado bem diversificado, que esteja sobre a
SML, pode servir como o portfolio para benchmark
▶ o ponto é que os investidores nem sempre trabalham com portfólios
bem diversificados. Isto deve aumentar o grau de dispersão em torno
da SML.
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 41 / 56
APT, CAPM e Modelo de Índices
APT não requer que os investidores sejam otimizadores
média-variância. Apenas que existam alguns arbitradores sofisticados.
O APT fornece mais razões para utilizar o modelo de ı́ndices para
implementar a relação SML (desde que o portfolio de ı́ndice utilizado
seja suficientemente bem diversificado)
O retorno esperado de um portfolio bem diversificado é proporcional
ao seu beta.
▶ Se essa relação é válida para todos os portfolios bem diversificados,
então ela deve ser satisfeita por quase todos os ativos individuais
▶ o fato de não ser plenamente aplicável a ativos individuais é o que não
torna o APT totalmente superior ao CAPM.
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 42 / 56
Relação APT para modelos multifatores
A relação de apreçamento APT pode ser generaliza para múltiplos
fatores
r̄p − rf = λ1βp,1 + λ2βp,2 + ...+ λK βp,K (30)
Retorno excedente esperado em uma carteira diversificada é
determinado por suas cargas nos fatores comuns:
▶ Exposições aos fatores de risco medem o risco da carteira;
▶ A natureza multidimensional do risco: a exposição a cada fator carrega
seu próprio prêmio de risco.
Intuição: É posśıvel construir múltiplas carteiras com as mesmas
cargas fatoriais - todas essas devem ter o mesmo prêmio de risco para
evitar arbitragem.
Portanto, o prêmio de risco da carteira é determinado por suas cargas
fatoriais (β´s).
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 43 / 56
Prêmios de risco de fator
Podemos usar a relação de ATP
r̄p − rf = λ1βp,1 + λ2βp,2 + ...+ λK βp,K (31)
para recuperar os prêmios de risco para cada fator conforme impĺıcito
nos retornos esperados de outros ativos.
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 44 / 56
Recuperando os prêmios de risco dos retornos do portfólio
Considere um exemplo com fatores K = 2: choque de crescimento
econômico (GR) e choque de preço de energia (EN).
Comece com a relação geral de APT
r̄p − rf = λ1βp,1 + λ2βp,2 + ...+ λK βp,K (32)
Observe os prêmios de risco em duas carteiras bem diversificadas, A e
B:
Quer recuperar os prêmios de risco de fator para GR e EN.
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 45 / 56
Recuperando os preços de risco de retornos de carteira
A relação do APT implica em duas equações para os retornos
excedentes esperados nas carteiras A e B:
12%− 2%︸ ︷︷ ︸
prêmio de risco
= 1.0︸︷︷︸
carga de fator
x λGR︸︷︷︸
preço do risco
+ 1.25︸︷︷︸
carga de fator
x λEN︸︷︷︸
preço do risco
(A)
(33)
10%− 2% = 2.0λGR − 0.50λEN (B) (34)
Resolvendo essas equações, temos
λGR = 5%,λEN = 4%. (35)
Todas as outras carteiras devem possuir retornos esperados
consistente com esses prêmios de fator, e.g., se a carteira C tem
cargas fatoriais bGR = 1.0, e bEN = 0.5, então
r̄ − rf = 1.0λGR + 0.5λEN = 7% (36)
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 46 / 56
Fatores de Portfólio
Considere um caso especial de um modelo de único fator.
As carteiras de imitação de fatores são carteiras com fator de
exposição unitário, βP = 1 (zero para os demais fatores).
O prêmio de risco na carteira imitadora de fatores equivale ao prêmio
de risco de fator.
Esta carteira é perfeitamente correlacionada com o fator - pode-se
usá-la ao invés do fator na relação do APT.
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 48 / 56
Múltiplos fatores - Fatores de Portfólio
Um modelo com fatores K e P1,P2, . . . ,PK portfólios linearmente
independentes .
Construa carteiras imitadoras de fatores: prêmio de risco de cada
fator é igual ao excesso de retorno esperado na carteira de imitação
de fatores.
Uma carteira imitadora de fatores para o fator j é uma carteira bem
diversificada com βj = 1 e βi = 0 para i ̸= j .
Uma carteira de imitação de fatores para o fator k com pesos
(w0,w1,w2, ...,wK ),w0 no ativo livre de risco, satisfaz
w1︸︷︷︸
peso da carteira P1
× bP1,1︸︷︷︸
carga fatorial de P1 no fator1
+w2bP2,1 + ...+ wKbPK,1 = 0
(37)
w1βP1,j + w2βP2,j + ...+ wKβPK,j = 1 (j) (38)
w1βP1,K + w2βP2,K + ...+ wKβPK,K = 0 (K) (39)
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 49 / 56
Múltiplos fatores - Fatores de Portfólio
Exemplo
Imite o choque de Energia(EN) usando as carteiras A e B: pesos
wa,wb.
1.0wA + 2.0wB = 0(GR) (40)
1.25wA − 0.50wB = 1(EN) (41)
Resultado: wA = 0.67,wB = −0.33.
O prêmio de risco no fator de Energia é, então,
λEN = 10%wA + 8%wB = 4% (42)
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 50 / 56
APT para Valores Mobiliários individuais
Para qualquer carteira p bem diversificada com sensibilidades de fator
bp,1, ..., bp,K , o prêmio de risco equivale a
r̄p − rf = λ1βp,1 + λ2βp,2 + ...+ λK βp,K (43)
onde λn é o prêmio de risco no fator nth.
Esse resultado também se aplica para quase todos os valores
mobiliários individuais.
Isso é a Teoria do Apreçamento por Arbitragem(APT),
desenvolvida por Stephen Ross em 1976.
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 52 / 56
APT para Valores Mobiliários individuais: Intuição
Suponha que vários ativos violam a relação do APT.
Com isso, pode-se encontrar muitos ativos para os quais αi ̸= 0 em
r̄i − rf = αi + λ1βi ,1 + λ2βi ,2 + ...+ λK βi ,K (44)
Suponha que vários ativos têm um alfa positivo (valores negativos
valem analogamente).
Combine-os em uma carteira p∗ bem diversificada e igualmente
ponderada:
r̄p∗ − rf = α + λ1βp∗,1 + λ2βp∗,2 + ...+ λK βp∗,K (45)
onde α é o alfa médio entre os ativos em p∗.
Isso contradiz os resultados do APT para carteiras diversificadas,
logo, não conseguimos achar os vários ativos que violam o APT.
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 53 / 56
APT Multifatores
A equação do retorno esperado para o caso multifatores é um
generalização da SML para um único fator
Da mesma forma, a extensão da equação do retorno esperado do
portfolio para os ativos individuais é a mesma do modelo com um
único fator
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 54 / 56
APT Multifatores
Exemplo:
Considere dois portfolios de fatores com retornos esperados
E (r1) = 10% e E (r2) = 12%. A taxa de retorno do ativo livre de
risco é de 4%, de forma que o prêmio de risco do portfolio 1 é de 6%
e do portfolio 2 é de 8%.
Seja o portfolio A bem diversificado, com beta para o primeiro fator
igual a 0,5 e para o segundo fator igual a 0,75, então:
▶ Prêmio de risco atribúıvel ao fator 1 é dado por:
βA1x [E (r1)− rf ] = 0, 5x0, 06 = 0, 03
▶ Prêmio de risco atribúıvel ao fator 2 é dado por:
βA2x [E (r2)− rf ] = 0, 75x0, 08 = 0, 06
▶ Prêmio de risco total do portfolio A é: 0, 03+ 0, 06 = 0, 09
▶ Retorno total do portfolio A é: 0, 04+ 0, 09 = 0, 13
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 55 / 56
APT Multifatores
Suponha que o retorno observado do portfolio A é de 12%. Qual
operação de arbitragem pode ser montada?
Forme o portfolio Q por meio dos portfolios de fatores com o mesmo
beta de A:
Peso: 50% no primeiro fator, 75% no segundo fator e −25% no ativo
livre de risco
Compre $1 de Q e venda $1 de A; o retorno será igual a:
$1 x E (rQ)− $1 x E (rA) = $1 x 0, 13− $1 x 0, 12 = $0, 01 (46)
Sérgio Kannebley Arbitrage Pricing Theory FEA-RP 56 / 56
	
	Introdução
	Modelos de Fatores
	Teoria de Precificação por Arbitragem
	Carteiras bem diversificadas
	Retorno esperados em carteiras diversificadas
	Carteiras de Acompanhamento de fatores (Tracking Portfolio)
	APT para Valores Mobiliários individuais