matematica alto nivel (53)

Prévia do material em texto

**Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** A função \(e^{\sin(x)} \cos(x)\) é ímpar em relação ao intervalo \([0, 
\frac{\pi}{3}]\), então a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno 
da origem é sempre zero. 
 
80. Se \(f(x) = \frac{1}{x^3}\), qual é o valor de \(f'(1)\)? 
 a) \(f'(1) = -1\) 
 b) \(f'(1) = -3\) 
 c) \(f'(1) = -\frac{1}{3}\) 
 d) \(f'(1) = -\frac{3}{2}\) 
 **Resposta:** c) \(f'(1) = -\frac{1}{3}\) 
 **Explicação:** A derivada de \(f(x) = \frac{1}{x^3}\) é \(f'(x) = -\frac{3}{x^4}\). 
Substituindo \(x = 1\), obtemos \(f'(1) = -\frac{1}{3}\). 
 
81. Qual é o resultado de \(\int_0^{\pi} e^{\cos(x)} \sin(x) \, dx\)? 
 a) \(\frac{\pi}{2}\) 
 b) \(\frac{\pi}{4}\) 
 c) \(\pi\) 
 d) \(e^\pi\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{\pi}{4}\) 
 **Explicação:** Para resolver esta integral, podemos usar a substituição direta, 
deixando \(u = \cos(x)\). 
 
82. Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\infty\) 
 d) Indefinido 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Este limite é uma forma indeterminada do tipo \(\frac{0}{0}\). Utilizando 
a definição de logaritmo natural, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0} 
\frac{1}{1 + x} = 1\).