Cálculo de Derivadas e Integrais

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a) 0 
 b) 1 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) Indefinido 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Este limite é uma forma indeterminada do tipo \(\frac{\infty}{\infty}\). 
Utilizando a definição de seno, temos \(\lim_{x \to \infty} \frac{2\sin(x)}{x} = 1\). 
 
160. Se \(f(x) = \frac{\cos(x)}{1 + \sin(x)}\), qual é o valor de \(f''\left(\frac{\pi}{2}\right)\)? 
 a) \(f''\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\) 
 b) \(f''\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\) 
 c) \(f''\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1\) 
 d) \(f''\left(\frac{\pi}{2}\right)\) não existe 
 **Resposta:** d) \(f''\left(\frac{\pi}{2}\right)\) não existe 
 **Explicação:** A segunda derivada de \(f(x)\) em \(x = \frac{\pi}{2}\) não existe porque 
\(f(x)\) tem uma descontinuidade removível nesse ponto. 
 
161. Qual é o valor de \(\int_0^1 \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} \, dx\)? 
 a) \(\ln(2)\) 
 b) \(\ln(3)\) 
 c) \(\ln\left(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}\right)\) 
 d) \(\ln\left(\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}\right)\) 
 **Resposta:** d) \(\ln\left(\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}\right)\) 
 **Explicação:** Para resolver esta integral, podemos usar a substituição direta, 
deixando \(u = \cos(x)\). 
 
162. Se \(f(x) = \ln(\tan(x))\), qual é o valor de \(f'(0)\)? 
 a) \(f'(0) = 0\) 
 b) \(f'(0) = 1\) 
 c) \(f'(0) = -1\) 
 d) \(f'(0)\) não existe 
 **Resposta:** d) \(f'(0)\) não existe