Matematica avançada (45)

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d) Indefinido 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Utilizando a identidade trigonométrica \( \sin^3(x) = \frac{3\sin(x) - 
\sin(3x)}{4} \), podemos reescrever a expressão como \( \frac{3\sin(x) - \sin(3x)}{4x^3} \). Ao 
substituir \( x = 0 \), a expressão se torna \( \frac{3\sin(0) - \sin(0)}{4 \cdot 0^3} = \frac{0}{0} 
\), uma forma indeterminada. Utilizando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o 
denominador em relação a \( x \), obtendo \( \lim_{x \to 0} \frac{3\cos(x) - 3\cos(3x)}{12x^2} 
\). Substituindo \( x = 0 \), obtemos \( \frac{3 - 3}{12 \cdot 0^2} = \frac{0}{0} \), uma forma 
indeterminada. Utilizando novamente a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o 
denominador, obtendo \( \lim_{x \to 0} \frac{-9\sin(x) + 9\sin(3x)}{24x} \). Substituindo \( x = 
0 \), obtemos \( \frac{0}{0} \), uma forma indeterminada. Utilizando pela terceira vez a 
regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador, obtendo \( \lim_{x \to 0} 
\frac{-9\cos(x) + 27\cos(3x)}{24} = \frac{-9 \cdot 1 + 27 \cdot 1}{24} = \frac{18}{24} = 
\frac{3}{4} \). 
 
134. Se \( f(x) = \sqrt{2x} \), qual é o valor de \( f'(4) \)? 
 a) \( \frac{1}{4} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) 
 d) \( \sqrt{2} \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) 
 **Explicação:** A derivada de \( \sqrt{2x} \) em relação a \( x \) é \( \frac{1}{2\sqrt{2x}} \). 
Substituindo \( x = 4 \), temos \( f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{2 \cdot 4}} = \frac{1}{2 \cdot 2 
 
} = \frac{1}{\sqrt{2}} \). 
 
135. Qual é o valor de \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx \)? 
 a) \( \frac{\pi}{2} \) 
 b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 c) \( \frac{\pi}{6} \) 
 d) \( \frac{\pi}{8} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação:** A integral de \( \sin^2(x) \) de \( 0 \) a \( \pi \) é \( \frac{x}{2} - 
\frac{\sin(2x)}{4} \). Avaliando em \( \pi \) e \( 0 \), temos \( \frac{\pi}{2} - \frac{\sin(2\pi)}{4} - 
(0 - 0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} \).