matematica universitaria (6)

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d) Indefinido 
 **Resposta:** b) 3 
 **Explicação:** Ao substituir \( x = 0 \), a expressão se torna \( \frac{\sin(0)}{0} = 
\frac{0}{0} \), uma forma indeterminada. Utilizando a regra de L'Hôpital, derivamos o 
numerador e o denominador em relação a \( x \), obtendo \( \lim_{x \to 0} 
\frac{3\cos(3x)}{1} = \frac{3\cos(0)}{1} = 3 \). 
 
152. Se \( f(x) = \ln(6x) \), qual é o valor de \( f'(1) \)? 
 a) \( \ln(6) \) 
 b) \( \frac{1}{6} \) 
 c) 6 
 d) \( 6\ln(6) \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{1}{6} \) 
 **Explicação:** A derivada de \( \ln(6x) \) em relação a \( x \) é \( \frac{1}{x} \). 
Substituindo \( x = 1 \), temos \( f'(1) = \frac{1}{1} = 1 \). 
 
153. Qual é o valor de \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \sin(\frac{\pi}{2}) \) 
 d) \( \cos(\frac{\pi}{2}) \) 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** A integral de \( \sin(x) \) de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{2} \) é \( -\cos(x) \). 
Avaliando em \( \frac{\pi}{2} \) e \( 0 \), temos \( -\cos(\frac{\pi}{2}) - (-\cos(0)) = 0 - (-1) = 1 \). 
 
154. Se \( \log_8(y) = 2 \), qual é o valor de \( y^3 \)? 
 a) \( 64 \) 
 b) \( 16 \) 
 c) \( 32 \) 
 d) \( 128 \) 
 **Resposta:** a) \( 64 \) 
 **Explicação:** Por definição de logaritmo, \( 8^2 = y \), então \( y^3 = 8^{2 \cdot 3} = 
8^6 = 64 \).