Sistemas Lineares e Não Lineares

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SISTEMAS 
LINEARES E NÃO 
LINEARES 
 
 
 
 
 
 
Igor Utzig Picco 
 
 
 
 Sistemas lineares e não lineares 
 
Olá aluno (a) Unifacear! 
Seja bem-vindo (a) à aula de Sistemas lineares e não lineares através de métodos 
iterativos. Nessa aula irei apresentar para vocês mais métodos numéricos que visam 
solucionar sistemas de equações, descobrindo o valor de todas as incógnitas do sistema 
através do cálculo numérico. Apresento o conceito de sistemas lineares e sistemas não 
lineares, em seguida apresento métodos numéricos de resolução. 
 
SISTEMAS LINEARES VS SISTEMAS NÃO LINEARES 
 
Um sistema de equações corresponde a um conjunto de equações a serem 
resolvidas de maneira simultânea. Um sistema é considerado linear quando todas as 
incógnitas são elevadas somente a primeira potência. No cálculo numérico e 
computacional, os sistemas lineares são representados de maneira matricial, como 
apresentado na Equação 1. A matriz [A] é a matriz dos coeficientes, [X] é o vetor das 
incógnitas e [B] é o vetor das constantes ou termos independentes (CELINA, 2018). Os 
sistemas tem m equações e n incógnitas. 
 
[
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22
… 𝑎2𝑛
…
𝑎𝑚1
…
𝑎𝑚2
…
…
…
𝑎𝑚𝑛
] ∗ [
𝑥1
𝑥2…
𝑥𝑛
] = [
𝑏1
𝑏2…
𝑏𝑛
] (1) 
 
Sistemas de equações não lineares são sistemas que envolvem termos com as 
incógnitas com potências diferentes da unidade, ou que incluem funções não lineares 
aplicadas as variáveis, como por exemplo, funções trigonométricas. 
Sistemas de equações podem ter uma única solução, muitas soluções, ou nenhuma 
solução. 
Os métodos básicos de resolução de equação, como os métodos gráficos e os 
métodos de resolução através de determinantes e Regra de Cramer não são abordados na 
disciplina, por ser conteúdo de disciplinas prévias. 
 
 
 
 
 Sistemas lineares e não lineares 
 
ELIMINAÇÃO DE GAUSS 
 
A eliminação de Gauss é o método numérico mais básico de resolução de sistemas 
de equações, sendo um método de resolução direta. O método consiste de manipulação 
de equações para a eliminação progressiva de variáveis, visando resolução diretas através 
de substituição regressiva. O processo de eliminação progressiva e substituição 
regressiva é ilustrado na Figura 1. É possível perceber que o sistema de equação é 
manipulado para se transformar em um sistema triangular superior, permitindo a 
resolução por substituição de baixo para cima. 
 
Figura 1. Eliminação de Gauss. 
 
Fonte: Chapra, Canale, 2013. 
 
Para realizar a eliminação progressiva, inicia-se removendo a primeira variável de 
todas as linhas do sistema. Para isso utilizam-se elementos pivôs, ou multiplicadores (que 
devem, obrigatoriamente, não ser nulos). É importante ressaltar que as operações são 
realizadas na matriz estendida, que é a matriz que junta a matriz a e b. Toda mudança tem 
que ser aplicada nos dois lados da equação para que ela continue válida. 
As operações básicas que são realizadas são: 1) Trocas de linhas; 2) Multiplicação 
de uma linha por uma constante que difere de 0; 3) Multiplicação de uma linha por uma 
constante e soma com outra linha. 
 Sistemas lineares e não lineares 
 
O procedimento consiste em ir eliminando, por coluna, as variáveis, até que no 
final tenha uma equação com somente 1 variável. Em seguida, através de substituição 
progressiva, encontra-se facilmente o valor de todas as variáveis. 
Para cada incógnita, ocorre uma etapa que consiste na identificação do pivô, 
elemento não nulo e da matriz principal, que é utilizado para determinar os 
multiplicadores da linha, que é calculado através da Equação 2. A Equação 3 é a equação 
elementar utilizada em cada linha da matriz no processo de eliminação da variável 
(CELINA, 2018). 
 
𝑚𝑘𝑖 =
𝑎𝑘𝑖
𝑎𝑖𝑖
 (2) 
𝐿𝑘 − 𝑚𝑘𝑖 ∗ 𝐿𝑖 → 𝐿𝑘 (3) 
 
A melhor maneira de entender a eliminação de Gauss é através de um exemplo. O 
exemplo apresentado a seguir vem do livro Cálculo Numérico da autora Celina Jarletti, 
disponível na Biblioteca Virtual Pearson. 
 
Exemplo 1: 
 
É apresentado o sistema de equações na forma tradicional e em seguida no formato 
matricial estendido: 
 
3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 9
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −2
2𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 14
 
 
[
3 1 2 9
1 2 −1 −2
2 1 4 14
] 
 
Primeiramente temos como objetivo retirar a variável x da segunda e terceira 
linha. Para isso, definimos o elemento da diagonal principal da primeira linha como 
elemento pivô. Sendo assim, considerando o pivô como 3, calculamos os multiplicadores 
da segunda e terceira linha: 
 Sistemas lineares e não lineares 
 
𝑚21 =
𝑎21
𝑎11
=
1
3
 ; 𝑚31 =
𝑎31
𝑎11
=
2
3
 
 
Sendo assim, temos as seguintes operações para as linhas 2 e 3: 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 2: 𝐿2 − 𝑚21 ∗ 𝐿1 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 3: 𝐿3 − 𝑚31 ∗ 𝐿1 
 
Sendo assim, a matriz é modificada para: 
 
[
 
 
 
 
3 1 2 9
1 −
1
3
∗ 3 2 −
1
3
∗ 1 −1 −
1
3
∗ 2 −2 −
1
3
∗ 9
2 −
2
3
∗ 3 1 −
2
3
∗ 1 4 −
2
3
∗ 2 14 −
2
3
∗ 9 ]
 
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
3 1 2 9
0
5
3
−
5
3
−5
0
1
3
8
3
8 ]
 
 
 
 
 
 
Em seguida o processo é realizado na terceira linha, visando eliminar a segunda 
variável (y) da segunda coluna. Para isso, utiliza o elemento da matriz diagonal principal 
de a, da segunda linha, como elemento pivô. No caso, o elemento pivô é a22: 5/3. Com o 
elemento pivô definido, obtém-se os multiplicadores das linhas, que no caso em questão, 
é somente para a linha 3. 
 
𝑚32 =
𝑎32
𝑎22
=
1/3
5/3
=
1
5
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 3: 𝐿3 − 𝑚32 ∗ 𝐿2 
 
Sendo assim, a matriz é modificada para: 
 
 
 
 Sistemas lineares e não lineares 
 
[
 
 
 
 
3 1 2 9
0
5
3
−
5
3
−5
0
1
3
−
1
5
∗
5
3
8
3
−
1
5
∗ (−
5
3
) 8 −
1
5
∗ (−5)]
 
 
 
 
 
 
[
3 1 2 9
0
5
3
−
5
3
−5
0 0 3 9
] 
 
Agora que realizamos a adaptação da matriz para o formato triangular, podemos 
reescrever a matriz estendida resultante como um sistema de equações: 
 
3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 9
5
3
𝑦 −
5
3
𝑧 = −5
3𝑧 = 9
 
Agora podemos realizar a substituição de maneira regressiva, de baixo para cima, 
para descobrir os valores das variáveis. Resolvendo, da última linha para a primeira: 
3𝑧 = 9 → 𝑧 = 3 
5
3
𝑦 −
5
3
𝑧 = −5 →
5
3
𝑦−= −5 +
5
3
∗ 3 → 𝑦 = 0 
3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 9 → 3𝑥 = 9 − 0 − 2 ∗ 3 → 𝑥 = 1 
 
Sendo assim, obtemos: 
𝑥 = 1
𝑦 = 0
𝑧 = 3
 
 
Em relação a escolha do elemento pivô, temos alguns pontos importantes a serem 
observados. 
A escolha do elemento pivô deve evitar selecionar elementos nulos ou muito 
pequenos. A escolha de elementos nulos torna a divisão impossível, não sendo possível 
obter o multiplicador. Selecionar números muito pequenos podem ter um resultado 
negativo pois pode resultar em erros de arredondamento ao calcular o multiplicador, 
refletindo em uma dificuldade de anular as variáveis em análise. Para escolher o elemento 
 Sistemas lineares e não lineares 
pivô adequado deve-se trocar linhas e colunas, visando obter um posicionamento que 
otimiza o processo de eliminação progressiva. 
Assim, antes que cada linha seja normalizada, é vantajoso determinar o maior 
coeficiente disponível na coluna abaixo do elemento pivô. As linhas podem ser trocadas 
de modo que o maior coeficiente seja o elemento pivô. Isso é chamado de pivotamento 
parcial. Se procurarmos o maior elemento também nas colunas, além de nas linhas, e 
então trocarmos, o processo é chamado de pivotamento completo (CHAPRA, CANALE, 
2013). 
 
MÉTODO DE GAUSS-JACOBI 
 
O método de Gauss-Jacobi consiste em isolar cada uma das incógnitas do sistema 
de equações, deixando cada variável como uma função das demais variáveis. A primeira 
linha do sistema de equações se transforma em uma equação de x1 em função das demais 
variáveis, a segunda linha do sistema se transforma em uma equação de x2 em função das 
demais variáveis e assim por diante. 
Em seguida, para o sistema de n equações, com n incógnitas, teremos uma equação 
para cadaincógnita. Partindo de uma estimativa inicial, é possível realizar um processo 
iterativo que utiliza as estimativas anteriores para calcular novas estimativas. O processo 
para até que todas as variáveis tenham seu erro (obtido através das diferenças das 
estimativas) menor que a tolerância. 
Para ilustrar o procedimento realizado, iremos aplicar o método em um exemplo. 
O exemplo apresentado a seguir vem do livro Cálculo Numérico da autora Celina Jarletti, 
disponível na Biblioteca Virtual Pearson. 
 
Exemplo 2: 
 
10𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 31
2𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = 17
𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 2
 
 
Iniciamos isolando cada variável, por ordem de linha (1º linha: primeira variável; 
2° linha: segunda variável e etc...) 
 
 Sistemas lineares e não lineares 
 
10𝑥 = 31 − 2𝑦 − 3𝑧
5𝑦 = 17 − 2𝑥 + 𝑧
5𝑧 = 2 − 𝑥 − 2𝑦
 
 
Sendo assim, temos as seguintes equações: 
 
𝑥 =
1
10
(31 − 2𝑦 − 3𝑧)
𝑦 =
1
5
(17 − 2𝑥 + 𝑧)
𝑧 =
1
5
(2 − 𝑥 − 2𝑦)
 
 
Iniciando o processo iterativo com as variáveis todas estimadas como 0, iniciamos 
nosso processo iterativo: 
 
Iteração 1: 
 
𝑥1 =
1
10
(31 − 2𝑦0 − 3𝑧0)
𝑦1 =
1
5
(17 − 2𝑥0 + 𝑧0)
𝑧1 =
1
5
(2 − 𝑥0 − 2𝑦0)
 
 
𝑥1 =
1
10
(31 − 2 ∗ 0 − 3 ∗ 0) = 3,1
𝑦1 =
1
5
(17 − 2 ∗ 0 + 0) = 3,4
𝑧1 =
1
5
(2 − 0 − 2 ∗ 0) = 0,4
 
 
Sendo assim, temos 𝑥1 = 3,1; 𝑦1 = 3,4; 𝑧1 = 0,4. 
 
Iteração 2: 
 
 
 
 Sistemas lineares e não lineares 
 
𝑥2 =
1
10
(31 − 2𝑦1 − 3𝑧1)
𝑦2 =
1
5
(17 − 2𝑥1 + 𝑧1)
𝑧2 =
1
5
(2 − 𝑥1 − 2𝑦1)
 
 
𝑥2 =
1
10
(31 − 2 ∗ 3.4 − 3 ∗ 0.4) = 2,3
𝑦2 =
1
5
(17 − 2 ∗ 3.1 + 0.4) = 2,24
𝑧2 =
1
5
(2 − 3.1 − 2 ∗ 3.4) = −1,58
 
 
Sendo assim, temos 𝑥2 = 2.3; 𝑦2 = 2.24; 𝑧2 = −1.58. Calculando o erro: 
 
𝜀𝑥 =
|2.3 − 3.1|
|2.3|
= 0,3478
𝜀𝑦 =
|2.24 − 3.4|
|2.24|
= 0,5179
𝜀𝑧 =
|−1.58 − 0.4|
| − 1.58|
= 1,2531
 
 
Iteração 3: 
 
𝑥3 =
1
10
(31 − 2𝑦2 − 3𝑧2)
𝑦3 =
1
5
(17 − 2𝑥2 + 𝑧2)
𝑧3 =
1
5
(2 − 𝑥2 − 2𝑦2)
 
 
𝑥3 =
1
10
(31 − 2 ∗ 2.24 − 3 ∗ (−1.58)) = 3.126
𝑦3 =
1
5
(17 − 2 ∗ 2.3 − 1.58) = 2.164
𝑧3 =
1
5
(2 − 2.3 − 2 ∗ 2.24) = −0.956
 
 
Sendo assim, temos 𝑥3 = 3.126; 𝑦3 = 2.164; 𝑧3 = −0.956. Calculando o erro: 
 Sistemas lineares e não lineares 
 
𝜀𝑥 =
|3.126 − 2.3|
|3.126|
= 0,2642
𝜀𝑦 =
|2.164 − 2.24|
|2.164|
= 0,0351
𝜀𝑧 =
|−0.956 + 1.58|
| − 0.956|
= 0,6527
 
O processo continua até que o erro das 3 variáveis satisfaça o critério pré-
estabelecido. O método demora 8 iterações para finalizar, utilizando 𝜀 = 0,01. O 
resultado final é 𝑥 = 2.9981; 𝑦 = 1.9994; 𝑧 = −1.0015. 
É possível observar uma característica importante do método de Gauss-Jacobi: os 
valores das variáveis só são atualizados após finalizar o cálculo de todas as variáveis. 
 
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL 
 
O método de Gauss-Seidel é similar ao método de Gauss-Jacobi, mas com uma 
mudança que trás grandes melhorias na velocidade de resolução: os valores de cada 
estimação são atualizados instantaneamente após o cálculo, já sendo utilizado 
imediatamente, sem esperar que a iteração finalize para ser atualizado. 
Agora iremos realizar o exemplo anterior utilizando a metodologia de Gauss-
Seidel invés de Gauss-Jacobi. 
 
Exemplo 3: 
 
10𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 31
2𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = 17
𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 2
 
 
Reescrevendo o sistema: 
𝑥 =
1
10
(31 − 2𝑦 − 3𝑧)
𝑦 =
1
5
(17 − 2𝑥 + 𝑧)
𝑧 =
1
5
(2 − 𝑥 − 2𝑦)
 
Iniciando o processo iterativo com as variáveis todas estimadas como 0, 
iniciamos nosso processo iterativo: 
 
 Sistemas lineares e não lineares 
 
Iteração 1: 
 
Aqui temos a diferença entre os métodos Gauss-Seidel e de Gauss-Jacobi. 
O valor de x calculado já é utilizado no primeiro cálculo de y. O primeiro cálculo 
de z já utiliza os valores calculados de x e y. As diferenças foram deixadas em 
negrito para que o aluno consiga percebe-las com facilidade. 
 
𝑥1 =
1
10
(31 − 2𝑦0 − 3𝑧0)
𝑦1 =
1
5
(17 − 2𝒙𝟏 + 𝑧0)
𝑧1 =
1
5
(2 − 𝒙𝟏 − 2𝒚𝟏)
 
 
𝑥1 =
1
10
(31 − 2 ∗ 0 − 3 ∗ 0) = 3.1
𝑦1 =
1
5
(17 − 2 ∗ 3.1 + 0) = 2.16
𝑧1 =
1
5
(2 − 3.1 − 2 ∗ 2.16) = −1,084.
 
 
Sendo assim, temos 𝑥1 = 3.1; 𝑦1 = 2.16; 𝑧1 = −1,084. 
 
Iteração 2: 
 
𝑥2 =
1
10
(31 − 2𝑦1 − 3𝑧1)
𝑦2 =
1
5
(17 − 2𝒙𝟐 + 𝑧1)
𝑧2 =
1
5
(2 − 𝒙𝟐 − 2𝒚𝟐)
 
 
𝑥2 =
1
10
(31 − 2 ∗ 2.16 − 3 ∗ (−1,084)) = 2.9932
𝑦2 =
1
5
(17 − 2 ∗ 2.9932 − 1,084) = 1.9859
𝑧2 =
1
5
(2 − 2.9932 − 2 ∗ 1.9859) = −0.9930
 
 Sistemas lineares e não lineares 
 
Sendo assim, temos 𝑥2 = 2.9932; 𝑦2 = 1.9859; 𝑧2 = −0.9930. 
Calculando o erro: 
 
𝜀𝑥 =
|2.9932 − 3.1|
|2.9932|
= 0,0357
𝜀𝑦 =
|1.9859 − 2.16|
|1.9859|
= 0,0876
𝜀𝑧 =
|−0.9930 + 1.084|
| − 0.9930|
= 0,9164
 
 
Comparando com os erros da segunda iteração do método de Gauss-
Jacobi, percebemos que o erro é bem menor que o primeiro cálculo. 
O método converge para o resultado obtido com somente quatro iterações, 
necessitando da metade da quantidade de iterações do que o método de Gauss-
Jacobi, utilizando o mesmo valor de erro especificado. O resultado final é 𝑥 =
2.9999; 𝑦 = 1.9988; 𝑧 = −0.9996. O resultado é levemente diferente. 
Devido a esse melhor desempenho, o método de Gauss-Seidel é o método 
mais utilizado para resolver sistemas de equações lineares. 
 
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 
 
Os métodos abordados até então são referentes a solução de sistemas de equações 
lineares, não sendo adequados para sistemas de equações não lineares. Agora iremos 
apresentar, de maneira breve (devido a sua alta complexidade e limitação de tempo) o 
método de Newton-Raphson, muito utilizado na resolução de sistemas de equações não 
lineares. Esse método é o método numérico mais importante do estudo de fluxo de 
potência, na engenharia elétrica de sistemas de potência. 
O método de Newton-Raphson corresponde da resolução do problema linear 
apresentado na Equação 4: 
 
𝑔(𝑥𝑖) = −𝐽(𝑥𝑖)∆𝑥𝑖 (4) 
 
Sendo: 
 
 Sistemas lineares e não lineares 
 
𝑔(𝑥𝑖) o sistema de equações sendo analisadas; 
∆𝑥𝑖 a atualização incremental de x, descrita na Equação 5; 
 𝐽(𝑥𝑖) a matriz jacobiana descrita na Equação 6. 
 
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + ∆𝑥𝑖 (5) 
𝐽(𝑥𝑖) =
[
 
 
 
 
 𝜕𝑓1
𝑖
𝜕𝑥1
⋯
𝜕𝑓1
𝑖
𝜕𝑥𝑖
⋮ ⋱ ⋮
𝜕𝑓𝑛
𝑖
𝜕𝑥1
⋯
𝜕𝑓𝑛
𝑖
𝜕𝑥𝑛 ]
 
 
 
 
 
 
 
(6) 
A matriz Jacobiana é montada com as derivadas parciais de todas as n funções do 
sistema de equações, em relação as n variáveis a serem resolvidas. 
Apresentamos no exemplo a seguir como montar a matriz jacobiana de um sistema 
pequeno de equações não lineares e a Equação 4. 
O exemplo apresentado a seguir vem do livro Cálculo Numérico da autora Celina 
Jarletti, disponível na Biblioteca Virtual Pearson. 
 
Exemplo 4: 
 
𝑔(𝑥) =
𝑥 + 𝑦 − 3 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 9 = 0
 
 
𝐽(x) =
[
 
 
 
 𝜕𝑓1
𝑖
𝜕𝑥
𝜕𝑓2
𝑖
𝜕𝑥
𝜕𝑓1
𝑖
𝜕𝑦
𝜕𝑓2
𝑖
𝜕𝑦 ]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
𝜕(𝑥 + 𝑦 − 3)
𝜕𝑥
𝜕(𝑥 + 𝑦 − 3))
𝜕𝑦
𝜕𝜕(𝑥2 + 𝑦2 − 9)
𝜕𝑥
𝜕(𝑥2 + 𝑦2 − 9)
𝜕𝑦 ]
 
 
 
 
 
𝐽(x) = [
1 1
2𝑥 2y
] 
 
Sendo assim, montamos o seguinte sistema a ser resolvido: 
 
𝑔(𝑥𝑖) = −𝐽(𝑥𝑖)∆𝑥𝑖 
 
 
 Sistemas lineares e não lineares 
 
[
𝑥 + 𝑦 − 3 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 9 = 0
] = − [
1 1
2𝑥 2y
] [
∆𝑥𝑖
∆y
] 
 
Algumas dicas na montagem da matriz Jacobiana: 
 
• Isole sempre a função a 0, para que você possa derivar de maneira direta. 
• Para cada linha da matriz Jacobiana, a função a ser derivada (parte de 
cima) é a mesma; 
• Para cada coluna da matriz Jacobiana, a variável utilizada na derivação 
(parte de baixo) é a mesma. 
 
A resolução completa desse exemplo e uma técnica de melhoria do método de 
Newton-Raphon é apresentado no livro Cálculo Numérico da autora Celina Jarletti, nas 
páginas 92 a 97. 
 
 
RESUMO 
 
Nesse capítulo foi realizado a apresentação dos métodos numéricos utilizados na 
resolução de sistemas de equações. 
Foi apresentado um método direto (eliminação de Gauss), dois métodos 
interativos para sistemas lineares (Gauss-Jacobie Gauss-Seidel) e um método iterativo 
para a resolução de sistemas não lineares (Newton-Raphson). 
Breves exemplos foram apresentados, não sendo finalizados devido a limitação de 
tempo. 
 
 
 
 
 
 
 Sistemas lineares e não lineares 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
CELINA, J. Cálculo Numérico. Curitiba, InterSaberes, 2018. 
 
SPERANDIO, D.; MENDES, J. T.; E SILVA, L. H. M. Cálculo numérico. 2° edição 
São Paulo. Pearson, 2014. 
 
CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. Métodos numéricos para engenharia. McGraw-Hill, 
2008.