Interpolação e Aproximação de Funções

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INTERPOLAÇÃO E 
APROXIMAÇÃO 
 DE FUNÇÕES 
 
 
 
 
 
 
Igor Utzig Picco 
 
 
 
 
 
 Interpolação e aproximação de funções 
 
2 
 
 
Olá aluno (a) Unifacear! 
Seja bem-vindo (a) à aula de Interpolação e aproximação de funções. Nessa aula 
irei apresentar para vocês mais métodos numéricos que visam estimar funções para um 
determinado conjunto de dados. É apresentado nessa aula diferentes graus da interpolação 
de Newton, que utiliza diferenças finitas, o método de Lagrange, juntamente com 
exemplos didáticos que visam clarear os conceitos apresentados. 
 
INTRODUÇÃO A INTERPOLAÇÃO 
 
Em geral, os dados são fornecidos em um conjunto discreto de valores entre um 
contínuo de possibilidades. Entretanto, pode ser necessário fazer estimativas em pontos 
que estão entre os valores discretos. Nesses casos, é útil tentar interpolar uma função que 
descreva o comportamento do processo estudado. A interpolação de uma curva pode ser 
útil para estimar pontos não fornecidos ou pontos médios entre diferentes intervalos em 
que se conhecem os valores. Podemos utilizar de aproximações quando precisamos 
avaliar diferentes pontos ou quando precisamos derivar ou integrar; também quando 
temos um conjunto de pontos da função, mas não sabemos sua forma analítica real 
(ARENALES; DAREZZO, 2016). 
Iniciaremos abordando a interpolação polinomial de ordem n, iniciando por n=1, 
que classifica a interpolação inicial. A fórmula geral de um polinômio é apresentada na 
Equação 1. Ao analisar um conjunto de n+1 dados, existe um polinômio de ordem n que 
passa pelos n+1 pontos dados. Através desse polinômio é possível estimar valores de 
pontos intermediários (CHAPRA, CANALE, 2013). 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥1+. . .+𝑎𝑛 𝑥 𝑛 (1) 
 
É apresentado a seguir duas aproximações polinomiais básicas, sendo elas a 
interpolação linear (função linear com n=1, adequada para 2 pontos) e a interpolação 
quadrática (função quadrada com n=2, e adequada para 3 pontos). 
 
 
 
 
 Interpolação e aproximação de funções 
 
3 
 
Figura 1. Interpolação polinomial com n=1, 2 e 3, respectivamente. 
 
Fonte: Chapra, Canale, 2013. 
 
INTERPOLAÇÃO LINEAR 
 
Uma interpolação linear consiste, basicamente, de ligar dois pontos através de 
uma reta. Para obter a função de x que interliga dois pontos (x1, f(x1)) e (x2, f(x2)) é 
descrita na Equação 2. A função vem da semelhança entre triângulos e é usualmente 
chamada de fórmula da interpolação linear. 
 
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥1)
𝑥 − 𝑥1
=
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
 
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥1) +
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
∗ (𝑥 − 𝑥1) (2) 
 
Exemplo 1: 
Realize a interpolação linear da curva que contém os pontos (3,7) e (7,21). 
Utilizando a interpolação, estime o resultado de f(x) para o valor de x=12. 
Aplicando a Equação 2, podemos obter a curva estimada: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥1) +
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
∗ (𝑥 − 𝑥1) 
𝑓(𝑥) = 𝑓(3) +
𝑓(7) − 𝑓(3)
7 − 3
∗ (𝑥 − 3) 
 
 
 Interpolação e aproximação de funções 
 
4 
 
𝑓(𝑥) = 7 +
21 − 7
4
∗ (𝑥 − 3) 
𝑓(𝑥) = 7 + 3.5 ∗ (𝑥 − 3) 
𝑓(𝑥) = 7 + (3.5𝑥 − 10.5) 
𝑓(𝑥) = 3.5𝑥 − 3.5 
 
Inserindo x=12 podemos estimar o valor do evento analisando quando x=12. 
𝑓(12) = 3.5 ∗ 12 − 3.5 = 38.5 
 
INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA 
 
A interpolação quadrática visa obter um polinômio de segunda ordem que contém 
três pontos de estudo. O método tem maior precisão que a interpolação linear, por utilizar 
mais pontos. 
Através do método de interpolação baseando-se nas diferenças divididas de 
Newton (mesma técnica utilizada na interpolação linear, anteriormente), obtém-se a 
Equação 3, que descreve a interpolação de 3 pontos em uma parábola (CHAPRA, 
CANALE, 2013). Considere os três pontos como (x0, f(x0)), (x1, f(x1)) e (x2, f(x2)) para 
igualar as fórmulas apresentadas no texto original de Chapra e Canale. 
 
𝑓(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) (3) 
 
Sendo que: 
 
𝑏0 = 𝑓(𝑥0) (4) 
𝑏1 =
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
 (5) 
𝑏2 =
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
−
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
𝑥2 − 𝑥0
 
(6) 
 
Observe que, como foi o caso com a interpolação linear, 𝑏1 ainda representa a 
inclinação da reta ligando os pontos 𝑥0 e 𝑥1. Logo, os dois primeiros termos da Equação 
 
 
 Interpolação e aproximação de funções 
 
5 
 
3 são equivalentes à interpolação linear de 𝑥0 a 𝑥1, como especificado anteriormente na 
Equação 2. O último termo, 𝑏2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) introduz a curvatura de segundo grau na 
fórmula (CHAPRA, CANALE, 2013). 
Exemplo 2: 
Realize a interpolação quadrática da curva que contém os pontos (1,4), (3,7) e 
(7,21). Utilizando a interpolação, estime o resultado de f(x) para o valor de x=10. 
 
Aplicando as equações 4 a 6 obtemos os elementos para montar a equação 3: 
 
𝑏0 = 𝑓(𝑥0) = 𝑓(1) = 4 
𝑏1 =
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
=
𝑓(3) − 𝑓(1)
3 − 1
=
7 − 4
2
=
3
2
 
𝑏2 =
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
−
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
𝑥2 − 𝑥0
=
21 − 7
7 − 3
−
3
2
7 − 1
=
14
4
−
6
4
6
=
2
6
 
 
Agora aplicando os coeficientes na equação 3: 
 
𝑓(𝑥) = 4 +
3
2
(𝑥 − 1) +
2
6
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) 
 
Desenvolvendo: 
 
𝑓(𝑥) = 4 +
3
2
𝑥 −
3
2
+
2
6
(𝑥 2 − 4𝑥 + 3) 
𝑓(𝑥) = (
8
2
−
3
2
) +
3
2
𝑥 + (
2
6
𝑥 2 −
4
3
𝑥 + 1) 
𝑓(𝑥) = (
8
2
−
3
2
+ 1) + (
3
2
−
4
3
)𝑥 +
2
6
𝑥 2 
𝒇(𝒙) =
𝟐
𝟔
𝒙𝟐 +
𝟏
𝟔
𝒙 +
𝟕
𝟐
 
 
Estimando o valor em x=10: 
𝑓(10) =
2
6
∗ 100 +
1
6
∗ 10 +
7
2
= 38,5 
 
 
 Interpolação e aproximação de funções 
 
6 
 
 
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL (INTERPOLAÇÃO DE NEWTON) 
 
A equação de interpolação usando um polinômio de terceiro grau é dado através 
da Equação 7: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)
+ 𝑏3 (𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 
(7) 
 
Sendo assim, baseando-se nas equações 2, 3 e 7, pode-se estimar a fórmula geral 
para a interpolação linear de grau n: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1(𝑥 − 𝑥0) + ⋯ + 𝑏𝑛(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)… (𝑥 − 𝑥𝑛−1) (8) 
 
Onde os coeficientes podem ser obtidos através de: 
 
𝑏0 = 𝑓(𝑥0) 
𝑏1 =
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
= 𝑓[𝑥1, 𝑥0] 
𝑏2 =
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
−
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
𝑥2 − 𝑥0
= 𝑓[𝑥2,𝑥1,𝑥0] 
… 
𝑏𝑛 = 𝑓[𝑥𝑛,𝑥𝑛−1 … 𝑥1,𝑥0] 
 
A função com colchetes se refere a diferenças divididas finitas, que pode ser 
expressa de maneira generalizada através da Equação 9: 
 
𝑓[𝑥𝑖 ,𝑥𝑗] =
𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓(𝑥𝑗)
𝑥𝑖 − 𝑥𝑗
 
𝑓[𝑥𝑖 ,𝑥𝑗, 𝑥𝑘] =
𝑓[𝑥𝑖 ,𝑥𝑗] − 𝑓[𝑥𝑗,𝑥𝑘]
𝑥𝑖 − 𝑥𝑘
 
 
 
 Interpolação e aproximação de funções 
 
7 
 
𝑓[𝑥𝑛,𝑥𝑛−1 … 𝑥1,𝑥0] =
𝑓[𝑥𝑛,𝑥𝑛−1 … , 𝑥1] − 𝑓[𝑥𝑛−1 … 𝑥1, 𝑥0]
𝑥𝑛 − 𝑥0
 (9) 
 
 
A equação generalizada apresentada na Equação 8 e com seus coeficientes 
apresentados nas equações seguintes são chamados de polinômio interpolador por 
diferenças divididas de Newton. 
 
 Exemplo 3: 
Realize a interpolação cúbica da curva que contém os pontos (1,4), (3,7), (7,21) e 
(12, 35). Utilizando a interpolação, estime o resultado de f(x) para o valor de x=9. 
 
𝑏0 = 𝑓(𝑥0) = 𝑓(1) = 4 
 
𝑏1 = 𝑓[𝑥1,𝑥0] =
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
=
𝑓(3) − 𝑓(1)
3 − 1
=
7 − 4
2
=
3
2
 
𝑏2 = 𝑓[𝑥2, 𝑥1,𝑥0] =
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)𝑥2 − 𝑥1
−
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
𝑥2 − 𝑥0
=
21 − 7
7 − 3 −
3
2
7 − 1
=
2
6
 
 
 
𝑏3 = 𝑓[𝑥3,𝑥2, 𝑥1,𝑥0] =
𝑓[𝑥3,𝑥2, 𝑥1] − 𝑓[𝑥2,𝑥1,𝑥0]
𝑥3 − 𝑥0
 
𝑓[𝑥3,𝑥2,𝑥1] =
𝑓(𝑥3) − 𝑓(𝑥2)
𝑥3 − 𝑥2
−
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
𝑥3 − 𝑥1
=
35 − 21
12 − 7 −
21 − 7
7 − 3
12 − 3
=
56
20 −
79
20
9
= −
23
180
 
𝑏3 = 𝑓[𝑥3, 𝑥2,𝑥1,𝑥0] =
−
23
180 −
2
6
12 − 1
=
−
23
180 −
60
180
11
= −
83
1980
 
 
Sendo assim, temos: 
 
 
 
 
 Interpolação e aproximação de funções 
 
8 
 
𝑓(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) + 𝑏3 (𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 
 
𝑓(𝑥) = 4 +
3
2
(𝑥 − 1) +
1
3
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) −
83
1980
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 7) 
 
𝑓(𝑥) = 4 +
3
2
𝑥 −
3
2
+
2
6
(𝑥 2 − 4𝑥 + 3) −
83
1980
(𝑥 3 − 11𝑥 2 + 31𝑥 − 21) 
 
𝑓(𝑥) =
2
6
𝑥 2 +
1
6
𝑥 +
7
2
−
83
1980
𝑥 3 +
83
180
𝑥2 − 1.2995𝑥 − 0.8803 
 
𝒇(𝒙) = −
𝟖𝟑
𝟏𝟗𝟖𝟎
𝒙𝟑 +
𝟏𝟒𝟑
𝟏𝟖𝟎
𝒙𝟐 − 𝟏.𝟏𝟑𝟐𝟖𝒙 + 𝟒. 𝟑𝟖𝟎𝟑 
 
Estimando o valor da função para quando x=9: 
 
𝑓(9) = −
83
1980
93 +
143
180
92 − 1.1328 ∗ 9 + 4.3803 
𝑓(9) = −
83
1980
∗ 729 +
143
180
∗ 81 − 1.1328 ∗ 9 + 4.3803 = 𝟐𝟕. 𝟗𝟕𝟔 
 
 
INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE 
 
Agora que estudamos os polinômios interpoladores de Newton de diferentes 
graus, assim como seu formato geral, iremos abordar os polinômios interpoladores de 
Lagrange. 
A maneira mais simples de introduzirmos o polinômio interpolador de Lagrange 
é através da introdução do polinômio de primeiro grau de Lagrange, que interpola a curva 
entre dois pontos x1 e x2, apresentada na Equação 10. 
 
𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑎1(𝑥 − 𝑥2) + 𝑎2(𝑥 − 𝑥1) (10) 
 
Ao substituir os pontos x1 e x2 na equação apresentada, temos: 
 
 
 Interpolação e aproximação de funções 
 
9 
 
 
𝑓(𝑥1) = 𝑎1(𝑥1 − 𝑥2) + 𝑎2 (𝑥1 − 𝑥1) = 𝑎1(𝑥1 − 𝑥2) 
𝑓(𝑥2) = 𝑎1(𝑥2 − 𝑥2) + 𝑎2 (𝑥2 − 𝑥1) = 𝑎2(𝑥2 − 𝑥1) 
 
Reorganizando, temos que: 
 
𝑎1 =
𝑓(𝑥1)
(𝑥1 − 𝑥2)
 𝑒 𝑎2 =
𝑓(𝑥2)
(𝑥2 − 𝑥1)
 
 
O mesmo polinômio pode ser estendido para o segundo grau, para interpolar três 
pontos: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎1(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3) + 𝑎2(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥3) + 𝑎3(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 
 
A equação pode ser apresentada de maneira estendida, como apresentado na 
Equação 11: 
 
𝑓(𝑥) =
(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)
(𝑥1 − 𝑥2)(𝑥1 − 𝑥3)
∗ 𝑓(𝑥1) +
(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥3)
(𝑥2 − 𝑥1)(𝑥2 − 𝑥3)
∗ 𝑓(𝑥2)
+
(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
(𝑥3 − 𝑥1)(𝑥3 − 𝑥2)
∗ 𝑓(𝑥3) 
(11) 
 
Analisando as equações 10 e 11, é possível obter o formato geral da interpolação 
de Lagrange, apresentado na Equação 12: 
 
 
𝑓(𝑥) =
(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)… (𝑥 − 𝑥𝑛)
(𝑥1 − 𝑥2)(𝑥1 − 𝑥3) … (𝑥1 − 𝑥𝑛)
∗ 𝑓(𝑥1)
+
(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥3) … (𝑥 − 𝑥𝑛)
(𝑥2 − 𝑥1)(𝑥2 − 𝑥3) … (𝑥2 − 𝑥𝑛)
∗ 𝑓(𝑥2) …
+
(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) … (𝑥 − 𝑥𝑛−1)
(𝑥𝑛 − 𝑥1)(𝑥𝑛 − 𝑥2) … (𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1)
∗ 𝑓(𝑥𝑛) 
(12) 
 
 
 
 Interpolação e aproximação de funções 
 
10 
 
 
Exemplo 4: 
Realize a interpolação de Lagrange da curva que contém os pontos (1,4), (3,7) e 
(7,21). Utilizando a interpolação, estime o resultado de f(x) para o valor de x=10. 
 
Utilizando a equação 11: 
 
𝑓(𝑥) =
(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)
(𝑥1 − 𝑥2)(𝑥1 − 𝑥3)
∗ 𝑓(𝑥1) +
(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥3)
(𝑥2 − 𝑥1)(𝑥2 − 𝑥3)
∗ 𝑓(𝑥2)
+
(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
(𝑥3 − 𝑥1)(𝑥3 − 𝑥2)
∗ 𝑓(𝑥3) 
 
𝑓(𝑥) =
(𝑥 − 3)(𝑥 − 7)
(1 − 3)(1 − 7)
∗ 4 +
(𝑥 − 1)(𝑥 − 7)
(3 − 1)(3 − 7)
∗ 7 +
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
(7 − 1)(7 − 3)
∗ 21 
 
 
𝒇(𝒙) =
(𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟕)
𝟑
−
𝟕 ∗ (𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟕)
𝟖
+
𝟐𝟏 ∗ (𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟑)
𝟐𝟒
 
 
Estimando o valor de f(x) para x=10: 
 
𝑓(10) =
(10 − 3)(10 − 7)
3
−
7 ∗ (10 − 1)(10 − 7)
8
+
21 ∗ (10 − 1)(10 − 3)
24
 
 
𝑓(10) =
(7)(3)
3
−
7 ∗ (9)(3)
8
+
21 ∗ (9)(7)
24
= 7 − 23,625 + 55,125 = 𝟑𝟖,𝟓 
 
 
 
 
 Interpolação e aproximação de funções 
 
11 
 
RESUMO 
 
Nesse capítulo foi apresentado alguns métodos numéricos que visam estimar 
funções para um certo conjunto de dados. 
Foram apresentados diferentes graus do polinômio interpolador de Newton e o de 
Lagrange. Os exemplos apresentados visaram fornecer uma base da aplicação do método, 
assim como sua utilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Interpolação e aproximação de funções 
 
12 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ARENALES, S.; DAREZZO, A. Cálculo Numérico: Aprendizagem com Apoio de 
Software. 2. ed. São Paulo: Cengage, 2016. 
 
 
CELINA, J. Cálculo Numérico. Curitiba, Intersaberes, 2018. 
 
 
CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. Métodos numéricos para engenharia. McGraw-Hill, 
2008. 
 
 
SPERANDIO, D.; MENDES, J. T.; E SILVA, L. H. M. Cálculo numérico. 2° edição 
São Paulo. Pearson, 2014.