Cálculos de Trigonometria e Cálculo

Prévia do material em texto

a) 0 
 b) \( \frac{3}{4} \) 
 c) \( \frac{4}{3} \) 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{3}{4} \) 
 **Explicação:** Utilizando a definição de tangente, \( \tan(4x) = \frac{\sin(4x)}{\cos(4x)} 
\). Assim, \( \frac{\sin(3x)}{\tan(4x)} = \frac{\sin(3x)}{\frac{\sin(4x)}{\cos(4x)}} = 
\frac{\sin(3x)\cos(4x)}{\sin(4x)} \). Como \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{ax} = 1 \) e \( \lim_{x 
\to 0} \cos(ax) = 1 \), então o limite se torna \( 
 
 \frac{3}{4} \). 
 
44. Qual é o resultado de \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx \)? 
 a) 0 
 b) \( \ln(\sqrt{2}) \) 
 c) \( \ln(2) \) 
 d) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Resposta:** b) \( \ln(\sqrt{2}) \) 
 **Explicação:** A integral de \( \tan(x) \) de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{4} \) é igual a \( \ln(\sec(x)) 
\). Avaliando em \( \frac{\pi}{4} \), temos \( \ln(\sqrt{2}) \). 
 
45. Se \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} \), qual é o valor de \( f'(1) \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** d) 3 
 **Explicação:** A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{(2x \cdot x - (x^2 + 1))}{x^2} = 
\frac{x^2 - 1}{x^2} \). Substituindo \( x = 1 \), temos \( f'(1) = \frac{1^2 - 1}{1^2} = \frac{0}{1} = 
0 \). 
 
46. Qual é o valor de \( \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{3} \cdot \sin(x) \, dx \)? 
 a) \( \frac{\pi}{3} \)