Lista_1 - microeconomia

Microeconomia I

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18/05/2024

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PPGE - FEARP/USP Microeconomia I
Lista de Exerćıcios 1
Professor: Fábio Barbieri
Professor auxiliar: Marcos Vinicius D’Emilio
Exerćıcio 1 (Mas-Colell - 1.B.1 e 1.B.2) Seja ≿ uma relação de preferência racional e sejam x, y e z planos de consumo.
Prove que:
(a) se x ≻ y ≿ z, então x ≻ z;
(b) ≻ é irreflexivo (não existe x tal que x ≻ x) e transitivo (se x ≻ y e y ≻ z, então x ≻ z);
(c) ∼ é reflexivo (x ∼ x para todo x), transitivo (se x ∼ y e y ∼ z, então x ∼ z) e simétrico (x ∼ y então y ∼ x);
Exerćıcio 2 (JeR 1.4) Também prove que se x ∼ y ≿ z, então x ≿ z.
Exerćıcio 3 (Mas-Colell - 3.B.1) Mostre o seguinte:
(a) se ≿ é fortemente monótona, então é monótona;
(b) se ≿ é monótona, então ela atende a não-saciedade local.
Exerćıcio 4 (JeR - 1.7) Prove que, sob os axiomas 1, 2 e 5’, o conjunto ≿ (x0) é um conjunto convexo para qualquer
plano de consumo x0 ∈ X.
Exerćıcio 5 (JeR - 1.8) Esboce um mapa de conjuntos de indiferença que são todos linhas paralelas, retas, negativamente
inclinadas e com preferência aumentando para nordeste (mapa como o da Figura 1.6, mas com mais de uma linha,
representando diferentes conjuntos de indiferença). Sabemos que preferências como essas satisfazem os axiomas 1, 2, 3
e 4. Prove que eles também satisfazem o Axioma 5’. Prove que elas não satisfazem o Axioma 5.
Exerćıcio 6 (Mas-Colell - 1.B.3) Mostre que se f : R → R é uma função estritamente crescente e u : X → R é uma
função de utilidade representando a relação de preferência ≿, então a função v : X → R definida por v(x) = f(u(x)) é
também uma função de utilidade representando a relação de preferência ≿.
Exerćıcio 7 (Wang Susheng - Proposição 2.2). Mostre a seguinte proposição. Seja u uma função de utilidade que
representa a relação de preferência ≿, para qualquer f : R → R estritamente crescente, v ≡ f(u) também é uma função
de utilidade para a mesma relação de preferência. A função de utilidade é única até uma transformação estritamente
crescente.
Exerćıcio 8 (Mas-Colell - 1.B.4) Considere a relação de preferência racional ≿. Mostre que se u(x) = u(y) implica
x ∼ y e se u(x) > u(y) implica x ≻ y, então u(.) é uma função utilidade representando ≿.
Exerćıcio 9 (JeR - 1.12) Suponha que u(x1, x2) e v(x1, x2) sejam funções de utilidade. Prove que
(a) se u(x1, x2) e v(x1, x2) são ambos homogêneos de grau r, então s(x1, x2) ≡ u(x1, x2) + v(x1, x2) é homogêneo de
grau r;
(b) se u(x1, x2) e v(x1, x2) são quase côncavas, então m(x1, x2) ≡ min{u(x1, x2), v(x1, x2)} também é quase côncava.
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PPGE - FEARP/USP Microeconomia I
Exerćıcio 10 Mostre que a função f(x, y) = min{ax, by} é quase-côncava se a, b > 0
Exerćıcio 11 (Mas-Colell - 3.C.2) Mostre que se u : Rn
+ → R é uma função cont́ınua representando a relação ≿, então
≿ é cont́ınua (definição de relação cont́ınua: Axioma 3 do JeR ou Definição 3.C.1 do Mas-Colell).
Exerćıcio 12 (Mas-Colell, proposition 3.C.1; JR, 2001, theorem 1.1) Se a relação de preferência ≿ sobre X for completa,
transitiva e cont́ınua, então existe uma função utilidade cont́ınua u : X → R que representa a relação de preferência ≿
em X.
Exerćıcio 13 Mostre que se uma relação de preferências satisfaz a propriedade 4 (monotonicidade estrita), então
também satisfaz a propriedade 4’(não-saciedade local). Pode-se afirmar que não saciedade local implica em monotoni-
cidade estrita? Justifique.
Referências.
JEHLE, G. A.; RENY, P. J. Advanced microeconomic theory. 2. ed. New York: Addison-Wesley, 2001.
MAS-COLELL, A.; WHINSTON, M. D.; GREEN, J. R. Microeconomic theory. New York: Oxford University Press,
1995.
WANG, SUSHENG et al. Microeconomic theory. 4. edition. Springer Singapore, 2018.
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