Capítulo 3 - 12ª Microeconomic Theory Basic Walter Nicholson Tradução

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Capítulo 3 - Preferências e Utilidade
Neste capítulo, examinamos a maneira como os economistas caracterizam as preferências dos indivíduos. Começamos com uma discussão bastante abstrata da "relação de preferência", mas rapidamente nos voltamos para a principal ferramenta dos economistas para estudar as escolhas individuais - a função de utilidade. Vemos algumas características gerais dessa função e alguns exemplos simples de funções utilitárias específicas que encontraremos ao longo deste livro.
3.1 AXIOMAS DE ESCOLHA RACIONAL
Uma maneira de começar uma análise das escolhas dos indivíduos é estabelecer um conjunto básico de postulados, ou axiomas, que caracterizam o comportamento "racional". Eles começam com o conceito de "preferência": um indivíduo que relata que "A é preferido a B" significa que, considerando todas as coisas, ele se sente melhor na situação A do que na situação B. A relação de preferência é assumida ter três propriedades básicas como segue.
I. Integridade. Se A e B são quaisquer duas situações, o indivíduo sempre pode especificar exatamente uma das seguintes três possibilidades:
1. “A é preferível a B,”
2. “B é preferido a A,” ou
3. “A e B são igualmente atraentes.”
Consequentemente, presume-se que as pessoas não ficam paralisadas pela indecisão: elas entendem completamente e sempre podem decidir sobre a conveniência de quaisquer duas alternativas. A suposição também exclui a possibilidade de um indivíduo poder relatar que A é preferido a B e que B é preferido a A. 
II. Transitividade. Se um indivíduo relatar que "A é preferido a B" e "B é preferido a C", ele ou ela também deve relatar que "A é preferido a C."
Esta suposição afirma que as escolhas do indivíduo são internamente consistentes. Tal suposição pode ser submetida a estudo empírico. Geralmente, esses estudos concluem que as escolhas de uma pessoa são de fato transitivas, mas essa conclusão deve ser modificada nos casos em que o indivíduo pode não compreender totalmente as consequências das escolhas que está fazendo. Porque, na maior parte, vamos supor que as escolhas são totalmente informadas (mas veja a discussão da incerteza no Capítulo 7 e nossos problemas em economia comportamental, que estão espalhados por todo o livro), a propriedade de transitividade parece ser uma suposição apropriada a se fazer sobre preferências.
III. Continuidade. Se um indivíduo relatar “A é preferível a B”, então as situações adequadamente “próximas” a A também devem ser preferidas a B.
Esta suposição bastante técnica é necessária se quisermos analisar as respostas dos indivíduos a mudanças relativamente pequenas na renda e nos preços. O objetivo da suposição é descartar certos tipos de preferências descontínuas e cortantes que apresentam problemas para um desenvolvimento matemático da teoria da escolha. Assumir a continuidade não parece arriscar a omissão de tipos de comportamento econômico que são importantes no mundo real (mas consulte o Problema 3.14 para alguns contra-exemplos).
3.2 UTILIDADE
Dadas as premissas de integridade, transitividade e continuidade, é possível mostrar formalmente que as pessoas são capazes de classificar todas as situações possíveis, desde as menos desejáveis até as mais desejáveis.[footnoteRef:1] Seguindo a terminologia introduzida pelo teórico político do século XIX Jeremy Bentham, os economistas chamam isso de utilidade de classificação.[footnoteRef:2] Também seguiremos Bentham dizendo que as situações mais desejáveis oferecem mais utilidade do que as menos desejáveis. Ou seja, se uma pessoa preferir a situação A à situação B, diríamos que a utilidade atribuída à opção A, denotada por U(A), excede a utilidade atribuída a B, U(B). [1: Essas propriedades e sua conexão com a representação de preferências por uma função de utilidade são discutidas em detalhes em Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston e Jerry R. Green, Microeconomic Theory (Nova York: Oxford University Press, 1995).] [2: J. Bentham, Introdução aos Princípios de Moral e Legislação (Londres: Hafner, 1848).] 
3.2.1 Não singularidade das medidas de utilidade
Podemos até anexar números a essas classificações de utilitários; no entanto, esses números não serão exclusivos. Qualquer conjunto de números que atribuirmos arbitrariamente que reflita com precisão a ordem de preferência original implicará no mesmo conjunto de escolhas. Não faz diferença se dizemos que e ou aquilo e . Em ambos os casos, os números implicam que A é preferido a B. Em termos técnicos, nossa noção de utilidade é definida apenas até uma transformação que preserva a ordem ("monotônica").[footnoteRef:3] Qualquer conjunto de números que reflita com precisão a ordem de preferência de uma pessoa servirá. Consequentemente, não faz sentido perguntar "quanto mais A é preferido do que B?" porque essa pergunta não tem uma resposta única. Pesquisas que pedem às pessoas que classifiquem sua “felicidade” em uma escala de 1 a 10 também podem usar uma escala de 7 a 1.000.000. Só podemos esperar que uma pessoa que relata que é um “6” na escala um dia e um “7” no dia seguinte seja realmente mais feliz no segundo dia. Portanto, as classificações de utilidade são como as classificações ordinais de restaurantes ou filmes, usando uma, duas, três ou quatro estrelas. Eles simplesmente registram a conveniência relativa dos pacotes de commodities. [3: Podemos denotar essa ideia matematicamente, dizendo que qualquer classificação numérica de utilidade (U) pode ser transformado em outro conjunto de números pela função fornecendo é a preservação da ordem. Isso pode ser garantido se . Por exemplo, a transformação é a preservação da ordem assim como a transformação . Em alguns pontos do texto e problemas, acharemos conveniente fazer tais transformações para tornar a classificação de um utilitário específico mais fácil de analisar.] 
Essa falta de exclusividade na atribuição de números de utilitários também implica que não é possível comparar utilitários de pessoas diferentes. Se uma pessoa relatar que um jantar de bife oferece uma utilidade de “5” e outra pessoa relatar que o mesmo jantar oferece uma utilidade de “100”, não podemos dizer qual indivíduo valoriza mais o jantar porque eles poderiam estar usando escalas diferentes. Da mesma forma, não temos como medir se a passagem da situação A para a situação B oferece mais utilidade para uma pessoa ou outra. No entanto, como veremos, os economistas podem dizer muito sobre classificações de utilidade examinando o que as pessoas voluntariamente escolhem fazer. 
3.2.2 O pressuposto ceteris paribus
Como a utilidade se refere à satisfação geral, essa medida é claramente afetada por uma variedade de fatores. A utilidade de uma pessoa é afetada não apenas pelo consumo de mercadorias físicas, mas também por atitudes psicológicas, pressões de grupos de pares, experiências pessoais e o ambiente cultural geral. Embora os economistas tenham um interesse geral em examinar tais influências, geralmente é necessário estreitar o foco.
Consequentemente, uma prática comum é dedicar atenção exclusivamente às escolhas entre opções quantificáveis (por exemplo, as quantidades relativas de alimentos e abrigo comprados, o número de horas trabalhadas por semana ou os votos entre fórmulas tributárias específicas), mantendo constantes as outras coisas que afetar o comportamento. Este pressuposto ceteris paribus ("outras coisas sendo iguais") é invocado em todas as análises econômicas de escolhas que maximizam a utilidade, de modo a tornar a análise das escolhas gerenciável dentro de um ambiente simplificado.
3.2.3 Utilidade do consumo de bens
Como um exemplo importante da suposição ceteris paribus, considere o problema de um indivíduo de escolher, em um único ponto no tempo, entre n bens de consumo . Devemos supor que a classificação individual desses bens pode ser representada por uma função de utilidade da forma 
,					 (3.1)
onde o referem-se às quantidades de bens que podem ser escolhidas e a notação de “outras coisas” é usada como um lembrete de que muitos aspectos dobem-estar individual estão sendo mantidos constantes na análise.
Muitas vezes é mais fácil escrever a Equação 3.1 como
,							 (3.2)
Ou, se apenas dois bens estão sendo considerados, como
,									 (3.2’)
onde é claro que tudo está sendo mantido constante (ou seja, fora do quadro de análise), exceto os bens realmente referidos na função de utilidade. Seria tedioso lembrar a você, a cada etapa, o que está sendo mantido constante na análise, mas deve-se lembrar que alguma forma de suposição ceteris paribus sempre estará em vigor. 
3.2.4 Argumentos de funções de utilidade
A notação de função de utilidade é usada para indicar como um indivíduo classifica os argumentos particulares da função que está sendo considerada. No caso mais comum, a função de utilidade (Equação 3.2) será usada para representar como um indivíduo classifica certos pacotes de bens que podem ser comprados em um determinado momento. Ocasionalmente, usaremos outros argumentos na função de utilidade, e é melhor esclarecer certas convenções no início. Por exemplo, pode ser útil falar sobre a utilidade que um indivíduo recebe da riqueza real (W). Portanto, devemos usar a notação 
.									 (3.3)
A menos que o indivíduo seja uma pessoa bastante peculiar, do tipo Scrooge, a riqueza por si só não dá nenhuma utilidade direta. Em vez disso, é apenas quando a riqueza é gasta em bens de consumo que resulta a utilidade. Por essa razão, a Equação 3.3 será considerada como significando que a utilidade da riqueza é de fato derivada do gasto dessa riqueza de forma a render o máximo de utilidade possível.
Dois outros argumentos de funções utilitárias serão usados em capítulos posteriores. No Capítulo 16, estaremos preocupados com a escolha trabalho-lazer do indivíduo e, portanto, teremos que considerar a presença de lazer na função de utilidade. Uma função da forma
 									 (3.4)
será usado. Aqui, representa o consumo e representa as horas de folga do trabalho (ou seja, lazer) durante um determinado período.
No Capítulo 17, estaremos interessados nas decisões de consumo do indivíduo em diferentes períodos. Nesse capítulo, usaremos uma função de utilidade do formulário
,								 (3.5)
onde é o consumo neste período e é o consumo no próximo período. Alterando os argumentos da função de utilidade, portanto, seremos capazes de nos concentrar em aspectos específicos das escolhas de um indivíduo em uma variedade de configurações simplificadas.
Em resumo, começamos nosso exame do comportamento individual com a seguinte definição.
DEFINIÇÃO
UTILIDADE. As preferências dos indivíduos são assumidas como representadas por uma função de utilidade da forma
 									 (3.6)
onde são as quantidades de cada um bens que podem ser consumidos em um período. Essa função é exclusiva apenas até uma transformação que preserva a ordem.
3.2.5 Bens econômicos
Nesta representação, as variáveis são consideradas “bens”; isto é, quaisquer que sejam as quantidades econômicas que representam, assumimos que mais de qualquer durante algum período é preferível a menos. Presumimos que isso seja verdadeiro para todo bem, seja um simples item de consumo, como um cachorro-quente, ou um agregado complexo, como riqueza ou lazer. Retratamos essa convenção para uma função de utilidade de dois bens na Figura 3.1. Lá, todos os pacotes de consumo na área sombreada são preferidos ao pacote , porque qualquer pacote na área sombreada fornece mais de pelo menos um dos produtos. Por nossa definição de "bens", os pacotes de bens na área sombreada são classificados acima , . Da mesma forma, os pacotes na área marcada como "pior" são claramente inferiores a , porque contêm menos de pelo menos um dos bens e não mais do outro. Pacotes nas duas áreas indicadas por pontos de interrogação são difíceis de comparar com , porque contêm mais de um dos produtos e menos do outro. Movimentos para essas áreas envolvem trade-offs entre os dois bens.
FIGURE 3.1 - Mais de um bem é preferível a menos
A área sombreada representa as combinações de e que são inequivocamente preferidos à combinação , . Ceteris paribus, os indivíduos preferem mais de qualquer bem em vez de menos. Combinações identificadas por “?” envolvem mudanças ambíguas no bem-estar porque contêm mais de um bem e menos do outro.
3.3 COMÉRCIOS E SUBSTITUIÇÃO
A maior parte da atividade econômica envolve comércio voluntário entre indivíduos. Quando alguém compra, digamos, um pão, ele ou ela está voluntariamente dando uma coisa (dinheiro) por outra (pão) que é de maior valor para aquele indivíduo. Para examinar esse tipo de transação voluntária, precisamos desenvolver um aparato formal para ilustrar as negociações no contexto da função de utilidade. Primeiro, motivamos nossa discussão com uma apresentação gráfica e, em seguida, voltamos para um pouco de matemática mais formal.
3.3.1 Curvas de indiferença e a taxa marginal de substituição
As negociações voluntárias podem ser melhor estudadas usando o dispositivo gráfico de uma curva de indiferença. Na Figura 3.2, a curva representa todas as combinações alternativas de e para o qual um indivíduo está igualmente bem de vida (lembre-se novamente de que todos os outros argumentos da função de utilidade são mantidos constantes). Essa pessoa está igualmente feliz consumindo, por exemplo, a combinação de produtos ou a combinação . Esta curva que representa todos os pacotes de consumo que o indivíduo classifica igualmente é chamada de curva de indiferença.
DEFINIÇÃO
Curva de indiferença. Uma curva de indiferença (ou, em muitas dimensões, uma superfície de indiferença) mostra um conjunto de feixes de consumo sobre os quais o indivíduo é indiferente. Ou seja, todos os pacotes fornecem o mesmo nível de utilidade.
A inclinação da curva de indiferença na Figura 3.2 é negativa, mostrando que se o indivíduo é forçado a desistir de alguma , ele ou ela deve ser compensado por uma quantia adicional de permanecer indiferente entre os dois pacotes de mercadorias. A curva também é desenhada para que a inclinação aumente conforme aumenta (ou seja, a inclinação começa no infinito negativo e aumenta em direção a zero). Esta é uma representação gráfica da suposição de que as pessoas se tornam progressivamente menos dispostas a negociar para obter mais . Em termos matemáticos, o valor absoluto dessa inclinação diminui à medida que x aumenta. Portanto, temos a seguinte definição.
DEFINIÇÃO
Taxa marginal de substituição. O negativo da inclinação de uma curva de indiferença () em algum ponto é denominado a taxa marginal de substituição (MRS) naquele ponto. Isso é,
onde a notação indica que a inclinação deve ser calculada ao longo do curva de indiferença.
FIGURE 3.2 - Uma única curva de indiferença
A curva representa aquelas combinações de e do qual o indivíduo obtém a mesma utilidade. A inclinação desta curva representa a taxa pela qual o indivíduo está disposto a negociar para enquanto permanece igualmente bem de vida. Essa inclinação (ou, mais apropriadamente, o negativo da inclinação) é denominada taxa marginal de substituição. Na figura, a curva de indiferença é desenhada na suposição de uma taxa marginal de substituição decrescente.
Portanto, a inclinação de e o MRS nos diz algo sobre as negociações que essa pessoa fará voluntariamente. Em um ponto como , a pessoa tem muito e está disposta a negociar uma quantia significativa para obter mais um . Portanto, a curva de indiferença em é bastante íngreme. Esta é uma situação em que a pessoa tem, digamos, muitos hambúrgueres () e pouco para beber com eles (). Essa pessoa desistiria de alguns hambúrgueres (digamos, 5) para matar a sede com mais uma bebida.
Em , por outro lado, a curva de indiferença é mais plana. Aqui, essa pessoa tem alguns drinques e está disposta a desistir de relativamente poucos hambúrgueres (digamos, 1) para conseguir outro refrigerante. Consequentemente, o MRS diminui entre , e . A variação da inclinação de U1 mostra como o pacote de consumo específico disponível influencia as negociações que essa pessoa fará livremente.3.3.2 Mapa da curva de indiferença
Na Figura 3.2 apenas uma curva de indiferença foi desenhada. O quadrante, no entanto, é densamente preenchido com tais curvas, cada uma correspondendo a um nível diferente de utilidade. Como cada pacote de bens pode ser classificado e produz algum nível de utilidade, cada ponto na Figura 3.2 deve ter uma curva de indiferença passando por ele. As curvas de indiferença são semelhantes às linhas de contorno de um mapa, pois representam linhas de igual “altitude” de utilidade. Na Figura 3.3, várias curvas de indiferença são mostradas para indicar que existem infinitas no plano. O nível de utilidade representado por essas curvas aumenta à medida que nos movemos na direção nordeste; a utilidade da curva é menos que o de , que é menos que o de . Isso se deve à suposição feita na Figura 3.1: Mais de um bem é preferível a menos. Conforme discutido anteriormente, não há uma maneira única de atribuir números a esses níveis de utilidade. As curvas mostram apenas que as combinações de produtos em são preferidos àqueles em , que são preferidos àqueles em .
FIGURE 3.3 - Existem Infinitamente Muitas Curvas de Indiferença no Plano 
Existe uma curva de indiferença passando por cada ponto no plano . Cada uma dessas curvas registra combinações de e das quais o indivíduo recebe um certo nível de satisfação. Movimentos na direção nordeste representam movimentos para níveis mais elevados de satisfação. 
3.3.3 Curvas de indiferença e transitividade
Como um exercício de exame da relação entre preferências consistentes e a representação de preferências por funções de utilidade, considere a seguinte questão: Duas curvas de indiferença de um indivíduo podem se cruzar? Duas dessas curvas de interseção são mostradas na Figura 3.4. Queremos saber se eles violam nossos axiomas básicos de racionalidade. Usando nossa analogia com o mapa, parece haver algo errado no ponto E, onde "altitude" é igual a dois números diferentes, and . Mas nenhum ponto pode estar a 100 e 200 pés acima do nível do mar.
Para proceder formalmente, vamos analisar os pacotes de bens representados pelos pontos A, B, C e D. Pela suposição de não saciação (ou seja, mais de um bem sempre aumenta a utilidade), “A é preferível a B” e “C é preferível a D. ” Mas essa pessoa está igualmente satisfeita com B e C (eles estão na mesma curva de indiferença), então o axioma da transitividade implica que A deve ser preferido a D. Mas isso não pode ser verdade porque A e D estão na mesma curva de indiferença e são, por definição, considerados igualmente desejáveis. Essa contradição mostra que as curvas de indiferença não podem se cruzar. Portanto, devemos sempre desenhar mapas de curvas de indiferença conforme aparecem na Figura 3.3.
3.3.4 Curvas de convexidade de indiferença
Uma maneira alternativa de estabelecer o princípio de uma taxa marginal decrescente de substituição usa a noção matemática de um conjunto convexo. Um conjunto de pontos é considerado convexo se quaisquer dois pontos dentro do conjunto puderem ser unidos por uma linha reta que está completamente contida no conjunto. A suposição de um MRS decrescente é equivalente à suposição de que todas as combinações de e que são preferidas ou indiferentes a uma combinação particular formar um conjunto convexo.[footnoteRef:4] Isso é ilustrado na Figura 3.5a, onde todas as combinações preferidas ou indiferentes a estão na área sombreada. Quaisquer duas dessas combinações - digamos, e — pode ser unida por uma linha reta também contida na área sombreada. Na Figura 3.5b isso não é verdade. Uma linha juntando and passa fora da área sombreada. Portanto, a curva de indiferença através na figura 3.5b não obedece a suposição de uma MRS decrescente porque o conjunto de pontos preferidos ou indiferentes a não é convexo. [4: Essa definição é equivalente a assumir que a função de utilidade é quase côncava. Essas funções foram discutidas no Capítulo 2 e voltaremos a examiná-las na próxima seção. Às vezes, o termo quase-concavidade estrita é usado para descartar a possibilidade de curvas de indiferença com segmentos lineares. Geralmente assumiremos quase concavidade estrita, mas em alguns lugares iremos ilustrar as complicações apresentadas por porções lineares de curvas de indiferença.] 
FIGURA 3.4 - As curvas de indiferença de interseção implicam preferências inconsistentes
As combinações A e D estão na mesma curva de indiferença e, portanto, são igualmente desejáveis. Mas o axioma da transitividade pode ser usado para mostrar que A é preferível a D. Portanto, curvas de indiferença que se cruzam não são consistentes com preferências racionais. Ou seja, o ponto E não pode representar dois níveis diferentes de utilidade. 
3.3.5 Convexidade e equilíbrio no consumo
Usando a noção de convexidade, podemos mostrar que os indivíduos preferem algum equilíbrio em seu consumo. Suponha que um indivíduo seja indiferente entre as combinações e . Se a curva de indiferença for estritamente convexa, a combinação será preferível a qualquer uma das combinações iniciais.[footnoteRef:5] Intuitivamente, pacotes de commodities “bem balanceados” são preferidos a pacotes fortemente direcionados a uma commodity. Isso é ilustrado na Figura 3.6. Como a curva de indiferença é considerada convexa, todos os pontos da linha reta se unem e são preferidos a esses pontos iniciais. Portanto, isso será verdade quanto ao ponto , que se encontra no ponto médio de tal linha. Na verdade, qualquer combinação proporcional dos dois pacotes indiferentes de bens será preferida aos pacotes iniciais porque representará uma combinação mais equilibrada. Assim, a convexidade estrita é equivalente à suposição de uma MRS decrescente. Ambas as suposições excluem a possibilidade de uma curva de indiferença ser reta em qualquer parte de seu comprimento. [5: No caso em que a curva de indiferença possui um segmento linear, o indivíduo será indiferente entre as três combinações.] 
FIGURA 3.5 - A noção de convexidade como uma definição alternativa de uma diminuição da MRS
Em (a) a curva de indiferença é convexa (qualquer linha que une dois pontos acima também está acima ). Em (b) este não é o caso, e a curva mostrada aqui não tem em todos os lugares um MRS decrescente.
FIGURA 3.6 - Pacotes balanceados de bens são preferidos aos pacotes extremos
Se as curvas de indiferença forem convexas (se obedecerem à suposição de uma MRS decrescente), então a linha que une quaisquer dois pontos indiferentes conterá pontos preferidos a qualquer uma das combinações iniciais. Intuitivamente, os pacotes balanceados são preferidos aos desequilibrados. 
EXEMPLO 3.1 - Utilidade e o MRS
Suponha que a classificação de hambúrgueres (y) e refrigerantes (x) de uma pessoa possa ser representada pela função de utilidade
 									 (3.8)
Uma curva de indiferença para esta função é encontrada identificando esse conjunto de combinações de e para o qual o utilitário tem o mesmo valor. Suponha que definamos arbitrariamente a utilidade igual a 10. Então a equação para esta curva de indiferença é 
 								 (3.9)
Como o quadrado dessa função preserva a ordem, a curva de indiferença também é representada por
 										 (3.10)
que é mais fácil de representar graficamente. Na Figura 3.7, mostramos essa curva de indiferença; é uma hipérbole retangular familiar. Uma maneira de calcular o MRS é resolver a Equação 3.10 para ,
 										 (3.11)
FIGURA 3.7 Curva de indiferença para utilidade 
Esta curva de indiferença ilustra a função . No ponto A , o MRS é 4, o que implica que esta pessoa está disposta a negociar por um adicional . No ponto B (, no entanto, o MRS é , implicando uma disposição muito reduzida de comércio.
E então use a definição (Equação 3.7):
							 (3.12)
Claramente, esse MRS diminui à medida que x aumenta. Em um ponto como A na curva de indiferença com muitos hambúrgueres (digamos, , ), a inclinação é íngreme, então o MRS é alto:
 							 (3.13)
Aqui a pessoa está disposta a desistir de 4 hambúrgueres para ganhar mais 1 refrigerante. Por outrolado, em B, onde há relativamente poucos hambúrgueres (aqui ), a inclinação é plana e o MRS é baixo: 
 						 (3.14)
Agora ele só vai desistir de um quarto de um hambúrguer por outro refrigerante. Observe também como a convexidade da curva de indiferença é ilustrado por este exemplo numérico. O ponto C está a meio caminho entre os pontos A e B; em C essa pessoa tem 12,5 hambúrgueres e 12,5 refrigerantes. Aqui a utilidade é dada por 
						 (3.15)
que claramente excede a utilidade ao longo (que foi assumido como sendo 10).
PERGUNTA: De nossa derivação aqui, parece que a MRS depende apenas da quantidade de consumido. Por que isso é enganoso? Como é que a quantidade de entre implicitamente nas Equações 3.13 e 3.14?
3.4 A MATEMÁTICA DAS CURVAS DE INDIFERÊNCIA
Uma derivação matemática do conceito de curva de indiferença fornece insights adicionais sobre a natureza das preferências. Nesta seção, veremos um exemplo de dois bens que se vincula diretamente ao tratamento gráfico fornecido anteriormente. Posteriormente no capítulo, examinamos o caso de muitos bens, mas concluímos que este caso mais complicado adiciona apenas alguns insights adicionais.
3.4.1 A taxa marginal de substituição
Suponha que um indivíduo receba utilidade de consumir dois bens cujas quantidades são dadas por e . A classificação de pacotes desses produtos por essa pessoa pode ser representada por uma função de utilidade da forma . Essas combinações dos dois bens que geram um nível específico de utilidade, digamos , são representados por soluções para a equação implícita . No Capítulo 2 (ver Equação 2.23), mostramos que os trade-offs implícitos em tal equação são dados por: 
 									(3.16)
Ou seja, a taxa pela qual x pode ser negociado por y é dada pelo negativo da razão da “utilidade marginal” do bem x para o bem y. Assumindo que quantidades adicionais de ambos os bens fornecem utilidade adicional, esta taxa de compensação será negativa, implicando que os aumentos na quantidade do bem x devem ser atendidos por diminuições na quantidade do bem y para manter a utilidade constante. Anteriormente, definimos a taxa marginal de substituição como o valor negativo (ou absoluto) dessa troca, então agora temos:
 								 (3.17)
Esta derivação ajuda a entender por que o MRS não depende especificamente de como a utilidade é medida. Como o MRS é uma razão de duas medidas de utilidade, as unidades “caem” no cálculo. Por exemplo, suponha que o bem representa comida e que escolhemos uma função de utilidade para a qual uma unidade extra de comida rende 6 unidades extras de utilidade (às vezes essas unidades são chamadas de utils). Suponha também que represente roupas e, com essa função de utilidade, cada unidade extra de roupa fornece 2 unidades extras de utilidade. Neste caso, está claro que essa pessoa está disposta a desistir de 3 unidades de roupa (perdendo assim 6 utils) em troca de 1 unidade extra de comida (ganhando assim 6 utils):
 			 (3.18)
Observe que a medida de utilidade usada aqui (utils) é descartada ao fazer esse cálculo e o que resta é puramente em termos das unidades dos dois bens. Isso mostra que a MRS em uma combinação particular de bens permanecerá inalterada, não importa qual classificação de utilidade específica seja usada.[footnoteRef:6] [6: Mais formalmente, vamos ser qualquer transformação monotônica da função de utilidade com . Com esta nova classificação de utilidade, o MRS é dado por:
que é o mesmo que o MRS para a função de utilidade original.] 
3.4.2 Curvas de convexidade de indiferença
No Capítulo 1, descrevemos como os economistas foram capazes de resolver o paradoxo água-diamante propondo que o preço da água é baixo porque mais um galão fornece relativamente pouco em termos de maior utilidade. A água é (na maior parte) abundante; portanto, sua utilidade marginal é baixa. É claro que, em um deserto, a água seria escassa e sua utilidade marginal (e preço) alta. Assim, pode-se concluir que a utilidade marginal associada ao consumo de água diminui à medida que mais água é consumida - em termos formais, a segunda derivada (parcial) da função de utilidade (ou seja,) deve ser negativo. 
Intuitivamente, parece que essa ideia de senso comum também deve explicar por que as curvas de indiferença são convexas. O fato de que as pessoas estão cada vez menos dispostas a renunciar ao bem para obter mais (enquanto mantém a utilidade constante) parece referir-se ao mesmo fenômeno - que as pessoas não desejam muito de um bem. Infelizmente, a conexão precisa entre a utilidade marginal decrescente e uma MRS decrescente é complexa, mesmo no caso de dois bons. Como mostramos no Capítulo 2, uma função terá (por definição) curvas de indiferença convexas, desde que seja quase côncava. Mas as condições necessárias para quase-concavidade são confusas, e a suposição de utilidade marginal decrescente (ou seja, derivadas parciais de segunda ordem negativas) não garantirá que elas se mantenham.[footnoteRef:7] Ainda assim, como veremos, há boas razões para presumir que as funções de utilidade (e muitas outras funções usadas na microeconomia) são quase côncavas; assim, não estaremos muito preocupados com situações nas quais eles não o estão. [7: Especificamente, para a função para ser quase côncavo, a seguinte condição deve ser mantida (ver Equação 2.114):
As suposições de que não vai garantir isso. Deve-se também estar preocupado com o sinal da derivada parcial cruzada .] 
EXAMPLE 3.2 - Mostrando curvas de convexidade de indiferença
O cálculo do MRS para funções de utilidade específicas é frequentemente um bom atalho para mostrar a convexidade das curvas de indiferença. Em particular, o processo pode ser muito mais simples do que aplicar a definição de quase-concavidade, embora seja mais difícil generalizar para mais de dois bens. Aqui, vemos como a Equação 3.17 pode ser usada para três funções de utilidade diferentes (para mais prática, consulte o Problema 3.1).
1. 
Este exemplo apenas repete o caso ilustrado no Exemplo 3.1. Um atalho para a aplicação da Equação 3.17 que pode simplificar a álgebra é pegar o logaritmo dessa função de utilidade. Como tirar logs é preservar a ordem, isso não alterará o MRS a ser calculado. Portanto, vamos
 					 (3.19)
Aplicando a Equação 3.17, os rendimentos
 								 (3.20)
que parece ser uma abordagem muito mais simples do que usamos anteriormente.[footnoteRef:8] Claramente, essa MRS está diminuindo à medida que x aumenta e y diminui. Portanto, as curvas de indiferença são convexas. [8: 8In Example 3.1 we looked at the indifference curve. Thus, for that curve, , and the MRS in Equation would be as calculated before.] 
2. 
Nesse caso, não há vantagem em transformar essa função de utilidade. Aplicando a Equação 3.17, os rendimentos
 									 (3.21)
Novamente, essa proporção diminui claramente à medida que x aumenta e y diminui; assim, as curvas de indiferença para esta função são convexas.
3. 
Para este exemplo, é mais fácil usar a transformação
							 (3.22)
Como esta é a equação para um quarto de círculo, devemos começar a suspeitar que pode haver alguns problemas com as curvas de indiferença para esta função de utilidade. Essas suspeitas são confirmadas aplicando novamente a definição do MRS para render
 								 (3.23)
Para esta função, é claro que, à medida que aumenta e diminui, o MRS aumenta! Portanto, as curvas de indiferença são côncavas, não convexas, e esta claramente não é uma função quase côncava.
PERGUNTA: O dobro de e altera o MRS em cada um desses três exemplos? Ou seja, a MRS depende apenas da relação de para , não da escala absoluta de compras? (Veja também o Exemplo 3.3.)
3.5 FUNÇÕES UTILITÁRIAS PARA PREFERÊNCIAS ESPECÍFICAS
As classificações individuais de pacotes de commodities e as funções de utilidade implícitas nessas classificações não são observáveis. Tudo o que podemos aprender sobre as preferências das pessoas deve vir do comportamento que observamos quando elas respondem a mudanças na renda, preços e outros fatores. No entanto, é útil examinar algumas dasformas que funções de utilitário específicas podem assumir. Esse exame pode oferecer insights sobre o comportamento observado e (mais precisamente) compreender as propriedades de tais funções podem ser de alguma ajuda na resolução de problemas. Aqui, examinaremos quatro exemplos específicos de funções de utilidade para dois bens. Os mapas da curva de indiferença para essas funções são ilustrados nos quatro painéis da Figura 3.8. Como deve ser visualmente aparente, eles cobrem algumas formas possíveis. Uma variedade ainda maior é possível quando passamos para funções para três ou mais bens, e algumas dessas possibilidades são mencionadas em capítulos posteriores.
FIGURA 3.8 - Exemplos de funções de utilidade
Os quatro mapas da curva de indiferença ilustram graus alternativos de substituibilidade de por . As funções Cobb-Douglas e elasticidade de substituição constante (CES) (desenhadas aqui para substituibilidade relativamente baixa) caem entre os extremos de substituição perfeita (b) e nenhuma substituição (c). 
3.5.1 Função Utilidade Cobb–Douglas
A Figura 3.8a mostra a forma familiar de uma curva de indiferença. Uma função de utilidade comumente usada que gera tais curvas tem a forma
 									 (3.24)
onde e são constantes positivas, cada uma menor que 1,0.
Nos Exemplos 3.1 e 3.2, estudamos um caso particular desta função para a qual . O caso mais geral apresentado na Equação 3.24 é denominado função de utilidade Cobb-Douglas, em homenagem a dois pesquisadores que usaram essa função para seu estudo detalhado das relações de produção na economia dos EUA (ver Capítulo 9). Em geral, os tamanhos relativos de e indicam a importância relativa dos dois bens para esse indivíduo. Como a utilidade é única até uma transformação monotônica, muitas vezes é conveniente normalizar esses parâmetros para que . Neste caso, a utilidade seria dada por 
									 (3.25)
onde , . Por exemplo, uma função de utilidade Cobb-Douglas com and implicaria no mesmo comportamento de uma função com and . 
3.5.2 Substitutos Perfeitos
As curvas de indiferença linear na Figura 3.8b são geradas por uma função de utilidade da forma
 									 (3.26)
onde, de novo, e são constantes positivas. Que as curvas de indiferença para esta função são linhas retas deve ser prontamente aparente: Qualquer curva de nível particular pode ser calculada configurando equal a uma constante. Esta seria a equação para uma linha reta. A natureza linear dessas curvas de indiferença deu origem ao termo substitutos perfeitos para descrever a relação implícita entre e . Porque o MRS é constante (e igual a ) ao longo de toda a curva de indiferença, nossas noções anteriores de uma MRS decrescente não se aplicam neste caso. Uma pessoa com essas preferências estaria disposta a desistir da mesma quantidade de para conseguir mais um não importa quanto estava sendo consumido. Tal situação pode descrever a relação entre diferentes marcas do que é essencialmente o mesmo produto. Por exemplo, muitas pessoas (incluindo o autor) não se importam onde compram gasolina. Um galão de gás é um galão de gás, apesar dos melhores esforços dos departamentos de publicidade da Exxon e da Shell para me convencer do contrário. Diante desse fato, estou sempre disposto a abrir mão de 10 galões de Exxon em troca de 10 galões de Shell, porque não importa para mim qual uso ou onde consegui meu último tanque cheio. De fato, como veremos no próximo capítulo, uma implicação de tal relacionamento é que comprarei todo o meu gás do vendedor menos caro. Como não experimento uma diminuição da MRS de Exxon para Shell, não tenho razão para buscar um equilíbrio entre os tipos de gasolina que uso. 
3.5.3 Complementos perfeitos
Uma situação diretamente oposta ao caso de substitutos perfeitos é ilustrada pelas curvas de indiferença em forma de L na Figura 3.8c. Essas preferências se aplicariam a produtos que “combinam” - café e creme, manteiga de amendoim e geléia e cream cheese e salmão defumado são exemplos familiares. As curvas de indiferença mostradas na Figura 3.8c implicam que esses pares de bens serão usados na relação proporcional fixa representada pelos vértices das curvas. Uma pessoa que prefere 1 onça de creme com 8 onças de café vai querer 2 onças de creme com 16 onças de café. Café extra sem creme não tem valor para essa pessoa, assim como creme extra não teria valor sem café. Somente escolhendo os bens juntos pode-se aumentar a utilidade.
Esses conceitos podem ser formalizados examinando a forma matemática da função de utilidade que gera essas curvas de indiferença em forma de L:
 								 (3.27)
Aqui e são parâmetros positivos, e o operador “min” significa que a utilidade é dada pelo menor dos dois termos entre parênteses. No exemplo do café com creme, se deixarmos que onças de café sejam representadas por e onças de creme por , utilidade seria dada por 
 								 (3.28)
Agora, 8 onças de café e 1 onça de creme fornecem 8 unidades de utilidade. Mas 16 onças de café e 1 onça de creme ainda fornecem apenas 8 unidades de utilidade porque . O café extra sem creme não tem valor, como mostra a seção horizontal das curvas de indiferença para afastamento de um vértice; utilidade não aumenta quando apenas aumenta (com constante y). Somente se o café e o creme forem duplicados (para 16 e 2, respectivamente), a utilidade aumentará para 16. 
Mais geralmente, nenhum dos dois bens especificados na função de utilidade dada pela Equação 3.27 será consumido em quantidades supérfluas se . Nesse caso, a proporção da quantidade do bem y consumido em relação ao bem x será uma constante dada por 
 											 (3.29)
O consumo ocorrerá nos vértices das curvas de indiferença mostradas na Figura 3.8c.
3.5.4 Utilidade CES
Um problema com todas as funções de utilidade simples ilustradas até agora é que elas assumem que o mapa da curva de indiferença assume uma forma predefinida. Uma função que permite a exibição de uma variedade de formas é a função Elasticidade Constante de Substituição (CES). A forma usual para esta função é:
 								 (3.30)
onde . Esta função incorpora todas as três funções de utilidade descritas anteriormente, dependendo do valor de . Para a correspondência com o caso de substitutos perfeitos é óbvia. Como se aproxima de zero, a função se aproxima de Cobb – Douglas. E como aproximações , a função se aproxima do caso de complementos perfeitos. Ambos os resultados podem ser mostrados usando um argumento limitante. Frequentemente, em nossa análise, simplificaremos os cálculos necessários para esta função usando a transformação monotônica , que produz a forma mais tratável 
 									 (3.31)
Essa forma pode ser um pouco generalizada, fornecendo pesos diferentes para cada um dos produtos (consulte o Problema 3.12). O uso do termo elasticidade de substituição para esta função deriva da noção de que as possibilidades ilustradas na Figura 3.8 correspondem a vários valores para o parâmetro de substituição., , que para esta função é dada por . Para substitutos perfeitos, então , e o caso de proporções fixas tem Porque a função CES nos permite explorar todos esses casos, e muitos casos intermediários (como o Cobb– Douglas, para os quais ), será útil para ilustrar o grau de substituibilidade presente em várias relações econômicas.
A forma específica da função CES ilustrada na Figura 3.8a é para o caso 5 21. Isto é,
 							 (3.32)
Para esta situação, , e, como mostra o gráfico, essas curvas de indiferença com curvas acentuadas aparentemente situam-se entre os casos Cobb-Douglas e de proporção fixa. Os sinais negativos nesta função de utilidade podem parecer estranhos, mas as utilidades marginais de ambos e são positivos e decrescentes, como seria de esperar. Isso explica por que deve aparecer nos denominadores da Equação 3.30. No caso particular da Equação 3.32, a utilidade aumenta de em direção a 0 conforme x e y aumentam. Esta é uma escala de utilidade estranha, talvez, mas perfeitamente aceitável e frequentemente útil.
EXEMPLO 3.3 - Preferências homotéticas
Todas as funçõesutilitárias descritas na Figura 3.8 são homotéticas (consulte o Capítulo 2). Ou seja, a taxa marginal de substituição para essas funções depende apenas da proporção das quantidades dos dois bens, não das quantidades totais dos bens. Este fato é óbvio para o caso dos substitutos perfeitos (quando o MRS é o mesmo em todos os pontos) e para o caso dos complementos perfeitos (onde o MRS é infinito para, indefinido quando, e zero quando ). Para a função Cobb-Douglas geral, o MRS pode ser encontrado como
 							 (3.33)
que claramente depende apenas da proporção . Mostrar que a função CES também é homotética é deixado como um exercício (consulte o Problema 3.12).
A importância das funções homotéticas é que uma curva de indiferença é muito parecida com outra. Inclinações das curvas dependem apenas da proporção , não em quão longe a curva está da origem. As curvas de indiferença para maior utilidade são cópias simples daquelas para menor utilidade. Portanto, podemos estudar o comportamento de um indivíduo que tem preferências homotéticas olhando apenas para uma curva de indiferença ou para algumas curvas próximas, sem temer que nossos resultados mudem drasticamente em diferentes níveis de utilidade.
PERGUNTA: Como você pode definir funções homotéticas geometricamente? Como seria o locus de todos os pontos com uma determinada MRS no mapa da curva de indiferença de um indivíduo?
EXEMPLO 3.4 - Preferências não homotéticas
Embora todos os mapas de curvas de indiferença na Figura 3.8 exibam preferências homotéticas, nem todas as funções de utilidade adequadas o fazem. Considere a função de utilidade quase linear
									 (3.34)
Para esta função, o bem exibe utilidade marginal decrescente, mas o bem não.
O pode ser calculado como
								 (3.35)
O MRS diminui à medida que a quantidade escolhida de y diminui, mas é independente da quantidade de consumida. Como tem uma utilidade marginal constante, a disposição de uma pessoa de desistir de y para obter mais uma unidade de depende apenas de quanto ela tem. Ao contrário do caso homotético, uma duplicação de e dobra o MRS em vez de deixá-lo inalterado.
PERGUNTA: Como é o mapa da curva de indiferença para a função de utilidade na Equação 3.34? Por que isso pode se aproximar de uma situação em que é um bem específico e x representa todo o resto?
3.6 O CASO DE MUITAS BOAS
Todos os conceitos que estudamos até agora para o caso de dois bens podem ser generalizados para situações em que a utilidade é função de muitos bens arbitrariamente. Nesta seção, exploraremos brevemente essas generalizações. Embora este exame não vá acrescentar muito ao que já mostramos, considerar as preferências das pessoas por muitos bens podem ser importantes na economia aplicada, como veremos em capítulos posteriores.
Se a utilidade é uma função de n bens da forma , then the equation
 								 (3.36)
define uma superfície de indiferença em n dimensões. Esta superfície mostra todas as combinações de bens que geram o mesmo nível de utilidade. Embora seja provavelmente impossível imaginar como seria essa superfície, continuaremos a supor que é convexa. Ou seja, pacotes balanceados de bens terão preferência aos desequilibrados. Portanto, a função de utilidade, mesmo em muitas dimensões, será considerada quase côncava. 
3.6.1 O MRS com muitos bens
Podemos estudar as negociações que uma pessoa pode fazer voluntariamente entre quaisquer dois desses bens (digamos, and ) usando novamente o teorema da função implícita:
 					 (3.37)
A notação aqui mostra o ponto importante de que a disposição de um indivíduo para negociar para dependerá não apenas das quantidades dessas duas mercadorias, mas também das quantidades de todas as outras mercadorias. A disposição de um indivíduo de trocar alimentos por roupas dependerá não apenas das quantidades de alimentos e roupas que ele possui, mas também de quanto "abrigo" ele possui. Em geral, seria esperado que as mudanças nas quantidades de qualquer um desses outros bens afetariam o trade-off representado pela Equação 3.37. É essa possibilidade que às vezes pode dificultar a generalização das descobertas de dois modelos bons simples para o caso muito bom. Deve-se ter o cuidado de especificar o que está sendo presumido sobre as quantidades dos outros bens. Em capítulos posteriores, examinaremos ocasionalmente essas complexidades. No entanto, na maior parte, o modelo de dois bons será bom o suficiente para desenvolver intuição sobre as relações econômicas.
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