Cálculos de Trigonometria

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) \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Explicação:** Para resolver esta integral, usamos a identidade trigonométrica 
\(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\), então \(\int_0^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx\), e 
finalmente \(\frac{\pi}{2}\). 
 
41. Qual é o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x}\)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\infty\) 
 d) Indefinido 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** Esta é uma forma indeterminada, então usamos a regra de L'Hôpital 
para resolver. A derivada de \(\ln(x)\) é \(\frac{1}{x}\), então \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 
0\). 
 
42. Se \(f(x) = \cos^2(x)\), qual é o valor de \(f''(\frac{\pi}{4})\)? 
 a) \(f''(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}\) 
 b) \(f''(\frac{\pi}{4}) = -1\) 
 c) \(f''(\frac{\pi}{4}) = -2\) 
 d) \(f''(\frac{\pi}{4})\) não existe 
 **Resposta:** a) \(f''(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** A segunda derivada de \(f(x)\) é \(-2\cos(x) \sin(x)\). Substituindo \(x = 
\frac{\pi}{4}\), obtemos \(f''(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}\). 
 
43. Qual é o valor de \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3(x) \, dx\)? 
 a) \(\frac{\pi}{2}\) 
 b) \(\frac{\pi}{4}\) 
 c) \(\frac{\pi}{3}\) 
 d) 1 
 **Resposta:** b) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** Esta integral pode ser resolvida utilizando a identidade trigonométrica 
\(\cos^3(x) = \cos(x)(1 - \sin^2(x))\), então \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(x)(1 - \sin^2(x)) \, dx\).